歷年全國一卷數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.若集合A={x|-1≤x≤3},B={x|x>1},則A∩B=（）

A.{x|-1≤x≤1}B.{x|1<x≤3}C.{x|x>-1}D.{x|x<3}

3.不等式3x-7>2的解集為（）

A.x>3B.x<3C.x>5D.x<5

4.已知直線l1:y=kx+1與直線l2:y=(k-1)x-1平行，則k的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.拋物線y^2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.(p,0)B.(-p,0)C.(0,p)D.(0,-p)

6.已知三角形ABC中，角A=60°，角B=45°，則角C=（）

A.75°B.105°C.120°D.135°

7.在等差數(shù)列{an}中，a1=2，d=3，則a10的值為（）

A.29B.30C.31D.32

8.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)，則f(π/3)的值為（）

A.1/2B.√3/2C.-1/2D.-√3/2

9.圓x^2+y^2-2x+4y-3=0的圓心坐標(biāo)為（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(-2,1)

10.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，則向量a+b的模長為（）

A.√10B.√13C.√15D.√17

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.y=x^3B.y=sin(x)C.y=x^2D.y=tan(x)

2.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，下列條件中能保證f(x)在x=1處取得最小值的有（）

A.a>0,b=-2aB.a<0,b=2aC.b^2-4ac<0D.b^2-4ac=0

3.下列命題中，正確的有（）

A.若a>b，則a^2>b^2B.若a>b，則√a>√bC.若a>b，則1/a<1/bD.若a>b>0，則ln(a)>ln(b)

4.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，則下列說法中正確的有（）

A.線段AB的長度為√8B.線段AB的垂直平分線方程為x+y=3C.線段AB的方向向量為(2,-2)D.點(diǎn)(2,1)在線段AB上

5.已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n，且a1=1，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.數(shù)列{an}是等差數(shù)列B.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為n^2C.a100=9901D.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n^2

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=loga(x+1)，若f(2)=1，則a的值為________。

2.在等比數(shù)列{an}中，a2=6，a4=54，則該數(shù)列的公比q為________。

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則圓C的圓心到直線3x+4y-1=0的距離為________。

4.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(π/4,0)，且周期為π，則φ的值為________（φ∈[-π,π]）。

5.已知向量a=(3,-1)，向量b=(-1,2)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程|2x-1|=3。

2.求函數(shù)f(x)=√(x^2-4x+3)的定義域。

3.已知直線l1:3x+4y-7=0和直線l2:x-y+3=0，求直線l1與l2的夾角。

4.計(jì)算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

5.在等差數(shù)列{an}中，已知a5=10，a10=31，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C解析：f(x)=|x-1|+|x+2|可以分段討論：

x≤-2時(shí)，f(x)=-(x-1)-(x+2)=-2x-1

-2<x<1時(shí)，f(x)=-(x-1)+(x+2)=3

x≥1時(shí)，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1

所以最小值為3

2.B解析：A=[-1,3],B=(1,+∞)，交集為(1,3]

3.A解析：3x>9,x>3

4.C解析：l1斜率為k，l2斜率為k-1，平行則k=k-1,k=2

5.A解析：焦點(diǎn)在x軸上，p>0,焦點(diǎn)為(p,0)

6.A解析：角C=180°-60°-45°=75°

7.C解析：a10=a1+9d=2+27=29

8.B解析：f(π/3)=sin(π/3+π/6)=sin(π/2)=1

9.A解析：圓心為(-b/2,-c/2),(-1,-2)

10.D解析：|a+b|=√((1+3)^2+(2-1)^2)=√17

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.ABD解析：奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)

A.y=x^3,(-x)^3=-x^3,奇函數(shù)

B.y=sin(x),sin(-x)=-sin(x),奇函數(shù)

C.y=x^2,(-x)^2=x^2,不是奇函數(shù)

D.y=tan(x),tan(-x)=-tan(x),奇函數(shù)

2.AB解析：f(x)在x=1處取得最小值需

A.a>0,且x=1為對(duì)稱軸,-b/2a=1,b=-2a,滿足

B.a<0,且x=1為對(duì)稱軸,-b/2a=1,b=-2a,滿足

C.b^2-4ac<0,函數(shù)無最值

D.b^2-4ac=0,函數(shù)有唯一零點(diǎn),不一定是最小值

3.CD解析：

A.反例:a=2,b=-1,a>b但a^2=4<b^2=1

B.反例:a=2,b=-1,a>b但√2>√(-1)無意義

C.a>b>0,1/a<1/b顯然成立

D.a>b>0,ln是增函數(shù),ln(a)>ln(b)成立

4.AD解析：

A.|AB|=√((3-1)^2+(0-2)^2)=√8

B.垂直平分線過中點(diǎn)(2,1),斜率為-1/2,方程為y-1=-1/2(x-2)即x+2y=4

C.方向向量為終點(diǎn)減起點(diǎn)(3-1,0-2)=(2,-2)

