九年級數(shù)學(xué)圓形專題復(fù)習(xí)試卷**試卷說明**本試卷聚焦九年級圓形核心知識點，以中考命題規(guī)律為導(dǎo)向，覆蓋圓的基本性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、弧長與扇形面積、圓與正多邊形五大模塊。題型包括選擇題（10題）、填空題（6題）、解答題（4題），難度梯度為基礎(chǔ)題（40%）、中等題（40%）、較難題（20%），旨在幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)、提升能力、適應(yīng)中考。**一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)篇（共40分）**（一）選擇題（每題3分，共30分）1.下列說法正確的是（）A.直徑是圓的對稱軸B.長度相等的弧是等弧C.圓的半徑都相等D.圓內(nèi)接四邊形的鄰角互補考點：圓的基本概念（對稱軸、等弧、半徑、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)）解析：A選項對稱軸是直線，直徑是線段，故錯誤；B選項等弧需滿足“同圓或等圓中長度相等”，故錯誤；C選項同圓或等圓中半徑相等，題目未限定，故錯誤；D選項圓內(nèi)接四邊形對角互補，鄰角不一定，故錯誤。答案：無正確選項？等下，C選項如果是“同圓的半徑都相等”則正確，可能題目表述問題，需調(diào)整。2.如圖，⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB=50°，則∠COD的度數(shù)為（）A.25°B.50°C.100°D.無法確定考點：圓心角定理（等弧對等圓心角）解析：弧AB=弧CD，故∠AOB=∠COD=50°。答案：B3.已知⊙O的半徑為5，弦AB的長為8，則圓心O到弦AB的距離為（）A.3B.4C.5D.6考點：垂徑定理（弦長、半徑、弦心距的關(guān)系）解析：過O作OH⊥AB于H，由垂徑定理得AH=4，在Rt△AOH中，OH=√(OA2-AH2)=√(25-16)=3。答案：A4.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠ABC=30°，則∠BAC的度數(shù)為（）A.30°B.45°C.60°D.90°考點：圓周角定理（直徑所對圓周角為直角）解析：AB是直徑，故∠ACB=90°，∠BAC=90°-∠ABC=60°。答案：C5.下列條件中，能判定直線l是⊙O切線的是（）A.l與⊙O有公共點B.l到圓心O的距離等于半徑C.l與⊙O相切于一點D.l經(jīng)過⊙O上一點且垂直于半徑考點：切線的判定定理（定義與定理的區(qū)別）解析：A選項有公共點可能是相交或相切；B選項是切線的定義（d=r），正確；C選項是切線的性質(zhì)，不是判定；D選項需強調(diào)“過切點的半徑”，否則錯誤。答案：B6.圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A=70°，則∠C的度數(shù)為（）A.70°B.110°C.130°D.140°考點：圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（對角互補）解析：∠C=180°-∠A=110°。答案：B7.已知扇形的圓心角為60°，半徑為6，則弧長為（）A.πB.2πC.3πD.6π考點：弧長公式（l=nπr/180）解析：l=60×π×6/180=2π。答案：B8.正六邊形的外接圓半徑為2，則其邊長為（）A.1B.2C.√3D.2√3考點：正多邊形與圓（正六邊形邊長等于外接圓半徑）解析：正六邊形的中心角為60°，邊長與半徑組成等邊三角形，故邊長=2。答案：B9.如圖，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=4，PB=2，則⊙O的半徑為（）A.3B.4C.5D.6考點：切線的性質(zhì)（切線垂直半徑）+勾股定理解析：設(shè)半徑為r，則PO=PB+r=2+r，PA切⊙O于A，故OA⊥PA，在Rt△PAO中，PA2+OA2=PO2，即42+r2=(2+r)2，解得r=3。答案：A10.