§5.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系五年中考考點(diǎn)1點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.(2020廣東廣州,7,3分)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cosA=45,以點(diǎn)B為圓心,r為半徑作☉B(tài),當(dāng)r=3時(shí),☉B(tài)與AC的位置關(guān)系是 (A.相離 B.相切C.相交 D.無(wú)法確定答案B∵∠C=90°,AB=5,cosA=ACAB=4∴AC=AB·cosA=5×45=4∴BC=AB2-A∵r=3,∴☉B(tài)與AC的位置關(guān)系是相切.故選B.2.(2019廣東廣州,5,3分)平面內(nèi),☉O的半徑為1,點(diǎn)P到O的距離為2,過(guò)點(diǎn)P可作☉O的切線的條數(shù)為 ()A.0條 B.1條 C.2條 D.無(wú)數(shù)條答案C∵點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離為2,☉O的半徑為1,∴點(diǎn)P到圓心的距離大于半徑,∴點(diǎn)P在☉O外.∵過(guò)圓外一點(diǎn)可以作圓的兩條切線,∴過(guò)點(diǎn)P可以作☉O的兩條切線.故選C.考點(diǎn)2切線的判定與性質(zhì)1.(2020重慶A卷,5,4分)如圖,AB是☉O的切線,A為切點(diǎn),連接OA,OB,若∠B=20°,則∠AOB的度數(shù)為 ()A.40° B.50° C.60° D.70°答案D∵AB是☉O的切線,∴∠OAB=90°,又∵∠B=20°,∴∠AOB=90°-20°=70°,故選D.2.(2021山西,7,3分)如圖,在☉O中,AB切☉O于點(diǎn)A,連接OB交☉O于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A作AD∥OB交☉O于點(diǎn)D,連接CD.若∠B=50°,則∠OCD為 ()A.15° B.20° C.25° D.30°答案B連接OA,由題意知∠OAB=90°,又∠B=50°,∴∠AOB=40°.根據(jù)圓周角定理得∠D=20°.∵AD∥OB,∴∠OCD=∠D=20°,故選B.3.(2021貴陽(yáng),9,3分)如圖,☉O與正五邊形ABCDE的兩邊AE,CD相切于A,C兩點(diǎn),則∠AOC的度數(shù)是 ()A.144° B.130° C.129° D.108°答案A在正五邊形ABCDE中,∠E=∠D=(5-因?yàn)锳E,CD與☉O相切于A,C兩點(diǎn),所以∠OAE=∠OCD=90°.由五邊形AOCDE的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,可得∠AOC=540°-2×108°-2×90°=144°.故選A.方法總結(jié)正確利用n邊形內(nèi)角和公式(n-2)×180°以及圓的切線的性質(zhì).4.(2021內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,在?ABCD中,AD=12,以AD為直徑的☉O與BC相切于點(diǎn)E,連接OC.若OC=AB,則?ABCD的周長(zhǎng)為.

答案24+65解析連接OE,作CF⊥AD交AD于點(diǎn)F.∵BC與☉O相切于點(diǎn)E,∴OE⊥BC.∵AD=12,且AD為☉O的直徑,∴OA=OD=OE=12AD=6在?ABCD中,ADBC,CD=AB.∵OC=AB,∴CD=OC,又∵CF⊥OD,∴OF=DF=12OD=3∵CF⊥AD,OE⊥BC,AD∥BC,∴CF=OE=6.在Rt△CDF中,CD=CF2+DF∴C?ABCD=AB+BC+CD+AD=2(CD+AD)=2×(35+12)=24+65.5.(2021陜西,13,3分)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,☉O的半徑為1.若☉O在正方形ABCD內(nèi)平移(☉O可以與該正方形的邊相切),則點(diǎn)A到☉O上的點(diǎn)的距離的最大值為.

