專題12.14角的角平分線的性質(zhì)（基礎(chǔ)篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，AB∥CD，∠1=70°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．70°2．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，則下列結(jié)論：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正確的有（

）

A．個 B．個 C．個 D．個3．如圖，平分，于點(diǎn)，，，則（

）A．28 B．21 C．14 D．74．如圖，在Rt△ABC中，，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，若，△ABD的面積為60，則CD長(

)A．12 B．10 C．6 D．45．如圖，△ABC中，AB=5，AC=7，BC=10．∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D．則DC的長度為（

）A． B．6 C． D．6．如圖，在中，是邊上的高，平分，交于點(diǎn)，若，，則的面積等于（）A．36 B．48 C．60 D．727．如圖，兩把完全相同的長方形直尺按如圖方式擺放，記兩把尺的接觸點(diǎn)為點(diǎn)P．其中一把直尺邊緣恰好和射線OA重合，而另一把直尺的下邊緣與射線OB重合，上邊緣與射線OA于點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)OP．若∠BOP＝28°，則∠AMP的大小為（

）A．62° B．56° C．52° D．46°8．如圖，在△ABC中，O是在△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等，∠BOC＝126°，則∠A的度數(shù)為（）A．72° B．27° C．54° D．108°9．如圖，，是的中點(diǎn)，平分，且，則（

）A． B． C． D．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝7cm，則△DBE的周長是（

）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm11．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（

）A．15 B．30 C．45 D．6012．如圖是“一帶一路”示意圖，若記北京為地，莫斯科為地，雅典為地，分別連接、、，形成一個三角形．若想在三角形內(nèi)部建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到邊、、的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應(yīng)選在（

）A．三條中線的交點(diǎn)處B．三條高所在直線的交點(diǎn)處C．三條角平分線的交點(diǎn)處D．三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB邊于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP交BC邊于點(diǎn)D，若BD＝5，則CD的長可能是（

）A．7 B．6 C．5 D．414．如圖，用尺規(guī)作∠AOB的平分線可以按如下步驟進(jìn)行：①以點(diǎn)O為圓心，線段m為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；②分別以點(diǎn)M，N為圓心，線段n為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C；③畫射線OC．射線OC即為所求．以下關(guān)于線段m，n的長說法正確的是（

）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜MN C．m＞0，n＞MN D．以上都不對15．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，再分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交邊AC于點(diǎn)D．若，AB＝12，則△ABD的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題16．如圖，的三邊，，的長分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，將分成三個三角形，則等于__________．17．如圖，在中，，是的平分線，，垂足為，若和的周長分別為和，則的長為________．18．如圖所示，已知：AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BFD=140°，∠BED的度數(shù)為______．19．如圖，在中，，的平分線與的外角平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)為___________.（用含的式子表示）20．如圖，在中，，AD是的角平分線，過點(diǎn)D作，若，則______．21．如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，，，若△ACD的面積為16，則△ABC的面積為________．22．如圖，PM⊥OA，PN⊥OB，∠BOC＝30°，PM＝PN，則∠AOB＝_________．23．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足為E．若AD＝DE且∠C＝50°，則∠ABD＝_____°．24．如圖，BD⊥AE于點(diǎn)B，DC⊥AF于點(diǎn)C，且DB=DC，∠BAC=60°，∠ADG=120°，則∠DGF=_____________

