法向量題目及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.平面\(2x+3y-z=0\)的一個法向量是（）A.\((2,3,-1)\)B.\((2,-3,1)\)C.\((-2,3,1)\)D.\((2,3,1)\)2.若平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(1,0,2)\)，直線\(l\)的方向向量\(\vec{v}=(0,1,1)\)，則直線\(l\)與平面\(\alpha\)所成角的正弦值為（）A.\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)B.\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)C.\(\frac{\sqrt{10}}{10}\)D.\(\frac{3\sqrt{10}}{10}\)3.已知點\(A(1,2,3)\)，\(B(2,3,4)\)，平面\(ABC\)的一個法向量是（）A.\((1,1,1)\)B.\((-1,-1,-1)\)C.\((1,-1,1)\)D.\((-1,1,-1)\)4.平面\(x-y+2z=5\)的法向量模長為（）A.\(\sqrt{6}\)B.\(\sqrt{5}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(\sqrt{2}\)5.若直線\(l\)的方向向量\(\vec{v}=(1,1,1)\)，平面\(\beta\)的法向量\(\vec{m}=(1,-1,0)\)，則直線\(l\)與平面\(\beta\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直線\(l\)在平面\(\beta\)內(nèi)6.平面\(3x-2y+4z=1\)與平面\(6x-4y+8z=3\)的法向量（）A.垂直B.平行C.相交D.不確定7.已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(a,1,2)\)，平面\(\beta\)的法向量\(\vec{m}=(1,-2,1)\)，若\(\alpha\perp\beta\)，則\(a\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)8.若平面\(\gamma\)的法向量\(\vec{n}=(0,0,1)\)，則平面\(\gamma\)（）A.平行于\(xOy\)平面B.平行于\(yOz\)平面C.平行于\(xOz\)平面D.過原點9.平面\(x+2y-3z=7\)與平面\(2x+4y-6z=1\)的位置關(guān)系是（）A.平行B.相交C.垂直D.重合10.已知平面\(\delta\)的法向量\(\vec{n}=(-1,2,-3)\)，點\(P(1,0,-1)\)在平面\(\delta\)內(nèi)，則點\(Q(0,1,1)\)到平面\(\delta\)的距離為（）A.\(\frac{4\sqrt{14}}{7}\)B.\(\frac{2\sqrt{14}}{7}\)C.\(\frac{\sqrt{14}}{7}\)D.\(\frac{3\sqrt{14}}{7}\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下向量中，可能是平面\(3x-y+2z=0\)的法向量的有（）A.\((3,-1,2)\)B.\((-3,1,-2)\)C.\((6,-2,4)\)D.\((\frac{3}{2},-\frac{1}{2},1)\)2.若平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(1,a,b)\)，平面\(\beta\)的法向量\(\vec{m}=(c,-2,4)\)，且\(\alpha\parallel\beta\)，則（）A.\(c=\frac{1}{2}\)B.\(a=-1\)C.\(b=2\)D.\(a=1\)3.直線\(l\)的方向向量\(\vec{v}=(x,y,z)\)，平面\(\gamma\)的法向量\(\vec{n}=(-1,2,-3)\)，若直線\(l\perp\gamma\)，則（）A.\(x=-1\)B.\(y=2\)C.\(z=-3\)D.\(\vec{v}=k\vec{n}(k\neq0)\)4.下列說法正確的是（）A.一個平面的法向量是唯一的B.若兩個平面的法向量平行，則這兩個平面平行C.若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面平行D.平面的法向量與平面內(nèi)任意向量垂直5.已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}_1=(a_1,b_1,c_1)\)，平面\(\beta\)的法向量\(\vec{n}_2=(a_2,b_2,c_2)\)，平面\(\alpha\)與平面\(\beta\)垂直的條件可以是（）A.\(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0\)B.\(a_1a_2+b_1b_2+c_1c_2=0\)C.\(\vec{n}_1\perp\vec{n}_2\)D.\(\vec{n}_1\)與\(\vec{n}_2\)夾角為\(90^{\circ}\)6.平面\(x+y+z=1\)的法向量\(\vec{n}\)，滿足（）A.\(\vec{n}\)垂直平面內(nèi)任意直線的方向向量B.\(\vert\vec{n}\vert=\sqrt{3}\)C.與向量\((1,0,0)\)的夾角余弦值為\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D.與向量\((0,1,-1)\)垂直7.若平面\(\delta\)的法向量\(\vec{n}=(2,m,1)\)，點\(A(1,0,1)\)，\(B(2,1,0)\)在平面\(\delta\)內(nèi)，則（）A.\(m=-1\)B.\(\overrightarrow{AB}=(1,1,-1)\)C.\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)D.平面\(\delta\)的方程為\(2x-y+z=3\)8.