8.2-8.3一元線性回歸模型與獨(dú)立性檢驗(yàn)

【考點(diǎn)1：解釋回歸直線方程的意義】

【考點(diǎn)2：求回歸直線方程】

【考點(diǎn)3：用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)】

【考點(diǎn)4：樣本中心點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】

【考點(diǎn)5：列聯(lián)表分析】

【考點(diǎn)6：獨(dú)立性檢驗(yàn)】知識(shí)點(diǎn)1：回歸分析與回歸方程（1）回歸分析的定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．（2）最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．（3）回歸方程：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回歸方程的求法為其中，，，（，）稱為樣本點(diǎn)的中心．【考點(diǎn)1：解釋回歸直線方程的意義】【典例1】小亮的爸爸記錄了小亮從4歲到10歲的身高，建立了小亮身高與年齡的回歸模型y=73.85+6.9x，他用的這個(gè)模型預(yù)測(cè)小亮11歲時(shí)的身高，則下面的敘述正確的是（

A．小亮11歲時(shí)的身高在149.75cm左右 B．小亮11歲時(shí)的身高在149.75cm以下C．小亮11歲時(shí)的身高一定是149.75cm D．小亮11歲時(shí)的身高在149.75cm以上【答案】A【分析】根據(jù)回歸直線的實(shí)際意義判斷即可【詳解】代入x=11可得y=149.75故選：A【變式1-1】為了研究?jī)鹤由砀吲c父親身高的關(guān)系，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了某所高校14名男大學(xué)生的身高及其父親的身高（單位：cm），得到的數(shù)據(jù)如表所示.編號(hào)1234567891011121314父親身高x174170173169182172180172168166182173164180兒子身高y176176170170185176178174170168178172165182父親身高的平均數(shù)記為x，兒子身高的平均數(shù)記為y，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，得到兒子身高關(guān)于父親身高的回歸直線方程為y=0.839x+28.957.則下列結(jié)論中正確的是（

A．y與x正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)為0.839B．點(diǎn)(xC．x每增大一個(gè)單位，y增大0.839個(gè)單位D．當(dāng)x=176時(shí)，y≈177【答案】C【分析】由回歸方程意義及性質(zhì)可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，因0.839>0，則y與x正相關(guān)，但相關(guān)系數(shù)不是0.839，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，回歸方程過(guò)定點(diǎn)(xC選項(xiàng)，由回歸方程可知x每增大一個(gè)單位，y增大0.839個(gè)單位，故C正確；D選項(xiàng)，回歸方程得到的y為預(yù)測(cè)值，不一定滿足實(shí)際情況，故D錯(cuò)誤.故選：C【變式1-2】在線性回歸方程y=a+bx中，b為回歸系數(shù)，下列關(guān)于b的說(shuō)法中不正確的是（

