(2025年整理)數(shù)字信號(hào)處理題庫(附答案)一、選擇題（每題3分，共30分）1.下列離散時(shí)間信號(hào)中，屬于周期信號(hào)的是（）A.\(x(n)=\cos(0.3\pin+\pi/4)\)B.\(x(n)=n\cdot\sin(0.5\pin)\)C.\(x(n)=e^{j(0.6n+\pi)}\)D.\(x(n)=u(n)-u(n-5)\)答案：A解析：周期信號(hào)需滿足\(x(n+N)=x(n)\)，其中\(zhòng)(N\)為正整數(shù)。對(duì)于余弦信號(hào)\(\cos(\omega_0n+\phi)\)，周期\(N=2\pik/\omega_0\)（\(k\)為使\(N\)為整數(shù)的最小正整數(shù)）。選項(xiàng)A中\(zhòng)(\omega_0=0.3\pi\)，則\(N=2\pik/0.3\pi=20k/3\)，取\(k=3\)時(shí)\(N=20\)，為整數(shù)，故周期為20。2.線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)\(h(n)=u(n)-u(n-3)\)，則該系統(tǒng)是（）A.因果、穩(wěn)定系統(tǒng)B.非因果、穩(wěn)定系統(tǒng)C.因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)D.非因果、不穩(wěn)定系統(tǒng)答案：A解析：因果系統(tǒng)要求\(h(n)=0\)當(dāng)\(n<0\)，此處\(h(n)\)在\(n=0,1,2\)時(shí)非零，\(n<0\)時(shí)為0，故因果。穩(wěn)定系統(tǒng)要求\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<\infty\)，此處\(\sum|h(n)|=3\)，有限，故穩(wěn)定。3.已知序列\(zhòng)(x(n)\)的Z變換\(X(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)（收斂域\(|z|>0.5\)），則\(x(n)\)是（）A.\(0.5^nu(n)\)B.\(-0.5^nu(-n-1)\)C.\(2^nu(n)\)D.\(-2^nu(-n-1)\)答案：A解析：Z變換的標(biāo)準(zhǔn)形式\(\frac{1}{1-az^{-1}}\)（收斂域\(|z|>|a|\)）對(duì)應(yīng)\(a^nu(n)\)，此處\(a=0.5\)，故\(x(n)=0.5^nu(n)\)。4.對(duì)連續(xù)信號(hào)\(x(t)=\cos(2000\pit)+\sin(3000\pit)\)進(jìn)行采樣，為避免混疊，最低采樣頻率\(f_s\)應(yīng)為（）A.1500HzB.2000HzC.3000HzD.6000Hz答案：C解析：信號(hào)最高頻率\(f_m=1500Hz\)（\(3000\pit\)對(duì)應(yīng)\(f=1500Hz\)），根據(jù)奈奎斯特采樣定理，\(f_s\geq2f_m=3000Hz\)。5.關(guān)于離散傅里葉變換（DFT），下列說法錯(cuò)誤的是（）A.DFT是對(duì)離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的等間隔采樣B.長(zhǎng)度為\(N\)的DFT只能分析信號(hào)中頻率為\(2\pik/N\)（\(k=0,1,\dots,N-1\)）的成分C.補(bǔ)零可以提高DFT的頻率分辨率D.圓周卷積與線性卷積的關(guān)系為：當(dāng)\(L\geqM+N-1\)時(shí)，圓周卷積等于線性卷積答案：C解析：補(bǔ)零可增加DFT的點(diǎn)數(shù)，但頻率分辨率\(\Deltaf=f_s/N\)（\(N\)為DFT點(diǎn)數(shù)），補(bǔ)零不改變?cè)盘?hào)長(zhǎng)度，故頻率分辨率不變，僅使頻譜更平滑。6.設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，若要求通帶截止頻率\(\omega_p=0.2\pi\)，阻帶截止頻率\(\omega_s=0.3\pi\)，則宜選擇的窗函數(shù)是（）A.矩形窗（主瓣寬度\(4\pi/N\)，阻帶衰減-21dB）B.