初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)試題集引言函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是連接代數(shù)與幾何的橋梁，更是中考的重點(diǎn)考查對象（占比約15%~20%）。從變量關(guān)系到圖像性質(zhì)，從單一函數(shù)到綜合應(yīng)用，函數(shù)知識貫穿整個初中數(shù)學(xué)體系。本試題集聚焦函數(shù)基本概念、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)四大專題，通過考點(diǎn)分析、典型例題、變式訓(xùn)練、綜合測試的層級設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生梳理知識脈絡(luò)、突破易錯點(diǎn)、提升解題能力。一、函數(shù)的基本概念（一）考點(diǎn)分析1.核心定義：變量與常量、函數(shù)（對于x的每一個確定值，y有唯一確定值與之對應(yīng)）；2.表示方法：列表法、解析式法、圖像法（注意“數(shù)形結(jié)合”思想的初步應(yīng)用）；3.自變量取值范圍：分式：分母≠0；二次根式：被開方數(shù)≥0；實(shí)際問題：需滿足實(shí)際意義（如時間、長度為正）。（二）典型例題例1求函數(shù)\(y=\dfrac{1}{x-2}+\sqrt{x+1}\)的自變量\(x\)取值范圍。思路分析：需同時滿足分母不為0和二次根式非負(fù)，列不等式組求解。解答：\[\begin{cases}x-2\neq0\\x+1\geq0\end{cases}\impliesx\geq-1\text{且}x\neq2.\]易錯點(diǎn)：忽略分母\(x-2\neq0\)的限制。例2下表是某商店銷售某種商品的數(shù)量與總價(jià)的關(guān)系，判斷\(y\)是否為\(x\)的函數(shù)：數(shù)量\(x\)（件）1234總價(jià)\(y\)（元）5101520思路分析：檢查每一個\(x\)是否對應(yīng)唯一\(y\)。解答：是函數(shù)（每一件數(shù)量對應(yīng)唯一總價(jià)）。（三）變式訓(xùn)練1.求函數(shù)\(y=\dfrac{\sqrt{3-2x}}{x+1}\)的自變量取值范圍。（答案：\(x\leq\dfrac{3}{2}\)且\(x\neq-1\)）2.某汽車行駛速度為\(60\text{km/h}\)，行駛時間為\(t\)小時，路程為\(s\)千米，寫出\(s\)與\(t\)的函數(shù)關(guān)系式，并求\(t\)的取值范圍。（答案：\(s=60t\)，\(t\geq0\)）二、一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）（一）考點(diǎn)分析1.定義：形如\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)，\(k\)、\(b\)為常數(shù)），當(dāng)\(b=0\)時為正比例函數(shù)\(y=kx\)；2.圖像與性質(zhì)：\(k>0\)：圖像從左到右上升，\(y\)隨\(x\)增大而增大；\(k<0\)：圖像從左到右下降，\(y\)隨\(x\)增大而減??；\(b\)：圖像與\(y\)軸交點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,b)\)；3.待定系數(shù)法：通過2個點(diǎn)坐標(biāo)求解析式（正比例函數(shù)只需1個點(diǎn)）；4.綜合應(yīng)用：與方程（組）、不等式的關(guān)系（如\(kx+b=0\)對應(yīng)圖像與\(x\)軸交點(diǎn)）、實(shí)際問題（行程、利潤、計(jì)費(fèi)等）。（二）典型例題例3已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)經(jīng)過點(diǎn)\((1,3)\)和\((-2,-3)\)，求解析式。思路分析：代入兩點(diǎn)坐標(biāo)建立方程組，解\(k\)、\(b\)。解答：\[\begin{cases}k+b=3\\-2k+b=-3\end{cases}\implies\text{相減得}3k=6\impliesk=2,\quadb=1.\]解析式為\(y=2x+1\)。例4某快遞公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：首重1kg內(nèi)8元，超過1kg的部分每千克2元（不足1kg按1kg計(jì)算）。設(shè)快遞重量為\(x\)kg（\(x\geq1\)），費(fèi)用為\(y\)元，寫出\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求3.5kg快遞的費(fèi)用。思路分析：分段函數(shù)，\(x\geq1\)時，\(y=8+2(x-1)=2x+6\)（\(x\)取整數(shù)）。解答：\(y=2x+6\)（\(x\geq1\)，\(x\)為整數(shù)）；3.5kg按4kg計(jì)算，\(y=2\times4+6=14\)元。（三）變式訓(xùn)練1.正比例函數(shù)\(y=kx\)經(jīng)過點(diǎn)\((2,-4)\)，求\(k\)。（答案：\(k=-2\)）2.