內(nèi)蒙古高考一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.已知集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x^2-ax+1=0},若B?A,則實數(shù)a的取值集合為？

A.{1,2}

B.{1}

C.{2}

D.{1,2,3}

2.函數(shù)f(x)=log_a(x+3)-1(a>0且a≠1)的圖像恒過定點P,則P點的坐標(biāo)為？

A.(1,0)

B.(0,1)

C.(-3,-1)

D.(2,0)

3.已知向量a=(1,2),b=(x,y),且a∥b,則x與y的關(guān)系式為？

A.2x=y

B.x=2y

C.2y=x

D.x=y

4.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,且z^3=1,則z的值可能是？

A.1

B.-1

C.i

D.-i

5.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4處取得最大值,則φ的值為？

A.π/4

B.π/2

C.3π/4

D.π

6.已知直線l1:ax+y-1=0與直線l2:x+by+2=0垂直,則ab的值為？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

7.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9,則圓心到直線x-y-1=0的距離為？

A.2

B.3

C.4

D.5

8.已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列,且a_1=3,a_5=9,則a_10的值為？

A.15

B.18

C.21

D.24

9.已知三棱錐A-BCD的底面BCD是邊長為2的正三角形,且AA'=2,則點A到平面BCD的距離為？

A.2

B.sqrt(3)

C.2sqrt(3)

D.4

10.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值為？

A.3

B.2

C.1

D.0

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+c,若f(x)在x=1處取得極值,且f(0)=1,則下列關(guān)于a,b,c的表述正確的有？

A.a=3

B.b=2

C.c=1

D.a+b+c=0

2.已知直線l1:y=kx+1與直線l2:y=-x+2相交于點P,若點P在圓C:x^2+y^2=5上,則k的值可能的為？

A.1

B.-1

C.sqrt(2)

D.-sqrt(2)

3.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,且滿足a_1=1,a_n=a_{n-1}+2n,則下列關(guān)于{a_n}的表述正確的有？

A.{a_n}是等差數(shù)列

B.S_n=n^2

C.a_n=2n-1

D.a_n=2(n-1)+1

4.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=0處取得極值,則下列關(guān)于a的表述正確的有？

A.a=1

B.f(x)在x=0處取得極大值

C.f(x)在x=0處取得極小值

D.f(x)在x=0處既不取得極大值也不取得極小值

5.已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是邊長為2的正三角形,且AA1=3,則下列關(guān)于該三棱柱的表述正確的有？

A.側(cè)棱BB1與底面ABC所成角的正弦值為sqrt(3)/2

B.側(cè)面BB1C1C與底面ABC所成二面角的大小為π/3

C.該三棱柱的體積為6sqrt(3)

D.該三棱柱的表面積為12+6sqrt(3)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x+log_2(x-1),則f(x)的定義域為？

2.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2),則向量a+b的坐標(biāo)為？

3.已知圓C的方程為(x+1)^2+(y-2)^2=4,則圓C的圓心坐標(biāo)為？

4.已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列,且a_1=2,a_4=16,則數(shù)列{a_n}的通項公式a_n為？

5.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為3的正三角形,且PA=PC=AB=3,則頂點P到平面ABC的距離為？

四、計算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,3]上的最大值和最小值。

2.已知直線l1:2x+y-1=0與直線l2:ax-y+2=0平行,求實數(shù)a的值。

3.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=9,求圓C的圓心到直線3x+4y+5=0的距離。

4.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,且滿足a_1=2,a_n=S_n/(n+1),求數(shù)列{a_n}的通項公式。

5.已知三棱錐P-ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形,且PA=PB=PC=2,求三棱錐P-ABC的體積。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C

解：A={1,2},B?A,B的可能為?,{1},{2},{1,2}。若B=?,則x^2-ax+1=0無解,Δ=a^2-4<0,a∈(-2,2)。若B={1},則1^2-a*1+1=0,a=2。若B={2},則2^2-a*2+1=0,a=5/2。若B={1,2},則Δ=a^2-4=0且1-a+1=0或4-2a+1=0,解得a=2。綜上,a的取值集合為{1,2}。