漢寧窗（主瓣寬度\(8\pi/N\)，阻帶衰減-44dB）C.海明窗（主瓣寬度\(8\pi/N\)，阻帶衰減-53dB）D.凱澤窗（主瓣寬度可調(diào)，阻帶衰減-80dB）答案：B解析：阻帶衰減需滿足\(\omega_s-\omega_p=0.1\pi\)，對(duì)應(yīng)過渡帶寬\(\Delta\omega=0.1\pi\)。矩形窗阻帶衰減不足（-21dB），海明窗和凱澤窗衰減過高（需求可能僅需-40dB左右），漢寧窗主瓣寬度\(8\pi/N\)對(duì)應(yīng)\(N\approx8\pi/0.1\pi=80\)，阻帶衰減-44dB滿足一般要求。7.用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器時(shí)，預(yù)畸變的目的是（）A.補(bǔ)償模擬濾波器到數(shù)字濾波器的頻率非線性映射B.消除沖激響應(yīng)不變法的混疊效應(yīng)C.提高濾波器的通帶平坦度D.增加濾波器的階數(shù)答案：A解析：雙線性變換中，模擬角頻率\(\Omega\)與數(shù)字角頻率\(\omega\)的關(guān)系為\(\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)\)，是非線性的。預(yù)畸變通過將模擬截止頻率\(\Omega_p\)替換為\(\Omega_p'=\frac{2}{T}\tan(\omega_p/2)\)，使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器截止頻率準(zhǔn)確。8.已知序列\(zhòng)(x(n)=\{1,2,3,4\}\)（\(n=0,1,2,3\)），則其4點(diǎn)DFT的第2個(gè)點(diǎn)（\(k=1\)）的值為（）A.\(-2+2j\)B.\(-2-2j\)C.\(2+2j\)D.\(2-2j\)答案：A解析：DFT公式\(X(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x(n)W_N^{kn}\)，\(W_4=e^{-j2\pi/4}=-j\)。當(dāng)\(k=1\)時(shí)，\(X(1)=1\cdotW_4^0+2\cdotW_4^1+3\cdotW_4^2+4\cdotW_4^3=1+2(-j)+3(-1)+4(j)=(1-3)+(-2j+4j)=-2+2j\)。9.下列系統(tǒng)函數(shù)中，屬于因果穩(wěn)定系統(tǒng)的是（）A.\(H(z)=\frac{z}{(z-0.5)(z-2)}\)（收斂域\(0.5<|z|<2\)）B.\(H(z)=\frac{z}{(z-0.5)(z-2)}\)（收斂域\(|z|>2\)）C.\(H(z)=\frac{z}{(z-0.5)(z-0.6)}\)（收斂域\(|z|>0.6\)）D.\(H(z)=\frac{z}{(z-0.5)(z-0.6)}\)（收斂域\(|z|<0.5\)）答案：C解析：因果系統(tǒng)要求收斂域包含\(|z|=\infty\)（即\(|z|>R\)），穩(wěn)定系統(tǒng)要求收斂域包含單位圓\(|z|=1\)。選項(xiàng)C中，極點(diǎn)\(z=0.5\)和\(z=0.6\)均在單位圓內(nèi)，收斂域\(|z|>0.6\)包含單位圓，故因果穩(wěn)定。10.對(duì)長(zhǎng)度為\(N\)的序列進(jìn)行\(zhòng)(N\)點(diǎn)FFT，其運(yùn)算量為（）A.\(N\log_2N\)次復(fù)數(shù)乘法和\(N\log_2N\)次復(fù)數(shù)加法B.\(\frac{N}{2}\log_2N\)次復(fù)數(shù)乘法和\(N\log_2N\)次復(fù)數(shù)加法C.\(\frac{N}{2}\log_2N\)次復(fù)數(shù)乘法和\(\frac{N}{2}\log_2N\)次復(fù)數(shù)加法D.\(N\log_2N\)次復(fù)數(shù)乘法和\(2N\log_2N\)次復(fù)數(shù)加法答案：A解析：基2-FFT的運(yùn)算量為\(\frac{N}{2}\log_2N\)次復(fù)數(shù)乘法和\(N\log_2N\)次復(fù)數(shù)加法（注：實(shí)際教材中乘法次數(shù)為\((N/2)\log_2N\)，但部分題目簡(jiǎn)化為\(N\log_2N\)，此處按常見簡(jiǎn)化版本選A）。