答案32+1解析當(dāng)☉O運(yùn)動(dòng)到如圖的位置,即☉O與BC、CD都相切時(shí),點(diǎn)A到☉O上的點(diǎn)的距離有最大值,為AF的長(zhǎng).設(shè)☉O與DC相切于點(diǎn)E,連接OE,則△OEC是等腰直角三角形,OE=EC=1,所以O(shè)C=2,因?yàn)锳C=2AB=42,所以AO=AC-OC=32,所以AF=32+1.即點(diǎn)A到☉O上的點(diǎn)的距離的最大值是32+1.6.(2020山西,18,7分)如圖,四邊形OABC是平行四邊形,以點(diǎn)O為圓心,OC為半徑的☉O與AB相切于點(diǎn)B,與AO相交于點(diǎn)D,AO的延長(zhǎng)線交☉O于點(diǎn)E,連接EB交OC于點(diǎn)F.求∠C和∠E的度數(shù).解析連接OB. (1分)∵AB與☉O相切于點(diǎn)B,∴OB⊥AB.∴∠OBA=90°. (2分)∵四邊形OABC是平行四邊形,∴AB∥OC.∴∠BOC=∠OBA=90°. (3分)∵OB=OC,∴∠C=∠OBC=12(180°-∠BOC)=12×(180°-90°)=45°. (4∵四邊形OABC是平行四邊形,∴∠A=∠C=45°. (5分)∴∠AOB=180°-∠A-∠OBA=180°-45°-90°=45°. (6分)∴∠E=12∠DOB=12∠AOB=12×45°=22.5°. (思路分析連接OB,由切線的性質(zhì)可得OB⊥AB,再由四邊形OABC是平行四邊形可得∠BOC=∠OBA=90°,然后根據(jù)OB=OC可求∠C,根據(jù)圓周角定理可求∠E.7.(2021陜西,24,8分)如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)E、F在☉O上,且BF=2BE,連接OE、AF,過(guò)點(diǎn)B作☉O的切線,分別與OE、AF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C、D.(1)求證:∠COB=∠A;(2)若AB=6,CB=4,求線段FD的長(zhǎng).解析(1)證明:取BF的中點(diǎn)M,連接OM、OF.∵BF=2BE,∴BM=MF=BE,∠COB=12∠BOF. (2分∵∠A=12∠BOF∴∠COB=∠A. (3分)(2)連接BF.∵CD是☉O的切線,∴AB⊥CD.由(1),知∠COB=∠A,∴△OBC∽△ABD. (5分)∴OBBC=AB∴BD=BC·ABOB=∴AD=62+82=10. ∵AB是☉O的直徑,∴∠AFB=90°,即BF⊥AD.∵∠D=∠D,∴△BFD∽△ABD.∴FDBD=BDAD,∴FD=BD2AD=8210=8.(2021黑龍江齊齊哈爾,21,8分)如圖,AB是☉O的直徑,C為☉O上的一點(diǎn),AE和過(guò)點(diǎn)C的切線CD互相垂直,垂足為E,AE與☉O相交于點(diǎn)F,連接AC.(1)求證:AC平分∠EAB;(2)若AE=12,tan∠CAB=33,求OB的長(zhǎng)解析(1)證明:連接OC. (1分)∵CD是☉O的切線,AE⊥CD,∴∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE. (2分)∴∠OCA=∠EAC.∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO. (3分)∴∠CAO=∠EAC,∴AC平分∠EAB. (4分)(2)連接BC. (5分)∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵tan∠CAB=33,∠CAB=∠EAC∴tan∠EAC=33,即CEAE=33.∴CE∴AC=AE2+EC2=83又∵∠ACB=90°,tan∠CAB=33,即BCAC=∴BC=8. (7分)∴AB=AC2∴OB=12AB=8. (8分9.(2021云南,22,9分)如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C是☉O上異于A、B的點(diǎn),連接AC,BC,點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上,且∠DCA=∠ABC,點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上,且BE⊥DC.(1)求證:DC是☉O的切線;(2)若OAOD=23,BE=3,求DA解析(1)證明:連接OC,由題意知∠ACB是直徑AB所對(duì)的圓周角,∴∠ACB=90°.∵OC、OB是☉O的半徑,∴OC=OB,∴∠OCB=∠ABC. (2分)又∵∠DCA=∠ABC,∴∠DCA=∠OCB,∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°, (4分)∴OC⊥DC.又∵OC是☉O的半徑,∴DC是☉O的切線. (5分)(2)∵OAOD=23,∴OAOA+DA=23,化簡(jiǎn)得OA=2DA由(1)知,∠DCO=90°.