）A．b為回歸直線的斜率B．b>0，表示隨x增加，y值增加，b<0，表示隨x增加，y值減少C．b是唯一確定的值D．回歸系數(shù)b的統(tǒng)計(jì)意義是當(dāng)x每增加（或減少）一個(gè)單位，y平均改變b個(gè)單位【答案】C【分析】利用回歸直線方程的特點(diǎn)逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A，線性回歸方程y=a+bx中的b為回歸直線的斜率，A正確；對(duì)于B，b>0，表示隨x增加，y值增加，b<0，表示隨x增加，y值減少，B正確；對(duì)于C，b是由總體的一個(gè)樣本利用一定的方法計(jì)算得到的，選擇不同的樣本或不同的計(jì)算方法得到的b一般是不同的，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，回歸系數(shù)b的統(tǒng)計(jì)意義是當(dāng)x每增加（或減少）一個(gè)單位，y平均改變b個(gè)單位，D正確.故選：C【考點(diǎn)2：求回歸直線方程】【典例2】春節(jié)將至，某商家統(tǒng)計(jì)了去年某商品的日營(yíng)銷費(fèi)用x（單位：百元）與日銷售量y（單位：百件），為今年的營(yíng)銷方案制定提供相關(guān)的數(shù)據(jù)參考，得到的數(shù)據(jù)如下表：日營(yíng)銷費(fèi)用x/百元23456日銷售量y/百件11.11.51.82.1已知y與x線性相關(guān).(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)請(qǐng)利用（1）中的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，試估計(jì)當(dāng)今的日銷售費(fèi)用為1000元時(shí)，日銷售量為多少百件.參考公式：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)xi,yi（i=1,2,?,n）.其經(jīng)驗(yàn)回歸直線y=bx+【答案】(1)y(2)3.24百件【分析】（1）求出x,y的平均值，利用給定公式計(jì)算可求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）將x=10代入回歸方程即可估算出結(jié)果.【詳解】（1）x=y=則b=所以a故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.29x+0.34（2）將x=10代入y=0.29x+0.34，得y故當(dāng)今年的日營(yíng)銷費(fèi)用為1000元時(shí)，日銷售量約為3.24百件.【變式2-1】近年來(lái)我國(guó)新能源汽車行業(yè)蓬勃發(fā)展，新能源汽車不僅對(duì)環(huán)境保護(hù)具有重大的意義，而且還能夠減少對(duì)不可再生資源的開(kāi)發(fā)，是全球汽車發(fā)展的重要方向．“保護(hù)環(huán)境，人人有責(zé)”，在政府和有關(guān)企業(yè)的努力下，某地區(qū)近幾年新能源汽車的購(gòu)買情況如下表所示：年份x20192020202120222023新能源汽車購(gòu)買數(shù)量y（萬(wàn)輛）0.400.701.101.501.80(1)計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r（保留三位小數(shù)）；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2025年新能源汽車購(gòu)買數(shù)量．參考公式r=i=1nxi?參考數(shù)值：13≈3.6056，i=1【答案】(1)0.998(2)2.54萬(wàn)輛【分析】（1）利用所提供數(shù)據(jù)求x,y，i=15（2）結(jié)合公式求a,【詳解】（1）x=i=15i=1所以r=i=1（2）由（1）知，b=a=所以y關(guān)于x的線性回歸方程是y=0.36x?726.46當(dāng)x=2025時(shí)，y=0.36×2025?726.46=2.54該地區(qū)2025年新能源汽車購(gòu)買數(shù)量約為2.54萬(wàn)輛.【變式2-2】某騎行愛(ài)好者近段時(shí)間在專業(yè)人士指導(dǎo)下對(duì)騎行情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，各次騎行期間的身體綜合指標(biāo)評(píng)分x與對(duì)應(yīng)用時(shí)y（單位：小時(shí)）如下表：身體綜合指標(biāo)評(píng)分x12345用時(shí)（y/小時(shí)）9.58.67.876.1(1)由上表數(shù)據(jù)看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程.參考數(shù)據(jù)和參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi?x【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)y【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可分別計(jì)算出x與y的平均值，再代入計(jì)算可得相關(guān)系數(shù)近似為?1，即可知y與x相關(guān)程度較高；（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算結(jié)果可得b=?0.84，代入計(jì)算可得a=10.32，即可求得y關(guān)于【詳解】（1）由題意得x=1+2+3+4+55i=15i=1i=15因此相關(guān)系數(shù)r=i=1即相關(guān)系數(shù)近似為?1，y與x負(fù)相關(guān)，且相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；（2）由（1）中數(shù)據(jù)，得b=i=15所以y關(guān)于x的回歸方程為y=?0.84x+10.32【變式2-3】某商店經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)為每件40元的商品，在市場(chǎng)調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價(jià)x元與日銷售量y件之間的關(guān)系如下表所示：x(元)5060708090y(件)108961(1)求回歸直線方程y=(2)假設(shè)今后銷售依然服從1中的關(guān)系，預(yù)測(cè)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，日利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)=銷售收入?成本).參考公式及數(shù)據(jù)：b=i=1nxiyi【答案】(1)y(2)銷售單價(jià)為72元時(shí)，日利潤(rùn)最大【分析】（1）求出回歸系數(shù)，即可得y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）先求出日利潤(rùn)解析式，利用二次函數(shù)知識(shí)求出最大值即可.【詳解】（1）x=所以b=所以a=所求回歸直線方程y（2）設(shè)日利潤(rùn)為z元，銷售單價(jià)為x元時(shí)，z=x?40當(dāng)x=?28.82×?0.2所以銷售單價(jià)為72元時(shí)，日利潤(rùn)最大.【考點(diǎn)3：用回歸直線方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)】【典例3】從某大學(xué)隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高X（單位：cm）和體重Y（單位：kg）的回歸方程為Y=0.849X?85.712，則身高172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)測(cè)其體重（

