第四章圖形的認(rèn)識§4.1角、相交線與平行線五年中考考點1命題、角1.(2021北京,3,2分)如圖,點O在直線AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,則∠BOD的大小為 ()A.30° B.40° C.50° D.60°答案A∵∠AOC=120°,∴∠BOC=60°.∵OC⊥OD,∴∠BOD=90°-60°=30°.故選A.2.(2020陜西,2,3分)若∠A=23°,則∠A余角的大小是 ()A.57° B.67° C.77° D.157°答案B由余角的定義可得∠A的余角為90°-23°=67°.故選B.3.(2019廣西梧州,5,3分)如圖,鐘表上10點整時,時針與分針?biāo)傻慕鞘?()A.30° B.60° C.90° D.120°答案B鐘表上,12個點將圓周等分為12份,每一份所對的圓心角度數(shù)為360°12=30°,因此,10點整時,時針與分針?biāo)傻慕菫?0°故選B.4.(2020內(nèi)蒙古包頭,10,3分)下列命題正確的是 ()A.若分式x2-4x-2的值為B.一個正數(shù)的算術(shù)平方根一定比這個數(shù)小C.若b>a>0,則ab>D.若c≥2,則一元二次方程x2+2x+3=c有實數(shù)根答案DA選項,若分式的值為0,則分式的分子為0,分母不為0,所以x2-4=0,x-2≠0,解得x=-2,故A選項錯誤;B選項,當(dāng)這個正數(shù)大于0小于1時,算術(shù)平方根比它本身大,如0.01的算術(shù)平方根是0.1,故B選項錯誤;C選項,∵b>a>0,∴b(b+1)>0,a(b+1)-b(a+1)=ab+a-ab-b=a-b<0,∴ab<a+1b+1,故C選項錯誤;D選項,x2+2x+3=c可化為x2+2x+3-c=0,∵Δ=22-4×(3-c)=4c-8,∵c≥2,∴Δ≥0,∴一元二次方程有實數(shù)根,5.(2021內(nèi)蒙古包頭,9,3分)下列命題正確的是 ()A.在函數(shù)y=-12x中,當(dāng)x>0時,y隨B.若a<0,則1+a>1-aC.垂直于半徑的直線是圓的切線D.各邊相等的圓內(nèi)接四邊形是正方形答案D對于選項A,∵k=-12<0,∴當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大,故選項A錯誤對于選項B,若a<0,則-a>0,∴a<-a,∴1+a<1-a,故選項B錯誤.對于選項C,經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線,故選項C錯誤.對于選項D,四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,如圖,連接OA,OB,OC,OD.∵AB=BC=CD=AD,∴AB=BC=CD=AD,四邊形ABCD為菱形,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD.又∵∠AOB+∠BOC+∠COD+∠AOD=360°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠AOD=90°,∴∠AOB+∠BOC=180°,∠BOC+∠COD=180°,∴A,O,C在同一直線上,B,O,D在同一直線上.又∵AO=BO=CO=DO,∴AC=BD,∴菱形ABCD是正方形,故選項D正確.6.(2021內(nèi)蒙古呼和浩特,9,3分)以下四個命題:①任意三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分;②A,B,C,D,E,F六個足球隊進(jìn)行單循環(huán)賽,若A,B,C,D,E分別賽了5,4,3,2,1場,則由此可知,還沒有與B隊比賽的球隊可能是D隊;③兩個正六邊形一定位似;④有13人參加捐款,其中小王的捐款數(shù)比13人捐款的平均數(shù)多2元,則小王的捐款數(shù)不可能最少,但可能只比最少的多,比其他的都少.