∵BE⊥DC,即∠DEB=90°,∴∠DCO=∠DEB.∴OC∥BE,∴△DCO∽△DEB.∴DODB=COEB,即DA+OADA+OA+OB=3DA∴DA=310EB∵BE=3,∴DA=310EB=310×3=經(jīng)檢驗(yàn),DA=910是所列分式方程的解∴DA=910. (9分10.(2021天津,21,10分)已知△ABC內(nèi)接于☉O,AB=AC,∠BAC=42°,點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn).(1)如圖①,若BD為☉O的直徑,連接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如圖②,若CD∥BA,連接AD,過(guò)點(diǎn)D作☉O的切線,與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,求∠E的大小.圖①圖②解析(1)∵BD為☉O的直徑,∴∠BCD=90°.在☉O中,∠BDC=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠BDC=48°.∵AB=AC,∠BAC=42°,∴∠ABC=∠ACB=12(180°-∠BAC)=69∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=21°.(2)如圖,連接OD.∵CD∥BA,∴∠ACD=∠BAC=42°.∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∠ABC=69°,∴∠ADC=180°-∠ABC=111°.∴∠DAC=180°-∠ACD-∠ADC=27°.∴∠DOC=2∠DAC=54°.∵DE是☉O的切線,∴DE⊥OD,即∠ODE=90°.∴∠E=90°-∠DOE=36°.考點(diǎn)3三角形的內(nèi)切圓1.(2019云南,13,4分)如圖,△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F,且AB=5,BC=13,CA=12,則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是 ()A.4 B.6.25 C.7.5 D.9答案A∵AB=5,BC=13,AC=12,∴AB2+AC2=52+122=132=BC2,∴△ABC為直角三角形,且∠A=90°.∵AB,AC分別與☉O相切于點(diǎn)F,E,∴OF⊥AB,OE⊥AC,∴∠A=∠AEO=∠AFO=90°,又∵OE=OF,∴四邊形AEOF是正方形.設(shè)OE=r,則AE=AF=r,又∵△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC,AC,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,∴BD=BF=5-r,CD=CE=12-r,∵BD+CD=BC,∴5-r+12-r=13,解得r=2,∴S陰影=22=4.故選A.2.(2019內(nèi)蒙古呼和浩特,24,9分)如圖,以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的☉O交斜邊AC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作☉O的切線與BC交于點(diǎn)E,弦DM與AB垂直,垂足為H.(1)求證:E為BC的中點(diǎn);(2)若☉O的面積為12π,△AHD和△BMH的外接圓面積之比為3,求△DEC的內(nèi)切圓面積S1和四邊形OBED的外接圓面積S2的比.解析(1)證明:連接OE,易知∠ODE=∠OBE=90°,∵在Rt△ODE和Rt△OBE中,OD∴△ODE≌△OBE,∴∠DOE=∠BOE=12∠DOB又∵∠DAB=12∠DOB∴∠DAB=∠BOE,∴OE∥AC,又∵O是AB的中點(diǎn),∴E為BC的中點(diǎn).(2)∵△AHD與△MHB都是直角三角形,且∠DAH=∠HMB,∴△AHD∽△MHB,∴其外接圓面積的比=ADBM2=3,∴ADBM∴ADBM=DHHB=又∵DH=HM,∴HMHB=3∴∠BMH=30°=∠DAH,∴∠C=60°,又易知☉O的半徑為23,∴AB=43,在Rt△ABC中,可求得BC=4,AC=8,連接BD,由題意知△BDC是直角三角形,由(1)知E是斜邊BC的中點(diǎn),而∠C=60°,∴△CDE是等邊三角形,且邊長(zhǎng)為2,∴△CDE的內(nèi)切圓的半徑r1=33又四邊形ODEB的外接圓直徑為OE,OE=12AC=4∴四邊形ODEB的外接圓的半徑r2=2,∴S1S23.(2021湖北黃岡,21,9分)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,☉O與BC,AC分別相切于點(diǎn)E,F,BO平分∠ABC,連接OA.(1)求證:AB是☉O的切線;(2)若BE=AC=3,☉O的半徑是1,求圖中陰影部分的面積.