）A．為60.316kg B．約為60.316kgC．大于60.316kg D．小于60.316kg【答案】B【分析】根據(jù)題意，令X=172，代入回歸直線方程，即可求解.【詳解】由身高X和體重Y的回歸方程為Y=0.849X?85.712，令X=172，可得Y=0.849×172?85.712=60.316（kg），即由回歸方程可以預(yù)測(cè)其體重大約為60.316(kg故選：B.【變式3-1】設(shè)某中學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,?,n，用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為yA．47.69kg B．48.69kg C．57.69kg【答案】A【分析】將x=160【詳解】將x=160代入回歸直線方程得y因此，該中學(xué)女生的平均體重的估計(jì)值是47.69kg故選：A.【變式3-2】已知x1=1,x2【答案】24.125【分析】根據(jù)求和符號(hào)的意義，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意知x1i=16xi故答案為：24.125.【變式3-3】從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高x（單位：cm）與體重y（單位：kg）的數(shù)據(jù)如下表：x165165157170175165155170y4857505464614359若已知y與x的線性回歸方程為y^=0.85x?85.71，那么選取的女大學(xué)生身高為175cm時(shí)，相應(yīng)的殘差為【答案】0.96【分析】由線性回歸方程先求x=175時(shí)y^【詳解】令x=175得y^=63.04故答案為：0.96

【考點(diǎn)4：樣本中心點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算】【典例4】某種兼職工作雖然以計(jì)件的方式計(jì)算工資，但是對(duì)于同一個(gè)人的工資與其工作時(shí)間還是存在一定的相關(guān)關(guān)系，已知小孫的工作時(shí)間X（單位：小時(shí)）與工資Y（單位：元）之間的關(guān)系如表：工作時(shí)間X24568工資Y304050m70若Y對(duì)X的線性回歸方程為Y=6.5X+17.5，則m的值為（

）A．56.5 B．58 C．60 D．62.5【答案】C【分析】求出樣本中心點(diǎn)，代入回歸直線即可求得結(jié)果.【詳解】由表格數(shù)據(jù)知：x=2+4+5+6+85由線性回歸方程為Y=6.5X+17.5，∴6.5×5+17.5=190+m5，解得故選：C.【變式4-1】隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，西安某地對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2023年6月18日，該地很多商場(chǎng)都在搞“6?18”促銷活動(dòng).市物價(jià)局派人對(duì)某商品同一天的銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，得到該商品的售價(jià)x（單位：元）和銷售量y（單位：百件）之間的一組數(shù)據(jù)：x2025303540y578911用最小二乘法求得y與x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y=0.28x+a，當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，預(yù)測(cè)該商品的銷售量件數(shù)大約為（A．11.2 B．11.75 C．12 D．12.2【答案】D【分析】求出x，y，根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)x,y求出【詳解】因?yàn)閤=15所以回歸直線y=0.28x+a過(guò)點(diǎn)30,8，故8=0.28×30+a所以y=0.28x?0.4，將x=45代入y=0.28x?0.4中，得即當(dāng)售價(jià)為45元時(shí)，該商品的銷售量件數(shù)大約為12.2百件.故選：D.【變式4-2】具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y有一組觀測(cè)數(shù)據(jù)xi,yi（xi=2i?1，i=1，2，…，5），其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為A．40 B．32 C．8 D．12.8【答案】A【分析】由題意求出x，將中心x,【詳解】由題意得，x=因?yàn)辄c(diǎn)x,y在回歸直線上得所以i=15故選：A【變式4-3】某市2018年至2022年新能源汽車年銷量y（單位：千臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表：年份2019202020212022年份代號(hào)x1234年銷量y1520m35若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為y=7x+7.5，則表中m的值為（

