第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算課程內(nèi)容要求

CONTENTS目錄123基礎(chǔ)扎牢——基礎(chǔ)不牢·地動(dòng)山搖考法研透——方向不對(duì)·努力白費(fèi)思維激活——靈活不足·難得高分4課時(shí)跟蹤檢測基礎(chǔ)扎牢—基礎(chǔ)不牢·地動(dòng)山搖011.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)由教材回扣基礎(chǔ)定義記法幾何意義函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)就是過該點(diǎn)切線的斜率k0，即k0=________________________=________一個(gè)確定的值這個(gè)確定的值

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f'(x)=____f(x)=xα(α∈R，α≠0)f'(x)=_______f(x)=sinxf'(x)=______f(x)=cosxf'(x)=_______0αxα-1cosx-sinxf(x)=exf'(x)=______f(x)=ax(a>0，a≠1)f'(x)=_______f(x)=lnxf'(x)=_____f(x)=logax(a>0，a≠1)f'(x)=_______續(xù)表exaxlna

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

yu'·ux'y對(duì)uu對(duì)x

澄清微點(diǎn)·熟記結(jié)論(4)曲線的切線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，而直線與二次曲線相切只有一個(gè)公共點(diǎn).(5)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向，其大小|f'(x)|反映了變化的快慢，|f'(x)|越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡峭”.(6)在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中要分清每一步求導(dǎo)是哪個(gè)變量對(duì)哪個(gè)變量的求導(dǎo)，不能混淆.一、準(zhǔn)確理解概念(判斷正誤)(1)f'(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.(

)(2)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=cosx.(

)(3)求f'(x0)時(shí)，可先求f(x0)，再求f'(x0).(

)(4)曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn).(

)答案：(1)×

(2)×

(3)×

(4)√練小題鞏固基礎(chǔ)

√

4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且滿足f(x)=2xf'(1)+lnx，則f'(1)=

.

答案：-1

√√√

√考法研透—方向不對(duì)·努力白費(fèi)02命題視角一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(自主練通)√

√2.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)，其位移s(單位：米)與時(shí)間t(單位：秒)滿足關(guān)系式s=t4+(3t-1)3，則當(dāng)t=1秒時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為

(

)A.16米/秒 B.40米/秒C.9米/秒 D.36米/秒解析：s'=4t3+3(3t-1)2×3，當(dāng)t=1時(shí)，s'=4+9×4=40，故當(dāng)t=1秒時(shí)，該質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)速度為40米/秒.故選B.√

一“點(diǎn)”就過(1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)運(yùn)算、三角恒等式等對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，然后求導(dǎo)，盡量避免不必要的商的求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò).(2)①若函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo).②復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可進(jìn)行換元.

命題視角二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用√

(1)求曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線，則表明P點(diǎn)是切點(diǎn)，只需求出函數(shù)在P處的導(dǎo)數(shù)，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程，若在該點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)不存在，則切線垂直于x軸，切線方程為x=x0.(2)求曲線的切線方程要分清“在點(diǎn)處”與“過點(diǎn)處”的切線方程的不同.切點(diǎn)不知道，要設(shè)出切點(diǎn)，根據(jù)斜率相等建立方程(組)求解，求出切點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.方法技巧

√

方法技巧利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.提醒：(1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上.1.曲線y=x3+1在點(diǎn)(-1，a)處的切線方程為

(

)A.y=3x+3 B.y=3x+1C.y=-3x-1 D.y=-3x-3解析：易得a=(-1)3+1=0，故切點(diǎn)為(-1，0)，又y'=3x2，所以y'|x=-1=3，所以切線方程為y=3(x+1)=3x+3，故選A.針對(duì)訓(xùn)練√

√3.若過點(diǎn)(a，b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則

(

)A.eb<a B.ea<bC.0<a<eb D.0<b<ea解析：當(dāng)x→-∞時(shí)，曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于0，當(dāng)x→+∞時(shí)，曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于+∞，結(jié)合圖象可知，兩切線的交點(diǎn)應(yīng)該在x軸上方，且在曲線y=ex的下方，∴0<b<ea，故選D.√

思維激活—靈活不足·難得高分03

一題多變?練發(fā)散思維——兩曲線的公切線問題

√

融會(huì)貫通04課時(shí)跟蹤檢測一、綜合練——練思維敏銳度1.若函數(shù)f(x)，g(x)滿足f(x)+xg(x)=x2-1，且f(1)=1，則f'(1)+g'(1)=(

)A.1 B.2C.3 D.4解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)，g(x)滿足f(x)+xg(x)=x2-1，且f(1)=1，所以f(1)+g(1)=12-1=0，則g(1)=-1.對(duì)f(x)+xg(x)=x2-1兩邊求導(dǎo)，得f'(x)+g(x)+xg'(x)=2x，所以f'(1)+g(1)+g'(1)=2，所以f'(1)+g'(1)=3.故選C.√

√

√

√

√6.函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為

(

)A.y=-2x-1 B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1解析：∵f(x)=x4-2x3，∴f'(x)=4x3-6x2，∴f'(1)=-2.又f(1)=1-2=-1，∴所求的切線方程為y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1.故選B.√

√

√

√

√

二、自選練——練高考區(qū)分度1.(多選)已知函數(shù)y=f(x)(x∈R)圖象上任一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y-y0=(x0-2)(x0+4)(x-x0)，那么下列結(jié)論正確的是(

)A.f'(1)=-5 B.在x=2處的切線平行或重合于x軸C.切線斜率的最小值為1 D.f'(4)=12解析：由題意可得f'(x)=(x-2)(x+4)，對(duì)于A，f'(1)=-5，A正確；對(duì)于B，當(dāng)x=2時(shí)，f'(2)=0，故在x=2處的切線平行或重合于x軸，B正確；對(duì)于C，f'(x)=(x-2)(x+4)=x2+2x-8=(x+1)2-9≥-9，最小值為-9，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，f'(4)=(4-2)(4+4)=16，D錯(cuò)誤.√√2.已知f(x)=ex-1(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+1