2.C

解：f(x)=log_a(x+3)-1過定點P,則P的坐標(biāo)與x無關(guān),即log_a(定值)-1=定值。當(dāng)x=-3時,f(-3)=log_a(0)-1無意義,所以P的x坐標(biāo)不為-3。當(dāng)x=-2時,f(-2)=log_a(1)-1=-1,P的坐標(biāo)為(-2,-1)。

3.A

解：a∥b,則存在實數(shù)k使得a=k*b,即(1,2)=k(x,y),解得x=k,y=2k,所以2x=y。

4.C,D

解：|z|=1,z在單位圓上。z^3=1,z是單位圓上滿足z^3=1的復(fù)數(shù),即z是1的立方根。1的立方根為1,ω,ω^2,其中ω=-1/2+i*sqrt(3)/2,ω^2=-1/2-i*sqrt(3)/2。1對應(yīng)復(fù)數(shù)1,ω^2對應(yīng)復(fù)數(shù)-1/2-i*sqrt(3)/2。選項C為1的共軛復(fù)數(shù)-i,選項D為ω^2的共軛復(fù)數(shù)-i。ω和ω^2的共軛復(fù)數(shù)分別是-ω和-ω^2,即-i和i。由于ω和ω^2是單位圓上不同的點,它們的共軛復(fù)數(shù)-i和i也是不同的。因此,z的可能值為1,-i,ω,ω^2。選項C和D都是可能的值。

5.B

解：f(x)=sin(2x+φ)在x=π/4處取得最大值,則2*π/4+φ=π/2+2kπ,k∈Z,解得φ=π/4+2kπ,k∈Z。當(dāng)k=0時,φ=π/4。

6.A,D

解：l1⊥l2,則a*(-1)+1*b=0,即-a+b=0,b=a。ab=a^2。選項A,D中ab=1或-2。

7.B

解：圓心(1,-2),直線x-y-1=0。距離d=|1-(-2)-1|/sqrt(1^2+(-1)^2)=|2|/sqrt(2)=sqrt(2)。

8.C

解：等差數(shù)列,a_1=3,a_5=9。d=a_5-a_1=9-3=6。a_10=a_5+d=9+6=15。

9.B

解：底面中心O,A在平面BCD上。AO⊥平面BCD。AO=AA'√3/2=2√3。AO⊥平面BCD,A到平面距離為AO=sqrt(3)。

10.B

解：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0,3x^2-6x+2=0,Δ=36-24=12>0。x1=(3-sqrt(3))/3,x2=(3+sqrt(3))/3。f(-1)=5,f(3)=3。f((3-sqrt(3))/3)=4-sqrt(3),f((3+sqrt(3))/3)=sqrt(3)-2。最大值為max{5,3,4-sqrt(3),sqrt(3)-2}=5。

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,C

解：f(x)在x=1處取得極值,f'(1)=0。f'(x)=3x^2-2ax+b。3*1^2-2a*1+b=0,3-2a+b=0。f(0)=1,c=1。f'(1)=3-2a+b=0。由f(0)=1,c=1,得f(x)=x^3-2ax^2+bx+1。f'(x)=3x^2-4ax+b。令f'(x)=0,3x^2-4ax+b=0。x=1是極值點,Δ=(4a)^2-4*3*b≥0。且1是根,3*1^2-4a*1+b=0,3-4a+b=0。由3-2a+b=0和3-4a+b=0,得a=3/2,b=-3/2。所以f(x)=x^3-3x^2+(-3/2)x+1。選項A,B,C正確。

2.A,B,C,D

解：l1∩l2=P,P(x,y)。y=kx+1,y=-x+2。kx+1=-x+2,(k+1)x=1,x=1/(k+1)。y=-1/(k+1)+2=1/(k+1)。P(1/(k+1),1/(k+1))。P在圓x^2+y^2=5上,(1/(k+1))^2+(1/(k+1))^2=5,1/(k+1)^2=5/2,(k+1)^2=2/5,k+1=±sqrt(2/5)=±sqrt(10)/5。k=-1±sqrt(10)/5。選項Ak=1-√10/5,Bk=-1+√10/5,Ck=sqrt(2),Dk=-sqrt(2)?！?0/5≈0.632,1-0.632=0.368,-1+0.632=-0.368?！?0/5≈0.632,1+0.632=1.632,-1-0.632=-1.632。sqrt(10)/5≈0.632,sqrt(2)≈1.414,sqrt(10)/5<sqrt(2)。所以k≠sqrt(2)。k=-1±sqrt(10)/5。選項A,B,C,D都可能是k的值。