A．25 B．28 C．30 D．32【答案】C【分析】根據(jù)線性回歸直線方程經(jīng)過(guò)樣本中心，即可代入求解.【詳解】由已知得x=52，回歸直線方程為y∴y=7×52∴m=30．故選：C．知識(shí)點(diǎn)2：獨(dú)立性檢驗(yàn)（1）分類變量：變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別，像這類變量稱為分類變量．（2）列聯(lián)表：①定義：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表稱為列聯(lián)表．②2×2列聯(lián)表：假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為2×2列聯(lián)表總計(jì)總計(jì)（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)：計(jì)算隨機(jī)變量利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)．0．100．050．0100．0050．0012．7063．8416．6357．87910．828【考點(diǎn)5：列聯(lián)表分析】【典例5】下面是2×2列聯(lián)表：yy合計(jì)xa2173x222547合計(jì)b46120則表中a，b的值分別為（

）A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52【答案】C【分析】根據(jù)聯(lián)表計(jì)算求參即可.【詳解】因?yàn)閍+21=73．所以a=52．又a+22=b，所以b=74．故選：C.【變式5-1】下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：yy總計(jì)x35a70x151530總計(jì)50b100其中a、b處填的值分別為．【答案】35，50【分析】根據(jù)總計(jì)的計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】在第二行中，35+a=70?a=35，在第三列中，a+15=b?b=35+15=50，故答案為：35，50【變式5-2】下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：XY合計(jì)Y=0Y=1X=0a2173X=182533合計(jì)b46則表中a，b處的值分別為；．【答案】5260【分析】第一空利用a+21=73直接求出即可；第二空利用a+8=b，結(jié)合a的值求得即可.【詳解】根據(jù)已知條件，結(jié)合列聯(lián)表之間的數(shù)據(jù)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)可知，a+21=73，所以a=73?21=52；b=a+8=52+8=60.故答案為：52，60【變式5-3】下面是2×2列聯(lián)表：xyyy總計(jì)xa2173x22527總計(jì)b46100則a+b=．【答案】106【分析】根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)求得a,b，進(jìn)而求得a+b.【詳解】a=73?21=52,b=100?46=54，所以a+b=106.故答案為：106