25．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，則AC長是___．26．如圖，要在河流的右側(cè)、公路的左側(cè)M區(qū)建一個工廠，位置的選擇要滿足到河流和公路的距離相等，小紅說工廠應(yīng)該建在河流與公路夾角的平分線上，請你幫小紅說出她的理由__________________________________________________．27．如圖，表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有____處．28．如圖，中，以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C，作射線，過點(diǎn)C作于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)為_______________．29．如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于和，再分別以點(diǎn)為圓心，大于二分之一為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于．若，則的面積為________．30．已知∠AOB＝60°，以O(shè)為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA，OB于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長度為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)P，以O(shè)P為邊作∠POC＝15°，則∠BOC的度數(shù)為__________．三、解答題31．如圖，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，F(xiàn)D的延長線交BE于點(diǎn)E（1）若∠BAC=56°，∠DCA=22°，∠EBD=23°，求∠BEF的度數(shù)；（2）若∠BAC=α，∠DCA=β，∠BEF=γ，請直接寫出α、β、γ三者之間的關(guān)系．32．如圖，在中，，BD是的平分線，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在BC上，連接DF，且．(1)求證：；(2)若，，求AB的長．33．如圖，小聰想畫∠AOB的角平分線，手頭沒有量角器和圓規(guī)，只有一個帶刻度的直角三角尺，于是他按如下方法操作：在OA，OB邊上量取OC＝OD＝1cm，分別過點(diǎn)C，點(diǎn)D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF與DE交于點(diǎn)P，作射線OP，則射線OP就是∠AOB的角平分線．請判斷小聰?shù)淖龇ㄊ欠窨尚?？并說明理由．34．如圖，點(diǎn)D、B分別在∠A的兩邊上，C是∠A內(nèi)一點(diǎn)，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F．求證：CE=CF．參考答案1．B試題分析：由AB∥CD，∠1=70°，可得出∠EFD=∠1=70°，再由角平分線的定義即可得出∠2的度數(shù)．解：∵AB∥CD，∠1=70°，∴∠EFD=∠1=70°．又∵FG平分∠EFD，∴∠2=∠EFD=35°．故選B．2．C【分析】根據(jù)題中條件，結(jié)合圖形及角平分線的性質(zhì)得到結(jié)論，與各選項(xiàng)進(jìn)行比對，排除錯誤答案，選出正確的結(jié)果．解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正確；無法證明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB錯誤；∵BE+AE=AB，AE=AC，∴BE+AC=AB，∴④BE+AC=AB正確；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B，∴∠BDE=∠BAC，∴②∠BAC=∠BDE正確．綜上，正確的個數(shù)的3個，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)；題目是一道結(jié)論開放性題目，考查了同學(xué)們利用角平分線的性質(zhì)解決問題的能力，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．3．C【分析】作于，由角平分線的性質(zhì)得到，結(jié)合三角形面積公式解題．解：作于，平分，，，，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．4．C【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=CD，再由△ABD的面積為60，可得DE=6，即可求解．解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵，AD平分∠BAC，∴DE=CD，∵，△ABD的面積為60，∴，解得：DE=6，∴CD=6．故選：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．5．A【分析】作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由角平分線性質(zhì)得DE=DF，則△ABD與△ACD分別以AB、AC為底時高相等，則△ABD與△ACD的面積比=AB：AC=5：7；同時△ABD與△ACD分別以BD、DC為底時高也相等，則△ABD與△ACD的面積比=BD：DC=5：7；求解即可．解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD是∠BAC的平分線，DE=DF，AB=5，AC=7，，BC=10，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理及三角形的面積，熟練掌握知識點(diǎn)并能夠準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】作交于點(diǎn)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以得到，再根據(jù)三角形的面積公式，即可求得的面積．解：作交于點(diǎn)，∵是邊上的高，∴，∵平分，∴∵，，∴．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)．理解和掌握角的平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】根據(jù)題意，兩把完全相同的長方形直尺的寬度一致，根據(jù)擺放方式可知，點(diǎn)P到射線OA，OB的距離相等，進(jìn)而可得OP是∠AOB的角平分線，進(jìn)而可得∠AOP=∠BOP，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠MPO=∠POB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠AMP=∠AOP+∠MPO，即可求解．解：∵兩把完全相同的長方形直尺的寬度一致，點(diǎn)P到射線OA，OB的距離相等，∴OP是∠AOB的角平分線，∵∠BOP=28°，∴∠AOP=∠BOP=28°，∵M(jìn)P∥OB∴∠MPO=∠POB=28°∴∠AMP=∠AOP+∠MPO=56°故選：B【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的角平分線的判定，三角形的外角性質(zhì)，找到隱含條件P到射線OA，OB的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】由條件可知、平分和，利用三角形內(nèi)角和可求得．解：點(diǎn)到三邊的距離相等，平分，平分，，，，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．9．