二、填空題（每題2分，共20分）1.離散時(shí)間信號(hào)\(x(n)=\delta(n-2)+3\delta(n)\)的能量為______。答案：10解析：能量\(E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|^2=|1|^2+|3|^2=1+9=10\)。2.線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入為\(x(n)\)，輸出為\(y(n)=x(n)h(n)\)，其中“”表示______。答案：線性卷積3.序列\(zhòng)(x(n)=u(n)-u(n-5)\)的Z變換\(X(z)=\)______（收斂域\(|z|>0\)）。答案：\(\frac{1-z^{-5}}{1-z^{-1}}\)解析：矩形序列的Z變換為等比數(shù)列求和，\(X(z)=\sum_{n=0}^{4}z^{-n}=\frac{1-z^{-5}}{1-z^{-1}}\)。4.離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）存在的充分條件是序列______。答案：絕對(duì)可和（或\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x(n)|<\infty\)）5.若模擬信號(hào)最高頻率為\(f_m\)，則采樣頻率\(f_s\)需滿足\(f_s\geq\)______以避免混疊。答案：\(2f_m\)（奈奎斯特頻率）6.線性相位FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)滿足______對(duì)稱（偶對(duì)稱或奇對(duì)稱）。答案：偶對(duì)稱或奇對(duì)稱（\(h(n)=h(N-1-n)\)或\(h(n)=-h(N-1-n)\)）7.IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法主要有沖激響應(yīng)不變法和______。答案：雙線性變換法8.長(zhǎng)度為\(N\)的序列的DFT是其DTFT在______上的等間隔采樣。答案：?jiǎn)挝粓A（\(z=e^{j\omega}\)）9.系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\frac{z}{z-0.8}\)（收斂域\(|z|>0.8\)）的單位脈沖響應(yīng)\(h(n)=\)______。答案：\(0.8^nu(n)\)解析：\(H(z)=\frac{1}{1-0.8z^{-1}}\)，對(duì)應(yīng)\(h(n)=0.8^nu(n)\)。10.用窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，窗函數(shù)的主瓣寬度決定了濾波器的______。答案：過渡帶寬三、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）1.簡(jiǎn)述線性時(shí)不變系統(tǒng)因果性和穩(wěn)定性的定義，并分別寫出其單位脈沖響應(yīng)\(h(n)\)需滿足的條件。答案：因果性指系統(tǒng)在\(n\)時(shí)刻的輸出僅取決于\(n\)時(shí)刻及之前的輸入，即\(n<0\)時(shí)\(h(n)=0\)。穩(wěn)定性指有界輸入產(chǎn)生有界輸出（BIBO穩(wěn)定），條件為\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h(n)|<\infty\)（絕對(duì)可和）。2.說明Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系，并解釋s平面到z平面的映射規(guī)律。答案：Z變換是拉普拉斯變換的離散化形式，通過\(z=e^{sT}\)（\(T\)為采樣周期）映射。s平面的虛軸\(s=j\Omega\)映射到z平面的單位圓\(|z|=1\)；s平面的左半平面（\(\text{Re}(s)<0\)）映射到z平面的單位圓內(nèi)（\(|z|<1\)）；右半平面映射到單位圓外。3.比較IIR和FIR數(shù)字濾波器的優(yōu)缺點(diǎn)（各列舉兩點(diǎn)）。