婁底市高三一模數(shù)學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域為（）。

A.(-∞,1)∪(1,+∞)

B.[1,3]

C.(-1,3)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

2.若復數(shù)z滿足z2=1，則z的值為（）。

A.1

B.-1

C.i

D.-i

3.已知等差數(shù)列{a?}的首項為2，公差為3，則該數(shù)列的前n項和為（）。

A.n2+n

B.3n2+n

C.n2-n

D.3n2-n

4.函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于哪個點對稱？（）。

A.(π/4,0)

B.(π/2,0)

C.(π/4,1)

D.(π/2,1)

5.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)的概率為（）。

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

6.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標為（）。

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

7.已知函數(shù)f(x)=e?，則其導數(shù)f'(x)等于（）。

A.e?

B.e?+1

C.e?-1

D.-e?

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C等于（）。

A.75°

B.105°

C.120°

D.135°

9.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，則向量a與向量b的點積為（）。

A.11

B.10

C.9

D.8

10.已知直線l?:y=2x+1與直線l?:y=-x+3的交點坐標為（）。

A.(1,3)

B.(2,5)

C.(1,2)

D.(2,4)

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有（）。

A.y=2?

B.y=log?/?(x)

C.y=x2

D.y=√x

2.在△ABC中，若a2=b2+c2-2bc·cosA，則△ABC為（）。

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等邊三角形

D.鈍角三角形

3.下列函數(shù)中，以π為最小正周期的有（）。

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(x)

D.y=cot(3x)

4.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為（）。

A.3

B.-3

C.2

D.-2

5.已知集合A={x|x2-3x+2>0}，B={x|x-1≤0}，則集合A∩B等于（）。

A.(-∞,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.[1,2]

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知點P(x,y)在直線x-2y+4=0上，且點P到原點的距離為√5，則點P的坐標為________。

2.計算：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=________。

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=1，a?=8，則該數(shù)列的公比q=________。

4.復數(shù)z=1+i的平方根為________（寫出一個即可）。

5.從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少有一名女生的選法共有________種。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2。求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

2.解方程：2^(x+1)+2^(x-1)=10。

3.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=3，b=√7，c=2，求角B的大小。（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）

4.計算不定積分：∫(x2+2x+3)/(x+1)dx。

5.已知向量u=(1,k)，向量v=(2,-1)，且向量u與向量v垂直，求實數(shù)k的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)有意義需滿足x2-2x+3>0，解得x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)。

2.A,B

解析：z2=1可得z2-1=0，即(z-1)(z+1)=0，解得z=1或z=-1。

3.B

解析：等差數(shù)列前n項和公式S?=n/2[2a?+(n-1)d]，代入a?=2,d=3得S?=n/2[4+3(n-1)]=3n2+n。

4.A

解析：函數(shù)y=sin(x+π/4)的圖像關(guān)于點(π/4,0)對稱，因為f(π/4+a)=sin[(π/4+a)+π/4]=sin(π/2+2a)=cos(2a)，f(π/4-a)=sin[(π/4-a)+π/4]=sin(π/2-2a)=cos(2a)，故關(guān)于(π/4,0)對稱。

5.A

解析：骰子點數(shù)為偶數(shù)的可能結(jié)果為2,4,6，共3種，概率為3/6=1/2。

6.C

解析：圓方程x2+y2-4x+6y-3=0可配方為(x-2)2+(y+3)2=4+9-3=10，圓心坐標為(2,-3)。

7.A

解析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)求導公式，若f(x)=e?，則f'(x)=e?。

8.A

解析：三角形內(nèi)角和為180°，故角C=180°-60°-45°=75°。

9.A

解析：向量a與向量b的點積為a·b=3×1+4×2=3+8=11。

10.A

解析：聯(lián)立直線方程組：

y=2x+1

y=-x+3

代入消元得2x+1=-x+3，解得x=2/3，代入y=2x+1得y=2(2/3)+1=7/3。故交點坐標為(2/3,7/3)。

但根據(jù)選項，似乎題目或選項有誤，按標準解答應為(2/3,7/3)，若必須選，則可能題目設(shè)計有問題。

二、多項選擇題答案及解析

1.A,D

解析：函數(shù)y=2?為指數(shù)函數(shù)，在其定義域R上單調(diào)遞增；函數(shù)y=√x為冪函數(shù)，在其定義域[0,+∞)上單調(diào)遞增。函數(shù)y=log?/?(x)在其定義域(0,+∞)上單調(diào)遞減；函數(shù)y=x2在其定義域R上先減后增。

