12025/8/22第4章電力系統(tǒng)潮流的計(jì)算機(jī)算法4.1電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型4.3牛頓—拉夫遜法潮流計(jì)算4.2功率方程及節(jié)點(diǎn)分類4.4P-Q分解法潮流計(jì)算4.5潮流計(jì)算MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)122025/8/224.1電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型用計(jì)算機(jī)進(jìn)行潮流計(jì)算的步驟：建立電力網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型；確定求解數(shù)學(xué)模型的計(jì)算方法；制定計(jì)算流程圖；編制計(jì)算程序；上機(jī)調(diào)試及運(yùn)算。對潮流計(jì)算方法的要求：計(jì)算速度快，內(nèi)存需要小，適應(yīng)性好（即能處理變壓器變比調(diào)整、系統(tǒng)元件的不同描述、與其他程序配合的能力強(qiáng)），簡單。232025/8/221.節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的節(jié)點(diǎn)電壓方程

一、節(jié)點(diǎn)電壓方程其矩陣形式為：節(jié)點(diǎn)注入電流列向量節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣說明：節(jié)點(diǎn)注入電流為各節(jié)點(diǎn)電源電流與負(fù)荷電流之和，且規(guī)定流入節(jié)點(diǎn)為正，流出節(jié)點(diǎn)為負(fù)。節(jié)點(diǎn)電壓列向量342025/8/22節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的物理意義：YB陣的第i列元素等于在第i節(jié)點(diǎn)上加單位電壓，其余節(jié)點(diǎn)全部接地時(shí)，在各節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的節(jié)點(diǎn)注入電流。自導(dǎo)納Yii：等于節(jié)點(diǎn)i加單位電壓，其余節(jié)點(diǎn)全部接地時(shí)，從節(jié)點(diǎn)i注入網(wǎng)絡(luò)的電流，即

顯然，它應(yīng)等于連到i節(jié)點(diǎn)的各支路導(dǎo)納之和，即：節(jié)點(diǎn)i的對地導(dǎo)納452025/8/22

此時(shí)，節(jié)點(diǎn)j的電流實(shí)際上是從網(wǎng)絡(luò)流出（即注入大地），所以它應(yīng)等于i、j節(jié)點(diǎn)之間支路導(dǎo)納的負(fù)值，即當(dāng)節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j之間無之路連接時(shí)，互導(dǎo)納Yji：等于節(jié)點(diǎn)i加單位電壓，其余節(jié)點(diǎn)全部接地時(shí)，從節(jié)點(diǎn)j注入網(wǎng)絡(luò)的電流，即

顯然有對稱矩陣稀疏矩陣562025/8/22矩陣形式：

2.節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的節(jié)點(diǎn)電壓方程將左乘得：節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣節(jié)點(diǎn)阻抗矩陣的物理意義：ZB陣的第i列元素等于在i節(jié)點(diǎn)注入單位電流，其它節(jié)點(diǎn)全部開路（注入電流為零）時(shí)，在各個(gè)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生的電壓值。672025/8/22自阻抗Zii：等于在i節(jié)點(diǎn)注入單位電流，其它節(jié)點(diǎn)的注入電流為零時(shí)，節(jié)點(diǎn)i的電壓值，即互阻抗Zji：等于i節(jié)點(diǎn)注入單位電流，其它節(jié)點(diǎn)的注入電流為零時(shí)，節(jié)點(diǎn)j的電壓值，即Zii實(shí)際上是從節(jié)點(diǎn)i向整個(gè)網(wǎng)絡(luò)看進(jìn)去對地等值阻抗。注意：由于網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)之間總是有相互電磁聯(lián)系的，因此當(dāng)節(jié)點(diǎn)i注入單位電流，而其它節(jié)點(diǎn)開路時(shí)，所有節(jié)點(diǎn)電壓都不為零，即。且有對稱矩陣滿矩陣782025/8/22二、節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為階復(fù)數(shù)方陣，其階數(shù)等于電力網(wǎng)絡(luò)中除參考點(diǎn)以外的節(jié)點(diǎn)數(shù)；節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的對角元素（自導(dǎo)納）等于相應(yīng)節(jié)點(diǎn)所連支路的導(dǎo)納之和，非對角元素Yij（互導(dǎo)納）等于節(jié)點(diǎn)i

