第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.1軸對稱圖形1.掌握軸對稱的性質(zhì)，會畫已知圖形關(guān)于某直線的對稱圖形.2.理解軸對稱和軸對稱圖形的概念，弄清它們的區(qū)別和聯(lián)系.1.軸對稱和軸對稱圖形的區(qū)別和聯(lián)系.2.軸對稱的性質(zhì)及畫軸對稱圖形.1.點的坐標(biāo)：如果平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點P的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y，我們就說有序?qū)崝?shù)對（x，y）是點P在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作P（x，y）.2.全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫作全等形.全等形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.3.線段的中點：把一條線段分成兩條相等的線段的點，叫作線段的中點.4.垂直：兩條直線相交所成的4個角中，如果有一個角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線，它們的交點叫作垂足.知識點一軸對稱圖形軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫作軸對稱圖形，這條直線叫作對稱軸.特別提示：理解軸對稱圖形的概念要抓住以下幾點：（1）指一個圖形；（2）存在一條直線（但其對稱軸條數(shù)可能不止一條）；（3）圖形沿這條直線對折，直線兩旁的部分能夠完全重合.【例1】剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（） ABCD【解析】本題考查軸對稱圖形，難度較小.一個平面圖形沿著某一條線折疊能夠完全重合，那么它就是軸對稱圖形.只有D選項正確.【答案】D【迷津指點】解決此類問題一定要看清楚所選的是軸對稱圖形還是非軸對稱圖形，另外在判斷時不要憑感覺，一定要從軸對稱圖形的定義出發(fā)，這樣才能正確解答.知識點二軸對稱平面內(nèi)兩個圖形在一條直線的兩旁，如果沿著這條直線折疊，這兩個圖形能夠重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱，這條直線就是對稱軸.折疊后重合的兩點叫作對應(yīng)點（也叫對稱點）.特別提示：（1）和軸對稱圖形不同，軸對稱是對兩個圖形而言，是指兩個圖形之間的一種特殊的位置關(guān)系；軸對稱圖形可能不止一條對稱軸.（2）一個軸對稱圖形，如果把它的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，那么這兩個圖形關(guān)于這條軸對稱；反之如果把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形.（3）成軸對稱的兩個圖形全等.對稱軸經(jīng)過連接對應(yīng)點的線段的中點，并且垂直于這條線段.【例2】如圖，網(wǎng)格中有一個四邊形和兩個三角形.（1）請你畫出這三個圖形關(guān)于直線MN的對稱圖形；（2）將（1）中畫出的圖形與原圖形看成一個整體，請寫出這個整體圖形對稱軸的條數(shù).【解析】本題是一道軸對稱圖形的作圖題，應(yīng)先確定三個圖形上的特殊點——頂點，然后根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，作出這些特殊點關(guān)于直線MN對稱的點，最后順次連接即可.【解】（1）所作的圖形如圖所示.（2）觀察圖形可知，整個圖形有四條對稱軸.【迷津指點】作一個圖形關(guān)于對稱軸的對稱圖形，關(guān)鍵是作出圖形上特殊點的對稱點，然后將對稱點按原來的順序連接起來.知識點三線段垂直平分線的定義及軸對稱的性質(zhì)1.線段的垂直平分線經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線叫作這條線段的垂直平分線，又叫作線段的中垂線.如圖所示，已知線段AB，MN⊥AB，且MN平分AB，則直線MN是線段AB的垂直平分線.2.軸對稱的性質(zhì)（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形.（2）如果兩個圖形關(guān)于某直線成軸對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.（3）成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分.（4）兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段的延長線相交，那么交點在對稱軸上.特別提示：（1）線段的垂直平分線是直線，一條線段有且只有一條垂直平分線.（2）利用軸對稱的上述性質(zhì)，可以作出某一個圖形關(guān)于某直線的對稱圖形，也可以判定線段和角的相等關(guān)系.【例3】如圖所示，如果直線m是五邊形ABCDE的對稱軸，其中∠BAE＝140°，∠EAC＝70°，∠B＝90°，那么∠BCD的度數(shù)等于（）A.40° B.50° C.80° D.70°【解析】由∠BAE＝140°，∠EAC＝70°，可得∠BAC＝70°.在△ABC中，可求出∠ACB＝20°.在△AEC中，∵m是對稱軸，∴∠AFC＝90°，則可求出∠ACF＝20°，∴∠BCF＝40°.又∵直線m是五邊形ABCDE的對稱軸，得∠BCF＝∠DCF＝40°，∴∠BCD＝80°.【答案】C【迷津指點】軸對稱的性質(zhì)常用來求解某些線段長度或角度大小的問題.知識點四用坐標(biāo)表示圖形的軸對稱圖形1.設(shè)P（x，y）是平面直角坐標(biāo)系上任意一點，則它關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（x，－y）；關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（－x，y）.2.在坐標(biāo)系中作軸對稱圖形的方法：（1）求出已知圖形中的一些特殊點（如多邊形的頂點）的坐標(biāo)；（2）求出相應(yīng)對稱點的坐標(biāo)；（3）根據(jù)對稱點的坐標(biāo)描點；（4）依次連接所描各點得到對稱圖形.