3.B,C,D

解：a_n=a_{n-1}+2n。a_1=1。a_2=a_1+2*2=1+4=5。a_3=a_2+2*3=5+6=11。a_4=a_3+2*4=11+8=19。觀察{a_n}與2n的關(guān)系。a_1=1=2*1-1。a_2=5=2*3-1。a_3=11=2*6-1。a_4=19=2*10-1。猜想a_n=2n(n-1)/2+1=n^2-1。驗證n=1,a_1=1^2-1=0≠1,錯誤。修正猜想,a_n=2*(1+2+...+(n-1))+1=n(n-1)+1。1+2+...+(n-1)=n(n-1)/2。a_n=n^2-n+1。n(n-1)/2+1=n^2/2-n/2+1。n^2/2-n/2+1=n^2/2-n/2+2/2=n^2/2-n/2+1。所以a_n=n^2-1。所以{a_n}是等差數(shù)列,公差為n-(n-1)=1。S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(1+n^2-1)=n/2*n^2=n^3。選項B,C,D正確。

4.A,C

解：f(x)=e^x-ax。f'(x)=e^x-a。f(x)在x=0處取得極值,f'(0)=0。e^0-a=0,1-a=0,a=1。f'(x)=e^x-1。若a=1,f'(x)=e^x-1。f'(0)=1-1=0。f''(x)=e^x。f''(0)=e^0=1>0。f(x)在x=0處取得極小值。選項A,C正確。

5.B,C,D

解：底面ABC是邊長為2的正三角形,PA=PB=PC=2。三棱錐P-ABC外接圓半徑R=PA=2。底面ABC外接圓半徑r=2*sqrt(3)/3。高PO'=√(PA^2-OO'^2)=√(4-(2*sqrt(3)/3)^2)=√(4-4/3)=√(12/3-4/3)=√(8/3)=2*sqrt(2)/sqrt(3)=2*sqrt(6)/3。側(cè)面BB1C1C與底面ABC所成二面角為∠BB1O。在直角三角形BBO中,tan∠BB1O=BO/BO'=2/(2*sqrt(3)/3)=2*3/(2*sqrt(3))=3/sqrt(3)=sqrt(3)。∠BB1O=π/3。選項B,C,D正確。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.(0,+∞)

解：2^x>0,x-1>0,x>1。定義域{x|x>1}。

2.(2,1)

解：a+b=(3,-1)+(-1,2)=(3-1,-1+2)=(2,1)。

3.(-1,2)

解：圓心為方程(x+1)^2+(y-2)^2=4的平方項系數(shù)的相反數(shù),即(-1,2)。

4.a_n=2^(n-1)

解：等比數(shù)列,a_1=2,a_4=16。q=a_4/a_1=16/2=8。a_n=a_1*q^(n-1)=2*8^(n-1)=2*(2^3)^(n-1)=2*2^(3n-3)=2^(3n-2)=2^(n-1)*2^2=4*2^(n-1)。a_n=2^(n-1)。

5.sqrt(3)

解：底面ABC中心O,PO⊥平面ABC。底面ABC是邊長為3的正三角形,AO=3*sqrt(3)/3=sqrt(3)。PA=3,PO⊥AO。PO=√(PA^2-AO^2)=√(3^2-(sqrt(3))^2)=√(9-3)=√6。AO⊥BO,AO⊥CO,BO⊥CO。AO=BO=CO=sqrt(3)。三棱錐P-ABC外接球半徑R=PA/2=3/2。三棱錐高PO'=√(R^2-AO^2)=√((3/2)^2-(sqrt(3))^2)=√(9/4-3)=√(9/4-12/4)=√(-3/4)。錯誤,AO=sqrt(3),R=3/2。AO^2=3,R^2=9/4。R^2-AO^2=9/4-3=9/4-12/4=-3/4。錯誤,PA=3,R=3/2。R^2=9/4,PA^2=9。R^2<PA^2,PO'不存在。PO'不存在,三棱錐P-ABC不是直三棱錐。重新計算。底面ABC中心O,AO=√3。PA=PC=3。AO⊥BO,AO⊥CO,BO⊥CO。AO=BO=CO=√3。三棱錐P-ABC外接球半徑R=PA/2=3/2。三棱錐P-ABC是正三棱錐。AO⊥平面ABC,PO=AO=√3。頂點P到平面ABC的距離為PO'=√(PA^2-AO^2)=√(9-3)=√6。錯誤,AO=√3。PO'=√(PA^2-AO'^2)。AO'=√(AO^2+BO^2)=√(3+3)=√6。PO'=√(9-6)=√3。頂點P到平面ABC的距離為sqrt(3)。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.最大值4,最小值-2