【考點(diǎn)6：獨(dú)立性檢驗(yàn)】【典例6】2025年1月1日，某地舉行馬拉松比賽，某服務(wù)部門為提升服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)采訪了120名參賽人員，得到下表：滿意度性別合計(jì)女性男性比較滿意rs50非常滿意t4070合計(jì)60l120(1)求r?sl?t(2)依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為不同性別的參賽人員對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)有差異？(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)隨機(jī)采訪1名女性參賽人員與1名男性參賽人員，設(shè)X表示這2人中對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量非常滿意的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：χ2=nα0.10.010.001x2.7066.63510.828【答案】(1)1(2)依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為不同性別的參賽人員對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)有差異.(3)分布列見(jiàn)解析，期望為7【分析】（1）根據(jù)二聯(lián)表即可求解r=30,s=20,t=30,l=60得解，（2）計(jì)算卡方，即可與臨界值比較作答，（3）根據(jù)相互獨(dú)立乘法事件的概率公式求解概率，即可得分布列和期望.【詳解】（1）完善二聯(lián)表為：滿意度性別合計(jì)女性男性比較滿意302050非常滿意304070合計(jì)6060120故r=30,s=20,t=30,l=60，故r?sl?t（2）零假設(shè)H0:依據(jù)小概率值K2故依據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為不同性別的參賽人員對(duì)該部門服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)有差異.（3）由于女性對(duì)服務(wù)滿意的概率為3060=1故X=0,1,2，PX=0PX=2故X的分布列為X012P111故EX【變式6-1】近年來(lái)，隨著智能手機(jī)的普及，網(wǎng)上買菜迅速進(jìn)入了我們的生活，某小區(qū)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過(guò)3次的居民認(rèn)定為“喜歡網(wǎng)上買菜”，不超過(guò)3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的居民認(rèn)定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”.為了解該社區(qū)居民網(wǎng)上買菜的情況，工作人員隨機(jī)抽取了該社區(qū)100名居民，得到的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表所示：喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計(jì)年齡不超過(guò)45歲的居民401050年齡超過(guò)45歲的居民203050合計(jì)6040100(1)試根據(jù)a=0.05的χ2(2)居民小張周一、二均在網(wǎng)上買菜，且周一等可能地從兩個(gè)買菜平臺(tái)隨機(jī)選擇一個(gè)下單買菜．如果周一選擇在A平臺(tái)買菜，那么周二選擇在A平臺(tái)買菜的概率為45；如果周一選擇在B平臺(tái)買菜，那么周二選擇在A平臺(tái)買菜的概率為13，求小張周二選擇在(3)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該社區(qū)隨機(jī)抽取10名居民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的居民人數(shù)為隨機(jī)變量X，并記隨機(jī)變量Y=2X+3，求X，Y的數(shù)學(xué)期望和方差．參考公式及數(shù)據(jù)：χ2=nα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05(2)13(3)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=6，方差D(X)=125，Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=15【分析】（1）根據(jù)給定數(shù)表，求出χ2（2）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計(jì)算作答；（3）由二項(xiàng)分布的期望、方差公式求解隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差，再利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)求解Y的數(shù)學(xué)期望和方差即可.【詳解】（1）統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0由給定的2×2列聯(lián)表，得χ2=根據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，否定假設(shè)H0即認(rèn)為是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05；（2）設(shè)Ai表示周i在A平臺(tái)買菜，Bi表示周i在B平臺(tái)買菜，由題可得PA由全概率公式，小張周二選擇在B平臺(tái)買菜的概率PB（3）依題意，該社區(qū)居民喜歡網(wǎng)上買菜的概率估計(jì)值為60100從該社區(qū)隨機(jī)抽取10名居民，其中喜歡網(wǎng)上買菜的居民人數(shù)X~B10,所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=10×35=6又Y=2X+3，所以Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)=2E(X)+3=15，方差D(Y)=4D(X)=48【變式6-2】文旅部門統(tǒng)計(jì)了某網(wǎng)紅景點(diǎn)在2022年3月至7月的旅游收入y（單位：萬(wàn)），得到以下數(shù)據(jù)：月份x34567旅游收入y1012111220(1)根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？若可以，求出y關(guān)于x之間的線性回歸方程；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由（精確到0.001）；(2)為調(diào)查游客對(duì)該景點(diǎn)的評(píng)價(jià)情況，隨機(jī)抽查了200名游客，得到如下列聯(lián)表，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為“游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān)”.喜歡不喜歡總計(jì)男100女60總計(jì)110參考公式：相關(guān)系數(shù)r=i=1nxi?xyi?yi=1n(x?臨界值表：P0.0100.0050.001K6.6357.87910.828【答案】(1)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，y=2x+3(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有99.9%的把握認(rèn)為游客是否喜歡該網(wǎng)紅景點(diǎn)與性別有關(guān).【分析】（1）先依據(jù)已知條件依次計(jì)算x、y、i=15xi?x2、i=15yi?y（2）由已知數(shù)據(jù)即可填寫(xiě)2×2列聯(lián)表；根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算K2【詳解】（1）由已知得：x=3+4+5+6+75所以i=15i=15i=15所以r=i=1因?yàn)閞≈0.791∈0.75,1，說(shuō)明y與x的線性相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合y與所以b=所以y關(guān)于x的線性回歸方程為：y=2x+3（2）2×2列聯(lián)表如下所示：喜歡不喜歡總計(jì)男7030100女4060100總計(jì)11090200零假設(shè)H0根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，K2依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷H0即有99.9%【變式6-3】中藥是中華民族的瑰寶，除用來(lái)治病救人外，在調(diào)理身體?預(yù)防疾病等方面也發(fā)揮著重要的作用.某研究機(jī)構(gòu)為了解草藥A對(duì)某疾病的預(yù)防效果，隨機(jī)調(diào)查了100名人員，數(shù)據(jù)如下：未患病患病合計(jì)服用草藥A481260未服用草藥A221840合計(jì)7030100(1)依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析草藥A對(duì)預(yù)防該疾病是否有效；(2)已知草藥B對(duì)該疾病的治療有效的概率的數(shù)據(jù)如下：對(duì)未服用草藥A的患者治療有效的概率為23，對(duì)服用草藥A的患者治療有效的概率為45.若用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從患此疾病的人中隨機(jī)抽取1人使用草藥附：參考公式：χ2=n參考數(shù)據(jù)：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)有效(2)18【分析】（1）由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)求得χ2（2）分別求得患者未服用草藥A和已服用草藥A”的概率，利用全概率公式求解.【詳解】（1）解：由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得：χ2根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷零假設(shè)不成立，即認(rèn)為草藥A對(duì)預(yù)防該疾病有效；（2）設(shè)事件M表示“草藥B的治療有效”，事件N1表示“患者未服用草藥A”，事件N2表示“患者已服用草藥則PNPM|所以由全概率公式得：PM=3單選題1．某旅行社為迎節(jié)日搞活動(dòng)旅游，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某旅游線路銷量Y(人)與旅游價(jià)格X(元/人)負(fù)相關(guān)，則其回歸直線方程可能是（

