專題12.13角的角平分線的性質(zhì)（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．掌握角平分線的性質(zhì)，理解三角形的三條角平分線的性質(zhì)．2．掌握角平分線的判定及角平分線的畫法，并能根據(jù)尺規(guī)作圖解決實際問題.3.熟練運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決問題．【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

幾何語言：∵DC平分∠ADB,又∵PE⊥AD,PF⊥BD,垂足為E、F，∴PE=PF特別指出：解題時一定要寫上E⊥AD,PF⊥BD這個條件要點(diǎn)二、角的平分線的判定角平分線的判定：在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.幾何語言：∵PE⊥DA,PF⊥DB,垂足為E、F，又∵PE=PF∴DC平分∠ADB,即點(diǎn)P在∠ADB的平分線上。要點(diǎn)三、角的平分線的尺規(guī)作圖角平分線的尺規(guī)作圖

（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交角的兩邊D、E.

（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

（3）作射線OC.∴射線OC即為所求.要點(diǎn)四、三角形角平分線的性質(zhì)三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，此點(diǎn)叫做這個三角形的內(nèi)心，三角形內(nèi)心到這個三角形三邊的距離相等.三角形的一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn).這點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個旁心.所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個.如圖所示：△ABC的內(nèi)心為，旁心為，這四個點(diǎn)到△ABC三邊所在直線距離相等.【典型例題】類型一、角的平分線的性質(zhì)定理及證明1．已知：如圖，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分別是邊PA和PB上的點(diǎn)，且CD＝CE．求證：∠APB+∠DCE＝180°．【分析】根據(jù)PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再證Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，在Rt△MCD和Rt△NCE中，，∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），∴∠MCD=∠NCE，∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和，掌握角平分線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知：如圖，ABC中，∠ABC的平分線BD與∠ACB的平分線CE交于點(diǎn)I，連接AI并延長交BC于點(diǎn)F．求證：AF平分∠BAC．【分析】過點(diǎn)I分別向△ABC的邊BC、AC、AB作垂線，垂足分別為點(diǎn)G、H、K，然后由角平分線的性質(zhì)得到IG＝IH，IG＝IK，然后得到IH＝IK，再證明△IHA≌△IKA即可得到AF平分∠BAC．解：如圖所示，過點(diǎn)I分別作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分別G、H、K，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴IG＝IH，IG＝IK，∴IH＝IK，在Rt△IHA和Rt△IKA中，，∴Rt△IHA≌Rt△IKA（HL），∴∠IAH＝∠IAK，∴AF平分∠BAC．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，△ABC中，∠A＝60°，∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)G．（1）求∠BGC的度數(shù)．（2）求證：GD＝GE．【答案】（1）；（2）見分析【分析】（1）利用角平分線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可得出∠GBC＋∠GCB，進(jìn)一步求得∠BGC；（2）連接AG，過點(diǎn)G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．由角平分線的性質(zhì)及逆定理可得GN＝GM＝GF，AG是∠CAB的平分線；在四邊形AMGN中，易得∠NGM＝180°?60°＝120°；在△BCG中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得∠CGB＝120°，即∠EGD＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，證明Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS）即可得證GE＝GM．解：（1）∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°?60°＝120°，∵∠ACB的平分線CD和∠ABC的平分線BE交于點(diǎn)G，∴∠GBC＋∠GCB＝∠ABC＋∠ACB＝（∠ABC＋∠ACB）＝60°，∴∠BGC＝180°?（∠GBC＋∠GCB）＝120°；（2）連接AG，過點(diǎn)G作GM⊥AB于M，GN⊥AC于N，GF⊥BC于F．∵∠A＝60°，∴∠ACB＋∠ABC＝120°，∵CD，BE是角平分線，∴∠BCG＋∠CBG＝120°÷2＝60°，∴∠CGB＝∠EGD＝120°，∵G是∠ACB平分線上一點(diǎn)，∴GN＝GF，同理，GF＝GM，∴GN＝GM，∴AG是∠CAB的平分線，∴∠GAM＝∠GAN＝30°，∴∠NGM＝∠NGA＋∠AGM＝60°＋60°＝120°，∴∠EGD＝∠NGM＝120°，∴∠EGN＝∠DGM，又∵GN＝GM，在Rt△EGN≌Rt△DGM，∴Rt△EGN≌Rt△DGM（AAS），∴GE＝GD．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．類型二、角的平分線的性質(zhì)定理2．如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．(1)求證：∠AOC＝90°＋∠ABC；(2)當(dāng)∠ABC＝90°時，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)見分析(2)AE+CD=AC，證明見分析【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；（3）在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，證△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MK=ML，據(jù)此計算即可求解．