一、集合與函數(shù)概念集合是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)語(yǔ)言，函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)的核心概念，二者共同構(gòu)成了必修一的邏輯起點(diǎn)。（一）集合的概念與表示1.集合的定義及元素特性集合是確定的、互不相同的對(duì)象組成的整體（如{1,2,3}、{有理數(shù)}）。元素需滿足：確定性：元素必須明確（“高個(gè)子學(xué)生”不能構(gòu)成集合）；互異性：元素互不重復(fù)（{1,2,2}應(yīng)表示為{1,2}）；無(wú)序性：元素順序無(wú)關(guān)（{1,2,3}與{3,2,1}是同一集合）。2.集合的表示方法列舉法：逐一列出元素（如{0,1,2}、{a,b,c}）；描述法：用“代表元素|屬性”表示（如{x|x是偶數(shù)}、{y|y>5}）；Venn圖：用封閉曲線表示集合（矩形表示全集U，圓表示子集A）。（二）集合間的基本關(guān)系1.子集與真子集子集：若A的所有元素都在B中，則A?B（如{1,2}?{1,2,3}）；真子集：若A?B且B有元素不在A中，則A?B（如{1,2}?{1,2,3}）。2.集合的相等若A?B且B?A，則A=B（元素完全相同）。3.空集的特殊性空集（?）：不含任何元素的集合；性質(zhì)：?是任何集合的子集（??A），是任何非空集合的真子集（??A，A≠?）。（三）集合的基本運(yùn)算1.交集（A∩B）定義：同時(shí)屬于A和B的元素組成的集合（A∩B={x|x∈A且x∈B}）；性質(zhì)：A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A。2.并集（A∪B）定義：屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合（A∪B={x|x∈A或x∈B}）；性質(zhì)：A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A。3.補(bǔ)集（?UA）定義：設(shè)U為全集，A?U，U中不屬于A的元素組成的集合（?UA={x|x∈U且x?A}）；性質(zhì)：A∪?UA=U，A∩?UA=?，?U(?UA)=A。4.德摩根定律（重要推論）?U(A∩B)=?UA∪?UB（交集的補(bǔ)集=補(bǔ)集的并集）；?U(A∪B)=?UA∩?UB（并集的補(bǔ)集=補(bǔ)集的交集）。二、函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的核心是“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）是研究函數(shù)的關(guān)鍵工具。（一）函數(shù)的定義與三要素1.函數(shù)的定義設(shè)A、B為非空數(shù)集，若對(duì)A中每一個(gè)x，通過(guò)對(duì)應(yīng)法則f，B中都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，則稱f:A→B為函數(shù)，記作y=f(x)。其中：A：定義域（x的取值范圍）；B：陪域（y的可能范圍）；值域：所有y值組成的集合（值域?陪域）。2.定義域的求法定義域是函數(shù)的“輸入邊界”，需滿足：分式：分母≠0（如y=1/x，定義域(-∞,0)∪(0,+∞)）；偶次根式：被開方數(shù)≥0（如y=√x，定義域[0,+∞)）；對(duì)數(shù)：真數(shù)>0且底數(shù)>0≠1（如y=log?(x-1)，定義域(1,+∞)）；復(fù)合函數(shù)：各層定義域的交集（如y=√(log?x)，需log?x≥0且x>0，定義域[1,+∞)）。3.值域的求法值域是函數(shù)的“輸出范圍”，常用方法：觀察法：直接判斷（如y=2x+1，值域R；y=1/x，值域(-∞,0)∪(0,+∞)）；配方法：二次函數(shù)專用（如y=x2-2x+3=(x-1)2+2，值域[2,+∞)）；換元法：轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)（如y=x+√(x-1)，令t=√(x-1)≥0，y=t2+t+1，值域[1,+∞)）；單調(diào)性法：利用單調(diào)性求極值（如y=2?+1，單調(diào)遞增，值域(1,+∞)）。（二）函數(shù)的單調(diào)性1.單調(diào)性的定義設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，任意x?<x?∈I：若f(x?)<f(x?)，則f(x)在I上單調(diào)遞增；若f(x?)>f(x?)，則f(x)在I上單調(diào)遞減。2.單調(diào)性的判斷方法定義法：步驟為“設(shè)值→作差→變形→定號(hào)→結(jié)論”（如證明f(x)=x2在[0,+∞)單調(diào)遞增）；圖像法：上升區(qū)間遞增，下降區(qū)間遞減（如y=x3圖像上升，單調(diào)遞增）；復(fù)合函數(shù)法：“同增異減”（如y=log?(x2-1)，u=x2-1在(1,+∞)遞增，y=log?u遞增，故復(fù)合函數(shù)在(1,+∞)遞增）。（三）函數(shù)的奇偶性1.