§2.1函數(shù)的概念及其表示01數(shù)學(xué)

大一輪復(fù)習(xí)1.了解函數(shù)的含義.2.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù),并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.課標(biāo)要求第一部分落實(shí)主干知識(shí)第二部分探究核心題型01內(nèi)容索引02課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)02單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題1.函數(shù)的概念一般地,設(shè)A,B是非空的實(shí)數(shù)集,如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有

的數(shù)y和它對(duì)應(yīng),那么就稱(chēng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù),記作y＝f(x),x∈A.2.函數(shù)的三要素(1)函數(shù)的三要素：

、

、

.(2)如果兩個(gè)函數(shù)的

相同,并且

完全一致,即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也相同,那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù).唯一確定定義域?qū)?yīng)關(guān)系值域定義域?qū)?yīng)關(guān)系3.函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有

、圖象法和

.4.分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上,因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示,這種函數(shù)稱(chēng)為分段函數(shù).解析法列表法

××√√根據(jù)函數(shù)的定義,對(duì)于每一個(gè)自變量都有唯一確定的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng),A選項(xiàng)中存在一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)兩個(gè)函數(shù)值,所以A不是函數(shù)圖象.√2.以下圖形中,不是函數(shù)圖象的是

√√√

因?yàn)閒

(－2)＝(－2)2＝4,所以

f

(f

(－2))＝f(4)＝log44＝1.1防范四個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)(1)求函數(shù)定義域之前,盡量不要對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形,以免引起定義域的變化.(2)用換元法求值域或解析式時(shí),一定要根據(jù)原函數(shù)和定義域求出新變量的范圍.(3)f(φ(x))的定義域是指x的取值范圍而不是φ(x)的取值范圍.(4)分段求解是解決分段函數(shù)的基本原則,已知函數(shù)值求自變量值時(shí),易因忽略自變量的取值范圍而出錯(cuò).返回微點(diǎn)提醒探究核心題型03單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題

√題型一√√函數(shù)的概念

(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1,3),則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)?函數(shù)的含義及判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的方法(1)函數(shù)概念中有兩個(gè)要求：①A,B是非空的實(shí)數(shù)集；②第一個(gè)集合A中的每個(gè)元素在第二個(gè)集合B中有且只有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng).(2)兩個(gè)函數(shù)滿足定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同時(shí),才是同一個(gè)函數(shù).思維升華

√

√√√

例2

(1)已知f(1－sinx)＝cos2x,求f(x)的解析式；題型二(換元法)設(shè)1－sinx＝t,t∈[0,2],則sinx＝1－t,∵f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x,∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2].即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2).函數(shù)的解析式

(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式；(解方程組法)∵f(x)－2f(－x)＝9x＋2, ①∴f(－x)－2f(x)＝9(－x)＋2, ②由①＋2×②得－3f(x)＝－9x＋6,∴f(x)＝3x－2(x∈R).(4)若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,均有f(x)－2f(－x)＝9x＋2,求f(x)的解析式.函數(shù)解析式的求法(1)配湊法.(2)待定系數(shù)法.(3)換元法.(4)解方程組法.思維升華

√√√

√分段函數(shù)√題型三

√

當(dāng)n＝0時(shí),－2≤m≤－1；當(dāng)m＝－2時(shí),－1≤n≤0,則當(dāng)n＝0,m＝－2時(shí),n－m取得最大值2.分段函數(shù)求值問(wèn)題的解題思路(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)f

(f

(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn).思維升華

√當(dāng)f(x)＝2時(shí),若x≤0,則有2－x＝2,解得x＝－1；若x>0,則有l(wèi)nx＝2,解得x＝e2.即由f(x)＝2可得x＝－1或x＝e2,不一定能推出x＝－1,故“f(x)＝2”不是“x＝－1”成立的充分條件；反之,當(dāng)x＝－1時(shí),代入解析式可得f(－1)＝2,即“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要條件,綜上,“f(x)＝2”是“x＝－1”成立的必要不充分條件.