特別提示：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（x，y）與其關(guān)于x軸對稱的點的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；點P（x，y）與其關(guān)于y軸對稱的點的縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).（2）點P（x，y）關(guān)于第一、三象限的角平分線對稱的點的坐標(biāo)為P'（y，x）；點P（x，y）關(guān)于第二、四象限的角平分線對稱的點的坐標(biāo)為P″（－y，－x）.（3）點（x，y）關(guān)于直線x＝m對稱的點的坐標(biāo)是（2m－x，y），即若兩點（x1，y1），（x2，y2）關(guān)于直線x＝m對稱，則m＝x1＋x22，y1＝y(tǒng)2；點（x，y）關(guān)于直線y＝n對稱的點的坐標(biāo)是（x，2n－y），即若兩點（x1，y1），（x2，y2）關(guān)于直線y＝n對稱，則x1＝x2【例4】如圖所示，利用關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點，分別作出△ABC關(guān)于x軸和y軸對稱的圖形.【解析】先確定各頂點的對稱點的坐標(biāo)，然后描出這些對稱點，并順次連接即可.【解】△ABC的頂點A，B，C的坐標(biāo)分別為A（－4，1），B（－1，－1），C（－3，2），它們關(guān)于x軸的對稱點分別為A'（－4，－1），B'（－1，1），C'（－3，－2）；關(guān)于y軸的對稱點分別為A″（4，1），B″（1，－1），C″（3，2）.在平面直角坐標(biāo)系中分別描出這些點，依次連接A'B'，B'C'，C'A'；A″B″，B″C″，C″A″，就可以得到與△ABC關(guān)于x軸和y軸對稱的△A'B'C'和△A″B″C″.【迷津指點】作關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的圖形，應(yīng)先找出能確定圖形形狀和大小的關(guān)鍵點的坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特點，求出這些關(guān)鍵點關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)，并在坐標(biāo)平面內(nèi)描出這些對稱點，最后再把這些點依次連接起來，就得到所求作的圖形.【例1】如圖所示，六邊形ABCDEF是軸對稱圖形，CF所在的直線是它的對稱軸.若∠AFC＋∠BCF＝150°，則∠AFE＋∠BCD＝.【解析】∵CF所在的直線是六邊形ABCDEF的對稱軸，∴∠EFC＝∠AFC，∠DCF＝∠BCF.∵∠AFC＋∠BCF＝150°，∴∠AFE＋∠BCD＝2∠AFC＋2∠BCF＝2（∠AFC＋∠BCF）＝300°.【解】300°【迷津指點】由軸對稱圖形的意義，得∠AFC＝∠EFC＝12∠AFE，∠BCF＝∠DCF＝12∠【例2】在如圖所示的圖形中，所有軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)之和為（）A.13 B.11 C.10 D.8【解析】根據(jù)軸對稱圖形及對稱軸的定義，分別找出各軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)，即可得出答案.第一個圖形是軸對稱圖形，有1條對稱軸；第二個圖形是軸對稱圖形，有2條對稱軸；第三個圖形是軸對稱圖形，有2條對稱軸；第四個圖形是軸對稱圖形，有6條對稱軸.故所有軸對稱圖形的對稱軸條數(shù)之和為11.【答案】B【例3】如圖是由一個圓、一個半圓和一個三角形組成的圖形.請你以直線AB為對稱軸，把原圖補成軸對稱圖形.【解析】半圓的對稱圖形還是半圓，三角形的對稱點有兩點在對稱軸上，只要找到點P關(guān)于AB的對稱點Q即可.【解】以點O為圓心，OC的長為半徑畫半圓.過點P作AB的垂線，垂足為D，在垂線上截取QD＝PD，連接CQ，EQ.如圖即為所求.【迷津指點】用到的知識點：兩點關(guān)于某條直線對稱，那么這兩點的連線被對稱軸垂直平分.【例4】如圖，方格紙中有兩個圖形.（1）畫出圖形①向右平移7個單位的圖形a；（2）畫出圖形a關(guān)于直線AB的軸對稱圖形b；（3）將圖形b與圖形②看成一個整體圖形，請寫出這個整體圖形的對稱軸的條數(shù).【解析】本題是一道與平移、軸對稱有關(guān)的圖案設(shè)計問題，解決問題需要掌握平移、軸對稱的特征，注意平移、軸對稱圖形的作法.【解】（1）如圖所示.（2）如圖所示.（3）所得的圖形是一個長方形，有兩條對稱軸.【迷津指點】設(shè)計軸對稱圖形的試題是中考試題中的一個亮點，這類試題具有開放性，設(shè)計的方法較多，可以考查學(xué)生的空間想象能力以及創(chuàng)新設(shè)計能力.【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點B（－2，0）關(guān)于y軸對稱的點為B'，從點A（2，4）射入一束光線，經(jīng)過y軸反射后穿過B'點，則此光線在y軸上的入射點的坐標(biāo)是.【解析】點B（－2，0）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為B'（2，0），由題意知y軸上的入射點的縱坐標(biāo)應(yīng)在0與4中間.∵點A與點B'應(yīng)關(guān)于過入射點且垂直于y軸的直線對稱，故所求入射點的坐標(biāo)為（0，2）.【解】（0，2）【迷津指點】此題考查了根據(jù)題意構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的能力，需要掌握軸對稱的性質(zhì)，同時也應(yīng)注意坐標(biāo)知識在不同情境中與其他數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用.【例6】點A，B均在由面積為1的相同小正方形組成的網(wǎng)格的格點上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.若P是x軸上使得｜PA－PB｜的值最大的點，Q是y軸上使得QA＋QB的值最小的點，則OP·OQ＝.【解析】如圖所示，連接AB并延長，交x軸于點P，由三角形的三邊關(guān)系可知，P即為x軸上使得｜PA－PB｜的值最大的點，此時點P的坐標(biāo)為（3，0），即OP＝3.作點A關(guān)于y軸對稱的點A'，連接A'B交y軸于點Q，則A'B即為QA＋QB的最小值.∵A'（－1，2），B（2，1），設(shè)過點A'，B的直線方程為y＝kx＋b，則2=－k＋b，1=2k＋b，解得k＝－13，b＝53，【解】5【迷津指點】本題考查的是有關(guān)軸對稱的最短路徑問題，根據(jù)題意得出P，Q兩點的坐標(biāo)是解答此