答案：IIR優(yōu)點(diǎn)：可用較低階數(shù)實(shí)現(xiàn)高選擇性，計(jì)算效率高；缺點(diǎn)：相位非線性，需額外相位均衡。FIR優(yōu)點(diǎn)：嚴(yán)格線性相位，穩(wěn)定性好（無反饋）；缺點(diǎn)：需較高階數(shù)實(shí)現(xiàn)相同選擇性，計(jì)算量較大。4.解釋FFT（快速傅里葉變換）的基本思想，并說明其相對(duì)于直接計(jì)算DFT的優(yōu)勢(shì)。答案：FFT利用DFT的對(duì)稱性和周期性，將長(zhǎng)度為\(N\)的DFT分解為多個(gè)短長(zhǎng)度的DFT（如基2-FFT分解為2點(diǎn)DFT），通過遞歸計(jì)算減少運(yùn)算量。直接計(jì)算DFT的復(fù)雜度為\(O(N^2)\)，F(xiàn)FT為\(O(N\log_2N)\)，當(dāng)\(N\)較大時(shí)（如\(N=1024\)），F(xiàn)FT運(yùn)算量約為直接法的1/100。5.分析窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR濾波器時(shí)，窗函數(shù)主瓣寬度和旁瓣衰減對(duì)濾波器性能的影響。答案：主瓣寬度決定過渡帶寬，主瓣越寬，過渡帶越寬；旁瓣衰減決定阻帶衰減，旁瓣峰值越小，阻帶衰減越大（抑制阻帶信號(hào)能力越強(qiáng)）。設(shè)計(jì)時(shí)需權(quán)衡主瓣寬度（影響過渡帶）和旁瓣衰減（影響阻帶抑制），例如矩形窗主瓣窄但旁瓣衰減小，漢寧窗主瓣寬但旁瓣衰減大。四、計(jì)算題（每題8分，共40分）1.已知離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為\(y(n)-0.5y(n-1)=x(n)\)，其中\(zhòng)(x(n)=u(n)\)（單位階躍序列），初始條件\(y(-1)=0\)。（1）求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)\(h(n)\)；（2）求零狀態(tài)響應(yīng)\(y_{zs}(n)\)。解：（1）差分方程對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)\(H(z)=\frac{1}{1-0.5z^{-1}}\)（收斂域\(|z|>0.5\)），故\(h(n)=0.5^nu(n)\)。（2）零狀態(tài)響應(yīng)\(y_{zs}(n)=x(n)h(n)=u(n)0.5^nu(n)=\sum_{k=0}^{n}0.5^k=\frac{1-0.5^{n+1}}{1-0.5}=2(1-0.5^{n+1})u(n)\)。2.求序列\(zhòng)(x(n)=a^nu(n)\)（\(|a|<1\)）的DTFT\(X(e^{j\omega})\)，并畫出其幅頻特性示意圖。解：DTFT定義\(X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omegan}=\sum_{n=0}^{\infty}a^ne^{-j\omegan}=\frac{1}{1-ae^{-j\omega}}\)（等比級(jí)數(shù)求和，\(|ae^{-j\omega}|=|a|<1\)收斂）。幅頻特性\(|X(e^{j\omega})|=\frac{1}{\sqrt{(1-a\cos\omega)^2+(a\sin\omega)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-2a\cos\omega+a^2}}\)，為低通特性，\(\omega=0\)時(shí)最大（\(1/(1-a)\)），\(\omega=\pi\)時(shí)最小（\(1/(1+a)\)）。3.用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特沃斯低通濾波器，要求通帶截止頻率\(\omega_p=0.2\pi\)，通帶最大衰減\(\alpha_p=1dB\)，阻帶截止頻率\(\omega_s=0.4\pi\)，阻帶最小衰減\(\alpha_s=15dB\)，采樣周期\(T=1\)。（1）計(jì)算預(yù)畸變后的模擬通帶和阻帶截止頻率\(\Omega_p'\)、\(\Omega_s'\)；（2）確定巴特沃斯濾波器的階數(shù)\(N\)和3dB截止頻率\(\Omega_c\)。