13.2命題與證明1.認識推理證明的方式以及證明的必要性和證明的一般步驟.2.掌握證明的步驟和格式.3.掌握命題、真命題、假命題、定理、推論的概念以及基本事實與定理的區(qū)別.4.學(xué)會確定條件和結(jié)論不明顯的命題的條件和結(jié)論.1.掌握證明的步驟和格式.2.認識命題的條件和結(jié)論.1.線段、射線、直線、角、相交線、平行線的概念.2.平行線的性質(zhì)：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補.3.平行線的判定：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角（內(nèi)錯角）相等或同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.4.三角形的內(nèi)角和等于180°.知識點一定義能明確界定某個對象含義的語句叫作定義.我們已經(jīng)學(xué)過許多定義.如“由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的封閉圖形叫作三角形”“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)”.前一個定義揭示了對象的特征性質(zhì)，后一個定義明確所指對象的范圍.今后我們還會學(xué)習(xí)許多定義.特別提示：定義必須是嚴(yán)密的，應(yīng)避免使用含糊不清的術(shù)語.如“一些”“大概”“差不多”等詞語不能在定義中出現(xiàn).正確的定義能把被定義的事物或名詞與其他事物或名詞區(qū)別開來.【例1】下列屬于定義的是（）A.兩點確定一條直線B.同角或等角的余角相等C.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補D.點到直線的距離是該點到這條直線的垂線段的長度【解析】定義能把被定義的事物或名詞與其他事物或名詞區(qū)別開來，顯然只有D選項具有這樣的特點.【答案】D知識點二命題1.命題的定義可以判斷正確或不正確的陳述語句叫作命題.2.命題的結(jié)構(gòu)命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項.一般地，命題都可以寫成“如果……那么……”的形式，用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分是結(jié)論.以“如果……那么……”為關(guān)聯(lián)詞的命題的一般形式是“如果p，那么q”，或者說成“若p，則q”，其中p是這個命題的條件（或題設(shè)），q是這個命題的結(jié)論（或題斷）.3.命題的分類命題有真假之分，正確的命題為真命題，錯誤的命題為假命題.特別提示：（1）可以判斷出它是真假的陳述語句叫作命題.疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題.（2）命題的定義包含兩層含義：①命題可以是一個式子或完整的句子，這個句子通常是一個陳述句，包括肯定句和否定句；②命題必須對某件事情給出肯定或者否定的判斷.對于一個命題，上述兩點缺一不可.【例2－1】判斷下列敘述是不是命題，并說明理由.（1）畫出∠AOB的平分線OM；（2）垂直于同一條直線的兩條直線平行；（3）直角都相等；（4）你喜歡數(shù)學(xué)嗎？（5）潮濕的空氣.【解析】可以判斷出真、假的陳述語句叫作命題.因此命題必須是一個完整的句子，并且對某一件事情作出肯定或否定的判斷.【解】（1）不是命題.理由：此句僅說出了作圖的一個步驟，并沒有作出任何判斷.（2）是命題.理由：此句對符合一定條件的直線作出了平行線的判斷.（3）是命題.理由：此句對符合一定條件的角作出了相等的判斷.（4）不是命題.理由：此句僅提出了一個問題，是一個疑問句，并沒有作出任何判斷.（5）不是命題.理由：這僅僅是一個詞組（短語），不是句子，且沒有作出任何判斷.【迷津指點】要判斷一個敘述是不是命題，主要注意以下兩點：首先命題必須是一個完整的句子，如（5）僅僅是一個詞組（短語），不是句子；其次，這個句子必須對某件事情作出肯定或否定的判斷，如（1）沒有作出任何判斷.【例2－2】指出下列命題的條件和結(jié)論.（1）如果兩個角相等，那么它們是對頂角；（2）若a＞b，b＞c，則a＞c；（3）兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等；（4）全等的兩個三角形的面積相等；（5）對頂角相等.【解析】第（1）（2）命題中有“如果……那么……”和“若……則……”條件和結(jié)論比較明顯；第（3）（4）（5）命題中的條件和結(jié)論不明顯，需要先把命題改寫成“如果……那么……”的形式，再找出條件和結(jié)論.【解】（1）條件：兩個角相等；結(jié)論：它們是對頂角.