和j之間支路導(dǎo)納的負(fù)值，即節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是稀疏矩陣，其各行非對角非零元素的個(gè)數(shù)等于對應(yīng)節(jié)點(diǎn)所連的不接地支路數(shù)；892025/8/22節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣是對稱矩陣，通常只存儲其上三角或下三角元素，又因是稀疏矩陣，甚至可以只存儲其中的非零元素；對網(wǎng)絡(luò)中的變壓器支路，采用計(jì)及非標(biāo)準(zhǔn)變比時(shí)以導(dǎo)納表示的等值電路代替。

在實(shí)際程序中，往往直接計(jì)算變壓器支路對節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的影響，即當(dāng)新接入非標(biāo)準(zhǔn)變比的變壓器支路i、j時(shí)，對原來的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣修正如下：圖4-1變壓器的π型等值電路9102025/8/22增加非零非對角元素（i、j之間的互導(dǎo)納）為：節(jié)點(diǎn)i的自導(dǎo)納，增加一個(gè)改變量為：節(jié)點(diǎn)j的自導(dǎo)納，增加一個(gè)改變量為：返回圖4-110112025/8/22

三、節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的修改從原有網(wǎng)絡(luò)中引出一條新的支路，同時(shí)增加一個(gè)新的節(jié)點(diǎn)j（見圖4-2a），則導(dǎo)納矩陣增加一階，且圖4-2電力網(wǎng)絡(luò)接線改變示意圖a）增加支路和節(jié)點(diǎn)；b）增加支路；c）切除支路；d）改變支路參數(shù)原來的自導(dǎo)納自導(dǎo)納的增量11122025/8/22在原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i和j之間增加一條支路（見圖4-2b），節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的階數(shù)不變，各元素修正為：在原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i和j之間切除一條導(dǎo)納為yij的支路：相當(dāng)于增加一條導(dǎo)納為-yij的支路（見圖4-2c），則各元素修正為：原有網(wǎng)絡(luò)i和j之間的導(dǎo)納由yij改變?yōu)椋合喈?dāng)于在節(jié)點(diǎn)i和j之間切除導(dǎo)納為yij的支路，并增加導(dǎo)納為的支路（見圖4-2d）。各元素修正為：12132025/8/22原有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)i和j之間的變壓器變比由K

變?yōu)?相當(dāng)于在節(jié)點(diǎn)i和j之間切除一變比為K的變壓器并增加一變比為的變壓器支路，各元素修正為：圖4-3改變變壓器支路用圖4-1等效13142025/8/22

【例4-1】（P63）求圖4-4所示網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。圖4-45節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)接線圖14152025/8/22解：

以節(jié)點(diǎn)2為例，導(dǎo)納矩陣中各元素為152025/8/22162025/8/224.2功率方程及節(jié)點(diǎn)分類

一、功率方程由節(jié)點(diǎn)電壓方程可得節(jié)點(diǎn)i的注入電流為根據(jù)因此或?qū)懗晒β史匠?62025/8/22172025/8/22若，，則功率方程為直角坐標(biāo)形式的功率方程若，則功率方程為極坐標(biāo)形式的功率方程其中，為i、j節(jié)點(diǎn)電壓的相角差。17182025/8/22

二、節(jié)點(diǎn)分類

對n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都有4個(gè)運(yùn)行變量（Pi

、Qi

、Ui

、δi

或Pi

、Qi

、ei

、fi)，因此全系統(tǒng)共有4n個(gè)變量。功率方程只有2n個(gè)，所以每個(gè)節(jié)點(diǎn)的4個(gè)變量中，一般給定兩個(gè)，求解另外兩個(gè)。PQ節(jié)點(diǎn)：已知節(jié)點(diǎn)注入功率Pi和Qi，待求節(jié)點(diǎn)電壓幅值Ui和相角δi

。系統(tǒng)中大部分節(jié)點(diǎn)都屬于這一類型。PV節(jié)點(diǎn)：已知Pi和Ui

，待求Qi和角δi。這類節(jié)點(diǎn)必須有足夠的可調(diào)無功電源以維持給定的節(jié)點(diǎn)電壓幅值（又稱電壓控制點(diǎn)）。系統(tǒng)中這一類節(jié)點(diǎn)的數(shù)目很少，甚至可有可無。18192025/8/22平衡節(jié)點(diǎn)（Vδ節(jié)點(diǎn)）：已知Ui和δi