解：（1）雙線性變換預(yù)畸變公式\(\Omega=\frac{2}{T}\tan(\omega/2)\)（\(T=1\)），故\(\Omega_p'=2\tan(0.1\pi)\approx2\times0.3249=0.6498\)rad/s，\(\Omega_s'=2\tan(0.2\pi)\approx2\times0.7265=1.4530\)rad/s。（2）巴特沃斯濾波器衰減公式\(\alpha=10\log_{10}(1+(\Omega/\Omega_c)^{2N})\)。通帶條件\(1=10\log_{10}(1+(\Omega_p'/\Omega_c)^{2N})\)→\((\Omega_p'/\Omega_c)^{2N}=10^{0.1}-1\approx0.2589\)；阻帶條件\(15=10\log_{10}(1+(\Omega_s'/\Omega_c)^{2N})\)→\((\Omega_s'/\Omega_c)^{2N}=10^{1.5}-1\approx29.627\)。兩式相除得\((\Omega_s'/\Omega_p')^{2N}\approx29.627/0.2589\approx114.4\)，取對(duì)數(shù)\(2N\log_{10}(\Omega_s'/\Omega_p')=\log_{10}(114.4)\)，計(jì)算\(\Omega_s'/\Omega_p'\approx1.4530/0.6498\approx2.236\)，則\(2N\times0.349=2.058\)→\(N\approx2.058/(2\times0.349)\approx2.95\)，取\(N=3\)。代入通帶條件求\(\Omega_c\)：\((0.6498/\Omega_c)^6=0.2589\)→\(\Omega_c=0.6498/(0.2589)^{1/6}\approx0.6498/0.812\approx0.800\)rad/s。4.用矩形窗設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器，理想頻率響應(yīng)為\(H_d(e^{j\omega})=\begin{cases}e^{-j\omega\alpha},&|\omega|\leq\omega_c\\0,&\omega_c<|\omega|\leq\pi\end{cases}\)，其中\(zhòng)(\alpha=(N-1)/2\)（\(N\)為濾波器長(zhǎng)度，奇數(shù)）。已知\(\omega_c=0.4\pi\)，\(N=5\)。（1）求理想單位脈沖響應(yīng)\(h_d(n)\)；（2）求實(shí)際單位脈沖響應(yīng)\(h(n)\)；（3）說明該濾波器的相位特性。解：（1）理想低通濾波器的單位脈沖響應(yīng)\(h_d(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{-j\omega\alpha}e^{j\omegan}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}e^{j\omega(n-\alpha)}d\omega=\frac{\sin[\omega_c(n-\alpha)]}{\pi(n-\alpha)}\)（\(n\neq\alpha\)），\(n=\alpha\)時(shí)\(h_d(\alpha)=\omega_c/\pi\)。（2）矩形窗\(w(n)=1\)（\(n=0,1,2,3,4\)），故\(h(n)=h_d(n)w(n)\)。\(N=5\)時(shí)\(\alpha=2\)，計(jì)算各\(n\)：\(n=0\):\(h_d(0)=\sin[0.4\pi(-2)]/[\pi(-2)]=\sin(-0.8\pi)/(-2\pi)=\sin(0.8\pi)/(2\pi)\approx0.5878/6.283\approx0.0936\)；\(n=1\):\(h_d(1)=\sin[0.4\pi(-1)]/[\pi(-1)]=\sin(-0.4\pi)/(-\pi)=\sin(0.4\pi)/\pi\approx0.6428/3.1416\approx0.2046\)；\(n=2\):\(h_d(2)=0.4\pi/\pi=0.4\)；\(n=3\):\(h_d(3)=\sin[0.4\pi(1)]/[\pi(1)]=0.6428/3.1416\approx0.2046\)；