2.B

解析：a2=b2+c2-2bc·cosA為余弦定理的推論形式，即cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)。當cosA=0時，角A為直角，故△ABC為直角三角形。

3.A,C

解析：函數(shù)y=sin(2x)的周期為2π/|ω|=2π/2=π；函數(shù)y=tan(x)的周期為π。函數(shù)y=cos(x/2)的周期為2π/|ω|=2π/(1/2)=4π；函數(shù)y=cot(3x)的周期為π/|ω|=π/3。

4.A,D

解析：f'(x)=3x2-2ax。由題意f'(1)=0，代入得3(1)2-2a(1)=0，即3-2a=0，解得a=3/2。但需檢驗此值是否為極值點。f''(x)=6x-2a，f''(1)=6(1)-2(3/2)=6-3=3>0，故x=1處為極小值點，對應a=3/2。但選項中無3/2，且題目可能要求極值，a=3/2時x=1為極小值。檢查選項，若題目允許選多個，或選項有誤，按標準推導a=3/2。若必須從給定選項，可能題目設(shè)計有問題。

5.A,B

解析：集合A={x|x2-3x+2>0}={x|(x-1)(x-2)>0}=(-∞,1)∪(2,+∞)。集合B={x|x-1≤0}=(-∞,1]。故A∩B=[(-∞,1)∪(2,+∞)]∩(-∞,1]=(-∞,1]∩(-∞,1)∪(-∞,1)∩(2,+∞)=(-∞,1)∪?=(-∞,1)。即A∩B=(-∞,1)。選項中A=(-∞,1)符合。

三、填空題答案及解析

1.(-2,0)或(6,1)

解析：聯(lián)立方程組：

x-2y+4=0

x2+y2=5

由①得x=2y-4。代入②得(2y-4)2+y2=5，即4y2-16y+16+y2=5，5y2-16y+11=0。解得y=(16±√(256-220))/10=(16±√36)/10=(16±6)/10。故y?=22/10=11/5，y?=10/10=1。代入x=2y-4得x?=2(11/5)-4=22/5-20/5=2/5=0.4，x?=2(1)-4=-2。故點P坐標為(-2,0)或(2/5,1)。檢查選項，(-2,0)在選項中。點P到原點的距離√((-2)2+02)=√4=2≠√5，說明題目條件有矛盾，或需要重新審視。重新審視，直線方程應為x-2y-4=0。此時x=2y+4。代入x2+y2=5得(2y+4)2+y2=5，4y2+16y+16+y2=5，5y2+16y+11=0。解得y=(-16±√(256-220))/10=(-16±6)/10。y?=-10/10=-1，y?=-22/10=-11/5。代入x=2y+4得x?=2(-1)+4=2，x?=2(-11/5)+4=-22/5+20/5=-2/5=-0.4。故點P坐標為(2,-1)或(-2/5,-1)。檢查選項無匹配。若題目條件為x-2y+4=0且距離為√5，則無解?？赡苁穷}目印刷或理解有誤。若按原題(-2,0)和(2/5,1)計算距離分別為2和2/5，均不為√5。若按修正后的x-2y-4=0，解為(2,-1)和(-2/5,-1)，距離均為√5。題目可能意圖是x-2y-4=0。

2.4

解析：lim(x→2)(x2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x+2)]/(x-2)=lim(x→2)(x+2)=2+2=4。

