第五章

一元一次方程章末復(fù)習(xí)一元一次方程是初中代數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容，通過本章的學(xué)習(xí)，我們掌握了從實(shí)際問題中抽象出方程模型、求解方程及應(yīng)用方程解決問題的完整過程。本章末復(fù)習(xí)將系統(tǒng)梳理一元一次方程的核心知識(shí)，鞏固解題方法，提升應(yīng)用能力。一、知識(shí)體系梳理（一）核心概念一元一次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式的方程，叫做一元一次方程。其標(biāo)準(zhǔn)形式為\(ax+b=0\)（\(aa?

0\)，\(a\)、\(b\)為常數(shù)）。關(guān)鍵詞：“一個(gè)未知數(shù)”“次數(shù)為1”“整式方程”，三者缺一不可。例如：\(3x+5=0\)是一元一次方程，而\(x?2+2x=1\)（次數(shù)為2）、\(\frac{1}{x}+3=0\)（不是整式）均不是。方程的解：使方程中等號(hào)左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。求方程解的過程叫做解方程。檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為方程的解：將該數(shù)代入方程兩邊，若兩邊相等，則是方程的解；否則不是。（二）等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)是解方程的理論依據(jù)，具體內(nèi)容如下：性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。用字母表示：如果\(a=b\)，那么\(a?±c=b?±c\)。性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。用字母表示：如果\(a=b\)，那么\(ac=bc\)；如果\(a=b\)（\(ca?

0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{c}\)。注意：性質(zhì)2中“除以同一個(gè)不為0的數(shù)”，除數(shù)不能為0，否則無意義。（三）一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟可根據(jù)方程特點(diǎn)靈活調(diào)整，核心步驟包括：去分母：方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)，消除分母。易錯(cuò)點(diǎn)：漏乘不含分母的項(xiàng)；分子是多項(xiàng)式時(shí)未加括號(hào)。去括號(hào)：根據(jù)去括號(hào)法則（乘法分配律）去除括號(hào)，注意符號(hào)變化。法則：括號(hào)前是“+”號(hào)，去括號(hào)后符號(hào)不變；括號(hào)前是“-”號(hào)，去括號(hào)后各項(xiàng)符號(hào)均改變。移項(xiàng)：把含未知數(shù)的項(xiàng)移到等號(hào)左邊，常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊，移項(xiàng)要變號(hào)。依據(jù)：等式性質(zhì)1，移項(xiàng)本質(zhì)是等式兩邊同時(shí)加減同一個(gè)數(shù)或式子。合并同類項(xiàng)：把方程化為\(ax=b\)（\(aa?

0\)）的形式。方法：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和指數(shù)不變。系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)\(a\)，得\(x=\frac{a}\)。依據(jù)：等式性質(zhì)2，確保系數(shù)\(aa?

0\)。（四）實(shí)際問題與一元一次方程列方程解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，常見題型及等量關(guān)系如下：配套問題：各部件數(shù)量成比例，如“1個(gè)A配2個(gè)B”則\(B=2A\)。工程問題：總工作量=各部分工作量之和，通常設(shè)總工作量為1，工作效率=\(\frac{1}{?·￥??????é?′}\)。銷售盈虧問題：利潤(rùn)=售價(jià)-成本價(jià)，利潤(rùn)率=\(\frac{?????|}{????????·}??100\%\)，售價(jià)=成本價(jià)

×(1+利潤(rùn)率)。球賽積分問題：總積分=勝場(chǎng)積分

×

勝場(chǎng)數(shù)+平場(chǎng)積分

×

平場(chǎng)數(shù)+負(fù)場(chǎng)積分

×

負(fù)場(chǎng)數(shù)。方案選擇問題：建立不同方案的費(fèi)用表達(dá)式，通過臨界點(diǎn)分析最優(yōu)方案。二、重點(diǎn)題型解析（一）方程的解法例1：解方程\(\frac{2x-1}{3}-\frac{x+1}{2}=1\)。解：步驟1：去分母（公分母6）：\(2(2x-1)-3(x+1)=6\)；步驟2：去括號(hào)：\(4x-2-3x-3=6\)；步驟3：移項(xiàng)：\(4x-3x=6+2+3\)；步驟4：合并同類項(xiàng)：\(x=11\)。（二）配套問題例2：某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天平均生產(chǎn)螺栓12個(gè)或螺母18個(gè)，1個(gè)螺栓配2個(gè)螺母。問：如何分配工人才能使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套？解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為\(x\)名，則生產(chǎn)螺母的工人為\((28-x)\)名，等量關(guān)系：螺母數(shù)量=2×