√√√

返回課時(shí)精練04單擊此處添加章節(jié)副標(biāo)題答案12345678910111213141516題號(hào)12345678答案BBBABDDA題號(hào)910111213答案ABDCDBC(0，1)∪(1，2]1題號(hào)141516答案4

(-1，1)∪(1，+∞)BCD對(duì)一對(duì)

√12345678910111213141516知識(shí)過(guò)關(guān)答案12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案

√

3.已知f(x＋1)＝2x,且f(m)＝4,則m等于A.2 B.3 C.4

D.5√12345678910111213141516由題意知f(x＋1)＝2x,且f(m)＝4,用x－1代換x,則f(x)＝2(x－1),即f(m)＝2(m－1)＝4,∴m＝3.答案4.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”,是甘肅禮縣出土的先秦時(shí)期的青銅器皿.科研人員為了測(cè)量其容積,以恒定的流速向其內(nèi)注水,恰好用時(shí)30秒注滿,設(shè)注水過(guò)程中,壺中水面高度為h,注水時(shí)間為t,則下面選項(xiàng)中最符合h關(guān)于t的函數(shù)圖象的是12345678910111213141516答案√12345678910111213141516答案水壺的結(jié)構(gòu)：底端與上端細(xì)、中間粗,所以在注水速度恒定的情況下,開(kāi)始水的高度增加的由快變慢,中間增加的最慢,最后增加的由慢變快,由圖可知選項(xiàng)A符合.5.記無(wú)理數(shù)e＝2.7182…5904523536…小數(shù)點(diǎn)后第x位上的數(shù)字是y,則y是x的函數(shù),記作y＝f(x),定義域?yàn)镸,值域?yàn)镹,則下列說(shuō)法正確的是A.f(4)＝8B.x不是y的函數(shù)C.N?MD.y＝f(x)是周期函數(shù)√12345678910111213141516答案12345678910111213141516由題意可得M＝N*,N＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},則N不是M的子集,C不正確；無(wú)理數(shù)e小數(shù)點(diǎn)后第4位上的數(shù)字為2,故f(4)＝2,A不正確；當(dāng)y＝2時(shí),對(duì)應(yīng)的x的值不是唯一確定的,根據(jù)函數(shù)的定義可知x不是y的函數(shù),B正確；由于e為無(wú)理數(shù),所以y＝f(x)不是周期函數(shù),D不正確.答案

√12345678910111213141516答案12345678910111213141516由題意可知,a≠0.當(dāng)a<0時(shí),f(a)＝a2＋2a,f(－a)＝－a2－2a,所以由f(a)<f(－a)可得a2＋2a<－a2－2a,即a2＋2a<0,解得－2<a<0,當(dāng)a>0時(shí),f(a)＝－a2＋2a,f(－a)＝a2－2a,所以由f(a)<f(－a)可得－a2＋2a<a2－2a,即a2－2a>0,解得a>2,所以a的取值范圍是(－2,0)∪(2,＋∞).答案

12345678910111213141516√答案

12345678910111213141516答案

√12345678910111213141516答案12345678910111213141516

答案

12345678910111213141516√√答案√12345678910111213141516答案

12345678910111213141516答案函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,2],由0≤2x≤2,得0≤x≤1,則函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇0,1],故C錯(cuò)誤；由函數(shù)的定義知,若函數(shù)的定義域中只含有一個(gè)元素,則值域中也只有唯一一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng),故D正確.

12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516

答案

12345678910111213141516√√答案12345678910111213141516

答案12345678910111213141516

答案

(0,1)∪(1,2]12345678910111213141516

答案

12345678910111213141516答案1

123456789101112131415164答案

(－1,1)∪(1,＋∞)15.(多選)對(duì)?x∈R,[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[3.14]＝3,[0.618]＝0,[－2.71828]＝－3,我們把y＝[x],x∈R叫做取整函數(shù),也稱(chēng)之為高斯(Gaussian)函數(shù).以下關(guān)于“高斯函數(shù)”的命題,其中是真命題的有A.?x∈R,[|x|]＝|[x]|B.?x,y∈R,[x－y]<[x]－[y]C.?x,y∈R,若[x]＝[y],則x－y<1D.不等式2