2025屆九年級第一次學情調研數(shù)學卷（RJ）注意事項：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共4頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.2.一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情況是（）A.有兩個相等實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.無實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根3.對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.圖象與y軸交點的坐標是 B.對稱軸是直線C.頂點坐標為 D.當時，y隨x的增大而增大4.關于方程的一個根是，則另一個根是（）A.1 B. C.2 D.5.把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線的解析式為（）A. B.C. D.6.若方程的兩根為，，則的值為（）A. B.4 C. D.7.如圖所示，在中，，，，點P以的速度從點A開始沿邊AB向點B移動，點Q以的速度從點B開始沿邊向點C移動，且點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，若有一點到達目的地，則另一點同時停止運動．要使P，Q兩點之間的距離等于，則需要經(jīng)過（）A. B.2s C. D.或2s8.若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.9.二次函數(shù)，當時，y隨x的增大而減小，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.10.如圖，在中，對角線，BD相交于點，，，．若過點且與邊AB，CD分別相交于點，，設，，則關于的函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.一元二次方程x2＝2x的解為________．12.已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則a的取值范圍是________．13.如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y＝x2﹣2x+3上運動，過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結BD，則對角線BD的最小值為_____．14.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于點，B兩點，交y軸于點C．（1）______；（2）點P是直線上方拋物線上的一動點，過點P作于點D，過點P作y軸的平行線交直線于點E，當周長的最大時，點P的坐標為______．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.解下列方程：（1）（配方法）（2）16.拋物線經(jīng)過點、、，求該拋物線的解析式．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“和諧方程”．（1）判斷一元二次方程是否為“和諧方程”，說明理由；（2）已知是關于x的“和諧方程”，若是此“和諧方程”的一個根，求m，n的值．18.如圖所示的是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有個點，第二行有個點，，第行有個點．（1）根據(jù)上面的內容，請直接寫出10是三角點陣中前行的點數(shù)和；（2）請直接寫出三角點陣中前行的點數(shù)和_____；（3）三角點陣中前行的點數(shù)和能是嗎？如果能，請求出的值；如果不能，請說明理由．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求m的值．20某商場銷售某男款上衣，剛上市時每件可盈利元，銷售一段時間后開始滯銷，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，每件盈利64元，此時平均每天可售出30件．（1）求平均每次降價盈利減少的百分率；（2）為擴大銷售量，盡快減少庫存，在國慶期間該商場決定在每件盈利64元的情況下再次采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，一件男款上衣再次降價時，每降價1元，每天可多售出2件，若商場每天要盈利元，每件應再降價多少元？六、（本題滿分12分）21.如圖，拋物線（、常數(shù)）與軸交于、．（1）求拋物線的解析式；（2）點在拋物線上，且點的橫坐標為，直線與拋物線的對稱軸交于點，拋物線的頂點為，求的面積；（3）在（2）的條件下，點是拋物線上一動點，求線段長的最小值．七、（本題滿分12分）22.綜合與實踐：項目任務：校園草坪設計項目背景：學校舉辦“迎十一，愛祖國，愛勞動”主題實踐活動，九（1）班參加校園草坪設計：校園內有一塊寬為20米，長為30米的矩形草坪，在草坪上設計兩條小路．具體要求：①矩形草坪每條邊上必須有一個口寬相等的路口；②兩條小路必須設計成平行四邊形．任務1九（1）班各個實踐小組的設計方案匯總后，主要有甲、乙、丙三種不同的方案（如圖）：（1）直觀猜想：方案中小路的總面積大小關系：______，______；（請?zhí)睢啊被颉啊保┤蝿?（2）驗證猜想：請用含x代數(shù)式表示甲方案中小路總面積______；任務3（3）如果甲種方案除小路后草坪總面積約為551平方米．請求每條小路的寬度是多少？任務4（4）為了深入研究，各個小組選擇丙方案（如圖2）進行研究，若兩條小路與矩形兩組對邊所夾銳角．用含x的代數(shù)式表示四邊形的面積．八、（本題滿分14分）23.已知二次函數(shù)（b、c為常數(shù)）．（1）當，時，求函數(shù)最小值；（2）當時，函數(shù)的最小值為，求b的值；（3）當且時，函數(shù)有最小值，求二次函數(shù)的解析式．