3.2或-2

解析：a?=a?q2。代入a?=1,a?=8得8=1·q2，即q2=8，解得q=±√8=±2√2。故公比q=2或q=-2。

4.√2/2+(√2/2)i或-√2/2-(√2/2)i

解析：設(shè)z=x+yi(x,y∈R)。則z2=(x+yi)2=x2+2xyi-y2=(x2-y2)+2xyi。由z2=1+i得：

x2-y2=1

2xy=1

由第二個方程得y=1/(2x)。代入第一個方程得x2-(1/(2x))2=1，即x2-1/(4x2)=1，兩邊乘以4x2得4x?-1=4x2，即4x?-4x2-1=0。令t=x2，得4t2-4t-1=0。解得t=(4±√(16+16))/8=(4±4√2)/8=(1±√2)/2。故x2=(1±√2)/2。因為x2≥0，舍去x2=(1-√2)/2（負數(shù)）。故x2=(1+√2)/2，x=±√[(1+√2)/2]。代入y=1/(2x)得y2=1/(4x2)=1/[4((1+√2)/2)]=1/(2(1+√2))=1/(2+2√2)=(√2-1)2/2=(2-2√2+1)/2=(3-2√2)/2。y=±√[(3-2√2)/2]。故z=±[√[(1+√2)/2]+√[(3-2√2)/2]i]。計算具體值較復雜，但可表示為上述形式。若要求一個解，可取x=√[(1+√2)/2]，y=√[(3-2√2)/2]，得到z=√[(1+√2)/2]+√[(3-2√2)/2]i。化簡根式，如√2/2=1/√2，√(3-2√2)=√[(√2-1)2]=√2-1。故z=(1/√2+(√2-1)/√2)i=(1+√2-1)/√2i=√2/2i。即z=0+(√2/2)i。另一個解為負。

5.20

解析：從9人中選出3人，總選法為C(9,3)=9!/(3!6!)=(9×8×7)/(3×2×1)=3×4×7=84種。至少有一名女生的情況可分為三類：

一類：1名女生，2名男生。選法數(shù)為C(4,1)×C(5,2)=4×(5×4)/(2×1)=4×10=40種。

二類：2名女生，1名男生。選法數(shù)為C(4,2)×C(5,1)=(4×3)/(2×1)×5=6×5=30種。

三類：3名女生。選法數(shù)為C(4,3)=4種。

故至少有一名女生的選法總數(shù)為40+30+4=74種。檢查選項無匹配。若題目為從5名男生和4名女生中選出3人參加比賽，其中至少有一名女生的選法共有多少種？總選法C(9,3)=84。全是男生的選法C(5,3)=10。故至少有一名女生的選法為84-10=74種。答案74。

四、計算題答案及解析

1.最大值為4，最小值為-2。

解析：f'(x)=3x2-6x。令f'(x)=0得3x(x-2)=0，解得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，故x=0處為極大值點，極大值為f(0)=03-3(0)2+2=2。f''(2)=6(2)-6=6>0，故x=2處為極小值點，極小值為f(2)=23-3(2)2+2=8-12+2=-2。比較極值與端點值：f(-1)=(-1)3-3(-1)2+2=-1-3+2=-2。f(3)=33-3(3)2+2=27-27+2=2。故最大值為max{2,2}=2，最小值為min{-2,-2}=-2。

2.x=log?(5/2)。

解析：原方程可變形為2^(x+1)+2^x·2^(-1)=10，即2·2^x+2^x/2=10，兩邊乘以2得4·2^x+2^x=20，即5·2^x=20，解得2^x=4，故x=2。

3.B=arccos(1/3)。

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。sinB=b·sinA/a=√7·sin60°/3=√7·√3/(2×3)=√21/6。因為b<c，且a2=b2+c2-2bc·cosA，故角B為銳角。sinB=√21/6∈(0,1)，故B=arcsin(√21/6)。也可用余弦定理求cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+22-(√7)2)/(2×3×2)=(9+4-7)/12=6/12=1/2。因為B∈(0,π)，故B=arccos(1/2)=π/3。檢查sin(π/3)=√3/2≠√21/6，矛盾。cos(π/3)