專題10軸對稱綜合題—線段、面積、角度問題（專項培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：中等試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級上冊同步章節(jié)知識點，精選易錯，常考，壓軸類問題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題2分）（2024秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)計劃在直線上修建一個供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）A．B．C． D．2．（本題2分）（2018·天津河北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線是一三象限的角平分線，點的坐標(biāo)為，點是直線上的動點，點是軸上的動點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（本題2分）（2024秋·重慶南川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在網(wǎng)格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影凃在圖中標(biāo)有數(shù)字（）的格子內(nèi)．A．1 B．2 C．3 D．44．（本題2分）（2025春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點，，點C，D分別是，的中點，P是上一動點，則的最小值是（

）

A． B．4 C． D．5．（本題2分）（2025春·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，是中點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．126．（本題2分）（2024秋·新疆烏魯木齊·八年級新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)校考期末）如圖，已知的大小為，是內(nèi)部的一個定點，且，點、分別是、上的動點，若周長的最小值等于，則(

)A． B． C． D．7．（本題2分）（2024秋·全國·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點為軸上一點，當(dāng)?shù)闹底钚r，三角形的面積為(

)A．1 B．6 C．8 D．128．（本題2分）（2024秋·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)需要在某條街道上修建一個核酸檢測點，向居住在，小區(qū)的居民提供核酸檢測服務(wù)，要使到，的距離之和最短，則核酸檢測點符合題意的是（

）A． B．C． D．9．（本題2分）（2024秋·河南信陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．2.4 D．4.810．（本題2分）（2024秋·河北邯鄲·八年級校考階段練習(xí)）如圖，直線m表示一條河，點M、N表示兩個村莊，計劃在m上的某處修建一個水泵向兩個村莊供水．在下面四種鋪設(shè)管道的方案中，所需管道最短的方案是（圖中實線表示鋪設(shè)的管道）（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，點關(guān)于、的對稱軸分別為、，連接，交于，交于．，求．

12．（本題2分）（2024秋·寧夏石嘴山·八年級校考期末）在中，，，，于點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為．13．（本題2分）（2024秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點在上，，點、分別是、上動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，，則的長為.14．（本題2分）（2024秋·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，平分，在上有一點，，現(xiàn)要在上分別找點Q，N，使最小，則其最小值為．15．（本題2分）（2024秋·湖南岳陽·八年級?？计谥校┤鐖D，直線垂直平分的邊，在直線上任取一動點，連結(jié)、、．若，則．若，，則的最小周長是．16．（本題2分）（2025春·河南開封·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在周長為16的菱形中，點E、F分別在邊上，，P為上一動點，則線段長度的最小值為．17．（本題2分）（2025春·湖南婁底·八年級婁底一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，直線m垂直平分，點P為直線m上的動點，則的最小值是．18．（本題2分）（2024秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點，點分別是等邊三角形中，邊的中點，，點是由動點，則的最小值．19．（本題2分）（2024秋·湖北十堰·八年級十堰市實驗中學(xué)校考期中）如圖，等邊中，D為中點，點P、Q分別為上的點，，，在上有一動點E，則的最小值為．

20．（本題2分）（2024秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，AD為中線，點E在中線AD上運(yùn)動，但不與點A，D重合，點在AB上運(yùn)動，但不與點A，B重合，連接BE和EF．則的最小值是．

三、解答題：本大題共8小題，21-22題每小題6分，23-28題每小題8分，共60分．21．（本題6分）（·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖所示．

(1)作出關(guān)于軸對稱的圖形；(2)在軸上確定一點，使得最?。?3)求出的面積．22．（本題6分）（2025春·廣東河源·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖已知平面直角坐標(biāo)系中

(1)在圖中作出關(guān)于軸的對稱圖形，并寫出點，，的坐標(biāo)．(2)在軸上找一點，使最短，并求出點的坐標(biāo)．23．（本題8分）（2024秋·八年級課時練習(xí)）如圖，山娃星期天從處趕了幾只羊到草地吃草，然后趕羊到小河飲水，之后再回到處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請你為他設(shè)計一條最短的路線，標(biāo)明吃草與飲水的位置．

24．（本題8分）（2024秋·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，，分別是，邊的中點，請在對角線上找一點，使的值最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）．

