河南省禹州市中考數(shù)學強化訓練考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題25分）一、單選題（5小題，每小題2分，共計10分）1、從下列命題中，隨機抽取一個是真命題的概率是（

）（1）無理數(shù)都是無限小數(shù)；（2）因式分解；（3）棱長是的正方體的表面展開圖的周長一定是；（4）兩條對角線長分別為6和8的菱形的周長是40．A． B． C． D．12、下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)y的幾組對應值：…-2013……6-4-6-4…下列各選項中，正確的是A．這個函數(shù)的圖象開口向下B．這個函數(shù)的圖象與x軸無交點C．這個函數(shù)的最小值小于-6D．當時，y的值隨x值的增大而增大3、二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，由圖象可知該拋物線與x軸的交點坐標是（

）A．（﹣1，0）和（5，0） B．（1，0）和（5，0）C．（0，﹣1）和（0，5） D．（0，1）和（0，5）4、已知拋物線P：，將拋物線P繞原點旋轉180°得到拋物線，當時，在拋物線上任取一點M，設點M的縱坐標為t，若，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．5、下列語句判斷正確的是（）A．等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形B．等邊三角形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C．等邊三角形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形D．等邊三角形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形二、多選題（5小題，每小題3分，共計15分）1、如圖，AB為的直徑，，BC交于點D，AC交于點E，．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．劣弧是劣弧的2倍2、如圖，是的直徑，，是上的點，且，分別與，相交于點，，則下列結論一定成立的是（

）A． B． C．平分D． E．3、古希臘數(shù)學家歐幾里得在《幾何原本》中記載了用尺規(guī)作某種六邊形的方法，其步驟是：①在⊙O上任取一點A，連接AO并延長交⊙O于點B；②以點B為圓心，BO為半徑作圓弧分別交⊙O于C，D兩點；③連接CO，DO并延長分別交⊙O于點E，F(xiàn)；④順次連接BC，CF，F(xiàn)A，AE，ED，DB，得到六邊形AFCBDE．連接AD，EF，交于點G，則下列結論正確的是．A．△AOE的內心與外心都是點G B．∠FGA＝∠FOAC．點G是線段EF的三等分點 D．EF＝AF4、已知拋物線（，，是常數(shù)，）經(jīng)過點，，當時，與其對應的函數(shù)值．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．關于的方程有兩個不等的實數(shù)根5、關于x的一元二次方程(k－1)x2+4x+k－1=0有兩個相等的實數(shù)根，則k的值為（

）A．1 B．0 C．3 D．－3第Ⅱ卷（非選擇題75分）三、填空題（5小題，每小題3分，共計15分）1、到點的距離等于8厘米的點的軌跡是__．2、皮影戲是一種以獸皮或紙板做成的人物剪影，在燈光照射下用隔亮布進行表演的民間戲?。硌菡咴谀缓蟛倏v剪影、演唱，或配以音樂，具有濃厚的鄉(xiāng)土氣息．“皮影戲”中的皮影是______（填寫“平行投影”或“中心投影”）3、在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如圖所示，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°后得到△AB′C′．則圖中陰影部分的面積為_____．4、平面直角坐標系中，，，A為x軸上一動點，連接AC，將AC繞A點順時針旋轉90°得到AB，當BK取最小值時，點B的坐標為_________．5、如圖，AB為的弦，半徑于點C．若，，則的半徑長為______．四、簡答題（2小題，每小題10分，共計20分）1、已知圖中的曲線是反比例函數(shù)y＝（m為常數(shù)）圖象的一支．（1）根據(jù)圖象位置，求m的取值范圍；（2）若該函數(shù)的圖象任取一點A，過A點作x軸的垂線，垂足為B，當△OAB的面積為4時，求m的值．2、如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A坐標為（3，0），四邊形OABC為平行四邊形，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象經(jīng)過點C，與邊AB交于點D，若OC=2，tan∠AOC=1．(1)求反比例函數(shù)解析式；(2)點P（a，0）是x軸上一動點，求|PC-PD|最大時a的值；(3)連接CA，在反比例函數(shù)圖象上是否存在點M，平面內是否存在點N，使得四邊形CAMN為矩形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．