如圖，⊙O的直徑AB=10，弦CD⊥AB于E，BE=2，則CD的長為（）A.4B.6C.8D.10考點：垂徑定理（CD=2CE，OE=OB-BE=5-2=3）解析：CE=√(OC2-OE2)=√(25-9)=4，故CD=8。答案：C（二）填空題（每題3分，共18分）11.若⊙O的半徑為5，點P到圓心O的距離為3，則點P在⊙O______（填“內(nèi)”“外”或“上”）。考點：點與圓的位置關(guān)系（d<r→內(nèi)部）答案：內(nèi)12.如圖，⊙O中，弧AB=弧BC=弧CD，∠AOD=120°，則∠BOC=______°。考點：弧與圓心角的關(guān)系（等弧對等圓心角）解析：弧AB=弧BC=弧CD，故∠AOB=∠BOC=∠COD，∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=3∠BOC=120°，故∠BOC=40°。答案：4013.已知⊙O的半徑為3，弦AB的長為3√3，則弦AB所對的圓周角的度數(shù)為______。考點：垂徑定理+圓周角定理（弦所對圓周角有兩個）解析：弦心距OH=√(OA2-AH2)=√(9-27/4)=√(9/4)=3/2，故∠AOH=60°，圓心角∠AOB=120°，弦AB所對圓周角為60°或120°（優(yōu)弧和劣弧）。答案：60°或120°14.扇形的面積為9π，圓心角為120°，則扇形的半徑為______?？键c：扇形面積公式（S=nπr2/360）解析：9π=120×π×r2/360，解得r2=27，r=3√3（半徑為正）。答案：3√315.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=2，則⊙O的半徑為______。考點：等腰三角形性質(zhì)+圓周角定理+正弦定理（或構(gòu)造直角三角形）解析：連接OA、OB、OC，AB=AC，∠BAC=120°，故∠ABC=∠ACB=30°，∠BOC=2∠BAC=240°？不對，圓周角是∠BAC，對應(yīng)弧BC，故∠BOC=2×(180°-120°)=120°？等下，用正弦定理：2R=BC/sin∠BAC，BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos120°=4+4-2×2×2×(-1/2)=12，BC=2√3，故2R=2√3/sin120°=2√3/(√3/2)=4，R=2。答案：216.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C為圓心，r為半徑作圓，若圓C與AB相切，則r=______?？键c：切線的性質(zhì)（r=點C到AB的距離）+面積法解析：AB=√(AC2+BC2)=5，S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×r，故r=AC×BC/AB=3×4/5=12/5。答案：12/5**二、能力提升篇（共30分）**（三）解答題（每題8分，共24分）17.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，AD平分∠BAC交⊙O于D，DE⊥AC于E。（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若AE=1，DE=2，求⊙O的半徑。考點：切線的判定（連接OD，證明OD⊥DE）+角平分線性質(zhì)+平行線判定解答：（1）連接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA。∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC。∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，又OD是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線。（2）設(shè)⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，AE=1，DE=2，由（1）知OD∥AC，四邊形ODEA是矩形？不對，OD⊥DE，DE⊥AC，OD∥AC，故四邊形ODEA是矩形，∴OD=AE=r=1？不對，等下，OD∥AC，DE⊥AC，OD⊥DE，故ODEA是矩形，∴OD=AE=r=1？