25．（本題8分）（2024秋·山西陽泉·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．

(1)作關(guān)于y軸的軸對稱圖形得，畫出圖形，并直接寫出點的坐標(biāo)；(2)已知點P是x軸上一點，則的最小值是．26．（本題8分）（2025春·四川南充·八年級南部縣第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的對角線在軸上，已知點，，點在上，坐標(biāo)為，，在上求作一點，使得最小

(1)求點的坐標(biāo)；(2)求最小值．27．（本題8分）（2025春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，直線與直線交于點A，兩直線與x軸分別交于點和．

(1)求直線和直線的解析式；(2)點P是y軸上一點，當(dāng)最小時，求點P的坐標(biāo)．28．（本題8分）（2025春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期末）已知直線為，點在上，且，點的坐標(biāo)為．

(1)設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出的取值范圍；(2)當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；(3)在直線上有一點，使的和最小，求點的坐標(biāo)．專題10軸對稱綜合題—線段、面積、角度問題（專項培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時間：120分鐘試卷難度：中等試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級上冊同步章節(jié)知識點，精選易錯，常考，壓軸類問題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點難點類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)化必備！適合成績中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（本題2分）（2024秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線是一條輸氣管道，M，N是管道同側(cè)的兩個村莊，現(xiàn)計劃在直線上修建一個供氣站O，向M，N兩村莊供應(yīng)天然氣．在下面四種方案中，鋪設(shè)管道最短的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離．【詳解】解：作點M關(guān)于直線a的對稱點，連接交直線a于O．根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項C修建的管道，則所需管道最短．故選：C．【點睛】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題．這類問題的解答依據(jù)是“兩點之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別．2．（本題2分）（2018·天津河北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線是一三象限的角平分線，點的坐標(biāo)為，點是直線上的動點，點是軸上的動點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】作點關(guān)于的對稱點，根據(jù)對稱性可得，故欲使最小要保證、、三點共線，則故軸時取得最小值，故此時即為所求．【詳解】∵是一三象限的角分線，∴軸與軸關(guān)于對稱，作點關(guān)于的對稱點，則必在軸上，且，欲使最小，只需最小，欲使最小至少要保證、、三點共線，此時最小值為，恰為點到軸的連接，點到直線的連線中垂線段最短，故軸時取得最小值，此時，故選B．【點睛】此題主要考查對稱性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是作點關(guān)于的對稱點，再根據(jù)對稱性求解．3．（本題2分）（2024秋·重慶南川·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在網(wǎng)格圖中選擇一個格子涂陰影，使得整個圖形是以虛線為對稱軸的軸對稱圖形，則把陰影凃在圖中標(biāo)有數(shù)字（）的格子內(nèi)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】從陰影部分圖形的各頂點向虛線作垂線并延長相同的距離找對應(yīng)點，然后順次連接各點可得答案.【詳解】如圖所示，把陰影涂在圖中標(biāo)有數(shù)字3的格子內(nèi)所組成的圖形是軸對稱圖形.故選：.【點睛】本題考查的是作簡單平面圖形軸對稱后的圖形，其依據(jù)是軸對稱的性質(zhì)，基本作法：①先確定圖形的關(guān)鍵點；②利用軸對稱性質(zhì)作出關(guān)鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順次連接對稱點.4．（本題2分）（2025春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點，，點C，D分別是，的中點，P是上一動點，則的最小值是（

）

A． B．4 C． D．【答案】C【分析】如圖，作點C關(guān)于y軸的對稱點，連接，連接，交y軸于點，由對稱知，，由兩點之間線段最短，可知當(dāng)三點共線時，取最小值；由中位線定理，，，中，，．【詳解】解：如圖，作點C關(guān)于y軸的對稱點，連接，連接，交y軸于點．由對稱知，，∴，當(dāng)三點共線時，，取最小值，