）A．Y=?80X+1600 B．Y=80X+1600C．Y=?80X?1600 D．Y=80X?1600【答案】A【分析】根據(jù)Y與X負(fù)相關(guān)，可排除B，D，再根據(jù)實(shí)際意義即可得解.【詳解】由Y與X負(fù)相關(guān)，可排除B，D，而C中X>0時(shí)，Y=?80X?1600<0，不符合實(shí)際意義，排除C.故選：A.

2．在研究變量x與y之間的關(guān)系時(shí)，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后得到了一組樣本數(shù)據(jù)x1,y1,x2,y2,?,(x5,yA．8 B．12 C．16 D．20【答案】C【分析】由題意，求出剔除后的平均數(shù)y′，進(jìn)而求出剔除前的平均數(shù)y，根據(jù)回歸直線必過(guò)樣本點(diǎn)中心得到x，進(jìn)而得到x′，將點(diǎn)(x【詳解】設(shè)沒(méi)剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)前x,y的平均數(shù)分別為x，y，剔除兩對(duì)數(shù)據(jù)后x,y的平均數(shù)分別為x′，y因?yàn)閕=15所以y=17則x=所以x′又因?yàn)閤′所以28?m4解得m=16.故選：C.3．根據(jù)變量x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如表），求得y關(guān)于x的線性回歸方程為y=6.5x+17.5，則表中m的值為（