其中真命題有 ()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個答案B由中位線定理和中線的定義可知①正確;根據(jù)單循環(huán)賽可知每個隊分別與其他隊比賽一場,最多賽五場,A隊已經(jīng)賽完五場,則每個隊均與A隊賽過,E隊僅賽一場(即與A隊賽過),所以E隊還沒有與已比賽四場的B隊賽過,所以②錯誤;兩個正六邊形一定相似,但不一定位似,所以③錯誤;因為小王的捐款數(shù)比平均數(shù)多2元,所以小王的捐款數(shù)不可能最少,假設(shè)平均數(shù)為100元,則13人的捐款總數(shù)為1300元,有這種可能:11人都捐了105元,小王捐了102元,一人捐了43元,所以④正確,故選B.考點2相交線和平行線1.(2021內(nèi)蒙古包頭,8,3分)如圖,直線l1∥l2,直線l3交l1于點A,交l2于點B,過點B的直線l4交l1于點C.若∠3=50°,∠1+∠2+∠3=240°,則∠4等于 ()A.80° B.70° C.60° D.50°答案B∵l1∥l2,∴∠1+∠3=180°.又∵∠3=50°,∴∠1=180°-∠3=130°.∵∠1+∠2+∠3=240°,∴∠2+∠3=240°-∠1=110°,∴∠5=180°-(∠2+∠3)=180°-110°=70°.∵l1∥l2,∴∠4=∠5=70°.2.(2021新疆,5,5分)如圖,直線DE過點A,且DE∥BC.若∠B=60°,∠1=50°,則∠2的度數(shù)為 ()A.50° B.60° C.70° D.80°答案C∵DE∥BC,∴∠EAB+∠B=180°.∵∠B=60°,∴∠EAB=120°,∴∠2=∠EAB-∠1=120°-50°=70°.故選C.3.(2021甘肅武威,6,3分)如圖,直線DE∥BF,Rt△ABC的頂點B在BF上,若∠CBF=20°,則∠ADE= ()A.70° B.60° C.75° D.80°答案A∵DE∥BF,∴∠ADE=∠ABF,∵∠ABC=90°,∠CBF=20°,∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=70°,∴∠ADE=70°.4.(2020海南,6,3分)如圖,已知AB∥CD,直線AC和BD相交于點E,若∠ABE=70°,∠ACD=40°,則∠AEB等于 ()A.50° B.60° C.70° D.80°答案C∵AB∥CD,∴∠EAB=∠ACD=40°.在△ABE中,∵∠EBA=70°,∠EAB=40°,∴∠AEB=180°-70°-40°=70°.5.(2020江西,4,3分)如圖,∠1=∠2=65°,∠3=35°,則下列結(jié)論錯誤的是 ()A.AB∥CD B.∠B=30°C.∠C+∠2=∠EFC D.CG>FG答案C∵∠1=∠2=65°,∴AB∥CD,選項A正確;∵∠3=35°,∴∠EFB=35°,又∠1=∠EFB+∠B,∴∠B=∠1-∠EFB=65°-35°=30°,選項B正確;∵AB∥CD,∴∠C=∠B=30°,∵35°>30°,∴∠3>∠C,∴CG>FG,選項D正確;∵∠3=35°,∠EFC+∠3=180°,∴∠EFC=180°-35°=145°,而∠C+∠2=30°+65°=95°≠145°,∴∠C+∠2≠∠EFC,選項C錯誤.6.(2020寧夏,4,3分)如圖擺放的一副學(xué)生用直角三角板,∠F=30°,∠C=45°,AB與DE相交于點G,當(dāng)EF∥BC時,∠EGB的度數(shù)是 ()A.135° B.120° C.115° D.105°答案D延長BA交EF于H點.∵EF∥BC,∠B=90°-∠C=45°,∴∠BHF=135°.在四邊形GDFH中,∠F=30°,∠D=90°,∴∠HGD=105°,∴∠EGB=105°,故選D.7.(2020吉林,11,3分)如圖,某單位要在河岸l上建一個水泵房引水到C處,他們的做法是:過點C作CD⊥l于點D,將水泵房建在了D處.這樣做最節(jié)省水管長度,其數(shù)學(xué)道理是.