（2）條件：a＞b，b＞c；結(jié)論：a＞c.（3）改寫：如果兩個三角形有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.條件：兩個三角形有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等；結(jié)論：這兩個三角形全等.（4）改寫：如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等.條件：兩個三角形全等；結(jié)論：這兩個三角形的面積相等.（5）改寫：如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.條件：兩個角是對頂角；結(jié)論：這兩個角相等.【迷津指點】對那些條件和結(jié)論不明顯的命題，要指出其條件和結(jié)論，可先將其改寫成“如果……那么……”的形式后再加以判斷，在改寫時要做到語句通順，措辭準(zhǔn)確，不改變命題的原意.【例2－3】下列命題中，是真命題的是（）A.若a·b＞0，則a＞0，b＞0B.若a·b＜0，則a＜0，b＜0C.若a·b＝0，則a＝0且b＝0D.若a2＝b2，則a＝b或a＝－b【解析】分析命題是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案.A選項由a·b＞0可得a，b同號，可能同為正，也可能同為負，故是假命題；B選項由a·b＜0可得a，b異號，故是假命題；C選項由a·b＝0可得a，b中必有一個字母的值為0，但不一定同時為0，故是假命題；D選項由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，故是真命題.【答案】D【迷津指點】根據(jù)真、假命題的定義進行判斷，正確的命題叫作真命題，錯誤的命題叫作假命題.知識點三原命題、逆命題、反例1.原命題和逆命題將命題“如果p，那么q”中的條件和結(jié)論互換，便得到一個新命題“如果q，那么p”，我們把這樣的兩個命題稱為互逆命題，其中一個叫作原命題，另一個就叫作原命題的逆命題.2.反例當(dāng)一個命題是真命題時，它的逆命題不一定是真命題.要說明一個命題是假命題，只要舉出一個符合命題條件，但不滿足命題結(jié)論的例子，我們稱這樣的例子為反例.特別提示：若原命題是真命題，它的逆命題不一定是真命題；若原命題是假命題，它的逆命題也不一定是假命題.【例3－1】寫出下列命題的逆命題，并判斷所寫逆命題的真假.（1）若x＝y(tǒng)，則x2＝y(tǒng)2；（2）同旁內(nèi)角互補.【解析】把命題改寫成“如果p，那么q”的形式，再把p與q的位置互換，就得到它的逆命題，然后判斷真假即可.【解】（1）逆命題為“如果x2＝y(tǒng)2，那么x＝y(tǒng)”，是假命題.（2）逆命題為“如果兩個角互補，那么這兩個角是同旁內(nèi)角”，是假命題.【例3－2】命題“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命題，可舉出反例為.【解析】當(dāng)a＝2，b＝－2時，a2＝22＝4，b2＝（－2）2＝4，所以a2＝b2，但a≠b.【解】a＝2，b＝－2（答案不唯一）【迷津指點】通過舉反例來說明一個命題是假命題是數(shù)學(xué)中或日常生活中常用的思想方法，舉反例只需要舉出一個即可.知識點四定理和證明1.定理有些命題是從基本事實或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫作定理.2.證明從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實、定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理（或演繹法）.演繹推理的過程，就是演繹證明.3.證明的一般步驟（1）分清條件和結(jié)論，根據(jù)題意畫出圖形，圖形要正確且具有一般性，不能畫特殊圖形；（2）根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證；（3）探求證題思路，看由已知條件可以推得哪些結(jié)論，看欲證的結(jié)論需要哪些條件，兩者結(jié)合尋找證題思路；（4）寫出證明過程，證明中的每一步都要有理有據(jù).特別提示：（1）定理是某些真命題的獨立表達形式，命題與定理是一般與特殊的關(guān)系，并不是每個命題都是定理，而任何一個定理都是命題.（2）利用定理進行證明，一般是從條件出發(fā)，通過因果關(guān)系的推理，得到最后的結(jié)論.證明要求步步有據(jù)，每步推理都要以定義、基本事實或定理作為依據(jù).（3）在尋求證明思路的過程中，可以從已知向求證探索，也可以倒過來，即從求證向已知追溯，還可以從已知和求證兩個方向同時出發(fā).【例4－1】命題“對頂角相等”是（）A.