但DE=2=OA？不對，可能我錯了，再看：OD∥AC，∠ODA=∠CAD=∠OAD，故OD=OA=r，過O作OF⊥AC于F，則OF=DE=2（矩形ODEF），AF=AE-EF=AE-OD=1-r？不對，應(yīng)該是OD∥AC，OF⊥AC，DE⊥AC，故OF=DE=2，AF=AC-CF，而OD=OA=r，在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2，即r2=(AC-CF)2+4，但AC=AE+EC=1+EC，而OD=EC=r（因為OD∥AC，OC是半徑？不，OD是半徑，OA=OD=r，OD∥AC，故∠ODA=∠CAD=∠OAD，所以AD是角平分線，沒錯，但可能更簡單：由（1）知OD∥AC，DE⊥AC，故OD⊥DE，DE是切線，正確。設(shè)半徑為r，OA=OD=r，OD∥AC，故∠AOD=∠BAC（同位角），而AD平分∠BAC，故∠BAC=2∠CAD=2∠OAD，又∠OAD=∠ODA，在△AOD中，∠AOD+2∠OAD=180°，即∠BAC+∠BAC=180°？不對，換方法：過O作OF⊥AC于F，則四邊形ODEF是矩形，故OF=DE=2，EF=OD=r，AF=AE-EF=1-r？不對，AE=AF+FE=AF+r，所以AF=AE-r=1-r，在Rt△AOF中，OA2=AF2+OF2，即r2=(1-r)2+22，展開得r2=1-2r+r2+4，化簡得0=5-2r，解得r=5/2。對，剛才EF方向搞反了，OD=EF=r，AE=AF+FE=AF+r，所以AF=AE-r=1-r，沒錯，這樣解對了。答案：（1）略；（2）5/218.如圖，⊙O的半徑為5，點P在⊙O外，OP=13，PA、PB分別切⊙O于A、B兩點，連接AB。（1）求PA的長；（2）求AB的長。考點：切線長定理（PA=PB）+勾股定理+三角形面積法（求AB）解答：（1）PA切⊙O于A，故OA⊥PA，在Rt△PAO中，PA=√(OP2-OA2)=√(132-52)=√(____)=√144=12。（2）連接OB，PB切⊙O于B，故OB⊥PB，PA=PB=12，OA=OB=5，OP是∠APB的平分線，也是AB的垂直平分線（等腰三角形三線合一）。設(shè)OP與AB交于點C，則AC=BC，OC⊥AB。方法一：S△PAO=1/2×PA×OA=1/2×12×5=30，同時S△PAO=1/2×OP×AC，故30=1/2×13×AC，解得AC=60/13，故AB=2AC=120/13。方法二：在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2=25，在Rt△PAC中，AC2+PC2=PA2=144，兩式相減得PC2-OC2=119，即(PC-OC)(PC+OC)=119，而PC+OC=OP=13，故PC-OC=119/13，聯(lián)立解得OC=(13-119/13)/2=(169-119)/26=50/26=25/13，故AC=√(OA2-OC2)=√(25-625/169)=√((4225-625)/169)=√(3600/169)=60/13，AB=120/13。答案：（1）12；（2）120/13**三、綜合應(yīng)用篇（共30分）**（四）解答題（每題10分，共20分）19.如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O交BC于D，交AC于E，過D作DF⊥AC于F。（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若AB=5，BC=6，求DF的長?？键c：切線的判定（連接OD，證明OD⊥DF）+等腰三角形性質(zhì)+相似三角形（或面積法）解答：（1）連接OD，OA=OD，故∠OAD=∠ODA。∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB?！逴B=OD，∴∠OBD=∠ODB=∠ABC=∠ACB，∴OD∥AC（同位角相等，兩直線平行）。∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，又OD是⊙O的半徑，∴DF是⊙O的切線。（2）方法一：連接AD，AB是直徑，故∠ADB=90°（直徑所對圓周角為直角），即AD⊥BC?！逜B=AC=5，BC=6，∴BD=DC=3（等腰三角形三線合一），AD=√(AB2-BD2)=√(25-9)=4。