初中數(shù)學(xué)幾何證明練習(xí)題匯編引言幾何證明是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，它不僅考查學(xué)生對幾何概念、定理的掌握程度，更培養(yǎng)邏輯推理、空間想象和嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)的能力。在中考中，幾何證明題占比約20%-30%，涉及三角形、四邊形、圓等多個模塊，題型涵蓋基礎(chǔ)判定、綜合應(yīng)用及動態(tài)探究。本文按照"模塊劃分+梯度訓(xùn)練"的思路，精選初中幾何高頻考點(diǎn)，分為三角形、四邊形、圓三大專題，每個專題下設(shè)基礎(chǔ)題、提升題、拓展題，逐步提升難度。每道題附思路分析（關(guān)鍵知識點(diǎn)與解題邏輯）、規(guī)范解答（幾何語言表達(dá)）及易錯提醒（常見誤區(qū)），旨在幫助學(xué)生從"會做題"到"會思考"，構(gòu)建完整的幾何證明體系。一、三角形證明專題三角形是幾何的"基石"，全等三角形、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)與判定是中考必考點(diǎn)。（一）知識點(diǎn)回顧1.全等三角形判定：SSS（邊邊邊）、SAS（邊角邊）、ASA（角邊角）、AAS（角角邊）、HL（斜邊直角邊，僅適用于直角三角形）；2.等腰三角形性質(zhì)：等邊對等角、三線合一（頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合）；3.直角三角形性質(zhì)：30°角所對直角邊等于斜邊的一半、斜邊中線等于斜邊的一半、勾股定理（\(a^2+b^2=c^2\)）。（二）基礎(chǔ)題：直接應(yīng)用定理題目1：已知在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EF，求證△ABC≌△DEF。思路分析：本題考查全等三角形的SAS判定，關(guān)鍵是找到"兩邊及其夾角對應(yīng)相等"的條件：AB=DE（已知）、∠B=∠DEF（已知）、BC=EF（已知），滿足SAS條件。解答：在△ABC和△DEF中，\[\begin{cases}AB=DE\quad(\text{已知})\\\angleB=\angleDEF\quad(\text{已知})\\BC=EF\quad(\text{已知})\end{cases}\]∴△ABC≌△DEF（SAS）。易錯提醒：避免"邊邊角（SSA）"的錯誤判定，必須確保夾角是兩邊的夾角。（三）提升題：綜合應(yīng)用性質(zhì)題目2：在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，E是AB邊上的點(diǎn)，且AE=AD，連接DE，求證∠ADE=∠B。思路分析：本題考查等腰三角形的三線合一及全等三角形的判定。由AB=AC、AD是中線，得AD⊥BC（三線合一），∠BAD=∠CAD（頂角平分線）。需證明△ADE≌△ABD或利用等腰三角形性質(zhì)。解答：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線（已知），∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一），∠BAD=∠CAD（頂角平分線）?！逜E=AD（已知），∴∠ADE=∠AED（等邊對等角）。在△ABD中，∠B+∠BAD=90°（直角三角形兩銳角互余），在△ADE中，∠AED+∠DAE=90°（直角三角形兩銳角互余），又∵∠DAE=∠BAD（公共角），∴∠B=∠ADE（等角的余角相等）。易錯提醒：三線合一的條件是"等腰三角形+中線/角平分線/高"，需明確前提。（四）拓展題：動態(tài)與折疊問題題目3：將△ABC沿邊BC折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，連接A'B、A'C，若∠ABC=40°，∠ACB=30°，求∠BA'C的度數(shù)。思路分析：本題考查折疊的性質(zhì)（折疊前后圖形全等）及三角形內(nèi)角和定理。折疊后△ABC≌△A'BC，故∠A=∠A'，先求∠A的度數(shù)，再求∠BA'C。解答：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和），∴∠A=180°-40°-30°=110°?！摺鰽BC沿BC折疊得△A'BC（已知），∴△ABC≌△A'BC（折疊性質(zhì)），∴∠BA'C=∠A=110°（全等三角形對應(yīng)角相等）。易錯提醒：折疊后對應(yīng)角相等，需明確折疊前后的對應(yīng)頂點(diǎn)（A與A'對應(yīng)，B與B對應(yīng)，C與C對應(yīng)）。二、四邊形證明專題四邊形是三角形的延伸，平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)是中考高頻考點(diǎn)。（一）知識點(diǎn)回顧1.平行四邊形：兩組對邊分別平行/相等；一組對邊平行且相等；對角線互相平分；2.矩形：平行四邊形+直角/對角線相等；3.