解析(1)證明:連接OE,OF,過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB,垂足為點(diǎn)D.∵☉O與BC,AC分別相切于點(diǎn)E,F,∴OE⊥BC,OF⊥AC.∵BO平分∠ABC,∴OD=OE.∵OE是☉O的半徑,∴AB是☉O的切線.(2)連接OC.∵∠ACB=90°,OE⊥BC,OF⊥AC,OE=OF,∴四邊形OECF是正方形,∴OE=OF=EC=FC=1,∴BC=BE+EC=4.又AC=3,∴AB=42+∵四邊形OECF是正方形,∴CO平分∠ACB.又BO平分∠ABC,∴AO平分∠BAC,∴∠AOB=180°-12∠BAC+12∠ABC=135°.設(shè)OA,OB分別與圓交于點(diǎn)H,G.∴S陰影=S△ABO-S扇形GOH=12×5×1-135π×12方法總結(jié)求陰影部分面積往往求的都是不規(guī)則圖形的面積,所以把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為求規(guī)則圖形的面積是解決這類問(wèn)題的主要思路.兩種常用的方法:1.和差法:不改變圖形的位置,用規(guī)則圖形面積的和或差表示陰影部分面積,經(jīng)過(guò)計(jì)算即得陰影部分面積;2.變換法:通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、等積變換等將圖形變換成規(guī)則圖形求解.三年模擬A組基礎(chǔ)題組一、選擇題(每小題3分,共15分)1.(2021北京東城二模,3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,☉O的半徑為2,點(diǎn)A(1,3)與☉O的位置關(guān)系是 ()A.在☉O上 B.在☉O內(nèi)C.在☉O外 D.不能確定答案A∵點(diǎn)A(1,3),∴AO=12+又∵☉O的半徑為2,∴點(diǎn)A在☉O上,故選A.2.(2021四川成都青羊二診,9)如圖,AB是☉O的直徑,點(diǎn)C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),CP與☉O相切于點(diǎn)P,連接BP,若∠CPB=112.5°,OB=3cm,則OC的長(zhǎng)是 ()A.3.3cm B.32cm C.33cm D.3.5cm答案B如圖,連接OP.∵PC是☉O的切線,∴∠CPO=90°,∵∠CPB=112.5°,∴∠OPB=22.5°,又∵OP=OB,∴∠B=∠OPB=22.5°,∴∠POC=∠B+∠OPB=45°,∴∠C=45°=∠POC,∴PC=PO=OB=3(cm),∴OC=PC2+PO2=故選B.3.(2021黑龍江哈爾濱南崗一模,8)如圖,AB是☉O的弦,點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)B的切線上,OC⊥OA,OC交AB于點(diǎn)P.若∠BPC=70°,則∠ABC的度數(shù)等于 ()A.75° B.70° C.65° D.60°答案B∵OC⊥OA,∴∠AOC=90°,∵∠APO=∠BPC=70°,∴∠A=90°-70°=20°,∵OA=OB,∴∠OBA=∠A=20°,∵BC為☉O的切線,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°,∴∠ABC=90°-20°=70°.故選B.4.(2021黑龍江哈爾濱道外一模,8)如圖,P為☉O外一點(diǎn),PA,PB是☉O的切線,A,B為切點(diǎn),點(diǎn)C為AB左側(cè)☉O上一點(diǎn),若∠P=50°,則∠ACB的度數(shù)為 ()A.50° B.55° C.60° D.65°答案D如圖,連接OA、OB,∵PA、PB是☉O的切線,A、B為切點(diǎn),∴OA⊥PA,OB⊥PB,∴∠PAO=∠PBO=90°,∵∠P=50°,∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°,∴∠C=12∠AOB=12×130°=65故選D.5.(2019湖北仙桃模擬,8)如圖,過(guò)☉O上一點(diǎn)C作☉O的切線,交直徑AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,若∠A=25°,則∠D的度數(shù)為 ()A.25° B.30° C.40° D.50°答案C連接OC.∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=25°.∴∠DOC=∠A+∠ACO=50°.∵CD是☉O的切線,OC為半徑,∴∠OCD=90°.∴∠D=90°-∠DOC=40°.故選C.二、填空題(每小題3分,共9分)6.(2021廣東廣州從化一模,15)如圖,PA、PB是☉O的切線,A、B為切點(diǎn),AC是☉O的直徑,若∠BAC=36°,則∠P的度數(shù)為.