A【分析】由已知條件和平行線的性質(zhì)可得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)是的中點(diǎn)，可得，根據(jù)角平分線的判定定理可得是的角平分線，進(jìn)而可得解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，,平分，，是的中點(diǎn)，平分故選A【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)與判定，掌握角平分線的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．10．B【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的平分線AD交BC于D，DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得CD=ED，AC=AE=BC，繼而可得△DBE的周長=AB．解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線AD交BC于D，DE⊥AB于E，∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，∴AE=AC，∵AC=BC，∴BC=AE，∴△DBE的周長是：BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AE+BE=AB=7cm．故選B．【點(diǎn)撥】此題考查了角平分線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．11．B【分析】作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC=4，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．解：作DE⊥AB于E，由基本尺規(guī)作圖可知，AD是△ABC的角平分線，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=4，∴△ABD的面積=×AB×DE=30，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的是作圖——基本作圖，角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．12．C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可判斷．解：三角形的三個角的角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟知角平分線上的到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．D【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可得即可求解．解：由作圖可知，是的角平分線，過點(diǎn)作，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可得故選D【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，理解題意，是的角平分線是解題的關(guān)鍵．14．C【分析】根據(jù)基本作圖（作一個角的平分線）的方法和步驟進(jìn)行判斷．解：利用尺規(guī)作圖作一個角的平分線，其步驟為：第一步，以點(diǎn)O為圓心，任意長度為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N；第二步，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C；第三步，畫射線OC，射線OC即為∠AOB的平分線．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了尺規(guī)作圖（作一個角的平分線）的知識，熟練掌握基本尺規(guī)作圖方法和步驟是解題關(guān)鍵．15．B【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)作圖得出BD平分∠ABC，由角平分線的性質(zhì)得出DE=DC，即可求出△ABD的面積．解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，如圖所示：根據(jù)作圖可知，BD平分∠ABC，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE=DC，，∴，∴，故B正確．故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，求出DE的長度．16．2：3：4【分析】過點(diǎn)O分別向三邊作垂線段，通過角平分線的性質(zhì)得到三條垂線段長度相等，再通過面積比等于底邊長度之比得到答案．解：過點(diǎn)O分別向BC、BA、AC作垂線段交于D、E、F三點(diǎn)．∵CO、BO、AO分別平分∴∵，，∴故答案為：2：3：4【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，往三角形的三邊作垂線段并得到面積之比等于底之比是解題關(guān)鍵．17．12【分析】由BD平分∠ABC，可得∠EBD=∠CBD，可證Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），可得BE=BC，ED=CD，可求AC+AE=6，可求2BC+AE+AC=30即可．解：∵，，∴∠BED=∠BCD=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，在Rt△EBD和Rt△CBD中，，Rt△EBD≌Rt△CBD（AAS），∴BE=BC，ED=CD，∵的周長為，∴AD+ED+AE=AD+DC+AE=AC+AE=6，∵的周長為，∴AB+BC+AC=AE+BE+BC+AC=2BC+AE+AC=30，∴2BC=30-（AE+AC）=30-6=24，∴BC=12．故答案為12．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線定義，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形周長，掌握角平分線定義，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形周長是解題關(guān)鍵．18．80°試題分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BFD=∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ABE+∠CDE的度數(shù)，從而求得結(jié)果.解：∵AB∥CD∴∠ABE+∠CDE+∠BED=360°，∠BFD=∠ABF+∠CDF=140°∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE∴∠ABE+∠CDE=280°∴∠BED=80°.考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)【點(diǎn)撥】平行線的判定與性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，貫穿于整個初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，是中考常見題，一般難度不大，需熟練掌握.19．【分析】如圖，過點(diǎn)E作三邊的垂線，垂足分別為D，F(xiàn)，G，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)證得EF=DE，然后根據(jù)角平分線的判定證得，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得∠EBA=，∠BAE=，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求解．