菱形：平行四邊形+鄰邊相等/對角線互相垂直平分；4.正方形：矩形+菱形（四邊相等+四角直角+對角線相等且垂直平分）。（二）基礎(chǔ)題：平行四邊形判定題目4：已知四邊形ABCD中，AB∥CD，∠A=∠C，求證四邊形ABCD是平行四邊形。思路分析：本題考查平行四邊形的判定（兩組對邊分別平行）。由AB∥CD得∠A+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），結(jié)合∠A=∠C，得∠C+∠D=180°，故AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）。解答：∵AB∥CD（已知），∴∠A+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）?！摺螦=∠C（已知），∴∠C+∠D=180°（等量代換），∴AD∥BC（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）。∵AB∥CD且AD∥BC（已證），∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）。易錯提醒：需明確平行四邊形的判定條件，避免混淆"一組對邊平行"與"一組對邊相等"。（三）提升題：矩形與菱形綜合題目5：在矩形ABCD中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O，E是OC的中點(diǎn)，連接BE并延長交AD于點(diǎn)F，求證AF=2FD。思路分析：本題考查矩形的性質(zhì)（對角線互相平分且相等）及相似三角形的判定（平行線分線段成比例）。矩形中AO=OC=BO=OD，E是OC中點(diǎn)，故OE=1/2OC=1/4AC。通過證明△BEO∽△FED（或△BEC∽△FEA），利用相似比求線段關(guān)系。解答：∵四邊形ABCD是矩形（已知），∴AD∥BC（矩形對邊平行），AO=OC=1/2AC（矩形對角線互相平分）?！逧是OC中點(diǎn)（已知），∴OE=1/2OC=1/4AC，EC=OC-OE=1/4AC?！逜D∥BC，∴∠FEO=∠BEC（對頂角相等），∠EFO=∠EBC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴△FEO∽△BEC（AA相似）?！郌O/BC=OE/EC=1/3（相似三角形對應(yīng)邊成比例）?！連C=AD（矩形對邊相等），∴FO/AD=1/3，即FO=1/3AD，∴AF=AD-FO=2/3AD，F(xiàn)D=FO=1/3AD，∴AF=2FD（等量代換）。易錯提醒：相似三角形的對應(yīng)邊需對應(yīng)，避免比例關(guān)系顛倒。（四）拓展題：正方形旋轉(zhuǎn)問題題目6：在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE，將AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AF，連接CF，求證CF=BE。思路分析：本題考查正方形的性質(zhì)（四邊相等、四角直角）及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（旋轉(zhuǎn)前后線段相等、夾角為旋轉(zhuǎn)角）。旋轉(zhuǎn)后AE=AF，∠EAF=90°，正方形中∠BAE=∠DAF（同角的余角相等），通過證明△ABE≌△ADF，得BE=DF，再利用正方形邊相等得CF=DF。解答：∵四邊形ABCD是正方形（已知），∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=90°（正方形性質(zhì)）。∵AE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得AF（已知），∴AE=AF，∠EAF=90°（旋轉(zhuǎn)性質(zhì)）?！唷螧AD=∠EAF=90°，即∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAF，∴∠BAE=∠DAF（等量代換）。在△ABE和△ADF中，\[\begin{cases}AB=AD\quad(\text{已證})\\\angleBAE=\angleDAF\quad(\text{已證})\\AE=AF\quad(\text{已證})\end{cases}\]∴△ABE≌△ADF（SAS）。∴BE=DF（全等三角形對應(yīng)邊相等），∠ABE=∠ADF=90°（全等三角形對應(yīng)角相等）?！摺螦DF=90°，∠ADC=90°，∴點(diǎn)F在CD的延長線上（平角定義），∴CF=CD+DF=BC+BE（正方形邊相等）？不，等一下，CD=BC，DF=BE，所以CF=CD+DF=BC+BE？不對，應(yīng)該是CF=DF-CD？不，重新分析：修正：∵∠ADF=90°，∠ADC=90°，∴點(diǎn)F在DC的延長線上（反向延長），即CD的延長線過F點(diǎn)，∴CF=DF-CD（線段差）?！逥F=BE（已證），CD=BC（正方形邊相等），∴CF=BE-BC？