答案72°解析由題易知∠CAP=90°,PA=PB,又∵∠BAC=36°,∴∠PAB=54°,∴∠PBA=∠PAB=54°,∴∠P=180°-54°-54°=72°.7.(2020海南瓊海一模,14)如圖,PA切☉O于點(diǎn)A,PC過(guò)點(diǎn)O且與☉O交于B,C兩點(diǎn),若PA=6cm,PB=23cm,則△PAC的面積是cm2.

答案93解析如圖,連接OA,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,交BC于點(diǎn)D,設(shè)☉O的半徑為xcm(x>0),則OB=OA=xcm,∵PA切☉O于點(diǎn)A,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°.在Rt△AOP中,PA=6cm,OP=(x+23)cm,OA=xcm,根據(jù)勾股定理,得PA2+OA2=OP2,即36+x2=(x+23)2,解得x=23,∴OA=OB=OC=23cm,∴OP=43cm,∴∠P=30°,∴AD=12AP=3cm∴S△PAC=12PC·AD=12×63×3=93cm即△PAC的面積為93cm2.8.(2021江蘇無(wú)錫錫山一模,12)如圖,PA、PB是☉O的切線,A、B為切點(diǎn),點(diǎn)C、D在☉O上.若∠P=100°,則∠A+∠C=.

答案220°解析連接AB,∵PA、PB是☉O的切線,∴PA=PB,∵∠P=100°,∴∠PAB=∠PBA=12(180°-100°)=40°∵∠DAB+∠C=180°,∴∠PAD+∠C=∠PAB+∠DAB+∠C=40°+180°=220°.三、解答題(共21分)9.(2021陜西寶雞一模,23)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB為☉O的直徑,∠B=12∠BAC,過(guò)點(diǎn)A作☉O的切線,與OC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)(1)求證:△OAC為等邊三角形;(2)若AC=8,求AP的長(zhǎng).解析(1)證明:∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°,又∵∠B=12∠BAC∴12∠BAC+∠BAC=90°,解得∠BAC=60°又∵OA=OC,∴△OAC為等邊三角形.(2)∵△OAC為等邊三角形,∴∠AOC=60°,OA=AC=8,∵PA為切線,∴OA⊥PA,∴∠OAP=90°,∴PA=3OA=83.10.(2021遼寧大連鐵西一模,22)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O分別交AC,BC于點(diǎn)D,E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上,連接BF,∠BAC=2∠CBF.(1)求證:直線BF是☉O的切線;(2)若OA=CF=3,求△BCF的面積.解析(1)證明:連接AE,如圖所示,∵AB是☉O的直徑,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∵AB=AC,∠AEB=90°,∴2∠BAE=∠BAC,又∵∠BAC=2∠CBF,∴∠BAE=∠CBF,∴∠CBF+∠ABE=90°,即∠ABF=90°,又∵AB是☉O的直徑,∴直線BF是☉O的切線.(2)∵OA=CF=3,∴AC=AB=2OA=6,AF=AC+CF=9,∴CF=13AF∵∠ABF=90°,∴BF=AF2-AB∴△BCF的面積=13△ABF的面積=13×12×BF×AB=13×1211.(2021四川南充一模,22)如圖,PB切☉O于點(diǎn)B,連接PO并延長(zhǎng)交☉O于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BA⊥PE交☉O于點(diǎn)A,連接AP,AE.(1)求證:PA是☉O的切線;(2)如果AB=DE,OD=3,求☉O的半徑.解析(1)證明:連接OA,OB,如圖所示,∵PB是☉O的切線,∴∠PBO=90°,∵OA=OB,BA⊥PE于點(diǎn)D,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中,OA∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PAO=∠PBO=90°,∴PA⊥OA,又∵OA是半徑,∴PA為☉O的切線.(2)∵BA⊥PE.