解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)D，于點(diǎn)F，于點(diǎn)G，∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABC的外角，∴，∴AE也是∠BAC外角的平分線，∴∠EBA=，∠BAE=，∴∠EBA+∠BAE==，∴∠AEB==．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題是三角形的綜合題，考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，正確理解三角形的有關(guān)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．20．7【分析】先利用角平分線性質(zhì)證明CD=DE，再求出的值即可．解：∵AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，，DE⊥AB，∴CD=ED．∵，∴BD+CD=7，∴，故答案為：7．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)．21．12【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，由角平分線的性質(zhì)可得CE=CF，由△ACD的面積和底求得高CF的值，便可解答；解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠DAB，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∵AD=8，△ACD面積=16，∴CF=4，∵AB=6，CE=CF=4，∴△ACB面積=12，故答案為：12；【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；掌握角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．22．60°##60度【分析】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出OC平分∠AOB，再根據(jù)角平分線的定義可得∠AOB=2∠BOC．解：∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∴OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠BOC，又∠BOC＝30°，∴∠AOB=60°．故答案為：60°．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的判定，掌握角平分線的判定是解題的關(guān)鍵．23．【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理先求解，再利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理證明：平分從而可得答案．解：平分故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義及性質(zhì)定理的逆定理，掌握角平分線的性質(zhì)定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．24．150°【分析】先根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上得到AD是∠BAC的平分線，求出∠CAD的度數(shù)，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和即可求解．解：∵BD⊥AE于B，DC⊥AF于C，且DB=DC，∴AD是∠BAC的平分線，∵∠BAC=60°，∴∠CAD=∠BAC=30°，∴∠DGF=∠CAD+∠ADG=30°+120°=150°．故答案為：150°．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的判定與三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形是解題的關(guān)鍵．25．4【分析】作于，先利用角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)即可得．解：如圖，作于，平分，，，，，解得，故答案為：4．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．26．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)定理求解即可．解：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．故答案為：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．【點(diǎn)撥】本題考查角平分線性質(zhì)，掌握角平分線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．27．4．【分析】作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點(diǎn)P1、P2、P3，內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P4，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行判斷．解：如圖示，作直線l1、l2、l3所圍成的三角形的外角平分線和內(nèi)角平分線，外角平分線相交于點(diǎn)P1、P2、P3，內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)P4，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得到這4個點(diǎn)到三條公路的距離分別相等．故答案是：4．【點(diǎn)撥】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．65°##65度【分析】根據(jù)作圖先得出OC平分∠AOB，根據(jù)，得出，根據(jù)為的外角，得出，即可求出，根據(jù)，得出，即可求解．解：根據(jù)作圖可知，OC平分∠AOB，∴，∵，，，為的外角，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角平分線的基本作圖，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意求出是解題的關(guān)鍵．29．5【分析】作GM⊥AB于M，先利用基本作圖得到AG平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GM=GH=2，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．解：作GM⊥AB于M，由作法得AG平分∠BAC，而GH⊥AC，GM⊥AB，∴GM=GH=2，∴,故答案為：5．【點(diǎn)撥】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等，還考查了角平分線的作圖方法，正確理解題意得到AG平分∠BAC是解題的關(guān)鍵．30．或【分析】以O(shè)為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA，OB于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長度為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)P，則OP為的平分線，以O(shè)P為邊作，則為作或的角平分線，即可求解．解：以O(shè)為圓心，以任意長為半徑作弧，交OA，OB于點(diǎn)M，N，分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于MN的長度為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)P，得到OP為的平分線，再以O(shè)P為邊作，則為作