(1)解：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，∵∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），即∠AOC=90°+∠ABC；(2)解：AE+CD=AC，證明：如圖2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，∴∠EOA=45°，在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，則在△AEO和△AMO中，，∴△AEO≌△AMO，同理△DCO≌△NCO，∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，∴∠MON=∠MOA=45°，過M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，∴MK=ML，S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，∴，∵，∴，∵AO=3OD，∴，∴，∴AN=AM=AE，∵AN+NC=AC，∴AE+CD=AC．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義和性質(zhì)，三角形的面積，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（1）如圖，在中，按以下步驟作圖（保留作圖痕跡）：①以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交、于點(diǎn)D、E．②分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)．③作射線交于點(diǎn)．則是的______線．（2）如果，，的面積為18．則的面積為______．【答案】（1）角平分；（2）27【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖要求，按給定的步驟與作法畫圖即可；（2）根據(jù)角分線性質(zhì)可知，兩三角形的AB與BC邊上的高相等，則得面積比為底的比，依此列式求解即可．解：（1）如圖所示，BG即為所求；故答案為：角平分；（2）如圖，作GM⊥AB于M，作GN⊥BC于N，∵由（1）得BG為∠ABC的角平分線，∴GM=GN，∴，解得：．故答案為：27．【點(diǎn)撥】本題考查尺規(guī)作圖，角平分線性質(zhì)，三角形面積；掌握尺規(guī)作圖步驟與要求，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出兩三角形的高相等，則面積比等于底的比是解題關(guān)鍵．【變式2】在△ABC中，AB=AC，過點(diǎn)C作射線CB′，使∠ACB′=∠ACB（點(diǎn)B′與點(diǎn)B在直線AC的異側(cè)）點(diǎn)D是射線CB′上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段BC上，且∠DAE+∠ACD=90°．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時，AD與的位置關(guān)系是______，若，則CD的長為______；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時，連接DE．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段BE，CD，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)AD⊥CB′；；(2)①∠BAC=2∠DAE，理由見分析；②BE=CD+DE，理由見分析【分析】（1）先證明∠ADC=90°，再過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，證明△ADC≌△AFC(HL)，即可求解；（2）①∠ACB′=∠ACB=α=∠B，利用三角形內(nèi)角和定理得到α=90°-∠BAC，再由∠DAE+∠ACD=90°，推出∠ACD=90°-∠DAE=α，進(jìn)一步計算即可求解；②在BC上截取BG=CD，先后證明△ABG≌△ACD(SAS)，△GAE≌△DAE(SAS)，即可求解．(1)解：∵點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，且∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴AD⊥CB′；過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，∵AB=AC，∴CF=BF=BC=，∵∠ACB′=∠ACB，AF⊥BC，AD⊥CB′，∴AF=AD，∴△ADC≌△AFC(HL)，∴CD=CF=，故答案為：AD⊥CB′；；(2)解：①∠BAC=2∠DAE，理由如下：設(shè)∠ACB′=∠ACB=α=∠B，∴∠ACB+∠B=180°-∠BAC，即α=90°-∠BAC，∵∠DAE+∠ACD=90°，∴∠ACD=90°-∠DAE=α，∴90°-∠BAC=90°-∠DAE，∴∠BAC=2∠DAE；②BE=CD+DE，理由如下：在BC上截取BG=CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD(SAS)，∴AG=AD，∠BAG=∠CAD，∵∠BAC=∠BAG+∠GAC，∠GAD=∠CAD+∠GAC，∴∠BAC=∠GAD，∵∠BAC=2∠DAE，∴∠GAD=2∠DAE，∴∠GAE=∠DAE，在△GAE和△DAE中，，∴△GAE≌△DAE(SAS)，∴GE=DE，∴BE=BG+GC=CD+DE．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．類型三、角的平分線的判定定理3、圖，點(diǎn)B，C在的邊AM，AN上，點(diǎn)D在內(nèi)部，連接BD，CD，，作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，，求證：AD是的平分線．【分析】根據(jù)HL證明Rt△DEB≌Rt△DFC，得DF=DE即可得到結(jié)論．解：∵DF⊥AN，DE⊥AM∴∴△DEB，△DFC是直角三角形，在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC∴DE=DF又DF⊥AN，DE⊥AM∴AD是的平分線【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的判定，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，證明Rt△DEB≌Rt△DFC是解答本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，和都是等邊三角形，連接與，延長交于點(diǎn)H．(1)證明：；(2)求的度數(shù)；(3)連接，求證：平分．【分析】（1）由△ABD和△BCE都是等邊三角形得BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，所以∠ABE＝∠DBC＝60°?