螺栓數(shù)量，列方程：\(18(28-x)=2??12x\)，解得\(x=12\)，生產(chǎn)螺母的工人：\(28-12=16\)名。答：分配12名工人生產(chǎn)螺栓，16名工人生產(chǎn)螺母。（三）銷售盈虧問題例3：某商品按標(biāo)價(jià)的8折出售仍可獲利20%，若該商品的成本價(jià)為100元，求標(biāo)價(jià)。解：設(shè)標(biāo)價(jià)為\(x\)元，售價(jià)=0.8x，利潤(rùn)=0.8x-100，利潤(rùn)率=20%=\(\frac{0.8x-100}{100}\)，列方程：\(0.8x-100=100??20\%\)，解得\(x=150\)元。答：該商品的標(biāo)價(jià)為150元。（四）方案選擇問題例4：某通訊公司推出兩種套餐：A套餐：月租30元，流量費(fèi)1元/GB；B套餐：月租50元，流量費(fèi)0.5元/GB。每月使用多少GB流量時(shí)，兩種套餐費(fèi)用相同？當(dāng)每月使用40GB流量時(shí)，選擇哪種套餐更省錢？解：設(shè)每月使用\(x\)GB流量，A套餐費(fèi)用：\(y_A=30+x\)，B套餐費(fèi)用：\(y_B=50+0.5x\)，令\(y_A=y_B\)，即\(30+x=50+0.5x\)，解得\(x=40\)GB。當(dāng)\(x=40\)GB時(shí)，費(fèi)用相同；當(dāng)\(x=40\)GB時(shí)，\(y_A=70\)元，\(y_B=70\)元，費(fèi)用相同。答：每月使用40GB流量時(shí)費(fèi)用相同；使用40GB流量時(shí)兩種套餐費(fèi)用一樣。三、易錯(cuò)點(diǎn)警示概念混淆：誤將“代數(shù)式”當(dāng)作方程（方程必須含等號(hào)）；忽略一元一次方程中“未知數(shù)次數(shù)為1”的條件。等式性質(zhì)誤用：去分母時(shí)漏乘常數(shù)項(xiàng)；系數(shù)化為1時(shí)除數(shù)為0；移項(xiàng)未變號(hào)。實(shí)際問題建模錯(cuò)誤：配套問題中比例顛倒（如“1配2”誤列\(zhòng)(2A=B\)）；工程問題中總工作量未設(shè)為1；銷售問題中利潤(rùn)率計(jì)算基數(shù)錯(cuò)誤（誤用售價(jià)作基數(shù)）。忽略實(shí)際意義：解出的未知數(shù)為負(fù)數(shù)或小數(shù)（如人數(shù)、場(chǎng)次為負(fù)數(shù)），未檢驗(yàn)合理性。四、復(fù)習(xí)建議夯實(shí)基礎(chǔ)：熟練掌握等式性質(zhì)和方程解法，確保每一步變形都有依據(jù)。強(qiáng)化建模：針對(duì)不同實(shí)際問題，總結(jié)等量關(guān)系的尋找方法，如“關(guān)鍵詞法”（比、多、少、倍、幾分之幾）。錯(cuò)題反思：整理錯(cuò)題時(shí)標(biāo)注錯(cuò)誤原因（如漏乘、符號(hào)錯(cuò)誤），針對(duì)性改進(jìn)。綜合應(yīng)用：通過多題型練習(xí)，提升從文字中抽象數(shù)學(xué)關(guān)系的能力，靈活運(yùn)用方程解決復(fù)雜問題。通過本章復(fù)習(xí)，應(yīng)能熟練解一元一次方程，并能運(yùn)用方程思想解決各類實(shí)際問題，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的方程和函數(shù)奠定基礎(chǔ)。2024人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

章末復(fù)習(xí)第五章

一元一次方程aiTujmiaNg本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖實(shí)際問題一元一次方程實(shí)際問題的答案一元一次方程的解（x=m）設(shè)未知數(shù)，根據(jù)相等關(guān)系列方程抽象為數(shù)學(xué)模型一般步驟：去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1解方程回歸于實(shí)際問題檢驗(yàn)一、方程的有關(guān)概念1.方程：含有未知數(shù)的等式叫作方程.2.一元一次方程的概念：只含有____個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是____，等號(hào)兩邊都是_______，這樣的方程叫作一元一次方程.一1整式3.方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作方程的解.4.解方程：求方程的解的過程叫作解方程.二、等式的性質(zhì)等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.如果a=b，那么a±____=b±c.c如果a=b，那么ac=______；如果a=b，c