，待求Pi和Qi

。平衡節(jié)點(diǎn)在潮流計(jì)算結(jié)束后擔(dān)當(dāng)功率平衡的任務(wù)，一般將平衡節(jié)點(diǎn)和電壓基準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)合選成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，通常取。這類節(jié)點(diǎn)必不可少，且只設(shè)一個(gè)。必須指出：這三類節(jié)點(diǎn)的劃分并不是絕對不變的。當(dāng)PV節(jié)點(diǎn)的無功功率出力達(dá)到其可調(diào)無功功率出力的上限或下限時(shí)，就不能再使電壓保持在設(shè)定值，此時(shí)PV節(jié)點(diǎn)將轉(zhuǎn)化成PQ節(jié)點(diǎn)。三、潮流計(jì)算的約束條件電壓數(shù)值的約束：為保證供電電壓質(zhì)量，各節(jié)點(diǎn)電壓都應(yīng)滿足：19202025/8/22發(fā)電機(jī)輸出功率的約束：發(fā)電設(shè)備都有最小功率和額定功率的限制，運(yùn)行中電源發(fā)出的功率應(yīng)滿足：電壓相角的約束條件：為保證系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性，系統(tǒng)中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的相位差應(yīng)滿足：20212025/8/224.3牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算

一、牛頓-拉夫遜法的基本原理

用泰勒級數(shù)在附近展開：

設(shè)是一維非線性方程的初值，它與真實(shí)解的偏差為。其真實(shí)解為，所以原非線性方程可表示為修正量21222025/8/22

忽略二次項(xiàng)及以上的高次項(xiàng)，則可簡化為：∴則一次近似解為：不斷進(jìn)行上述迭代，第k+1次的修正方程為：——修正方程

它與真實(shí)解的偏差為。因此其真實(shí)解又可表示成22232025/8/22修正量為：近似解為：迭代過程的收斂判據(jù)：＜＜或

若不等式滿足要求，迭代收斂，即可用得到的近似解作為真實(shí)解。（、為預(yù)先規(guī)定的任意小數(shù)）牛頓—拉夫遜法可用幾何圖形做如下解釋：23242025/8/22

可見，牛頓—拉夫遜法是用切線來尋找真實(shí)解的，因此又叫切線法。下一步迭代第k+1步迭代24252025/8/22將牛頓—拉夫遜法推廣到多變量非線性方程：

設(shè)各變量的初值為，各變量的修正量分別為，則原非線性方程組可表示為25262025/8/22求出修正量，則可得到新的近似解為：雅可比矩陣

將這n個(gè)方程都用泰勒級數(shù)在初始值附近展開，并忽略二次項(xiàng)及以上的高次項(xiàng)，則有26272025/8/22第k+1次迭代求出的解為：或縮寫成

第k+1次迭代時(shí)的修正方程為：雅可比矩陣27282025/8/22迭代收斂條件：若任一不等式成立，則就是方程組的解。＜

【課堂練習(xí)】

用牛頓法求解非線性方程組:

解：

（設(shè)初值）或28292025/8/22

第1次迭代（k=0）：

第1次迭代時(shí)的修正方程為：29302025/8/22即有第1次迭代的結(jié)果是：

第2次迭代（k=1）：

第2次迭代時(shí)的修正方程為：30312025/8/22即有第2次迭代結(jié)果是：依次類推，可求得第3次迭代的結(jié)果是：31322025/8/22二、牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算直角坐標(biāo)系下的牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算

當(dāng)兩次迭代之間的解的差值小于（如取）時(shí)停止迭代。（真解為）直角坐標(biāo)形式的功率方程可改寫為由4.2節(jié)，功率方程可改寫功率誤差方程32332025/8/22對PQ節(jié)點(diǎn)，給定Pis和Qis，功率方程寫成如下形式：即把潮流問題敘述為：對于給定的Pis、Qis，找出一組電壓相量ei、fi，使按上式得到的功率誤差在允許的范圍之內(nèi)。

設(shè)系統(tǒng)中n有個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中m個(gè)是PQ節(jié)點(diǎn)，n-(m+1)個(gè)是PV節(jié)點(diǎn)，1個(gè)是平衡節(jié)點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)n），則總的有功方程為n-1個(gè)，無功方程為m個(gè)，電壓方程為n-(m+1)個(gè)，總方程數(shù)為2(n-1)個(gè)。33342025/8/22

設(shè)電壓初值為，對應(yīng)的修正量為，則，代入上式中，在初值附近展開，并忽略二次以上高次項(xiàng)，得到修正方程為：對PV節(jié)點(diǎn)，給定Pis和Uis