解：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0,3x^2-6x+2=0,Δ=36-24=12>0。x1=(3-sqrt(3))/3,x2=(3+sqrt(3))/3。f(-2)=-2,f(3)=3。f(x)在(-2,x1)增,(x1,x2)減,(x2,3)增。f(x1)=((3-sqrt(3))/3)^3-3*((3-sqrt(3))/3)^2+2*((3-sqrt(3))/3)=((3-sqrt(3))/3)((3-sqrt(3))/3)((3-sqrt(3))/3)-3((3-sqrt(3))/3)^2+2*((3-sqrt(3))/3)=((3-sqrt(3))/3)((3-sqrt(3))/3)((3-sqrt(3))/3-3*((3-sqrt(3))/3)+2*((3-sqrt(3))/3))=((3-sqrt(3))/3)((3-sqrt(3))/3)((3-sqrt(3))/3-1)=((3-sqrt(3))/3)((3-sqrt(3))/3)((sqrt(3)-1)/3)=((3-sqrt(3))/3)^2((sqrt(3)-1)/3)=(9-6sqrt(3)+3)/9*(sqrt(3)-1)/3=(12-6sqrt(3))/9*(sqrt(3)-1)/3=(4-2sqrt(3))/3*(sqrt(3)-1)/3=(4*sqrt(3)-4-6+2sqrt(3))/9=(6*sqrt(3)-10)/9。f(x2)=((3+sqrt(3))/3)^3-3*((3+sqrt(3))/3)^2+2*((3+sqrt(3))/3)=((3+sqrt(3))/3)((3+sqrt(3))/3)((3+sqrt(3))/3)-3((3+sqrt(3))/3)^2+2*((3+sqrt(3))/3)=((3+sqrt(3))/3)((3+sqrt(3))/3)((3+sqrt(3))/3-3*((3+sqrt(3))/3)+2*((3+sqrt(3))/3))=((3+sqrt(3))/3)((3+sqrt(3))/3)((sqrt(3)-1)/3)=((3+sqrt(3))/3)^2((sqrt(3)-1)/3)=(9+6sqrt(3)+3)/9*(sqrt(3)-1)/3=(12+6sqrt(3))/9*(sqrt(3)-1)/3=(4+2sqrt(3))/3*(sqrt(3)-1)/3=(4*sqrt(3)+4-6-2sqrt(3))/9=(2*sqrt(3)-2)/9=(2(sqrt(3)-1))/9。f(-2)=-2,f(3)=3,f(x1)=(6*sqrt(3)-10)/9,f(x2)=(2(sqrt(3)-1))/9。最大值為max{-2,3,(6*sqrt(3)-10)/9,(2(sqrt(3)-1))/9}。3>(6*sqrt(3)-10)/9,3>(2(sqrt(3)-1))/9。最大值為3。最小值為min{-2,3,(6*sqrt(3)-10)/9,(2(sqrt(3)-1))/9}。-2<(6*sqrt(3)-10)/9,-2<(2(sqrt(3)-1))/9。最小值為-2。最大值4,最小值-2。

2.a=2

解：l1:2x+y-1=0,k1=-2。l2:ax-y+2=0,k2=a。l1∥l2,k1=k2,-2=a,a=-2。又平行線截距不相等,-1≠2a。a=-2滿足。a=2。

3.5

解：圓心(1,-2),直線3x+4y+5=0。距離d=|3*1+4*(-2)+5|/sqrt(3^2+4^2)=|3-8+5|/sqrt(9+16)=0/sqrt(25)=0。

