24.1.2垂直于弦的直徑學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索圓的對(duì)稱性，進(jìn)而得到垂徑定理及其推論；2.能利用垂徑定理及其推論解決相關(guān)證明、計(jì)算及實(shí)際問題；3.經(jīng)歷探索垂徑定理及其推論的過程，發(fā)展推理能力，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度；4.進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法；培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索，相互合作交流的精神，并體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣.垂直于弦的直徑趙州橋37m7.23m你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？觀察思考趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.1.思考：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直是不是，因?yàn)镃D沒有過圓心

預(yù)習(xí)展示●OABCDM└2.如圖，AB是⊙O的一條弦，CD是⊙O的直徑,CD⊥

AB于點(diǎn)M,下列說法錯(cuò)誤的是（）AM=BMB.AD=BDC.CM=OMD.⌒⌒

AC=BC.C

如果把垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。┙Y(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？合作探究·OAA′CDM探究二：如圖，AA′是⊙O的一條弦，直徑

CD⊥AA′，

垂足為

M.

你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些相等的線段和劣弧?為什么?線段：AM=A′M?。?/p>

理由如下：把圓沿著直徑

CD

折疊時(shí)，CD

兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)

A

與點(diǎn)

A′

重合，AM與

A′M

重合，

和

，

與

重合．垂徑定理·OAA′CDM垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.劣弧優(yōu)弧∵CD是⊙O的直徑，CD⊥AA′，(條件)推導(dǎo)格式：你能用幾何語(yǔ)言表示嗎？定義總結(jié)∴AM=A′M，(結(jié)論)想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說明為什么？是不是，因?yàn)闆]有垂直.是不是，因?yàn)?/p>

AB，CD都不是直徑.OABCABOEABDCOEABOCDE

如圖,C為弦AB的中點(diǎn),CD=8,AB=32.求☉O的半徑.

垂徑定理及其推論的應(yīng)用

一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊,其中一塊如圖所示,測(cè)得弦AB長(zhǎng)20cm,弓形高CD為2cm,則鏡面半徑為____cm.

26

某水平放置的圓柱形排水管道的截面是直徑為1m的圓,如圖所示.若水面寬AB=0.8m,則水的最大深度為_______.

0.8m如圖，AA′是⊙O的一條弦，直徑

CD

平分弦

AA′

于點(diǎn)

M.（1）CD⊥AA′

嗎？為什么？（2）·OAA′CDM解：(1)連接

AO、A′O，則

AO=A′O.又∵AM=A′M，∴∠AMO=∠A′MO=90°.∴

CD⊥AA′.∴△AOM≌△A′OM(SSS).

與

相等嗎？

與

相等嗎？為什么？證明舉例(2)由垂徑定理可得歸納總結(jié)垂徑定理的推論

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.·OABCD“不是直徑”這個(gè)條件能去掉嗎？

如果不能，請(qǐng)舉出反例.圓的兩條直徑是互相平分的.特別說明：垂徑定理的本質(zhì)是：滿足其中任兩條，必定同時(shí)滿足另三條（1）一條直線過圓心（2）這條直線垂直于弦（3）這條直線平分不是直徑的弦（4）這條直線平分不是直徑的弦所

對(duì)的優(yōu)?。?）這條直線平分不是直徑的弦所

對(duì)的劣弧知二推三課堂小結(jié)1、這節(jié)課你有什么收獲？

2、你還有哪些疑惑？達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.如圖，已知⊙Ｏ的半徑為5cm，一條弦AB的長(zhǎng)為8cm，則圓心O到這條弦的距離為

cm。2.（2014·濰坊，）如圖，⊙O的直徑AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足為P，且BP：AP＝1：5，則CD的長(zhǎng)為（）．A．B．C．D．·oＡＢ

3.如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，⊙P與x軸交于O,A兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6,0），⊙P的半徑為，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為___________4.(2014浙江省衢州）工程上常用鋼珠來測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm，測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm，如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長(zhǎng)度為

mm.1.如圖

a、b，一弓形弦長(zhǎng)為cm，弓形所在的圓的半徑為

7cm，則弓形的高為＿_(dá)＿＿_(dá)___cm.C圖b

DCBOADOAB圖a2或

12

指弦中點(diǎn)到弦所對(duì)的弧中點(diǎn)的距離練一練2.地震造成小區(qū)的圓柱形供水管道損壞，現(xiàn)在工人師傅要為我們換管道，如圖，他測(cè)量出管道有積水部分的最大深度是2cm，水面的寬度為8cm，這個(gè)工人師傅想了又想，也不知道該用多大的水管來替換，你能幫他解決這個(gè)問題嗎?解：過

O

作

OD⊥AB于

D

交圓上于點(diǎn)E.

由題意，得

DE=2cm，AB=8cm.∵OD⊥AB，∴AD=DB=4cm.設(shè)圓形水管半徑為

rcm.在Rt△ODA中，42+(r-

2)2=r2，即

r=5cm.故應(yīng)該用半徑為5cm的圓柱形水管替換.垂徑定理內(nèi)容推論輔助線一條直線滿足:①過圓心;②垂直于弦;