角的定義 B.假命題C.基本事實 D.定理【解析】“對頂角相等”的正確性是需要經(jīng)過推理來證實的，而后又把它選定作為判定其他命題真假的依據(jù)，所以它屬于定理.【答案】D【例4－2】求證：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.【解析】這是一道文字證明題，需要畫出圖形，寫出已知和求證，然后進行證明.【解】已知：如圖，∠1＋∠2＝180°.求證：a∥b.證明：∵∠1＋∠2＝180°，（已知）∠2＋∠3＝180°，（平角的定義）∴∠1＝∠3，（等量代換）∴a∥b.（同位角相等，兩直線平行）【迷津指點】證明中的每一步都要有依據(jù)，這些依據(jù)可以是已知條件，也可以是我們學(xué)過的定義、基本事實、定理等.知識點五三角形內(nèi)角和定理的證明三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180°.為了證明的需要，在原來圖形上添畫的線叫作輔助線.學(xué)習(xí)了證明的意義、證明命題的格式及步驟后，我們可以用推理的方式證明三角形內(nèi)角和定理.【例5】教材給出了三角形內(nèi)角和定理的一種證明方法，你還有其他的證明方法嗎？已知：如圖所示的△ABC.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.【解析】教材中我們用“拼角”的作法，即把三角形的3個內(nèi)角“搬”到一起，拼成一個平角，證明了定理，如圖①②③所示，下面探索另外兩種證明的方法.圖①圖②圖③【解】證法1：過點A作AD∥BC，如圖④所示.∵AD∥BC，∴∠1＝∠C，∠DAB＋∠B＝180°，∴∠BAC＋∠C＋∠B＝∠BAC＋∠1＋∠B＝∠DAB＋∠B＝180°.圖④圖⑤證法2：如圖⑤所示，過點A在∠BAC的內(nèi)部任作一條射線AD，再作BE∥AD，CF∥AD.∵BE∥AD∥CF，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠EBC＋∠BCF＝180°，∴∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝∠1＋∠2＋∠ABC＋∠ACB＝∠EBC＋∠BCF＝180°.【迷津指點】很多題目都具有多種解法，一題多解有利于培養(yǎng)思維的靈活性和廣闊性，提高分析問題的能力和養(yǎng)成勤于思考的好習(xí)慣.知識點六三角形內(nèi)角和定理的推論由基本事實、定理直接得出的真命題叫作推論.1.三角形的外角由三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫作三角形的外角.如圖所示，∠ACD和∠BCE是△ABC的兩個外角，而∠DCE不是三角形的外角.2.三角形內(nèi)角和定理的推論推論1：直角三角形的兩銳角互余.推論2：有兩個角互余的三角形是直角三角形.推論3：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.推論4：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.3.三角形的外角和為360°.【例6－1】如圖，D是AB上一點，E是AC上一點，BE，CD相交于點F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°.試求：（1）∠BDC的度數(shù)；（2）∠BFD的度數(shù).【解析】（1）由題意，知∠A＝62°，∠ACD＝35°，利用三角形外角的性質(zhì)，即可得出∠BDC＝∠A＋∠ACD；（2）已知∠ABE＝20°，利用三角形內(nèi)角和定理，得出∠BFD＝180°－∠ABE－∠BDC.【解】（1）∵∠A＝62°，∠ACD＝35°，（已知）∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝97°.（三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）（2）∵∠ABE＝20°，（已知）∠BDC＝97°，〔由（1）知〕∴∠BFD＝180°－∠ABE－∠BDC＝180°－20°－97°＝63°.（三角形內(nèi)角和定理）【迷津指點】利用三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，是求角的度數(shù)的基本方法.【例6－2】圖中的圓是一個噴水池，現(xiàn)要修建兩條通向水池的小道PA和QB，要求PA與QB所在的直線互相垂直.為了檢驗PA與QB是否垂直，小亮同學(xué)在水池外的平地上選定一個可直達點P和點Q的點C，然后測得∠P＝25°，∠C＝45°，∠Q＝20°.PA與QB是否垂直？為什么？【解析】延長PA，QB，然后根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求解.