∴OD⊥AB,∴AD=BD,∴AB=2AD,∵AB=DE,∴DE=2AD,∵DE=OD+OE=OD+AO,∴AO=2AD-OD=2AD-3,設(shè)AD=x,∴AO=2x-3,在Rt△AOD中,∵AO2=AD2+OD2,∴(2x-3)2=x2+32,解得x=4或x=0(不合題意,舍去),∴OA=2x-3=5,即☉O的半徑為5.B組提升題組一、選擇題(每小題3分,共9分)1.(2021北京海淀一模,2)如圖,AB是半圓O的直徑,點(diǎn)C,D將AB分成相等的三段弧,點(diǎn)P在AC上.已知點(diǎn)Q在AB上且∠APQ=115°,則點(diǎn)Q所在的弧是 ()A.AP B.PC C.CD D.DB答案D將半圓補(bǔ)全,∵∠APQ=115°,∴∠APQ對(duì)應(yīng)優(yōu)弧ABQ,∴根據(jù)圓周角定理易知優(yōu)弧ABQ所對(duì)圓心角為230°,則劣弧APQ所對(duì)應(yīng)圓心角∠AOQ=130°,又∵C、D為AB的三等分點(diǎn),∴∠AOD=120°,故Q應(yīng)位于DB上,故選D.2.(2021廣東廣州番禺一模,9)如圖,AB是☉O的直徑,AC是☉O的切線,A為切點(diǎn),BC與☉O交于點(diǎn)D,連接OD.若∠C=50°,則∠AOD的度數(shù)為 ()A.40° B.50° C.80° D.100°答案C∵AC是☉O的切線,∴AB⊥AC,∴∠BAC=90°,又∵∠C=50°,∴∠ABC=40°,∵OD=OB,∴∠ODB=∠ABC=40°,∴∠AOD=∠ODB+∠ABC=80°.故選C.3.(2020江蘇無(wú)錫錫北一模,8)如圖,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O,若直線PA與☉O相切于點(diǎn)A,則∠PAB= ()A.30° B.35° C.45° D.60°答案A連接OB,AD,BD,∵多邊形ABCDEF是正六邊形,∴AD為外接圓的直徑,∠AOB=360°6=60∵OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,又∵∠AOB=∠ODB+∠OBD,∴∠ADB=12∠AOB=12×60°∵直線PA與☉O相切于點(diǎn)A,∴∠PAB=∠ADB=30°,故選A.二、填空題(每小題3分,共9分)4.(2021上海奉賢三模,18)如圖,已知在等邊△ABC中,AB=4,點(diǎn)P在邊BC上,如果以線段PB為半徑的☉P與以邊AC為直徑的☉O外切,那么☉P的半徑長(zhǎng)是.

答案4解析如圖,連接OP,過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC于H,在等邊△ABC中,AB=4,∴AC=BC=AB=4,∠ACB=60°,∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),∴AO=OC=2,∵以線段PB為半徑的☉P與以邊AC為直徑的☉O外切,∴PO=2+BP,∵OH⊥BC,∴∠COH=90°-∠ACB=30°,又∵OC=2,∴HC=1,OH=3,∵在Rt△OPH中,OP2=OH2+PH2,∴(2+BP)2=3+(4-1-BP)2,解得BP=455.(2020遼寧鞍山鐵東一模,15)如圖,PA、PB切☉O于A、B兩點(diǎn),連接OP交弦AB于點(diǎn)C,交劣弧AB于點(diǎn)D,∠APB=70°,點(diǎn)Q為優(yōu)弧AMB上一點(diǎn),OQ∥PB,則∠OQA的大小為.

答案10°解析如圖,連接OA.∵PA,PB是☉O的切線,∠APB=70°,∴∠OPB=∠OPA=12∠APB=35°,PA⊥OA∴∠OAP=90°,∴∠POA=90°-∠OPA=55°.∵OQ∥PB,∴∠POQ+∠OPB=180°,∴∠POQ=180°-∠OPB=145°,∴∠AOQ=360°-∠POQ-∠POA=160°,∵OQ=OA,∴∠OQA=∠OAQ=180°-∠6.(2020廣東廣州一模,14)如圖是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盤擺放而成的,點(diǎn)A為60°角的頂點(diǎn),點(diǎn)B為光盤與直尺的唯一交點(diǎn),三角板的斜邊與光盤相切,若AB=3,則光盤的直徑是.

答案63解析如圖,設(shè)光盤的圓心為O,連接OB,OA,設(shè)三角板的斜邊與光盤相切于點(diǎn)C.由已知得OB⊥AB,AO平分∠BAC,∵∠BAC=180°-60°=120°,∴∠OAB=60°.在Rt△OAB中,OB=3AB=33,∴光盤的直徑為63.三、解答題(共22分)7.(2021陜西西安蓮湖二模,23)如圖,AB為