奇偶性的定義偶函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(-x)=f(x)（如y=x2，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱）；奇函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(-x)=-f(x)（如y=x3，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。2.奇偶性的判斷步驟（1）檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（若不對(duì)稱，非奇非偶）；（2）計(jì)算f(-x)；（3）比較f(-x)與f(x)的關(guān)系（相等為偶，相反為奇，否則都不是）。3.奇偶性的性質(zhì)奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義，則f(0)=0；偶函數(shù)的平方、絕對(duì)值仍為偶函數(shù)（如y=|x|是偶函數(shù)）；奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。（四）函數(shù)的周期性（選學(xué)）1.周期性的定義若存在非零常數(shù)T，使得對(duì)所有x∈定義域，都有f(x+T)=f(x)，則T稱為f(x)的周期。最小的正數(shù)T稱為最小正周期。2.常見周期函數(shù)的周期sinx、cosx：最小正周期2π；tanx：最小正周期π；常數(shù)函數(shù)：無(wú)最小正周期（任何非零常數(shù)都是周期）。三、基本初等函數(shù)（Ⅰ）基本初等函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)）是構(gòu)建復(fù)雜函數(shù)的“積木”，其圖像與性質(zhì)是高考的重點(diǎn)。（一）指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)的定義形如y=a?（a>0且a≠1）的函數(shù)，其中a為底數(shù)，x為指數(shù)（如y=2?、y=(1/2)?）。2.指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)底數(shù)范圍a>10<a<1定義域RR值域(0,+∞)(0,+∞)圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)(0,1)單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減特殊值x>0時(shí)，y>1；x<0時(shí)，0<y<1x>0時(shí)，0<y<1；x<0時(shí)，y>13.指數(shù)函數(shù)的應(yīng)用人口增長(zhǎng)模型：P(t)=P?·a?（a>1時(shí)增長(zhǎng)，0<a<1時(shí)減少）；復(fù)利計(jì)算：A=P(1+r)?（P為本金，r為利率，t為時(shí)間）。（二）對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)的定義與運(yùn)算性質(zhì)定義：若a?=N（a>0且a≠1），則b=log?N（讀作“以a為底N的對(duì)數(shù)”）；運(yùn)算性質(zhì)：log?(MN)=log?M+log?N；log?(M/N)=log?M-log?N；log?M?=nlog?M；換底公式：log?b=log_cb/log_ca（c>0且c≠1，常用自然對(duì)數(shù)換底：log?b=lnb/lna）。2.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義形如y=log?x（a>0且a≠1）的函數(shù)，其中a為底數(shù)，x為真數(shù)（如y=log?x、y=log?.?x）。3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)底數(shù)范圍a>10<a<1定義域(0,+∞)(0,+∞)值域RR圖像過(guò)點(diǎn)(1,0)(1,0)單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減特殊值x>1時(shí)，y>0；0<x<1時(shí)，y<0x>1時(shí)，y<0；0<x<1時(shí)，y>04.對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用pH值計(jì)算：pH=-log??[H?]（[H?]為氫離子濃度）；地震震級(jí)：M=log??(A/A?)（A為地震振幅，A?為標(biāo)準(zhǔn)振幅）。（三）冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義形如y=x?（α為實(shí)數(shù)）的函數(shù)，其中α為指數(shù)，x為底數(shù)（如y=x、y=x2、y=1/x）。2.冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)定義域：由α決定（如α=1/2時(shí)，定義域[0,+∞)；α=-1時(shí)，定義域(-∞,0)∪(0,+∞)）；值域：由α決定（如α=2時(shí)，值域[0,+∞)；α=3時(shí)，值域R）；圖像過(guò)點(diǎn)：(1,1)（所有冪函數(shù)都過(guò)該點(diǎn)）；單調(diào)性：α>0時(shí)，在(0,+∞)單調(diào)遞增；α<0時(shí)，在(0,+∞)單調(diào)遞減。3.常見冪函數(shù)的圖像特征y=x（α=1）：直線，過(guò)原點(diǎn)，單調(diào)遞增，奇函數(shù)；y=x2（α=2）：拋物線，關(guān)于y軸對(duì)稱，偶函數(shù)，在(-∞,0)遞減，(0,+∞)遞增；y=x3（α=3）：曲線，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，奇函數(shù)，單調(diào)遞增；y=√x（α=1/2）：曲線，定義域[0,+∞)，單調(diào)遞增；y=1/x（α=-1）：雙曲線，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，奇函數(shù)，在(-∞,0)和(0,+∞)遞減。四、函數(shù)的應(yīng)用（Ⅰ）函數(shù)是解決實(shí)際問(wèn)題的工具，其應(yīng)用主要包括“函數(shù)與方程”（求零點(diǎn)）和“函數(shù)模型”（預(yù)測(cè)與優(yōu)化）。（一）函數(shù)與方程1.函數(shù)的零點(diǎn)定義：函數(shù)f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即f(x)=0的實(shí)數(shù)解（如f(x)=x2-2x-3的零點(diǎn)為x=3和x=-1）；關(guān)系：函數(shù)有零點(diǎn)?方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?圖像與x軸有交點(diǎn)。2.零點(diǎn)存在定理若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)·f(b)<0，則f(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（如f(x)=x-1在[0,2]上連續(xù)，f(0)=-1，f(2)=1，故在(0,2)內(nèi)有零點(diǎn)x=1）。3.二分法求零點(diǎn)近似值步驟：（1）確定區(qū)間[a,b]，驗(yàn)證f(a)·f(b)<0；（2）求中點(diǎn)c=(a+b)/2；（3）計(jì)算f(c)：若f(c)=0，則c為零點(diǎn)；若f(a)·f(c)<0，則零點(diǎn)在(a,c)；否則在(c,b)；（4）重復(fù)（2）（3），直到區(qū)間長(zhǎng)度小于精度要求（如精度0.1，區(qū)間長(zhǎng)度<0.1時(shí)停止）。示例：求f(x)=x2-2的零點(diǎn)近似值，最終區(qū)間[1.375,1.4375]，近似值1.4。（二）函數(shù)模型及其應(yīng)用1.常見函數(shù)模型一次函數(shù)：y=kx+b（k≠0，如勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移s=vt）；二次函數(shù)：y=ax2+bx+c（a≠0，如拋物線運(yùn)動(dòng)的高度h=1/2gt2，利潤(rùn)最大化問(wèn)題）；指數(shù)函數(shù)：y=a·b?（a≠0,b>0且b≠1，如細(xì)菌繁殖、人口增長(zhǎng)）；對(duì)數(shù)函數(shù)：y=a·log_bx（a≠0,b>0且b≠1，如pH值、震級(jí)）；冪函數(shù)：y=a·x?（a≠0,α≠0，如面積與半徑S=πr2，體積與邊長(zhǎng)V=a3）。2.函數(shù)模型的應(yīng)用步驟（1）收集數(shù)據(jù)：通過(guò)實(shí)驗(yàn)、調(diào)查獲取變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如時(shí)間與溫度、銷量與利潤(rùn)）；（2）畫散點(diǎn)圖：觀察數(shù)據(jù)分布，推測(cè)函數(shù)模型（如線性分布用一次函數(shù)，指數(shù)增長(zhǎng)用指數(shù)函數(shù)）；（3）選擇模型：根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的函數(shù)類型；（4）擬合模型：用待定系數(shù)法求模型參數(shù)（如一次函數(shù)用最小二乘法，二次函數(shù)用頂點(diǎn)式）；（5）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停河眯聰?shù)據(jù)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性（如預(yù)測(cè)值與實(shí)際值的誤差是否在可接受范圍內(nèi)）；（6）應(yīng)用模型：用模型解決實(shí)際問(wèn)題（如預(yù)測(cè)未來(lái)銷量、優(yōu)化生產(chǎn)方案）。五、復(fù)習(xí)建議1.抓基礎(chǔ)：重點(diǎn)掌握集合的運(yùn)算、函數(shù)的三要素（定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則）、