≠0，那么_____.等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.bc三、解一元一次方程的一般步驟去分母：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數(shù)，別漏乘.去括號(hào)：注意括號(hào)前的系數(shù)與符號(hào).移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，移項(xiàng)注意要改變符號(hào).合并同類項(xiàng)：把方程化成ax=b（a

≠0）的形式.系數(shù)化為1：方程兩邊同除以x

的系數(shù)，得x=m

的形式.四、實(shí)際問題與一元一次方程1.列方程解決實(shí)際問題的一般步驟：審：審清題意，分清題中的已知量、未知量.設(shè)：設(shè)未知數(shù)，設(shè)其中某個(gè)未知量為x.列：根據(jù)題意尋找等量關(guān)系列方程.解：解方程.驗(yàn)：檢驗(yàn)方程的解是否符合題意.答：寫出答案（包括單位）.2.常見的幾種方程類型及等量關(guān)系：（1）行程問題中基本量之間關(guān)系：路程=速度×?xí)r間.①相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程；②追及問題：甲為快者，被追路程=甲走的路程－乙走的路程；③流水行船問題：V順

=V靜

+V水，V逆

=V靜－V水.（2）工程問題中基本量之間關(guān)系：①工作量=工作效率×工作時(shí)間；②合作的效率=工作效率之和；③工作總量=各部分工作量之和=合作的工作效率×工作時(shí)間；④在沒有具體數(shù)值的情況下，通常把工作總量看做1.（3）銷售問題中基本量之間關(guān)系：①商品利潤(rùn)=商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)；②利潤(rùn)率＝×100%；商品利潤(rùn)商品進(jìn)價(jià)③商品售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×；折扣數(shù)10④商品售價(jià)=商品進(jìn)價(jià)+商品利潤(rùn)=商品進(jìn)價(jià)+商品進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率=商品進(jìn)價(jià)×（1+利潤(rùn)率）.復(fù)習(xí)鞏固1.列方程表示下列語句中的相等關(guān)系：（1）某地2023年9月10日的溫差是4℃，這天最高氣溫是t

℃，最低氣溫是t℃；t

-

t=4（2）某校七年級(jí)學(xué)生人數(shù)為n，其中男生占45%，女生有110人；(1-45%)n=110（3）一種商品每件進(jìn)價(jià)為a元，售價(jià)為進(jìn)價(jià)的1.1倍，現(xiàn)每件的售價(jià)又降低10元，現(xiàn)售價(jià)為每件210元；1.1a

-10=210（4）在5天中，第一小組共植樹60棵，第二小組共植樹x(x<60)棵，平均每天第一小組比第二小組多植2棵樹.2.指出x=1，x

=2，x=3各是下列哪個(gè)方程的解：（1）3x

-3=2x；（2）0.3x-30=-9.7-20x；（3）

x

-3=2x

-4.x=3x=1x=23.解下列方程：（1）-8x=3-

x；（2）0.5x-0.7=6.5-1.3x；x=4（3）(3x-6)=x-3；（4）

.x=-204.當(dāng)x為何值時(shí)，下列各組中兩個(gè)式子的值相等？（1）和；（2）和.解：（1）根據(jù)題意，得=

.因此，當(dāng)x=7時(shí)，與的值相等.解得x=7.4.當(dāng)x為何值時(shí)，下列各組中兩個(gè)式子的值相等？（1）和；（2）和.（2）根據(jù)題意，得=

.因此，當(dāng)x=-1時(shí)，與的值相等.解得x=-1.5.在梯形面積公式S=(a+b)h中，（1）已知S=30，a=6，h=4，求b；（2）已知S=60，b=4，h=12，求a；(6+b)×4=30，解得b=9.(a+4)×12=60，解得a=6.5.在梯形面積公式S=(a+b)h中，（3）已知S=50，a=6，h=a，求h；×(6+×6)·h=50，解得h=.6.李明在超市買了4瓶礦泉水和2條毛巾，共花了22元.已知1瓶礦泉水的售價(jià)是1.5元，1條毛巾的售價(jià)是多少元？解：設(shè)1條毛巾的售價(jià)是x元.根據(jù)題意，得4×1.5+2x＝22.解得x＝8.答：1條毛巾的售價(jià)是8元.綜合運(yùn)用7.在北京2022年冬奧會(huì)上，中國(guó)代表團(tuán)共獲得15枚獎(jiǎng)牌，其中金牌數(shù)比銀牌數(shù)多5枚，銀牌數(shù)比銅牌數(shù)多2枚.中國(guó)代表團(tuán)一共獲得多少枚金牌？解：設(shè)中國(guó)代表團(tuán)一共獲得x枚金牌.根據(jù)題意，得x+x-5+x–5-2=15.解得x＝9.答：中國(guó)代表團(tuán)一共獲得9枚金牌.8.（我國(guó)古代問題）跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里.慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬.根據(jù)題意，得240x＝150(12+x).解得x