五、解答題（4小題，每小題10分，共計40分）1、某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，某種商品的周銷售量y（件）是關于售價x（元/件）的一次函數(shù)，下表僅列出了該商品的售價x，周銷售量y，周銷售利潤W（元）的三組對應值數(shù)據(jù)．x407090y1809030W360045002100（1）求y關于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（2）若該商品進價a（元/件），售價x為多少時，周銷售利潤W最大？并求出此時的最大利潤；（3）因疫情期間，該商品進價提高了m（元/件）（），公司為回饋消費者，規(guī)定該商品售價x不得超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足（1）中的函數(shù)關系，若周銷售最大利潤是4050元，求m的值．2、在中，，，過點A作BC的垂線AD，垂足為D，E為線段DC上一動點（不與點C重合），連接AE，以點A為中心，將線段AE逆時針旋轉90°得到線段AF，連接BF，與直線AD交于點G．（1）如圖，當點E在線段CD上時，①依題意補全圖形，并直接寫出BC與CF的位置關系；②求證：點G為BF的中點．（2）直接寫出AE，BE，AG之間的數(shù)量關系．3、隨著課后服務的全面展開，某校組織了豐富多彩的社團活動．炯炯和露露分別打算從以下四個社團：A．快樂足球，B．數(shù)學歷史，C．文學欣賞，D．棋藝鑒賞中，選擇一個社團參加．（1）炯炯選擇數(shù)學歷史的概率為______．（2）用畫樹狀圖或列表的方法求炯炯和露露選擇同一個社團的概率．4、將銳角為45°的直角三角板MPN的一個銳角頂點P與正方形ABCD的頂點A重合，正方形ABCD固定不動，然后將三角板繞著點A旋轉，∠MPN的兩邊分別與正方形的邊BC、DC或其所在直線相交于點E、F，連接EF．（1）在三角板旋轉過程中，當∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC相交時，如圖1所示，請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關系；（2）在三角板旋轉過程中，當∠MPN的兩邊分別與正方形的邊CB、DC的延長線相交時，如圖2所示，請直接寫出線段BE、DF、EF滿足的數(shù)量關系；（3）若正方形的邊長為4，在三角板旋轉過程中，當∠MPN的一邊恰好經(jīng)過BC邊的中點時，試求線段EF的長．-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】分別判斷各命題的真假，再利用概率公式求解.【詳解】（1）無理數(shù)都是無限小數(shù)，是真命題，（2）因式分解，是真命題，（3）棱長是的正方體的表面展開圖的周長一定是，是真命題，（4）菱形的對角線長為6和8根據(jù)菱形的性質，對角線互相垂直且平分，利用勾股定理可求得菱形的邊長為5，則菱形的周長為，是假命題則隨機抽取一個是真命題的概率是，故選：C．【考點】本題考查了命題的真假，概率，菱形的性質，無理數(shù)，因式分解，正方體展開圖，知識點較多，難度一般，解題的關鍵是運用所學知識判斷各個命題的真假.2、C【解析】【分析】利用表中的數(shù)據(jù)，求得二次函數(shù)的解析式，再配成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質逐一分析即可判斷．【詳解】解：設二次函數(shù)的解析式為，依題意得：，解得：，∴二次函數(shù)的解析式為=，∵，∴這個函數(shù)的圖象開口向上，故A選項不符合題意；∵，∴這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，故B選項不符合題意；∵，∴當時，這個函數(shù)有最小值，故C選項符合題意；∵這個函數(shù)的圖象的頂點坐標為(，)，∴當時，y的值隨x值的增大而增大，故D選項不符合題意；故選：C．【考點】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質，利用二次函數(shù)的性質解答是解題關鍵．3、A【解析】【分析】首先根據(jù)圖像得出拋物線的對稱軸和其中一個交點坐標，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性即可求得另一個交點坐標．【詳解】解：由圖像可得，拋物線的對稱軸為，與x軸的一個交點坐標為（5，0），∵拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為（﹣1，0），故選：A．【考點】此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點，二次函數(shù)的對稱性，解題的關鍵是根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求出與x軸的另一個交點坐標．4、A【解析】【分析】先求出拋物線的解析式，再列出不等式，求出其解集或，從而可得當x=1時，，有成立，最后求出a的取值范圍．【詳解】解：∵拋物線P：，將拋物線P繞原點旋轉180°得到拋物線，∴拋物線P與拋物線關于原點對稱，設點（x，y）在拋物線P’上，則點（-x，-y）一定在拋物線P上，∴∴拋物線的解析式為，∵當時，在拋物線上任取一點M，設點M的縱坐標為t，若，即令，∴，解得：或，設，∵開口向下，且與x軸的兩個交點為（0，0），（4a，0），即當時，要恒成立，此時，∴當x=1時，即可，得：，解得：，又∵∴故選A【考點】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質．