∵C，D分別是，的中點∴，∴中，∴,故選：C．【點睛】本題考查軸對稱，勾股定理，兩點之間線段最短，運(yùn)用軸對稱知識作出輔助線，將求線段和最小值轉(zhuǎn)化為求線段長是解題的關(guān)鍵．5．（本題2分）（2025春·福建漳州·八年級福建省漳州第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，，，，是中點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】連接,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示：連接，，，是中點，∴于點，，垂直平分，點到，兩點的距離相等，的長度的最小值，即的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，知道的長度的最小值是解題的關(guān)鍵．6．（本題2分）（2024秋·新疆烏魯木齊·八年級新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第一中學(xué)校考期末）如圖，已知的大小為，是內(nèi)部的一個定點，且，點、分別是、上的動點，若周長的最小值等于，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點關(guān)于的對稱點為，關(guān)于的對稱點為，當(dāng)點、在上時，的周長為，此時周長最小，根據(jù)可得出是等邊三角形，進(jìn)而可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，關(guān)于的對稱點，連接，交于，于．此時，的周長最?。B接，，，．點與點關(guān)于對稱，垂直平分，，，，同理，可得，，．，，．又的周長，，是等邊三角形，，．故選：A．【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，本題找到點和的位置是解題的關(guān)鍵．要使的周長最小，通常是把三邊的和轉(zhuǎn)化為一條線段，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系解決．7．（本題2分）（2024秋·全國·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，點為軸上一點，當(dāng)?shù)闹底钚r，三角形的面積為(

)A．1 B．6 C．8 D．12【答案】B【分析】如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交x軸于點，連接，此時的值最小，進(jìn)而根據(jù)，即可求解．【詳解】如圖，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交x軸于點，連接，此時的值最小，由圖可知，點坐標(biāo)為（-1，0），∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（本題2分）（2024秋·河北邢臺·八年級?？茧A段練習(xí)）現(xiàn)需要在某條街道上修建一個核酸檢測點，向居住在，小區(qū)的居民提供核酸檢測服務(wù)，要使到，的距離之和最短，則核酸檢測點符合題意的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】作A點關(guān)于直線l的對稱點，連接對稱點和點B交l于點P，進(jìn)而根據(jù)軸對稱性質(zhì)解答即可．【詳解】解：作A點關(guān)于直線l的對稱點，連接對稱點和點B交l于點P，P即為所求；故選：A．【點睛】此題考查軸對稱中的最短路線問題，關(guān)鍵是作A點關(guān)于直線l的對稱點．9．（本題2分）（2024秋·河南信陽·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，，是的平分線．若P，Q分別是和上的動點，則的最小值是（

）A．8 B．6 C．2.4 D．4.8【答案】D【分析】由題意可以把Q反射到的O點，如此的最小值問題即變?yōu)镃與線段上某一點O的最短距離問題，最后根據(jù)“垂線段最短”的原理得解．【詳解】解：如圖，作Q關(guān)于的對稱點O，連接，過點C作于點M，則，所以O(shè)、P、C三點共線時，，此時有可能取得最小值，∵當(dāng)垂直于即移到位置時，的長度最小，∴的最小值即為的長度，∵，∴，即的最小值為，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查了軸對稱最短路徑問題，垂線段最短，通過軸反射把線段和最小的問題轉(zhuǎn)化為線段外一點到線段某點連線段最短問題是解題關(guān)鍵．10．（本題2分）（2024秋·河北邯鄲·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，直線m表示一條河，點M、N表示兩個村莊，計劃在m上的某處修建一個水泵向兩個村莊供水．在下面四種鋪設(shè)管道的方案中，所需管道最短的方案是（圖中實線表示鋪設(shè)的管道）（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離．【詳解】解：作點M關(guān)于直線m的對稱點，連接交直線m于Q，根據(jù)兩點之間，線段最短，可知選項D修建的管道最短，故選：D．【點睛】本題主要考查了最短路徑問題，這類問題的解答依據(jù)是“兩點之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別．二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.11．（本題2分）（·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，點關(guān)于、的對稱軸分別為、，連接，交于，交于．，求．