答案垂線段最短解析連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短.8.(2019遼寧大連,11,3分)如圖,AB∥CD,CB∥DE,∠B=50°,則∠D=°.

答案130解析∵AB∥CD,∠B=50°,∴∠C=∠B=50°.∵CB∥DE,∴∠D=180°-∠C=180°-50°=130°.9.(2021湖北武漢,18,8分)如圖,AB∥CD,∠B=∠D,直線EF與AD,BC的延長線分別交于點E,F.求證:∠DEF=∠F.證明∵AB∥CD,∴∠DCF=∠B.∵∠B=∠D,∴∠DCF=∠D.∴AD∥BC,∴∠DEF=∠F.考點3角平分線和線段的垂直平分線1.(2021貴陽,7,3分)如圖,已知線段AB=6,利用尺規(guī)作AB的垂直平分線,步驟如下:①分別以點A,B為圓心,以b的長為半徑作弧,兩弧相交于點C和D.②作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線.則b的長可能是 ()A.1 B.2 C.3 D.4答案D根據(jù)利用尺規(guī)作線段AB的垂直平分線時,以A,B為圓心,以大于12的AB長為半徑作弧,可得b的長大于12×6=3,所以b的長為4符合題意.故選2.(2021海南,9,3分)如圖,已知a∥b,直線l與直線a、b分別交于點A、B,分別以點A、B為圓心,大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧相交于點M、N,作直線MN,交直線b于點C,連接AC,若∠1=40°,則∠ACB的度數(shù)是 (A.90° B.95° C.100° D.105°答案C設(shè)AB交MN于點D,如圖.由題中作圖過程可知,MN垂直平分線段AB,∴CA=CB,∴∠CAB=∠CBA.又∵a∥b,∠1=40°,∴∠CAB=∠CBA=∠1=40°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-40°-40°=100°.故選C.解題關(guān)鍵由尺規(guī)作圖的過程,得出直線MN垂直平分線段AB是解決本題的關(guān)鍵.3.(2020廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū),7,3分)如圖,在△ABC中,BA=BC,∠B=80°,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,則∠DCE的度數(shù)為 ()A.60° B.65° C.70° D.75°答案B∵AB=BC,∴∠A=∠ACB,又∠B=80°,∴∠A=∠ACB=50°,根據(jù)作圖痕跡,可知CE平分∠ACD,∴∠DCE=180°-∠ACB24.(2020貴州貴陽,9,3分)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺規(guī)在BC,BA上分別截取BE,BD,使BE=BD;分別以D,E為圓心、大于12DE的長為半徑作弧,兩弧在∠CBA內(nèi)交于點F;作射線BF交AC于點G.若CG=1,P為AB上一動點,則GP的最小值為 (A.無法確定 B.12 C.1 答案C如圖,過點G作GH⊥AB交AB于點H.根據(jù)垂線段最短可知,GH的長是GP的最小值.由作圖可知,BG平分∠ABC,∵GH⊥AB,GC⊥BC,∴GH=GC=1,∴GP的最小值為1,故選C.5.(2020寧夏,14,3分)如圖,在△ABC中,∠C=84°,分別以點A、B為圓心,以大于12AB的長為半徑畫弧,兩弧分別交于點M,N,作直線MN交AC于點D;以點B為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交BA、BC于點E、F,再分別以點E、F為圓心,大于12EF的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,作射線BP,此時射線BP恰好經(jīng)過點D,則∠A=答案32解析根據(jù)作法可知直線MN是線段AB的垂直平分線,BD平分∠ABC,∴AD=BD,∠CBD=∠ABD,∴∠A=∠ABD=∠CBD.∵∠C=84°,∴∠A+∠ABC=180°-84°=96°,∴3∠A=96°,∴∠A=32°.6.(2021新疆,14,5分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠C=70°,分別以點A,B為圓心,大于12AB的長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點,作直線MN交AC于點D,連接BD,則∠BDC=°答案80解析∵AB=AC,∠C=70°,∴∠ABC=∠C=70°,∴∠A=180°-∠C-∠ABC=40°.由作圖可知MN是線段AB的垂直平分線,∴DA=DB,∴∠ABD=∠A=40°,∴∠BDC=∠A+∠ABD=80°.解題關(guān)鍵理解MN是線段AB的垂直平分線及垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.三年模擬A組基礎(chǔ)題組一、選擇題(每小題3分,共12分)1.(2021陜西西安蓮湖二模,4)如圖,直線DE與BC相交于點O,∠1與∠2互余,∠BOE=150°,則∠AOE的度數(shù)是()A.120° B.130° C.140° D.150°答案A∵∠1與∠2互余,∴∠1+∠2=90°,∴∠AOC=180°-(∠1+∠2)=90°,∵∠EOC=180°-∠BOE=30°,∴∠AOE=∠AOC+∠EOC=90°+30°=120°.故選A.2.(2021遼寧大連甘井子一模,4)如圖,△ABC中,∠B=50°,∠ACB=70°,CD∥AB,則∠ACD的度數(shù)是 ()A.50° B.60° C.70° D.80°答案B∵∠B=50°,∠ACB=70°,∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°,∵CD∥AB,∴∠ACD=∠A=60°,故選B.3.(2021四川成都錦江二診,5)如圖,將一副直角三角板的直角頂點疊放在一起,其中∠BAC=∠EAD=90°,∠B=60°,∠E=45°,AE與BC相交于點F,若AB∥DE,則∠EFB的大小是 ()A.75° B.90° C.105° D.120°答案C∵AB∥DE,∠E=45°,∴∠EAB=∠E=45°,又∵∠B=60°,∴∠EFB=∠B+∠EAB=60°+45°=105°.故選C.4.(2021四川成都外國語學(xué)校二診,4)如圖,現(xiàn)要從村莊A修建一條連接公路PQ的最短小路,過點A作AH⊥PQ于點H,沿AH修建公路,這樣做的理由是 ()A.兩點之間,線段最短B.垂線段最短C.過一點可以作無數(shù)條直線D.兩點確定一條直線答案B∵從直線外一點到這條直線上各點所連線段中,垂線段最短,∴過點A作AH⊥PQ于點H,這樣做的理由是垂線段最短.故選B.二、填空題(每小題3分,共9分)5.(2021廣東廣州越秀一模,11)已知∠A=70°,則∠A的余角的度數(shù)是.