5、A【分析】根據(jù)等邊三角形的對稱性判斷即可．【詳解】∵等邊三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，∴B，C，D都不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了等邊三角形的對稱性，熟練掌握等邊三角形的對稱性是解題的關鍵．二、多選題1、ABD【解析】【分析】根據(jù)圓周角定理，等邊對等角，等腰三角形的性質，直徑所對圓周角是直角等知識即可解答【詳解】如圖，連接，,∵是的直徑，∴，又∵中，，∴點D是的中點，即，故選項正確；由選項可知是的平分線，∴，由圓周角定理知，，故選項正確；∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，故選項錯誤；∵，∴，∴，在中，∵，∴，∴，∴，∴劣弧是劣弧的2倍，故選項正確．綜上所述，正確的結論是：．故選：【考點】本題考查了圓周角定理，等邊對等角，等腰直角三角形的判定和性質，直徑所對圓周角是直角等知識，解題關鍵是求出相應角的度數(shù)2、ACDE【解析】【分析】根據(jù)直徑的性質，垂徑定理等知識一一判斷即可；【詳解】∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，故A正確;∵C，D是⊙O上的點，∴與不一定相等，∴∠A與∠CBA不一定相等，∵OB=OC，∴∠C=∠CBA，∴∠A與∠C不一定相等，∵∠AOC=∠C+∠CBA∠AEC=∠A+∠CBA∴∠AOC與∠AEC不一定相等，故B選項錯誤；∵OC∥BD，BD⊥AD，∴OC⊥AD，∴，AF=DF，故D正確∴∠ABC=∠CBD，即CB平分∠ABD，故C正確，∵AF=DF，AO=OB，∴BD=2OF，故E正確，故選：ACDE．【考點】本題考查直徑的性質、垂徑定理、平行線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．3、ABC【解析】【分析】證明△AOE是等邊三角形，EF⊥OA，AD⊥OE，可判斷A；．證明∠AGF=∠AOF=60°，可判斷B；證明FG=2GE，可判斷C；證明EF=AF，可判斷D．【詳解】解：如圖，在正六邊形AEDBCF中，∠AOF=∠AOE=∠EOD=60°，∵OF=OA=OE=OD，∴△AOF，△AOE，△EOD都是等邊三角形，∴AF=AE=OE=OF，OA=AE=ED=OD，∴四邊形AEOF，四邊形AODE都是菱形，∴AD⊥OE，EF⊥OA，∴△AOE的內心與外心都是點G，故A正確，∵∠EAF=120°，∠EAD=30°，∴∠FAD=90°，∵∠AFE=30°，∴∠AGF=∠AOF=60°，故B正確，∵∠GAE=∠GEA=30°，∴GA=GE，∵FG=2AG，∴FG=2GE，∴點G是線段EF的三等分點，故C正確，∵AF=AE，∠FAE=120°，∴EF=AF，故D錯誤，故答案為：ABC．【考點】本題考查作圖-復雜作圖，等邊三角形的判定和性質，菱形的判定和性質，三角形的內心，外心等知識，解題的關鍵是證明四邊形AEOF，四邊形AODE都是菱形．4、BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)與點的關系，一元二次方程根的判別式，不等式的性質，逐一計算判斷即可．【詳解】∵拋物線（是常數(shù)，）經(jīng)過點（-1，-1），，當時，與其對應的函數(shù)值，∴c=1＞0，a-b+c=-1，4a-2b+c＞1，∴a-b=-2，2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，故A錯誤；∵b=a+2，a＞2，c=1，，故B正確；∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，即，故C正確；∵，∴△==＞0，∴有兩個不等的實數(shù)根，故D正確．故選：BCD．【考點】本題考查了二次函數(shù)的性質，一元二次方程根的判別式，不等式的基本性質，熟練掌握二次函數(shù)的性質，靈活使用根的判別式，準確掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．5、C【解析】【分析】由方程有兩個相等的實數(shù)根，根據(jù)根的判別式可得到關于k的方程，則可求得k的值．【詳解】解：∵關于x的一元二次方程(k﹣1)x2+4x+k﹣1＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即42﹣4(k﹣1)2＝0，且k﹣1≠0，解得k＝3或k＝-1．故選C．【考點】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當?>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當?=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當?<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根．三、填空題1、以點為圓心，8厘米長為半徑的圓【分析】由題意直接根據(jù)圓的定義進行分析即可解答．【詳解】到點的距離等于8厘米的點的軌跡是：以點為圓心，2厘米長為半徑的圓．故答案為：以點為圓心，8厘米長為半徑的圓．【點睛】本題主要考查了圓的定義，正確理解定義是關鍵，注意掌握圓的定義是在同一平面內到定點的距離等于定長的點的集合．