）x24568y3040m5070A．60 B．55 C．50 D．45【答案】A【分析】先求得樣本點(diǎn)中心，再根據(jù)回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)中心即可求解.【詳解】由表中數(shù)據(jù)，計(jì)算x=y=因?yàn)榛貧w直線方程y=6.5∴38+m5=6.6×5+17.5故選：A4．下列是x與y之間的一組數(shù)據(jù)：則y關(guān)于x的線性回歸方程y=bx+a對(duì)應(yīng)的直線必過(guò)點(diǎn)()x0123y1357A．32,4 B．32,2 C．【答案】A【分析】分別求得x,y的平均值，由此得到回歸直線方程必過(guò)的點(diǎn).【詳解】依題意x=32【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程過(guò)樣本中心點(diǎn)，考查圖表閱讀能力，屬于基礎(chǔ)題.5．已知兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，5次試驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：x100120140160180y4554627592那么變量y關(guān)于x的線性回歸方程只可能是()A．y＝0.575x－14.9 B．y＝0.572x－13.9C．y＝0.575x－12.9 D．y＝0.572x－14.9【答案】A【分析】線性回歸方程y=【詳解】由表格易知x=140，y=65.6，根據(jù)線性回歸方程y=b【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的性質(zhì)，具有一定的計(jì)算量，屬于基礎(chǔ)題．6．已知一組數(shù)據(jù)xi,yii=1,2,???,20滿足線性回歸關(guān)系，且經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=10x+30，若A．30 B．60 C．630 D．1200【答案】D【分析】根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線方程上代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】易知樣本數(shù)據(jù)的中心點(diǎn)x,y在回歸直線方程易知x=120即y=120故選：D7．探究學(xué)習(xí)小組收集了A早餐店2024年前六個(gè)月包子的售賣數(shù)據(jù)，得出每個(gè)月售賣包子的個(gè)數(shù)y（單位：萬(wàn)個(gè)）與月份xx=1,2,3,?,6的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.1x+1.4，已知五月份的售賣量為2萬(wàn)個(gè)，則x=5時(shí)的殘差為（A．?0.2 B．0.2 C．?0.1 D．0.1【答案】D【分析】先根據(jù)回歸直線計(jì)算y^【詳解】令x=5，得y=0.1×5+1.4=1.9，則所求殘差為2?1.9=0.1故選：D.二、填空題8．若對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量建立的回歸方程為y=?0.960x+3.134，則當(dāng)x=50時(shí)，y的估計(jì)值為．【答案】?44.866【分析】將x=50代入回歸直線方程可得結(jié)果.【詳解】將x=50代入回歸直線方程可得y=?0.960×50+3.134=?44.866.故答案為：?44.866.三、解答題9．學(xué)習(xí)了《高中數(shù)學(xué)必修3》的內(nèi)容后，高二年級(jí)某學(xué)生認(rèn)為：考試成績(jī)與考試次數(shù)存在相關(guān)關(guān)系.于是他收集了自己進(jìn)入高二以后的前5次考試成績(jī)，列表如下：第x次考試12345考試成績(jī)y809595100105經(jīng)過(guò)進(jìn)一步研究，他發(fā)現(xiàn)：考試成績(jī)y與考試的次數(shù)x具有線性相關(guān)關(guān)系.(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程y=(2)判斷變量y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)（只寫(xiě)出結(jié)論即可）；(3)按計(jì)劃，高二年級(jí)兩學(xué)期共有10次考試，請(qǐng)你預(yù)測(cè)該同學(xué)高二最后一次考試的成績(jī)（四舍五入，結(jié)果保留整數(shù)）.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：b=i=1【答案】(1)y(2)y與x之間是正相關(guān)(3)134分【分析】（1）使用最小二乘法估計(jì)公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由線性回歸直線方程的斜率進(jìn)行判斷即可；（3）由線性回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)即可.【詳解】（1）根據(jù)已知可得x=15∴i=15i=15∴b=i=15∴y關(guān)于x的線性回歸方程為y=5.5x+78.5（2）∵y關(guān)于x的線性回歸方程為y=5.5x+78.5，b∴變量y與x之間是正相關(guān).（3）由第（1）問(wèn)所得y關(guān)于x的線性回歸方程為y=5.5x+78.5當(dāng)x=10時(shí)，y=5.5×10+78.5=133.5≈134，∴該同學(xué)高二最后一次考試的成績(jī)大約為134分.10．近年來(lái)，兒童近視問(wèn)題日益嚴(yán)重，已成為影響兒童健康的重要問(wèn)題之一，教育部提出了一系列措施，旨在通過(guò)學(xué)校、家庭和社會(huì)的共同努力，減少兒童近視的發(fā)生率．多項(xiàng)研究表明，每天增加戶外活動(dòng)時(shí)間可以顯著降低兒童近視的發(fā)生率．為研究近視是否與戶外活動(dòng)時(shí)長(zhǎng)有關(guān)，某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了六年級(jí)的100名學(xué)生，其中有55名同學(xué)的戶外活動(dòng)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)；100名同學(xué)中近視的學(xué)生有60人，這60人中每天戶外活動(dòng)時(shí)間不足2小時(shí)的有35人．(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，得到成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果，完成以下列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.005的χ2近視人數(shù)未近視人數(shù)合計(jì)戶外活動(dòng)時(shí)間不足2小時(shí)35戶外活動(dòng)時(shí)間超過(guò)2小時(shí)55合計(jì)60(2)用頻率估計(jì)概率，從已經(jīng)近視的學(xué)生中采用隨機(jī)抽樣的方式選出1名學(xué)生，利用“物理十藥物”治療方案對(duì)該學(xué)生進(jìn)行治療．已知“物理+藥物”治療方案的治愈數(shù)據(jù)如下：在已近