，功率方程寫成如下形式：電壓誤差方程34352025/8/2235362025/8/22當(dāng)時(shí)，雅可比矩陣中的非對角元素為：當(dāng)時(shí)，雅可比矩陣中的對角元素為：36372025/8/2237382025/8/22雅可比矩陣具有以下特點(diǎn)：雅可比矩陣中的各元素都是節(jié)點(diǎn)電壓的函數(shù)，因此，在迭代過程中，它們將隨著節(jié)點(diǎn)電壓的變化而不斷改變，即每迭代一次，雅可比矩陣中的各元素要改變一次。雅可比矩陣不是對稱矩陣。當(dāng)導(dǎo)納矩陣中的非對角元素時(shí)，雅可比矩陣中與之相對應(yīng)的非對角元素也為零，且因此，雅可比矩陣是非常稀疏的。38392025/8/22牛頓—拉夫遜法潮流計(jì)算的步驟輸入原始數(shù)據(jù)：各支路導(dǎo)納；所有節(jié)點(diǎn)的有功注入功率；PQ節(jié)點(diǎn)的無功注入功率；PV節(jié)點(diǎn)的電壓幅值；節(jié)點(diǎn)功率范圍（約束條件）；平衡節(jié)點(diǎn)電壓等。形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣。給定各節(jié)點(diǎn)電壓初值和。求雅可比矩陣中的各元素。求解修正方程，求出各節(jié)點(diǎn)電壓的修正量。將各節(jié)點(diǎn)電壓初值代公式中，求出修正方程中各節(jié)點(diǎn)功率和節(jié)點(diǎn)電壓的偏移量。置迭代次數(shù)k=0。39402025/8/22檢查是否收斂，收斂條件為：

若不收斂，返回到第5步重新迭代；若收斂，轉(zhuǎn)下一步。求平衡節(jié)點(diǎn)的功率及各支路的功率分布。求節(jié)點(diǎn)電壓新值：將i=n代入功率方程得：因假設(shè)節(jié)點(diǎn)n為平衡節(jié)點(diǎn)平衡節(jié)點(diǎn)注入功率40412025/8/22各條線路上流動的功率為：各段線路上的功率損耗為：圖4-6線路功率計(jì)算

牛頓—拉夫遜法潮流計(jì)算的框圖。41422025/8/22輸入原始數(shù)據(jù)形成節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣按公式計(jì)算雅可比矩陣各元素計(jì)算平衡節(jié)點(diǎn)功率及全部線路功率輸出

給定節(jié)點(diǎn)電壓初值

用公式計(jì)算

解修正方程式，求是否啟動42432025/8/22牛頓—拉夫遜法潮流計(jì)算的幾點(diǎn)說明：牛頓法對初值要求較高，若初值和真實(shí)解相差較大，可能會不收斂。常取對PV節(jié)點(diǎn)，迭代過程中要監(jiān)視其無功功率。若越限，即或

說明PV節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)換成了PQ節(jié)點(diǎn)，則以后的迭代應(yīng)按PQ節(jié)點(diǎn)進(jìn)行。

牛頓法具有平方收斂特性，越接近真值其收斂速度越快。（一般迭代5~6次即可）43442025/8/22極坐標(biāo)形式的功率方程可改寫為即把潮流問題敘述為：對于給定的Pis、Qis，找出一組電壓相量Ui、，使按上式得到的功率誤差在允許的范圍之內(nèi)。對PQ節(jié)點(diǎn)，給定Pis和Qis，功率方程寫成如下形式：極坐標(biāo)系下的牛頓-拉夫遜法潮流計(jì)算44452025/8/22

修正方程為：

設(shè)n節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中有m個(gè)PQ節(jié)點(diǎn)，n-(m+1)個(gè)PV節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)n

是平衡節(jié)點(diǎn)，則有n-1個(gè)有功方程，m個(gè)無功方程，總方程數(shù)為n+m-1個(gè)。比直角坐標(biāo)少2(n-1)-(n+m-1)=n-m-1個(gè)。對PV節(jié)點(diǎn)，給定Pis和Uis，僅有有功功率誤差方程。45462025/8/22

簡寫為H是(n-1)×(n-1)階方陣；N是(n-1)×m

階矩陣；J是m×(n-1)階矩陣；L是m×m階方陣。當(dāng)時(shí)，雅可比矩陣中的非對角元素為：46472025/8/22當(dāng)時(shí)，雅可比矩陣中的對角元素為：計(jì)算步驟及框圖與直角坐標(biāo)形式相似。注意：計(jì)算過程中當(dāng)PV節(jié)點(diǎn)因無功功率越限而轉(zhuǎn)化成PQ節(jié)點(diǎn)時(shí)，修正方程式需增加一個(gè)對應(yīng)于該節(jié)點(diǎn)的無功功率誤差方程。47482025/8/22【例4-2】（P75）用直角坐標(biāo)形式的牛頓法計(jì)算潮流分布。圖4-8例4-2圖解：計(jì)算步驟及結(jié)果見教材（P75-76）。48492025/8/224.4P-Q分解法潮流計(jì)算

