【課標要求】(1)了解函數(shù)的含義；(2)在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；(3)了解簡單的分段函數(shù)，并會簡單應用.知識點一函數(shù)的基本概念1.函數(shù)的概念一般地，設A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定三要素對應關系定義域x的取值范圍2.同一個函數(shù)(1)前提條件：①定義域相同;②對應關系完全一致(2)結論：這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.結論直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=f(x)的圖象至多有1個交點.【例1】(1)〔多選〕下列說法中正確的有(BC)B.函的定義域是(-1,0)U(0,+∞)C.f(x)=x2-2x+1與g(t)=t2-2t+1(2)(人A必修一P65例2改編)設函數(shù)則函數(shù))的定義域為(C)A.(一∞,2)B.[2,+∞]C.(一∞,6)D.(6,+∞)解析：(1)對于A,函數(shù)的定義：域為(一∞,0)U(0,+∞),函數(shù)的定義域為R,兩函數(shù)的定義域不同，所以不是同一個函數(shù)，故A錯誤；對于B,由題意，在解得x≥-1且x≠0,故B正確；對于C,函數(shù)f(x)=x2-2x+1與g(t)=t2-2t+應關系都相同，所以兩函數(shù)是同一個函數(shù)，故C正確；對于D,由f(x)=Ix-1|—x,可得所以6].規(guī)律方法1.求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應使實際問題有意義.2.求復合函數(shù)定義域的方法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則復合函數(shù)f[g(x)]的定)下列所給圖象是函數(shù)圖象的是(CD)解析：(1)由結論知，選項A、B均不是函數(shù)圖象，C、D是函數(shù)圖象.O≤x≤6,所以函數(shù)y=f(x-1)的定義域為[0,6].1.若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).2.分段函數(shù)表示的是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集,其值域等于各段函數(shù)的值【例2】(1)〔多選〕(2025·佛山模擬)已知函數(shù)則下列結論A.f(x)的定義域為R解析：(2)由題意知，當m≤1時，f(m)=2m+1-8=-12,得2m+1=-4,又2m+1>0,所以方程無解；當m>規(guī)律方法1.根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解.2.已知函數(shù)值或函數(shù)的取值范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.提醒當分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應分類討論.(2)若函的值域為R,則實數(shù)m的取值范圍為(一∞,—1)·解析：(1)因為所以f(1)=-1,f(一1)=f(一1+3)=f(2)=0,所以f+2的值域應包含[一∞,4],所以m<0且f(-2)=-2m+2≥4,解得m≤-1.提能點C.x2-1(x≥1)D.√x-1(解析：(1)法一(換元法)令t=√x+1,t≥1,則r2=(√x+1)2=x+2√x+1,(t)=t-1,t≥1,即f(x)=x2—1,x≥1.故選C.故f(x)=x2-1,x≥1.(2)(2025·濰坊一模)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,則f(x)的解析式為A.f(x)=x+6B.f(x)=x+7C.f(x)=2x+6D.f(x)=2x+7解析：(2)(待定系數(shù)法)∵f(x)是一次函數(shù)，可設一聯(lián)立兩式可得法一法二換元法法三待定系數(shù)法法四由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關從中求出x=φ(t),然后代入解析式求出f(t),的取值范圍x=1—t,∵f(1—sinx)=cos2x=1—sin2x,∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2],即f(x)=2x-x2,x∈[0,2].課時跟蹤檢測解析：A函數(shù)有意義，等價于解得x≤0,故函數(shù)的定義域為(一∞,解析：D,從而可知函數(shù)的值域為(一∞,3.(2025·重慶調(diào)研)已知函數(shù)f(x+2)=x2-3x+4,則f(1)=()A.44.