一次函數(shù)圖像與\(y\)軸交于\((0,3)\)，與\(x\)軸交于\((2,0)\)，求解析式。（答案：\(y=-\dfrac{3}{2}x+3\)）3.若一次函數(shù)\(y=(m-1)x+2\)隨\(x\)增大而減小，求\(m\)的取值范圍。（答案：\(m<1\)）三、反比例函數(shù)（一）考點(diǎn)分析1.定義：形如\(y=\dfrac{k}{x}\)（\(k\neq0\)，\(k\)為常數(shù)），自變量\(x\neq0\)；2.圖像與性質(zhì)：\(k>0\)：圖像在第一、三象限，在每個象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)增大而減?。籠(k<0\)：圖像在第二、四象限，在每個象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)增大而增大；3.\(k\)的幾何意義：過雙曲線上任意一點(diǎn)作\(x\)軸、\(y\)軸垂線，圍成矩形面積為\(|k|\)（三角形面積為\(\dfrac{1}{2}|k|\)）；4.待定系數(shù)法：通過1個點(diǎn)坐標(biāo)求\(k\)。（二）典型例題例5反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)經(jīng)過點(diǎn)\((3,-2)\)，求\(k\)及解析式。思路分析：代入點(diǎn)坐標(biāo)求\(k\)。解答：\(-2=\dfrac{k}{3}\impliesk=-6\)，解析式為\(y=-\dfrac{6}{x}\)。例6如圖，過反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)（\(k>0\)）圖像上點(diǎn)\(P\)作\(x\)軸、\(y\)軸垂線，垂足為\(A\)、\(B\)，矩形\(OAPB\)面積為4，求\(k\)。思路分析：利用\(k\)的幾何意義，矩形面積\(=|k|\)。解答：\(|k|=4\)，\(k>0\impliesk=4\)。（三）變式訓(xùn)練1.反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)經(jīng)過點(diǎn)\((-1,5)\)，求\(k\)。（答案：\(k=-5\)）2.過反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)圖像上點(diǎn)\(Q\)作\(x\)軸垂線，垂足為\(C\)，連接\(OQ\)，若\(\triangleOCQ\)面積為3，求\(k\)。（答案：\(k=\pm6\)）3.反比例函數(shù)\(y=\dfrac{2}{x}\)與一次函數(shù)\(y=x+1\)的交點(diǎn)坐標(biāo)為______。（答案：\((1,2)\)、\((-2,-1)\)）四、二次函數(shù)（一）考點(diǎn)分析1.定義：形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)，\(a\)、\(b\)、\(c\)為常數(shù)）；2.圖像與性質(zhì)：開口方向：\(a>0\)向上，\(a<0\)向下；對稱軸：\(x=-\dfrac{2a}\)；頂點(diǎn)坐標(biāo)：\(\left(-\dfrac{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)\)（可通過配方法轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式\(y=a(x-h)^2+k\)）；增減性：對稱軸左側(cè)與右側(cè)增減性相反（\(a>0\)時，左減右增；\(a<0\)時，左增右減）；最值：頂點(diǎn)縱坐標(biāo)（\(a>0\)有最小值，\(a<0\)有最大值）；3.解析式形式：一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（需3個點(diǎn)坐標(biāo)）；頂點(diǎn)式：\(y=a(x-h)^2+k\)（需頂點(diǎn)\((h,k)\)和1個點(diǎn)）；交點(diǎn)式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（需與\(x\)軸交點(diǎn)\((x_1,0)\)、\((x_2,0)\)和1個點(diǎn)）；4.綜合應(yīng)用：與一元二次方程的關(guān)系（\(ax^2+bx+c=0\)對應(yīng)圖像與\(x\)軸交點(diǎn)，判別式\(\Delta=b^2-4ac\)決定交點(diǎn)個數(shù)）、實(shí)際問題（最值問題，如面積、利潤）。（二）典型例題例7用配方法求二次函數(shù)\(y=x^2-4x+5\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及最值。思路分析：配方法將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式。解答：\[y=x^2-4x+5=(x-2)^2+1.\]頂點(diǎn)坐標(biāo)\((2,1)\)，對稱軸\(x=2\)，\(a=1>0\)，最小值為1。例8已知二次函數(shù)頂點(diǎn)為\((1,-3)\)，且經(jīng)過點(diǎn)\((2,-1)\)，求解析式（用頂點(diǎn)式）。思路分析：設(shè)頂點(diǎn)式\(y=a(x-1)^2-3\)，代入點(diǎn)坐標(biāo)求\(a\)。