P-Q分解法又叫改進(jìn)牛頓法，是以極坐標(biāo)表示的牛頓-拉夫遜法潮流修正方程的基礎(chǔ)上提出來的。牛頓-拉夫遜法的缺點(diǎn)：雅可比矩陣在每一次迭代過程中都有變化，需要重新形成和求解，這占據(jù)了計(jì)算的大部分時(shí)間，計(jì)算速度慢。P-Q分解法利用了電力系統(tǒng)的一些特有的運(yùn)行特性，對牛頓-拉夫遜法做了簡化，使有功功率和無功功率的迭代計(jì)算分開進(jìn)行。49502025/8/22一、P-Q分解法的修正方程極坐標(biāo)形式的牛頓-拉夫遜法修正方程展開為：簡化一：由于各元件的電抗遠(yuǎn)大于電阻，以致使系統(tǒng)中有功功率分布主要受節(jié)點(diǎn)電壓相角的影響，無功功率分布主要受節(jié)點(diǎn)電壓幅值的影響，所以可忽略電壓幅值變化對有功功率的影響和電壓相位變化對無功功率分布的影響，即將修正方程式中的子陣N和J略去不計(jì)：使P、Q分解開50512025/8/22簡化二：電力系統(tǒng)正常運(yùn)行時(shí)線路兩端的電壓相位角一般變化不大（小于），再計(jì)及Gij<<Bij，因此則有

簡化三：在Hii和Lii表達(dá)式中的項(xiàng)應(yīng)為各元件電抗遠(yuǎn)大于電阻的前提下，除節(jié)點(diǎn)i以外其他節(jié)點(diǎn)都接地時(shí)，由節(jié)點(diǎn)i注入的無功功率，該功率遠(yuǎn)大于正常運(yùn)行時(shí)節(jié)點(diǎn)i的注入的無功功率Qi，即：

因此有51522025/8/22

經(jīng)以上簡化，雅可比矩陣兩個(gè)子陣H、L中的元素具有相同的表達(dá)式，但階數(shù)不同。52532025/8/22修正方程變?yōu)椋阂陨蟽墒降忍杻蛇吘蟪司仃嚕旱茫?3542025/8/22說明：為電納矩陣，由節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的虛部構(gòu)成，是對稱、稀疏的常數(shù)矩陣，在迭代過程中保持不變。

為n-1階，不含平衡節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的行和列，

為m階，不含平衡節(jié)點(diǎn)和PV節(jié)點(diǎn)所對應(yīng)的行和列?；蚩s寫為P-Q分解法的修正方程54552025/8/22二、P-Q分解法潮流計(jì)算的步驟和特點(diǎn)

P-Q分解法潮流計(jì)算的步驟形成系數(shù)矩陣；設(shè)各節(jié)點(diǎn)電壓初值，計(jì)算有功功率不平衡量，并求出；解修正方程，求各節(jié)點(diǎn)電壓相位的變量；修正各點(diǎn)電壓相位角，得新值

；計(jì)算各PQ節(jié)點(diǎn)無功功率不平衡量,并求；解修正方程，求PQ節(jié)點(diǎn)電壓幅值的變量；修正PQ節(jié)點(diǎn)電壓幅值，得新值

；55562025/8/22用各節(jié)點(diǎn)電壓的新值自第3步開始進(jìn)入下一次迭代，直到各節(jié)點(diǎn)功率誤差滿足收斂條件；若收斂，轉(zhuǎn)下一步計(jì)算；計(jì)算平衡節(jié)點(diǎn)的功率及各支路的功率分布。PQ分解法潮流計(jì)算框圖如圖4-9所示（見教材P80）。圖中

分別為有功、無功功率迭代狀態(tài)的標(biāo)志。

（收斂時(shí)，置0；未收斂時(shí)，置1。）作用：

保證在和兩個(gè)收斂條件相繼都得到滿足時(shí)，才開始計(jì)算平衡節(jié)點(diǎn)功率和線路功率。56572025/8/22

P-Q分解法潮流計(jì)算的特點(diǎn)方程P-Q解耦后，將高階問題變成兩個(gè)低階問題，提高了計(jì)算速度，降低了對計(jì)算機(jī)存貯容量的要求