2025屆九年級第一次學情調研數(shù)學卷（RJ）注意事項：1．你拿到的試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共4頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1.下列方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的定義．根據(jù)一元二次方程的定義逐項分析判斷即可求解．只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．【詳解】解：A、方程中未知數(shù)的次數(shù)是1，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B、方程是一元二次方程，故本選項符合題意．C、方程由兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；D、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意．故選：B．2.一元二次方程x2﹣x+2=0的根的情況是（）A.有兩個相等實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根 C.無實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根【答案】C【解析】【分析】判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了．【詳解】解：∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，

∴方程無實數(shù)根．

故選C．【點睛】本題考查的知識點是一元二次方程根的判別式的應用，解題關鍵是熟記一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△＜0方程沒有實數(shù)根．3.對于二次函數(shù)的圖象，下列說法正確的是（）A.圖象與y軸交點的坐標是 B.對稱軸是直線C.頂點坐標為 D.當時，y隨x的增大而增大【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．根據(jù)對稱軸解析式，頂點坐標以及二次函數(shù)的增減性進行判斷即可．【詳解】解：將代入，求出，故圖象與y軸交點的坐標是，選項A錯誤；對稱軸是直線，故選項B錯誤；頂點坐標為，故選項C錯誤，因為函數(shù)開口向下，當時，y隨x的增大而增大，故選項D正確．故選：D．4.關于方程的一個根是，則另一個根是（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程的根與系數(shù)的關系，程的兩根分別為和，則根據(jù)根與系數(shù)的關系直接計算即可．【詳解】解：∵關于方程的一個根是，設另一個根為，∴∴，故選：C．5.把拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，得到的拋物線的解析式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了拋物線的平移，熟練掌握平移的規(guī)律是解題的關鍵．根據(jù)平移的規(guī)律，左加右減，上加下減即可得到答案．【詳解】解：拋物線向左平移1個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線的解析式為，故選B．6.若方程的兩根為，，則的值為（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)關系．根據(jù)根與系數(shù)關系得到，代入即可得到答案．【詳解】解：∵方程的兩根為，，∴，∴，故選：A7.如圖所示，在中，，，，點P以的速度從點A開始沿邊AB向點B移動，點Q以的速度從點B開始沿邊向點C移動，且點P，Q分別從點A，B同時出發(fā)，若有一點到達目的地，則另一點同時停止運動．要使P，Q兩點之間的距離等于，則需要經(jīng)過（）A. B.2s C. D.或2s【答案】A【解析】【分析】本題主要考查勾股定理以及一元二次方程的應用．根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關鍵．設經(jīng)過，P、Q之間的距離等于，先用含x的代數(shù)式分別表示和的長度，進一步利用勾股定理建立方程求得答案即可．【詳解】設后P、Q之間的距離等于，由題意得，，∴，∵，∴，解得，，當時，，應舍去∴，∴需要經(jīng)過．故選：A．8.若，，為二次函數(shù)的圖象上的三點，則，，的大小關系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了主要二次函數(shù)的性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．求出二次函數(shù)的對稱軸，根據(jù)點離函數(shù)對稱軸的距離判斷即可．【詳解】解：依題意可得函數(shù)對稱軸為，且函數(shù)開口向上，點關于的對稱點為，根據(jù)題意可得，當時，隨著軸的增大而減小，，故選B．9.二次函數(shù)，當時，y隨x增大而減小，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的解析式，可得，對稱軸為直線，根據(jù)當時，y隨x的增大而減小，可得，即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴對稱軸為直線，∵當時，y隨x的增大而減小，∴故選C【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質，求得對稱軸是解題的關鍵．10.如圖，在中，對角線，BD相交于點，，，．若過點且與邊AB，CD分別相交于點，，設，，則關于的函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】過點向AB作垂線，交AB于點，根據(jù)含有30°角的直角三角形性質以及勾股定理可得AB、的長，再結合平行四邊形的性質可得的長，進而求出、的長，設，則，然后利用勾股定理可求出與的關系式，最后根據(jù)自變量的取值范圍求出函數(shù)值的范圍，即可做出判斷．【詳解】解：如圖過點向AB作垂線，交AB于點，∵，，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，設，則，∵，∴，∴，當時，,當時，．且圖像是二次函數(shù)的一部分,故選：B．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性質以及二次函數(shù)圖象等知識，解題關鍵是求解函數(shù)解析式和函數(shù)值的范圍．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.一元二次方程x2＝2x的解為________．【答案】x1＝0，x2＝2【解析】【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】移項得x2－2x=0，即x（x－2）=0，解得x=0或x=2．故答案為：【點睛】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法．12.已知關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，則a的取值范圍是________．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式非負，得關于a的不等式，解不等式即可．【詳解】關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，且，解得：且，故答案為：且．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，特別注意二次項系數(shù)非零這個條件不能忽略．13.如圖，在平面直角坐標系中，點A在拋物線y＝x2﹣2x+3上運動，過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結BD，則對角線BD的最小值為_____．【答案】2．【解析】【分析】利用配方法求出拋物線的頂點坐標，根據(jù)矩形的性質解答．【詳解】解：y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