【解】垂直.理由：如圖所示，延長PA，QB交于點D，延長PD交CQ于點E.由三角形外角的性質(zhì)，得∠1＝∠P＋∠C＝25°＋45°＝70°，∠2＝∠Q＋∠1＝20°＋70°＝90°，所以PA⊥QB.【迷津指點】本題考查了三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，作輔助線構(gòu)造出三角形是解題的關(guān)鍵.【例6－3】如圖，已知D是∠ACB外角的平分線與BA的延長線的交點.求證：∠BAC＞∠B.【解析】由三角形外角的性質(zhì)可知∠BAC＞∠1，∠2＞∠B，而∠1＝∠2，故問題得證.【解】∵CD平分∠ACE，（已知）∴∠1＝∠2.（角平分線的定義）∵∠BAC是△ACD中與∠1不相鄰的外角，（已知）∴∠BAC＞∠1，（三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）∴∠BAC＞∠2.（等量代換）又∵∠2是△BDC中與∠B不相鄰的外角，（已知）∴∠2＞∠B，（三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角）∴∠BAC＞∠B.（不等式的性質(zhì)）【迷津指點】在本題中∠BAC既是△ABC的內(nèi)角，又是△ACD的外角，利用三角形外角的性質(zhì)，進行角的轉(zhuǎn)換是證題的關(guān)鍵.【例1】下列語句中，哪些是命題？哪些不是命題？如果是命題，判斷命題的真假.（1）對頂角相等；（2）如果a是有理數(shù)，那么a2＋1＞0；（3）若a∥c，b∥c，則a∥b；（4）1是質(zhì)數(shù)；（5）不相交的兩條線是平行線；（6）奇數(shù)一定是質(zhì)數(shù)嗎？（7）畫一個半徑是1cm的圓；（8）任何數(shù)的絕對值都是正數(shù).【解析】真正理解命題的定義是解題的關(guān)鍵.【解】（1）（2）（3）（4）（5）（8）是命題，（6）（7）不是命題，其中（1）（2）（3）是真命題，（4）（5）（8）是假命題.【例2】將下列命題改寫成“如果……那么……”的形式，并分別指出命題的條件與結(jié)論.（1）直角都相等；（2）末位數(shù)是5的整數(shù)能被5整除；（3）三角形的內(nèi)角和是180°；（4）同角的余角相等.【解析】一個命題包括條件和結(jié)論兩個部分.若命題不易分辨出條件和結(jié)論兩部分，可以將命題改寫成與原命題意義不變、句子通順的“如果……那么……”形式，使命題的條件和結(jié)論更明朗化.改寫時，可以適當(dāng)增刪詞語，使句子完整通順.對于沒有寫成“如果……那么……”形式的命題，我們要找到其中表示判斷的關(guān)鍵詞，如“是”“相等”等詞語，與這些詞相連的一般是結(jié)論.【解】（1）這個命題寫成：“如果幾個角是直角，那么這幾個角都相等.”條件是“幾個角是直角”，結(jié)論是“這幾個角都相等”.（2）這個命題寫成：“如果一個整數(shù)的末位數(shù)是5，那么它能被5整除.”條件是“一個整數(shù)的末位數(shù)是5”，結(jié)論是“它能被5整除”.（3）這個命題寫成：“如果一個圖形是三角形，那么它的內(nèi)角和是180°.”條件是“一個圖形是三角形”，結(jié)論是“它的內(nèi)角和是180°”.（4）這個命題寫成：“如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.”條件是“兩個角是同一個角的余角”，結(jié)論是“這兩個角相等”.【迷津指點】添加“如果”“那么”后，命題的意義不能改變，改寫的句子要完整，語句要通順，使命題的條件和結(jié)論更明朗，易于分辨.改寫過程中可以適當(dāng)增刪詞語，使語句更通順，切不可生搬硬套.【例3】寫出下列命題的逆命題，并判斷逆命題的真假.（1）三角形的兩邊之和大于第三邊；（2）若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù).【解析】逆命題就是把原命題的條件變成新命題的結(jié)論，而將原命題的結(jié)論變成新命題的條件.（1）“三角形的兩邊之和大于第三邊”可轉(zhuǎn)換成“如果三條線段能構(gòu)成三角形，那么任意兩條線段之和大于第三條線段的長”的形式，這樣寫逆命題就方便了；（2）“若a，b都是偶數(shù)，則a＋b是偶數(shù)”的逆命題通過交換條件和結(jié)論即可得到，可舉一個反例判斷其是假命題.【解】（1）逆命題：“如果三條線段中，任意兩條線段之和都大于第三條線段的長，那么這三條線段能組成三角形.”這是真命題.（2）逆命題：“如果a＋b是偶數(shù)，那么a，b都是偶數(shù).”這是假命題.例如：a＝3，b＝5，a＋b＝8，但a，b均不是偶數(shù).【迷津指點】寫出一個命題的逆命題的方法：當(dāng)