答案20°解析根據(jù)定義∠A的余角的度數(shù)是90°-70°=20°.6.(2021遼寧沈陽皇姑二模,15)如圖,已知AB∥CD,∠2=135°,則∠1的度數(shù)是.

答案45°解析∵AB∥CD,∴∠1=∠3,又∵∠2=135°,∴∠3=180°-135°=45°,∴∠1=45°.7.(2020江西南昌二模,9)如圖,AB∥CD,Rt△EFG的直角頂點E在直線AB上,且EF交CD于點P,若∠BEG=52°,則∠CPF的度數(shù)為.

答案38°解析∵∠BEG=52°,∠GEF=90°,∠AEF+∠GEF+∠BEG=180°,∴∠AEF=180°-∠GEF-∠BEG=38°.∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EPD=38°,∴∠CPF=∠EPD=38°.三、解答題(共9分)8.(2021北京石景山一模,19)下面是小景設(shè)計的“過直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.已知:如圖1,直線l和l外一點A.求作:直線AE,使得AE⊥l于點E.作法:①在直線l上取一點B,連接AB(如圖2);②作線段AB的垂直平分線CD,交AB于點O;③以O(shè)為圓心,OB長為半徑作圓,交直線l于點E;④作直線AE.所以直線AE即為所求的直線.(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形(保留作圖痕跡);(2)完成下面的證明.證明:∵CD為線段AB的垂直平分線,∴OA=.

∴AB=2OB.∴AB是☉O的直徑.∴∠AEB=90°()(填推理的依據(jù)).

∴AE⊥l.解析(1)如圖,直線AE為所求的直線.(2)完成下面的證明.證明:∵CD為線段AB的垂直平分線,∴OA=OB.∴AB=2OB.∴AB是☉O的直徑.∴∠AEB=90°(直徑所對的圓周角為直角).∴AE⊥l.故答案為OB;直徑所對的圓周角為直角.B組提升題組一、選擇題(每小題3分,共18分)1.(2019遼寧遼陽模擬,9)如圖,BD平分∠ABC,DE⊥BC于點E,AB=7,DE=4,則S△ABD= ()A.28 B.21 C.14 D.7答案C如圖,過D作DH⊥BA于H.∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DH⊥BA,∴DH=DE=4,∴S△ABD=12AB·DH=12×7×4=14,2.(2021江西南昌一模,4)如圖,直線AB∥CD,直線EF分別與直線AB,CD相交于點O與點G,OP平分∠EOB,若∠EOP=35°,則∠DGF的度數(shù)為 ()A.90° B.100° C.110° D.120°答案C∵OP平分∠EOB,∴∠BOG=2∠EOP=2×35°=70°,又∵AB∥CD,∴∠DGF+∠BOE=180°,∴∠DGF=180°-70°=110°,故選C.3.(2021北京門頭溝一模,6)如圖,直線AB,CD交于點O,射線OE平分∠COB,若∠BOD=40°,則∠AOE等于 ()A.40° B.100° C.110° D.140°答案C∵∠BOD=40°,∴∠AOC=∠BOD=40°,∠BOC=180°-∠BOD=140°,又OE平分∠COB,∴∠COE=12∠BOC=12×140°=70∴∠AOE=∠AOC+∠COE=40°+70°=110°,故選C.4.(2021河南洛陽澗西一模,3)如圖,AC∥BD,AD與BC相交于點O,若∠AOB=85°,∠B=40°,則∠A的度數(shù)為 ()A.75° B.60° C.45° D.30°答案C∵AC∥BD,∠B=40°,∴∠C=∠B=40°,又∵∠AOB=∠C+∠A,∠AOB=85°,∴∠A=85°-40°=45°,故選C.5.(2020四川成都一診,5)如圖,直線a∥b,將一塊含30°角的直角三角尺按圖中方式放置,其中點A和點B分別落在直線a和b上.若∠2=50°,則∠1的度數(shù)為 ()A.10° B.20° C.30° D.40°答案A∵直線a∥b,∠2=50°,∴∠1+90°+∠2+30°=180°,解得∠1=10°.故選A.6.(2021遼寧沈陽皇姑二模,5)下列命題的逆命題是真命題的是 ()A.若a=b,則|a|=|b|B.同位角相等,兩直線平行C.對頂角相等D.若a>0,b>0,則a+b>0答案B若a=b,則|a|=|b|的逆命題是若|a|=|b|,則a=b,逆命題是假命題,A選項不符合題意;同位角相等,兩直線平行的逆命題是兩直線平行,