則拋物線的頂點坐標為（1，2），

∴當點A在拋物線的頂點時，AC最小，最小值為2，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，

∴對角線BD的最小值為2，

故答案為2．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、矩形的性質，正確求出拋物線的頂點坐標、掌握矩形的對角線相等是解題的關鍵．14.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于點，B兩點，交y軸于點C．（1）______；（2）點P是直線上方拋物線上的一動點，過點P作于點D，過點P作y軸的平行線交直線于點E，當周長的最大時，點P的坐標為______．【答案】①.②.【解析】【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，面積的計算，三角形相似，熟練掌握三角形相似是解題的關鍵．（1）將點代入函數(shù)解析式即可求出答案；（2）求出解析式，設點，則點，求出當時，最大，即時，最大，即可得到答案．【詳解】解：（1）將點代入函數(shù)解析式，即，解得，故答案為：．（2）由（1）可得，令，即，解得或，令，即，故，設解析式為：，將代入，解得，解析式為：，設點，則點，，，拋物線開口向下，當時，最大，為，，，，，則，當最大時，即時，最大，則點，故答案為：．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.解下列方程：（1）（配方法）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）先移項，然后配方，再開平方，求出方程的解即可；（2）先移項，然后分解因式，最后求出方程的解即可．【小問1詳解】解：，移項得：，配方得：，即，開平方得：，∴，．【小問2詳解】解：，移項得：，分解因式得：，∴或，解得，．【點睛】本題主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟練進行配方和因式分解，是解題的關鍵．16.拋物線經(jīng)過點、、，求該拋物線的解析式．【答案】【解析】【分析】本題主要考查求二次函數(shù)解析式的方法，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關鍵．設函數(shù)解析式為，再將C0,6代入，即可得到答案．【詳解】解：由題意可設函數(shù)解析式為，將C0,6，解得，．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個方程為“和諧方程”．（1）判斷一元二次方程是否為“和諧方程”，說明理由；（2）已知是關于x的“和諧方程”，若是此“和諧方程”的一個根，求m，n的值．【答案】（1）一元二次方程是“和諧方程”，理由見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，解二元一次方程組，熟練掌握解一元二次方程是解題的關鍵．（1）根據(jù)“和諧方程”的定義進行計算即可；（2）根據(jù)題意得到二元一次方程組，解方程即可．【小問1詳解】解：當時，，故一元二次方程是“和諧方程”；【小問2詳解】解：是關于x的“和諧方程”，當時，，是此“和諧方程”的一個根，，即，解得．故．18.如圖所示的是一個三角點陣，從上向下數(shù)有無數(shù)多行，其中第一行有個點，第二行有個點，，第行有個點．（1）根據(jù)上面的內容，請直接寫出10是三角點陣中前行的點數(shù)和；（2）請直接寫出三角點陣中前行的點數(shù)和_____；（3）三角點陣中前行的點數(shù)和能是嗎？如果能，請求出的值；如果不能，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】此題主要考查了一元二次方程的應用以及規(guī)律型；（1）由于第一行有1個點，第二行有2個點第行有個點，則前行共有個點，然后求它們的和，前行共有個點，則，然后解方程得到的值；（2）將代入，即可求解；（3）由（1）得，解方程，即可求解．【小問1詳解】解：由于第一行有1個點，第二行有2個點第行有個點，前行共有個點，∴前行共有個點，由題意可得：，整理得，，，為正整數(shù)，．故答案為：．【小問2詳解】解：∵前行共有個點，∴當時，，即三角點陣中前行的點數(shù)和為，故答案為：．【小問3詳解】依題意，得，即，解得：或，為正整數(shù)，．當時，三角點陣中前行的點數(shù)的和是．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.已知關于x的一元二次方程．