∠DBE，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABE≌△DBC，得AE＝DC；（2）由△ABE≌△DBC得∠BAE＝∠BDC，因為∠BAD＝∠BDA＝60°，所以∠HAD＋∠HDA＝＝120°，所以∠AHD＝60°；（3）作BF⊥HA于點(diǎn)F，BG⊥HC交HC的延長線于點(diǎn)G，則∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，即可證明△BAF≌△BDG，則BF＝BG，根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”即可證明HB平分∠AHC．(1)證明：如圖1，∵△ABD和△BCE都是等邊三角形，∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠DBC＝60°?∠DBE，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），∴AE＝DC．(2)解：如圖1，由（1）得△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC，∵∠BAD＝∠BDA＝60°，∴∠HAD＋∠HAD＝∠HAD＋∠BDC＋∠BDA＝∠HAD＋∠BAE＋∠BDA＝∠BAD＋∠BDA＝120°，∴∠AHD＝180°?（∠HAD＋∠HDA）＝60°．(3)證明：如圖2，作BF⊥HA于點(diǎn)F，BG⊥HC交HC的延長線于點(diǎn)G，則∠AFB＝∠BFH＝∠G＝90°，由△ABE≌△DBC得∠BAF＝∠BDG，在△BAF和△BDG中，，∴△BAF≌△BDG（AAS），∴BF＝BG，∴點(diǎn)B在∠AHC的平分線上，∴HB平分∠AHC．【點(diǎn)撥】此題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上等知識，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，已知BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，BF交CE于D，且BD＝CD，求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線上．【分析】由BF⊥AC，CE⊥AB得到∠DEB＝∠DFC＝90°，則可根據(jù)“AAS”判斷△DBE≌△DCF，則DE＝DF，然后根據(jù)角平分線定理得到D點(diǎn)在∠BAC的平分線上．解：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，在△DBE和△DCF中，，∴△DBE≌△DCF（AAS），∴DE＝DF，又∵BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分別為F、E，∴D點(diǎn)在∠BAC的平分線上【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判斷三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，也考查了角平分線定理．類型四、角的平分線的性質(zhì)的運(yùn)用4．如圖，已知．(1)請用尺規(guī)作圖．在內(nèi)部找一點(diǎn)，使得點(diǎn)到、、的距離相等，（不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）；(2)若的周長為，面積為，求點(diǎn)到的距離．【答案】(1)見分析(2)【分析】（1）根據(jù)題意作的角平分線的交點(diǎn)，即為所求；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，解方程求解即可．解：(1)如圖，點(diǎn)即為所求，(2)設(shè)點(diǎn)到的距離為，由（1）可知點(diǎn)到、、的距離相等則解得：點(diǎn)到的距離為【點(diǎn)撥】本題考查了作角平分線，角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】有三條交叉公路如圖所示，要在三角形區(qū)域內(nèi)建一個加油站，使加油站P到三條公路的距離相等，應(yīng)建在什么位置？請用尺規(guī)作圖標(biāo)出加油站P的位置．【分析】三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等距離相等，而三角形的內(nèi)心是三個角的角平分線的交點(diǎn)，在實際作圖中只需作出兩條角平分線的交于一點(diǎn)即可．解：分別作∠ABC與∠ACB的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，∴P點(diǎn)是△ABC的內(nèi)心，∴加油站P應(yīng)該建在三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．如圖所示：①以點(diǎn)B為圓心，以任意長為半徑畫圓，分別交AB、BC于點(diǎn)D、E；②分別以點(diǎn)DE為圓心，以大于DE為半徑畫圓，兩圓相交于點(diǎn)F．連接BF，則BF即為∠ABC的平分線；同理作出∠ACB的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．【點(diǎn)撥】本題考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)，以及內(nèi)心的作法，熟練掌握三角形內(nèi)心的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計劃修建一個油庫．（1）如果要求油庫到兩條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置？（2）如果要求油庫到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫的位置？【答案】（1）油庫的位置在直線MN或直線EF上；（2）見分析【分析】（1）作∠BAC角平分線AN，作∠BAD的角平分線AE，直線MN，直線EF上的點(diǎn)滿足條件．（2）根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，分別作出三個內(nèi)角的平分線、相鄰兩個外角的平分線，共有四個點(diǎn)．解：（1）如圖，油庫的位置在直線MN或直線EF上；（2）如圖，點(diǎn)P1，P2，P3，P4即為所求．【點(diǎn)撥】此題是考查對角平分線的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，注意：三角形的外角平分線不要漏掉，思考問題要全面．類型五、尺規(guī)作圖——角平分線5．如圖，已知，△ABC（AB＜AC）將△ABC沿過點(diǎn)A的直線折疊，使AB邊落在線段AC上，直線交BC邊于點(diǎn)M，利用尺規(guī)作圖方法，作出直線AM；（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，AB邊沿直線AM翻折后落在線段AC上，可知∠B