1/3專題09計數(shù)原理考點(diǎn)三年考情（2023-2025）命題趨勢考點(diǎn)1排列與組合基礎(chǔ)概念與方法應(yīng)用：考查排列組合的基本概念、公式，以及“捆綁法”“插空法”“隔板法”等常見方法的運(yùn)用。如2023年全國卷的一些題目涉及特殊元素與特殊位置、兩元素相鄰或不相鄰等問題3。綜合應(yīng)用：常與概率、統(tǒng)計、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合。例如2024年全國甲卷文科試卷第5題考查排列組合與古典概型的綜合應(yīng)用；新課標(biāo)Ⅰ卷第19題結(jié)合數(shù)列新定義；新課標(biāo)Ⅱ卷第18題通過二項(xiàng)分布考查分類討論思想。題型與難度穩(wěn)定：在各類高考卷中，計數(shù)原理相關(guān)題目題型較為固定，主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn)在小題中，全國甲、乙卷難度較小，新高考Ⅰ、Ⅱ卷難度適中。在解答題中，常與概率等知識綜合考查，難度有所提高，但整體難度保持相對穩(wěn)定。突出應(yīng)用與素養(yǎng)：命題注重以課程學(xué)習(xí)情境和生活實(shí)踐情境為背景，強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的考查。要求考生能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用計數(shù)原理解決問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性和工具性。強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)與綜合：既注重對計數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定理等基礎(chǔ)知識的考查，要求考生對基本概念、公式、性質(zhì)等有深入理解和熟練掌握2。又常與概率、統(tǒng)計、離散型隨機(jī)變量的分布列等知識綜合命題。通過跨知識點(diǎn)的融合，考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和知識遷移能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的系統(tǒng)性和綜合性?？键c(diǎn)2二項(xiàng)式定理特定項(xiàng)系數(shù)：考查利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求特定項(xiàng)的系數(shù)。例如2024年全國甲卷理科第13題，求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的最大值，需要先寫出通項(xiàng)公式，再通過比較系數(shù)大小來求解。系數(shù)和問題：涉及求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和、二項(xiàng)式系數(shù)的和等。如通過對二項(xiàng)式中的變量賦值，來計算系數(shù)和。系數(shù)最值問題：要求找出展開式中系數(shù)的最大值或最小值。如2024年全國甲卷理科第13題，就是典型的求系數(shù)最大值問題?？键c(diǎn)01排列與組合一、單選題1．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）A．C40045?C200C．C40030?C2002．（2023·全國乙卷·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種3．（2023·全國甲卷·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．204．（2023·全國甲卷·高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（

）A．16 B．13 C．125．（2024·全國甲卷·高考真題）某獨(dú)唱比賽的決賽階段共有甲、乙、丙、丁四人參加，每人出場一次，出場次序由隨機(jī)抽簽確定，則丙不是第一個出場，且甲或乙最后出場的概率是（

）A．16 B．14 C．13二、填空題6．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．7．（2025·上?！じ呖颊骖}）4個家長和2個兒童去爬山，6個人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長，則不同的排列個數(shù)有種．8．（2024·天津·高考真題）某校組織學(xué)生參加農(nóng)業(yè)實(shí)踐活動，期間安排了勞動技能比賽，比賽共5個項(xiàng)目，分別為整地做畦、旱田播種、作物移栽、田間灌溉、藤架搭建，規(guī)定每人參加其中3個項(xiàng)目.假設(shè)每人參加每個項(xiàng)目的可能性相同，則甲同學(xué)參加“整地做畦”項(xiàng)目的概率為；已知乙同學(xué)參加的3個項(xiàng)目中有“整地做畦”，則他還參加“田間灌溉”項(xiàng)目的概率為．9．（2024·全國甲卷·高考真題）有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無放回地隨機(jī)取3次，每次取1個球.記m為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，n為取出的三個球上數(shù)字的平均值，則m與n之差的絕對值不大于12的概率為10．（2024·上?！じ呖颊骖}）設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩個不同元素之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值．11．（2023·上?！じ呖颊骖}）空間內(nèi)存在三點(diǎn)A、B、C，滿足AB=AC=BC=1，在空間內(nèi)取不同兩點(diǎn)（不計順序），使得這兩點(diǎn)與A、B、C可以組成正四棱錐，求方案數(shù)為．12．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．考點(diǎn)02二項(xiàng)式定理一、單選題1．（2024·北京·高考真題）在x?x4的展開式中，x3A．6 B．?6 C．12 D．?12二、填空題2．（2025·北京·高考真題）已知(1?2x)4=a0?2a13．（2025·天津·高考真題）在x?16的展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為4．（2025·上?！じ呖颊骖}）在二項(xiàng)式(2x?1)5的展開式中，x3的系數(shù)為5．（2024·上?！じ呖颊骖}）在x+1n的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則x2