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根分別為，，且，求m的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式以及根與系數(shù)的關系，熟練掌握公式是解題的關鍵．（1）根據(jù)根的判別式進行計算即可．（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系求出，代入求值即可．【小問1詳解】證明：，，，故不論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；【小問2詳解】解：由題意得：，，，，解得．20.某商場銷售某男款上衣，剛上市時每件可盈利元，銷售一段時間后開始滯銷，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，每件盈利64元，此時平均每天可售出30件．（1）求平均每次降價盈利減少的百分率；（2）為擴大銷售量，盡快減少庫存，在國慶期間該商場決定在每件盈利64元的情況下再次采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，一件男款上衣再次降價時，每降價1元，每天可多售出2件，若商場每天要盈利元，每件應再降價多少元？【答案】（1）（2）商場每天要盈利元，每件應再降價元．【解析】【分析】本題考查一元二次方程的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．（1）根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以列出相應的一元二次方程，然后求解即可，注意下降率不能超過；（2）設每件應再降價a元，根據(jù)商場每天要盈利元列方程，解方程后再根據(jù)盡快減少庫存確定答案即可．【小問1詳解】解：設平均每次降價的百分率為x，由題意可得：，解得（不合題意，舍去），答：平均每次降價的百分率是；【小問2詳解】解：設每件應再降價a元，由題意可得：，解得，為擴大銷售量，盡快減少庫存，應該降價元，答：商場每天要盈利元，每件應再降價元．六、（本題滿分12分）21.如圖，拋物線（、為常數(shù)）與軸交于、．（1）求拋物線的解析式；（2）點在拋物線上，且點的橫坐標為，直線與拋物線的對稱軸交于點，拋物線的頂點為，求的面積；（3）在（2）的條件下，點是拋物線上一動點，求線段長的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，勾股定理，一次函數(shù)解析式，解題的關鍵是求出函數(shù)解析式，根據(jù)點的坐標計算線段的長．（1）將，代入二次函數(shù)表達式中，解關于，的二元一次方程組，即可得到結果；（2）先由的橫坐標求得點的坐標，坐標求出直線的表達式，進而求得的坐標，再求出拋物線的頂點的坐標，可得的長，即可求解的面積；（3）設，由勾股定理得，再利用二次函數(shù)的性質即可得解．【小問1詳解】解：∵拋物線（、為常數(shù)）與軸交于、，∴，解得，∴；【小問2詳解】解：∴，∴對稱軸為直線，頂點，當時，，∴，設直線的表達式為，將代入，得，解得：，∴直線的表達式為，令，則，∴，∵頂點，∴，∴的面積為；【小問3詳解】解：設，∵，∴，∴當時，有最小值，即有最小值，解方程得或，∴當?shù)臋M坐標為或時，有最小值，最小值為．七、（本題滿分12分）22.綜合與實踐：項目任務：校園草坪設計項目背景：學校舉辦“迎十一，愛祖國，愛勞動”主題實踐活動，九（1）班參加校園草坪設計：校園內有一塊寬為20米，長為30米的矩形草坪，在草坪上設計兩條小路．具體要求：①矩形草坪每條邊上必須有一個口寬相等的路口；②兩條小路必須設計成平行四邊形．任務1九（1）班各個實踐小組的設計方案匯總后，主要有甲、乙、丙三種不同的方案（如圖）：（1）直觀猜想：方案中小路的總面積大小關系：______，______；（請?zhí)睢啊被颉啊保┤蝿?（2）驗證猜想：請用含x的代數(shù)式表示甲方案中小路總面積______；任務3（3）如果甲種方案除小路后草坪總面積約為551平方米．請求每條小路的寬度是多少？任務4（4）為了深入研究，各個小組選擇丙方案（如圖2）進行研究，若兩條小路與矩形兩組對邊所夾銳角．用含x的代數(shù)式表示四邊形的面積．【答案】（1）；；（2）平方米；（3）1米；（4）平方米【解析】【分析】（1）根據(jù)平移的性質可得甲、乙、丙三種方案中，經(jīng)過平移之后種植草坪的面積都相當于一個長為米，寬為的長方形面積，又由整塊地的面積相等，則三個圖形中小路的面積相等；（2）根據(jù)小路總面積橫向小路面積縱向小路面積重疊部分的面積，即可得出答案；（3）根據(jù)（1）所求結合矩形面積計算公式建立方程求解即可；（4）