已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(-2,3,-4)\)，以下向量與\(\vec{n}\)垂直的有（）A.\((3,2,0)\)B.\((6,-9,12)\)C.\((4,4,1)\)D.\((-6,9,-12)\)9.關(guān)于平面法向量的性質(zhì)，正確的有（）A.平面法向量與平面內(nèi)不共線的兩個向量都垂直B.若\(\vec{n}\)是平面的法向量，則\(-\vec{n}\)也是該平面的法向量C.兩個平行平面的法向量是相等向量D.平面法向量的模長一定為\(1\)10.平面\(2x-3y+5z=8\)的法向量\(\vec{n}\)，在以下選項正確的是（）A.\(\vec{n}\)與向量\((2,-3,5)\)平行B.點\((0,0,\frac{8}{5})\)在平面上C.若直線方向向量\(\vec{v}=(3,2,0)\)，則直線與平面平行D.平面的法向量可以表示為\(k(2,-3,5)(k\neq0)\)判斷題（每題2分，共10題）1.一個平面只有一個法向量。（）2.若直線的方向向量與平面的法向量平行，則直線與平面垂直。（）3.平面\(2x+3y-z=1\)與平面\(4x+6y-2z=3\)的法向量相同。（）4.若平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(1,2,3)\)，平面\(\beta\)的法向量\(\vec{m}=(-1,-2,-3)\)，則\(\alpha\parallel\beta\)。（）5.直線\(l\)的方向向量\(\vec{v}=(0,0,1)\)，平面\(\gamma\)的法向量\(\vec{n}=(0,1,0)\)，則直線\(l\)與平面\(\gamma\)平行。（）6.平面\(x=1\)的法向量為\((1,0,0)\)。（）7.若平面\(\alpha\)與平面\(\beta\)的法向量夾角為\(45^{\circ}\)，則平面\(\alpha\)與平面\(\beta\)夾角為\(45^{\circ}\)。（）8.點\(A(1,2,3)\)到平面\(x+y+z=1\)的距離與平面\(x+y+z=1\)的法向量有關(guān)。（）9.平面\(x-y+z=0\)的法向量模長為\(\sqrt{3}\)。（）10.若平面\(\delta\)的法向量\(\vec{n}=(a,b,c)\)，且\(a=b=c\)，則平面\(\delta\)與坐標(biāo)軸夾角相等。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求平面\(x-2y+3z=5\)的一個法向量。答案：平面\(Ax+By+Cz+D=0\)的法向量為\((A,B,C)\)，所以平面\(x-2y+3z=5\)的一個法向量是\((1,-2,3)\)。2.已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(2,-1,3)\)，平面\(\beta\)的法向量\(\vec{m}=(-4,2,-6)\)，判斷平面\(\alpha\)與平面\(\beta\)的位置關(guān)系。答案：因為\(\vec{m}=-2\vec{n}\)，即兩平面法向量平行，所以平面\(\alpha\)與平面\(\beta\)平行。3.直線\(l\)的方向向量\(\vec{v}=(1,2,3)\)，平面\(\gamma\)的法向量\(\vec{n}=(1,-1,1)\)，求直線\(l\)與平面\(\gamma\)所成角\(\theta\)的正弦值。答案：\(\sin\theta=\vert\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vert\vec{v}\vert\vert\vec{n}\vert}\vert=\vert\frac{1-2+3}{\sqrt{1+4+9}\times\sqrt{1+1+1}}\vert=\frac{2}{\sqrt{42}}\)。4.已知點\(A(1,1,1)\)，\(B(2,3,4)\)，\(C(0,1,2)\)，求平面\(ABC\)的一個法向量。答案：\(\overrightarrow{AB}=(1,2,3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)\)，設(shè)平面\(ABC\)法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)，則\(\begin{cases}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=x+2y+3z=0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-x+z=0\end{cases}\)，令\(x=1\)，得\(z=1\)，\(y=-2\)，法向量\(\vec{n}=(1,-2,1)\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論如何利用法向量判斷直線與平面的位置關(guān)系。答案：若直線方向向量\(\vec{v}\)與平面法向量\(\vec{n}\)平行，則直線與平面垂直；若\(\vec{v}\cdot\vec{n}=0\)，則直線與平面平行或直線在平面內(nèi)；若\(\vec{v}\)與\(\vec{n}\)既不平行也不垂直，則直線與平面相交。2.探討兩個平面法向量夾角與平面夾角的關(guān)系。答案：兩個平面法向量夾角與平面夾角相等或互補。當(dāng)法向量夾角為銳角時，與平面夾角相等；當(dāng)法向量夾角為鈍角時，平面夾角是法向量夾角的補角。3.說說在空間直角坐標(biāo)系中，求平面法向量的一般步驟。答案：先在平面內(nèi)找兩個不共線向量\(\vec{a}\)，\(\vec\)，設(shè)平面法向量\(\vec{n}=(x,y,z)\)，根據(jù)\(\vec{n}\cdot\vec{a}=0\)且\(\vec{n}\cdot\vec=0\)列出方程組，再通過賦值法求解\(x\)，\(y\)，\(z\)，得到法向量。4.討論法向量在解決空間距離問題中的應(yīng)用。答案：可用于求點到平面的距離。設(shè)點\(P\)，平面法向量\(\vec{n}\)，平面內(nèi)一點\(Q\)，則點\(P\)到平面距離\(d=\frac{\vert\overrightarrow{P