D.點(diǎn)(2,1)到A和B的距離相等:

|AP|=√((2-1)^2+(1-2)^2)=√2

|BP|=√((2-3)^2+(1-0)^2)=√2

5.CD解析：

A.an+1-an=2n≠定值,不是等差數(shù)列

B.Sn=a1+a2+...+an=1+(1+2)+(1+2+4)+...+[1+2+4+...+2(n-1)]

=1+(1+2)+(1+2+4)+...+[1+2(1+2+...+(n-1))]

=1+3+7+...+[1+2(n-1)^2]=n^2

C.a100=a1+2(1+2+...+99)=1+2*99*50=9901

D.an=a1+2(1+2+...+(n-1))=1+2(n-1)n/2=n^2

三、填空題答案及解析

1.3解析：f(2)=loga(3)=1,a^1=3,a=3

2.3解析：a4=a2*q^2,54=6*q^2,q=3

3.3解析：圓心(1,-2),距離=|3*1+4*(-2)-1|/√(3^2+4^2)=3

4.-π/4解析：周期T=π,ω=2,f(π/4)=sin(π/2+φ)=0,φ=-π/4

5.5/√10解析：cosθ=(3*(-1)+(-1)*2)/(√10*√5)=-5/√50=-5/√10

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：|2x-1|=3

2x-1=3或2x-1=-3

2x=4或2x=-2

x=2或x=-1

2.解：x^2-4x+3≥0

(x-1)(x-3)≥0

x≤1或x≥3

定義域?yàn)?-∞,1]∪[3,+∞)

3.解：l1斜率k1=-3/4,l2斜率k2=1

cosθ=|k1*k2|/√(1+k1^2)√(1+k2^2)=|(-3/4)*1|/√(1+9/16)√(1+1)=3/5

θ=arccos(3/5)≈53.1°

4.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx

=∫(x^2+2x+1)/(x+1)dx+2=∫(x+1)dx+2=(x^2/2+x)+2x+C

=x^2/2+3x+C

5.解：設(shè)首項(xiàng)a1,公差d

a5=a1+4d=10,a10=a1+9d=31

9d-4d=21,d=7

a1+4*7=10,a1=-18

an=-18+(n-1)*7=7n-25

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型分析

一、選擇題

考察內(nèi)容：

1.基本概念：絕對(duì)值函數(shù)、集合運(yùn)算、不等式性質(zhì)、函數(shù)奇偶性、數(shù)列類型

2.圖像性質(zhì)：函數(shù)圖像特征（奇偶性、周期性）、直線位置關(guān)系（平行、夾角）

3.幾何性質(zhì)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓位置關(guān)系、向量運(yùn)算

4.特殊值計(jì)算：三角函數(shù)值、對(duì)數(shù)運(yùn)算、數(shù)列項(xiàng)計(jì)算

示例：

例1（函數(shù)奇偶性）：考察對(duì)奇偶函數(shù)定義的理解和應(yīng)用

例4（三角函數(shù)）：考察特殊角的三角函數(shù)值記憶

二、多項(xiàng)選擇題

考察內(nèi)容：

1.邏輯推理：對(duì)命題真假的判斷需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程

2.邊界情況：需考慮特殊情況如方程無解、函數(shù)無定義等

3.數(shù)列性質(zhì)：等差等比數(shù)列的判定和性質(zhì)

4.幾何證明：直線位置關(guān)系的證明需要綜合運(yùn)用幾何知識(shí)

示例：

例1（奇函數(shù)）：需要掌握常見基本初等函數(shù)的奇偶性

例2（函數(shù)最值）：考察對(duì)二次函數(shù)最值條件的理解

三、填空題

考察內(nèi)容：

1.解方程技巧：絕對(duì)值方程、對(duì)數(shù)方程的解法

2.定義域計(jì)算：分式函數(shù)、根式函數(shù)的定義域

3.幾何計(jì)算：點(diǎn)到直線距離、直線夾角、圓心坐標(biāo)

4.特殊值求解：三角函數(shù)、數(shù)列項(xiàng)的特定值計(jì)算

示例：

例3（點(diǎn)到直線距離）：需要掌握點(diǎn)到直線距離公式

例4（三角函數(shù)）：考察周期函數(shù)的相位計(jì)算

四、計(jì)算題

考察內(nèi)容：

1.方程求解：絕對(duì)值方程、分式方程的解法

2.集合運(yùn)算：求函數(shù)定義域需要綜合運(yùn)用不等式知識(shí)

3.幾何證明：