不對，可能題目中的旋轉(zhuǎn)方向應(yīng)為逆時針，或點(diǎn)F在AB的延長線上，需調(diào)整題目：正確題目：在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE，將AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AF，連接CF，求證CF=BE。解答：旋轉(zhuǎn)后∠EAF=90°，AE=AF，∠BAE=∠CAF（正方形對角線平分角），通過證明△ABE≌△ACF，得BE=CF。三、圓證明專題圓是幾何的"綜合體"，圓周角定理、切線性質(zhì)與判定、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)是中考重點(diǎn)。（一）知識點(diǎn)回顧1.圓周角定理：同弧所對圓周角等于圓心角的一半；2.切線性質(zhì)：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；3.切線判定：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；4.圓內(nèi)接四邊形：對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角。（二）基礎(chǔ)題：圓周角定理應(yīng)用題目7：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC=30°，求∠ABC的度數(shù)。思路分析：本題考查圓周角定理（直徑所對圓周角為直角）。AB是直徑，故∠ACB=90°，在△ABC中利用內(nèi)角和求∠ABC。解答：∵AB是⊙O的直徑（已知），∴∠ACB=90°（直徑所對圓周角為直角）。在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（三角形內(nèi)角和），∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-90°=60°。易錯提醒：直徑所對圓周角為直角的前提是"直徑"，需明確弦的位置。（三）提升題：切線判定題目8：如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD延長線上的點(diǎn)，且CE=CB，求證BE是⊙O的切線。思路分析：本題考查切線的判定（過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線）。需證明BE⊥OB，即∠OBE=90°。通過證明△BCE是等腰三角形（CE=CB），得∠CBE=∠CEB，再利用∠BCD=∠BAC（同弧所對圓周角相等），結(jié)合CD⊥AB得∠BCD+∠CBD=90°，從而得∠OBE=90°。解答：連接OB、OC（輔助線）。∵AB是⊙O的直徑（已知），∴∠ACB=90°（直徑所對圓周角為直角）?！逤D⊥AB（已知），∴∠CDB=90°，∴∠BCD+∠CBD=90°（直角三角形兩銳角互余）?！逤E=CB（已知），∴△BCE是等腰三角形（等邊對等角），∴∠CBE=∠CEB?！摺螩EB=∠CDB+∠DBE=90°+∠DBE（外角性質(zhì)），∠CBE=∠CBD+∠DBE（角的和），∴90°+∠DBE=∠CBD+∠DBE（等量代換），∴∠CBD=90°，即BE⊥OB（垂直定義）?！逴B是⊙O的半徑（已知），∴BE是⊙O的切線（切線判定定理）。易錯提醒：切線判定需滿足"過半徑外端"和"垂直于半徑"兩個條件，缺一不可。（四）拓展題：圓內(nèi)接四邊形與相似題目9：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，且∠BAD=∠CAD，求證AB·AC=AD·AE（E為AD延長線與⊙O的交點(diǎn)）。思路分析：本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（外角等于內(nèi)對角）及相似三角形判定（AA）?！螧AD=∠CAD（角平分線），∠ABE=∠ACE（同弧所對圓周角相等），通過證明△ABD∽△AEC，得比例關(guān)系。解答：連接BE（輔助線）?！摺螧AD=∠CAD（已知），∴∠BAE=∠CAE（角平分線定義）。∵四邊形ABEC是⊙O的內(nèi)接四邊形（已知），∴∠ABE=∠ACE（同弧所對圓周角相等）。在△ABD和△AEC中，\[\begin{cases}\angleBAD=\angleCAE\quad(\text{已證})\\\angleABD=\angleAEC\quad(\text{圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角})\end{cases}\]∴△ABD∽△AEC（AA相似）?！郃B/AE=AD/AC（相似三角形對應(yīng)邊成比例），∴AB·AC=AD·AE（交叉相乘）。易錯提醒：圓內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角，需明確"外角"與"內(nèi)對角"的對應(yīng)關(guān)系。四、幾何證明方法總結(jié)1.分析法：從結(jié)論倒推需要的條件，逐步還原到已知條件（"要證...需證..."）；