4.a_n=2n-1

解：a_n=S_n/(n+1)。a_1=S_1/(1+1)=S_1/2=2/2=1。a_n=a_{n-1}+2n。a_n=S_n/(n+1),a_{n-1}=S_{n-1}/n。a_n-a_{n-1}=S_n/(n+1)-S_{n-1}/n=2n。n*S_n-n*S_{n-1}=2n(n+1)。n*S_n-n*S_{n-1}=2n^2+2n。n(a_n-a_{n-1})=2n^2+2n。a_n-a_{n-1}=2n+2。a_n=(n-1)a_{n-1}+2(n+1)。a_1=1。a_2=a_1+2*2=1+4=5。a_3=a_2+2*3=5+6=11。a_4=a_3+2*4=11+8=19。觀察{a_n}與n的關(guān)系。a_1=1=2*1-1。a_2=5=2*3-1。a_3=11=2*6-1。a_4=19=2*10-1。猜想a_n=2n(n-1)/2+1=n^2-1。n(n-1)/2+1=n^2-1。a_n=n^2-1。a_n=(n-1)^2+2(n-1)+1=n^2-2n+1+2n-2+1=n^2-1。所以a_n=2n-1。

5.3sqrt(2)/2

解：底面ABC中心O,PA=PB=PC=2。AO=√3。高PO'=√(PA^2-AO'^2)=√(4-3)=1。三棱錐P-ABC體積V=1/3*底面積*高=1/3*sqrt(3)*1=√3/3。底面ABC是邊長為2的正三角形,PO⊥平面ABC。底面ABC中心O,AO=√3。PA=2。AO⊥BO,AO⊥CO,BO⊥CO。AO=BO=CO=√3。三棱錐P-ABC外接球半徑R=PA/2=2/2=1。三棱錐P-ABC是正三棱錐。AO⊥平面ABC,PO=AO=√3。頂點P到平面ABC的距離為PO'=√(PA^2-AO^2)=√(4-3)=√1=1。三棱錐P-ABC體積V=1/3*底面積*高=1/3*sqrt(3)*1=√3/3。三棱錐P-ABC體積V=1/3*底面積*高=1/3*sqrt(3)*1=√3/3。頂點P到平面ABC的距離為sqrt(2)。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題主要考察了集合運(yùn)算、函數(shù)性質(zhì)、向量平行、復(fù)數(shù)運(yùn)算、三角函數(shù)圖像、直線平行與垂直、圓與直線位置關(guān)系、等差數(shù)列、空間幾何體計算等知識點?？疾炝藢W(xué)生對基本概念的掌握和基本運(yùn)算能力。

二、多項選擇題主要考察了導(dǎo)數(shù)與極值、直線與圓的位置關(guān)系、數(shù)列的遞推關(guān)系與通項公式、函數(shù)極值、空間幾何體計算等知識點?？疾炝藢W(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力。

三、填空題主要考察了函數(shù)定義域、向量加減法、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、等比數(shù)列通項公式、空間幾何體計算等知識點?？疾炝藢W(xué)生基礎(chǔ)知識的掌握和基本運(yùn)算能力。

四、計算題主要考察了函數(shù)極值與最值、直線平行條件、點到直線距離、數(shù)列遞推關(guān)系與通項公式、空間幾何體體積計算等知識點。考察了學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決問題的能力和計算能力。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)部分涵蓋的主要知識點包括：

1.集合：集合的概念、表示法、集合的運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）、集合之間的關(guān)系（包含、相等）。

2.函數(shù)：函數(shù)的概念、表示法、定義域、值域、函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）、函數(shù)圖像、反函數(shù)。

3.導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義、物理意義、導(dǎo)數(shù)的計算（基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、運(yùn)算法則）、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值。

4.向量：向量的概念、表示法、向量的運(yùn)算（加減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量積）、向量的應(yīng)用（平面幾何、空間幾何）。

5.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念、表示法（代數(shù)式、三角式）、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的幾何意義。

6.三角函數(shù)：三角函數(shù)的概念、定義、圖像、性質(zhì)、公式（誘導(dǎo)公式、和差化積公式、積化和差公式、倍角公式、半角公式）、解三角形。

7.解析幾何：直線方程、直線與直線的位置關(guān)系、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓與直線的位置關(guān)系、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、