【答案】/88度【分析】首先求出證明，，，推出，可得結(jié)論．【詳解】解：∵關(guān)于、的對稱軸分別為、，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查軸對稱，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．12．（本題2分）（2024秋·寧夏石嘴山·八年級校考期末）在中，，，，于點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為．【答案】6【分析】連接,根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)以及軸對稱的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示：連接，，，于點，，垂直平分，點到，兩點的距離相等，的長度的最小值，即的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱?最短路線問題，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，知道的長度的最小值是解題的關(guān)鍵．13．（本題2分）（2024秋·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點在上，，點、分別是、上動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，，則的長為.【答案】【分析】根據(jù)動點的運(yùn)動，當(dāng)點、、（關(guān)于的對稱點）三點共線且于點時，的值最小，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】如圖所示，以為對稱軸作，的對稱點為；∴，當(dāng)、、三點共線且時，的值最小，∵，，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為．【點睛】本題考查軸對稱最短路徑問題，等邊三角形和直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱最短路徑問題，等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形中，所對的直角邊是斜邊的一半．14．（本題2分）（2024秋·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知，平分，在上有一點，，現(xiàn)要在上分別找點Q，N，使最小，則其最小值為．【答案】【分析】作M關(guān)于的對稱點P，過點P作于N，交于Q，則此時的值最小，可求，，，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】作M關(guān)于的對稱點P，過點P作于N，交于Q，則此時的值最小，∵，平分，在上有一點，∴關(guān)于對稱，∴點P在上，∴，，，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了含角的直角三角形的性質(zhì)，軸對稱—最短路線問題，垂線段最短的應(yīng)用，能夠確定的位置是解題的關(guān)鍵．15．（本題2分）（2024秋·湖南岳陽·八年級?？计谥校┤鐖D，直線垂直平分的邊，在直線上任取一動點，連結(jié)、、．若，則．若，，則的最小周長是．【答案】【分析】根據(jù)直線是邊的垂直平分線，則，最小，此時的周長有最小值為，進(jìn)而即可求解．【詳解】當(dāng)直線與的交點為時即點移到上時，如圖，直線是邊的垂直平分線，，，此時最小，的周長，此時的周長有最小值為，，，周長的最小值為【點睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（本題2分）（2025春·河南開封·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在周長為16的菱形中，點E、F分別在邊上，，P為上一動點，則線段長度的最小值為．【答案】【分析】在上截取，連接，則與的交點為，的長就是的最小值，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵菱形的周長為，∴，在上截取，連接，則與的交點為．∴，∴，即的長就是的最小值，，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱，理解菱形的性質(zhì)，對角線所在的直線是菱形的對稱軸是關(guān)鍵．17．（本題2分）（2025春·湖南婁底·八年級婁底一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，直線m垂直平分，點P為直線m上的動點，則的最小值是．【答案】2【分析】根據(jù)直線m垂直平分，得到點A與C關(guān)于直線m對稱，設(shè)直線m與的交點為D，當(dāng)點P與D重合時，的值最小，且最小值是的長度，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】解：∵直線m垂直平分，∴點A與C關(guān)于直線m對稱，設(shè)直線m與的交點為D，當(dāng)點P與D重合時，的值最小，此時則最小值是的長度，∵在中，，，，∴，∴的最小值是2，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題，含30度角的直角三角形以及線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到點P所在的位置．18．（本題2分）（2024秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知點，點分別是等邊三角形中，邊的中點，，點是由動點，則的最小值．【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出等邊三角形的邊長為，連接，，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得出，當(dāng)在線段上時，取得最小值，最小值為的長，勾股定理即可求解．【詳解】解：∵點，點分別是等邊三角形中，邊的中點，，∴，又∴是等邊三角形，∴，∴,，如圖，連接，，則，當(dāng)在線段上時，取得最小值，最小值為的長，∵為的中點，∴∴即的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，含度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運(yùn)用，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．19．（本題2分）（2024秋·湖北十堰·八年級十堰市實驗中學(xué)校考期中）如圖，等邊中，D為中點，點P、Q分別為上的點，，，在上有一動點E，則的最小值為．

【答案】【分析】作點Q關(guān)于的對稱點，連接交于E，連接，此時的值最?。钚≈担驹斀狻咳鐖D，∵是等邊三角形，∴，∵D為中點，∴作點Q關(guān)于的對稱點，連接交于E，連接，此時的值最?。钚≈担?/p>

∵，，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考?？碱}型．20．（本題2分）（2024秋·山西晉城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，AD為中線，點E在中線AD上運(yùn)動，但不與點A，D重合，點在AB上運(yùn)動，但不與點A，B重合，連接BE和EF．則的最小值是．

【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得，得到點B、點C關(guān)于直線對稱，過C作交于F，則此時的值最小，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：，點D是的中點，，∴點B、點C關(guān)于直線對稱，過C作交于E，則此時的值最小，