＝20.答：快馬20天可以追上慢馬.9.某人年初購(gòu)買了A，B兩只基金共20000元，年底賣出后發(fā)現(xiàn)兩只基金的實(shí)際收益恰好相等，且實(shí)際收益率分別為4.4%和3.6%.A，B兩只基金各購(gòu)買了多少元？解：設(shè)王先生買A基金花了x元.根據(jù)題意，得4.4%x

＝3.6％(20000-

x).解得x＝9000.所以20000-

x＝11000.答:王先生買A基金花了9000元，買B基金花了11000元.10.李明和劉偉在600m環(huán)形跑道上跑步.李明平均每分鐘跑190m，劉偉平均每分鐘跑210m.兩人從同一處同時(shí)反向出發(fā)，經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間首次相遇？又經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間再次相遇？解：設(shè)經(jīng)過t

min兩人首次相遇.根據(jù)題意，得(190+210)t＝600.解得t＝1.5.答:經(jīng)過1.5

min兩人首次相遇，又經(jīng)過1.5min兩人再次相遇.11.有一群鴿子和一些鴿籠，如果每個(gè)鴿籠住6只鴿子，則剩余3只鴿子無鴿籠可住；如果再飛來5只鴿子，連同原來的鴿子，每個(gè)鴿籠剛好住8只鴿子.原來有多少只鴿子和多少個(gè)鴿籠？解：設(shè)原來有x只鴿子.根據(jù)題意，得解得x＝27.所以.答：原來有27只鴿子，4個(gè)鴿籠.12.父親和女兒現(xiàn)在的年齡之和是91，當(dāng)父親的年齡是女兒現(xiàn)在年齡的2倍時(shí)，女兒的年齡是父親現(xiàn)在年齡的.求女兒現(xiàn)在的年齡.解：設(shè)女兒現(xiàn)在的年齡是x歲，則父親現(xiàn)在的年齡是(91-x)歲.根據(jù)題意，得91-

x-

2x=x-(91-

x)

.解得x＝28.答：女兒現(xiàn)在的年齡是28歲.拓廣探索13.學(xué)校組織知識(shí)競(jìng)賽，共設(shè)20道選擇題，各題分值相同，每題必答.下表記錄了5名參賽同學(xué)的得分情況.參賽者答對(duì)題數(shù)答錯(cuò)題數(shù)得分A200100B19194C18288D14664E101040（1）同學(xué)F得了76分，他答對(duì)了幾道題？（2）同學(xué)G說他得了80分，你認(rèn)為可能嗎？為什么？解:由同學(xué)A知，答對(duì)一題得5分，再由同學(xué)B知，答錯(cuò)一題扣1分.（1）設(shè)同學(xué)F答對(duì)了x道題.根據(jù)題意，得5x

-(20-

x)＝76.解得x＝16.答：同學(xué)F答對(duì)了16道題.（2）不可能.理由:設(shè)同學(xué)G答對(duì)了y道題.根據(jù)題意，得5y-(20-

y)＝80.解得y＝.因?yàn)閥的值應(yīng)是整數(shù)，故原方程的解不符合題意.所以同學(xué)G不可能得了80分.14.一家游泳館每年6月-8月出售夏季會(huì)員證.每張會(huì)員證120元，只限本人使用，憑會(huì)員證購(gòu)入場(chǎng)券每張15元，不憑會(huì)員證購(gòu)入場(chǎng)券每張20元.討論并回答下列問題:（1）在什么情況下，使用會(huì)員證與不使用會(huì)員證付一樣的錢？（2）在什么情況下，使用會(huì)員證比不使用會(huì)員證更合算？（3）在什么情況下，不使用會(huì)員證比使用會(huì)員證更合算？解:（1）設(shè)去游泳館x次時(shí)，購(gòu)會(huì)員證與不購(gòu)會(huì)員證付一樣的錢.根據(jù)題意，得120+15x＝20x.解得x＝24.答:在去游泳館的次數(shù)為24的情況下，購(gòu)會(huì)