已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿A.0解析：B由題設，當x>0時，f(x)=f(x-3),即當x>0時，函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù)，則f(2025)=f(3×675)=f(0)=log?2=1.5.如圖，四棱柱ABCD-A'B'CD'是一個無水游泳池，是由一個長方體切掉一個三棱柱得到的.現(xiàn)在向游泳池內(nèi)注水，如果進水速度是均勻的(單位時間內(nèi)注入的水量不變),水面與AB的交點為M,則AM的高度h隨時間t變化的圖象可能是()ABCD解析：A由題意可知，當往游泳池內(nèi)注水時，游泳池內(nèi)的水呈“直棱柱”狀，且直棱柱的高不變，剛開始水面面積逐漸增大，水面的高度增長得越來越慢，當水面經(jīng)過點D后，水面的面積為定值，水的高度勻速增長，故符合條件的函數(shù)圖象為選項A.解得,綜上x≤-1n2或0<x≤√e,故選A.7.設函數(shù)則滿足f(x+2)<f(2x)的x的取值范圍為()合題意.綜上x的取值范圍為(2,+∞).二、多項選擇題8.(2025·六安一模)南北朝時期杰出的數(shù)學家、天文學家祖沖之對圓周率數(shù)值的精確推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻，后人將“這個精確推算值”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”,簡稱“祖率”.已知圓周率π=3.141592653589793…,如果記圓周率π小數(shù)點后第n位數(shù)字為f(n),則下列說法正確的是()A.y=f(n),n∈N*是一個函數(shù)D.f(n)={0,1,2,3,4,5,6,解析：ACD對于選項A:對于任意n∈N*,均存在唯一的f(n)與之對應，符合函數(shù)的定義，可知y=f(n),于選項D:由f(n)為圓周率π小數(shù)點后第n位數(shù)字，可知f(n)∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},9.(2025·龍巖期末)已知函數(shù)y=f(x)的圖象由如圖所示的兩段線段組成，則()B.不等式f(x)≤1的解集為C.函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2解析：BD根據(jù)題意，由圖象可得，在區(qū)間[0,3]上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過點(0,3)和(3,0),則其方程為f(x)=3-x(O≤x≤3),在區(qū)間[3,4]上，函數(shù)圖象為線段，經(jīng)過點(3,0)和(4,3),設f(x)=kx+解析：因為函數(shù)y=f(2x)的定義域為[-2,4],則-2≤x≤4,可得-4≤2x≤8,所以函數(shù)y=f(x)的定義域為[-4,8],對于函數(shù)y=f(x)一f(一x),則有解得—4≤x≤4,因此，函數(shù)y=f(x)一f(一x)的定義域為[-4,4].解析：由①,得②,由①②得,則f(1則),所以,故(x≠1).·值范圍為(0,1)u[√2,+∞).(1)已知f(f(x))=4x+9,且f(x)為一次函數(shù)，求f(x);解：(1)∵f(x)為一次函數(shù)，∴設f(x)=kx+b(k≠0),(2)已知函數(shù)f(x2+1)=x?,求f(x).解：(2)f(x2+1)=x?=(x2+1)2-2(x2+1)+1,且x2+1≥1,∴f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,x≥1.14.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離.在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米時)滿足下列關系：(m,n是常數(shù)).如圖是根據(jù)多次實驗數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y(米)與汽車的車速x(千米時)的關系圖.18.6.解：(1)由題意及函數(shù)圖象，(x≥0).解得,n=0,所以(x≥0).(2)如果要求剎車距離不超過25.2米，求行駛的最大速度.因為x≥0,所以0≤x≤70.故行駛的最大速度是70千米/時.拓廣探索則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是()解析：B令t=x-1,則x=t+1,原不等式轉化為(t+1)·f(t)≥0,①當t=-1或0時顯然成立；②由0]U(2,+∞),則原不等式的解集為(一∞,-1]U[0,1]U[3,+∞),故選B.16.(2025·濟南一模)已知集合A={u(x)Iu(x)=ax2-(a+b)x+b,a,b∈R},函數(shù)f(x)=x2-1.若函數(shù)g(x)滿足：對任意u(x)∈A,