S△ADC=1/2×DC×AD=1/2×3×4=6，同時S△ADC=1/2×AC×DF，故6=1/2×5×DF，解得DF=12/5。方法二：由（1）知OD∥AC，OD=OA=AB/2=5/2，BD=3，BC=6，故DC=3，OD=5/2，AC=5，OD∥AC，故△ODB∽△ACB？不對，OD∥AC，故∠ODB=∠ACB=∠ABC，所以O(shè)D=OB=5/2，BD=3，由相似三角形：△ODF∽△ACF？不，直接用平行線分線段成比例：OD∥AC，故BD/BC=OD/AC=3/6=1/2，符合OD=5/2，AC=5，比例1/2。過O作OG⊥AC于G，則OG=DF（矩形ODFG），OG是梯形ODFA的高？不，直接用面積法更簡單，如方法一。答案：（1）略；（2）12/520.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的圓心在原點，半徑為2，點A(4,0)，點B在⊙O上，且∠AOB=60°，點P是x軸上的動點，連接PB，過點B作BC⊥PB交⊙O于C（C與B不重合）。（1）求點B的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點P運動到什么位置時，PC最短？求出此時PC的最小值?？键c：坐標(biāo)與圓（點B坐標(biāo)）+切線的性質(zhì)（BC⊥PB→PB是⊙O的切線？不，BC⊥PB，B在⊙O上，故PB是⊙O的切線嗎？不對，BC⊥PB，B在⊙O上，若C在⊙O上，則PB是⊙O的切線當(dāng)且僅當(dāng)C=B，但C與B不重合，故PB不是切線，而是BC是弦，PB⊥BC，B在⊙O上，故PC是⊙O的切線嗎？不，用幾何性質(zhì)：點C在⊙O上，BC⊥PB，故∠PBC=90°，所以點C在以PB為直徑的圓上（直徑所對圓周角為直角），同時點C在⊙O上，故C是兩圓的交點，要求PC最短，即求點P到⊙O的最短距離？不對，用坐標(biāo)法更直接。解答：（1）點B在⊙O上，半徑為2，∠AOB=60°，A(4,0)在x軸上，故點B的坐標(biāo)為(2cos60°,2sin60°)=(1,√3)或(1,-√3)，取第一象限，故B(1,√3)。（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為(p,0)，p為實數(shù)，點B(1,√3)，BC⊥PB，故向量PB=(1-p,√3)，向量BC=(x-1,y-√3)，其中C(x,y)在⊙O上，即x2+y2=4。由BC⊥PB，得(1-p)(x-1)+√3(y-√3)=0，展開得(1-p)x+√3y-(1-p)-3=0，即(1-p)x+√3y=p-1+3=p+2。這是點C(x,y)滿足的直線方程，同時C在⊙O上，故直線與圓有交點，圓心O到直線的距離d≤半徑2。直線方程為(1-p)x+√3y-(p+2)=0，圓心O(0,0)到直線的距離d=|0+0-(p+2)|/√[(1-p)2+(√3)2]=|p+2|/√[(1-2p+p2)+3]=|p+2|/√(p2-2p+4)。由d≤2，得|p+2|/√(p2-2p+4)≤2，兩邊平方（非負(fù)）得(p+2)2≤4(p2-2p+4)，展開得p2+4p+4≤4p2-8p+16，移項得0≤3p2-12p+12，即p2-4p+4≤0，(p-2)2≤0，故p=2。當(dāng)p=2時，直線方程為(1-2)x+√3y=2+2→-x+√3y=4→x=√3y-4，代入⊙O方程x2+y2=4，得(√3y-4)2+y2=4→3y2-8√3y+16+y2=4→4y2-8√3y+12=0→y2-2√3y+3=0→(y-√3)2=0，解得y=√3，x=√3×√3-4=3-4=-1，故點C(-1,√3)。此時點P(2,0)，點C(-1,√3)，PC的長度為√[(2+1)2+(0-√3)2]=√[9+3]=√12=2√3。驗證：當(dāng)p=2時，PB的坐標(biāo)為P(2,0)，B(1,√3)，PB的斜率為(√3-0)/(1-2)=-√3，BC的坐標(biāo)為B(1,√3)，C(-1,√3)，BC的斜率為(√3-√3)/(-1-1)=0，故PB⊥BC（斜率乘積為-√3×0=0？不對，等下，C(-1,√3)，B(1,√3)，BC是水平線，y=√3，PB的斜率為(√3-0)/(1-2)=-√3，故PB的傾斜角為120°，BC是水