，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，垂線段最短，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，利用垂線段最短來解答本題．三、解答題：本大題共8小題，21-22題每小題6分，23-28題每小題8分，共60分．21．（本題6分）（·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖所示．

(1)作出關(guān)于軸對稱的圖形；(2)在軸上確定一點，使得最??；(3)求出的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可；（2）過軸作點的對稱點，連接，與軸交于點，此時點即為所求；（3）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．作法：1．關(guān)于軸的對稱點分別為，2．順次連接，故即為所求．

（2）解：如（1）中圖，點P即為所求．作法：1．作點關(guān)于軸的對稱點，2．連接交軸于點，故點P即為所求．（3）解：∴的面積為．【點睛】本題考查作圖﹣軸對稱變換、軸對稱﹣最短路線問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．22．（本題6分）（2025春·廣東河源·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖已知平面直角坐標(biāo)系中

(1)在圖中作出關(guān)于軸的對稱圖形，并寫出點，，的坐標(biāo)．(2)在軸上找一點，使最短，并求出點的坐標(biāo)．【答案】(1)圖見解析，(2)【分析】（1）找出三個頂點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)，再連接對稱點即可得到，根據(jù)坐標(biāo)系寫出點，，的坐標(biāo)即可求解；（2）連接，交軸于，這時最短，利用待定系數(shù)法先求出直線的解析式，再求出與軸的交點即可．【詳解】（1）解：如圖所示，作的三個頂點關(guān)于軸的對稱點坐標(biāo)連接、、即得到，

（2）連接，交軸于，這時最短，

設(shè)直線解析式為：，直線經(jīng)過和，，解得：，直線解析式為：，當(dāng)時，，【點睛】本題結(jié)合最短問題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，軸對稱圖形性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵．23．（本題8分）（2024秋·八年級課時練習(xí)）如圖，山娃星期天從處趕了幾只羊到草地吃草，然后趕羊到小河飲水，之后再回到處的家，假設(shè)山娃趕羊走的都是直路，請你為他設(shè)計一條最短的路線，標(biāo)明吃草與飲水的位置．

【答案】見解析【分析】作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接，分別交，于點，，即可得出答案．【詳解】解：如圖，作點關(guān)于的對稱點，點關(guān)于的對稱點，連接，分別交，于點，．

點為吃草的位置，點為飲水的位置，則是他走的最短路線．【點睛】本題考查軸對稱-最短問題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（本題8分）（2024秋·八年級課時練習(xí)）如圖，四邊形為正方形，，分別是，邊的中點，請在對角線上找一點，使的值最?。ú粚懽鞣?，保留作圖痕跡）．

【答案】見解析【分析】連接交于O，連接并延長交于T，由對稱軸的性質(zhì)可知當(dāng)點P與點O重合時，的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示，點即為所求．連接交于O，連接并延長交于T，由正方形的對稱性可知關(guān)于對稱，∴，∴，∴當(dāng)三點共線時，最小，即最小，此時點P與點O重合．

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱最短路徑問題，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．25．（本題8分）（2024秋·山西陽泉·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，．

(1)作關(guān)于y軸的軸對稱圖形得，畫出圖形，并直接寫出點的坐標(biāo)；(2)已知點P是x軸上一點，則的最小值是．【答案】(1)畫圖見解析，(2)10【分析】（1）分別確定A，B，C關(guān)于y軸對稱的對稱點，，，再順次連接即可，再根據(jù)的位置可得其坐標(biāo)；（2）如圖，作關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于，可得，則，此時最短，再利用勾股定理進(jìn)行計算即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作的三角形；∴．（2）如圖，作關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于，∴，∴，此時最短，

如圖，構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可得：，∴的最小值是10．【點睛】本題考查的是畫軸對稱，坐標(biāo)與圖形，利用軸對稱的性質(zhì)求解線段和的最小值，熟練的運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)進(jìn)行畫圖是解本題的關(guān)鍵．26．（本題8分）（2025春·四川南充·八年級南部縣第二中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的對角線在軸上，已知點，，點在上，坐標(biāo)為，，在上求作一點，使得最小

(1)求點的坐標(biāo)；(2)求最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，交于點，連接，則，則點即為所求，進(jìn)而求得的坐標(biāo)，得出的直線解析式，即可求解；（2）勾股定理求得的長，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，交于點，連接，則，

∴