解答：\[-1=a(2-1)^2-3\impliesa=2.\]解析式為\(y=2(x-1)^2-3=2x^2-4x-1\)。例9某商店銷售某種商品，每件成本為5元，當(dāng)售價(jià)為\(x\)元時，銷售量為\(y=-x+20\)件（\(5<x<20\)），求利潤\(W\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并求最大利潤。思路分析：利潤\(=(\text{售價(jià)}-\text{成本})\times\text{銷售量}\)，即\(W=(x-5)(-x+20)\)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值。解答：\[W=-x^2+25x-100=-\left(x-\dfrac{25}{2}\right)^2+\dfrac{225}{4}.\]\(a=-1<0\)，頂點(diǎn)為最大值點(diǎn)，當(dāng)\(x=12.5\)元時，最大利潤為56.25元。（三）變式訓(xùn)練1.求二次函數(shù)\(y=-2x^2+4x+1\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。（答案：\((1,3)\)）2.二次函數(shù)與\(x\)軸交于\((1,0)\)、\((3,0)\)，且經(jīng)過\((0,3)\)，求解析式（用交點(diǎn)式）。（答案：\(y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3\)）3.若二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)圖像開口向下，對稱軸為\(x=2\)，則\(a\)______0，\(b\)______0（填“>”或“<”）。（答案：\(<\)，\(>\)）五、函數(shù)綜合測試題（一）選擇題（每題3分，共15分）1.下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A.\(y=2x+1\)B.\(y=\dfrac{2}{x}\)C.\(y=x^2+2\)D.\(y=\sqrt{x}\)2.一次函數(shù)\(y=-3x+2\)的圖像不經(jīng)過（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)經(jīng)過點(diǎn)\((2,3)\)，則\(k=\)（）A.6B.-6C.\(\dfrac{2}{3}\)D.\(-\dfrac{2}{3}\)4.二次函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的最小值為（）A.2B.3C.-2D.-35.若一次函數(shù)\(y=kx+b\)與反比例函數(shù)\(y=\dfrac{2}{x}\)有兩個交點(diǎn)，則\(k\)的取值范圍是（）A.\(k>0\)B.\(k<0\)C.\(k\neq0\)D.任意實(shí)數(shù)（二）填空題（每題3分，共15分）6.函數(shù)\(y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x-2}\)的自變量取值范圍是______。7.正比例函數(shù)\(y=kx\)經(jīng)過點(diǎn)\((-1,2)\)，則\(k=\)______。8.過反比例函數(shù)\(y=\dfrac{4}{x}\)圖像上點(diǎn)\(P\)作\(x\)軸垂線，垂足為\(A\)，則\(\triangleOAP\)的面積為______。9.二次函數(shù)\(y=2(x-1)^2+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______。10.某公司銷售某種產(chǎn)品，月銷售量\(y\)（件）與售價(jià)\(x\)（元）的關(guān)系為\(y=-10x+500\)，則月銷售額\(S\)（元）與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式為______（銷售額=售價(jià)×銷售量）。（三）解答題（共70分）11.（10分）已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)經(jīng)過點(diǎn)\((0,4)\)和\((2,8)\)，求解析式，并求當(dāng)\(x=-1\)時\(y\)的值。12.（12分）反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)與一次函數(shù)\(y=x+1\)交于點(diǎn)\((1,m)\)，求\(k\)和\(m\)的值，并畫出兩個函數(shù)的大致圖像（草圖）。13.（14分）用配方法求二次函數(shù)\(y=-x^2+2x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸及最值，并指出當(dāng)\(x\)取何值時，\(y\)隨\(x\)增大而增大。14.（16分）某工廠生產(chǎn)一種零件，每件成本為10元，銷售價(jià)為\(x\)元時，每天銷售量為\(y=-x+50\)件（\(10<x<50\)）。（1）求每天利潤\(W\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售價(jià)為多少元時，每天利潤最大？最大利潤是多少？15