2、中心投影【分析】根據(jù)平行投影和中心投影的定義解答即可．【詳解】解：“皮影戲”中的皮影是中心投影．故答案是中心投影．【點睛】本題主要考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一點向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光線照射下形成的投影．3、【分析】利用勾股定理求出AC及AB的長，根據(jù)陰影面積等于求出答案．【詳解】解：由旋轉得，，=∠BAC＝30°，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AC=2BC=2，AB=，，∴陰影部分的面積==,故答案為：．．【點睛】此題考查了求不規(guī)則圖形的面積，正確掌握勾股定理、30度角直角三角形的性質、扇形面積計算公式及分析出陰影面積的構成特點是解題的關鍵．4、【分析】如圖，作BH⊥x軸于H．由△ACO≌△BAH（AAS），推出BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，可得B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，推出y＝x﹣4，推出點B在直線y＝x﹣4上運動，設直線y＝x﹣4交x軸于E，交y軸于F，作KM⊥EF于M，根據(jù)垂線段最短可知，當點B與點M重合時，BK的值最小，利用等腰直角三角形的性質可得M的坐標，從而可得答案．【詳解】解：如圖，作BH⊥x軸于H．∵C（0，4），K（2，0），∴OC＝4，OK＝2，∵AC＝AB，∵∠AOC＝∠CAB＝∠AHB＝90°，∴∠CAO+∠OCA＝90°，∠BAH+∠CAO＝90°，∴∠ACO＝∠BAH，∴△ACO≌△BAH（AAS），∴BH＝OA＝m，AH＝OC＝4，∴B（m+4，m），令x＝m+4，y＝m，∴y＝x﹣4，∴點B在直線y＝x﹣4上運動，設直線y＝x﹣4交x軸于E，交y軸于F，則作KM⊥EF于M，過作于則根據(jù)垂線段最短可知，當點B與點M重合時，BK的值最小，此時B（3，﹣1），故答案為：（3，﹣1）【點睛】本題考查坐標與圖形的變化﹣旋轉，全等三角形的判定和性質，一次函數(shù)的應用，垂線段最短等知識，解題的關鍵是正確尋找點B的運動軌跡，學會利用垂線段最短解決最短問題．5、5【分析】先根據(jù)垂徑定理求出AC的長，設⊙O的半徑為r，再連接OA，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值即可．【詳解】解：∵⊙O的弦AB=8，半徑OD⊥AB，∴AC=AB=×8=4，設⊙O的半徑為r，則OC=r-CD=r-2，連接OA，在Rt△OAC中，OA2=OC2+AC2，即r2=（r-2）2+42，解得r=5．故答案為：5【點睛】本題考查的是垂徑定理及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關鍵．四、簡答題1、（1）m＞5；（2）m＝13．【解析】【分析】（1）由反比例函數(shù)圖象位于第一象限得到m﹣5大于0，即可求出m的范圍；（2）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出（m﹣5）＝4，解得即可．【詳解】解：（1）∵這個反比例函數(shù)的圖象分布在第一、第三象限，∴m﹣5＞0，解得m＞5；（2）∵S△OAB＝|k|，△OAB的面積為4，∴（m﹣5）＝4，∴m＝13．【考點】此題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)系數(shù)k的幾何意義得出（m?5）＝4是解題的關鍵．2、(1)(2)|PC?PD|最大時a的值為6(3)存在，點M的坐標為（，）【解析】【分析】（1）先確定出OE=CE=2，即可得出點C坐標，最后用待定系數(shù)法即可得出結論；（2）先求出OC解析式，由平行四邊形的性質可得BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，利用待定系數(shù)法可求AB解析式，求出點D的坐標，再根據(jù)三角形關系可得出當點P，C，D三點共線時，|PC-PD|最大，求出直線CD的解析式，令y=0即可求解；（3）若四邊形CAMN為矩形，則△CAM是直角三角形且AC為一條直角邊，根據(jù)直角頂點需要分兩種情況，畫出圖形分別求解即可．(1)解：如圖1，過點C作CE⊥x軸于E，∴∠CEO=90°，∵tan∠AOC=1，∴∠COA=45°，∴∠OCE=45°，∵OC=2，∴OE=CE=2，∴C（2，2），∵點C在反比例函數(shù)圖象上，∴k=2×2=4，∴反比例函數(shù)解析式為y=；(2)解：∵點C（2，2），點O（0，0），∴OC解析式為：y=x，∵四邊形OABC是平行四邊形，點A坐標為（3，0），∴BC=OA=3，BC∥OA，AB∥OC，∴點B（5，2），∴設AB解析式為：y=x+b，∴2=5+b，∴b=-3，∴AB解析式為：y=x-3，聯(lián)立方程組可得：，∴或（舍去），∴點D（4，1）；在△PCD中，|PC-PD|＜CD，則當點P，C，D三點共線時，|PC-PD|=CD，此時，|PC-PD|取得最大值，由（1）知C（2，2），D（4，1），設直線CD的解析式為：y=mx+n，∴，解得，∴直線CD的解析式為：y=x+3，令y=0，即x+3=0，得x=6，∴|PC-PD|最大時a的值為6；(3)（3）存在，理由如下：若四邊形CAMN為矩形，則△CAM是直角三角形，則①當點A為直角頂點時，如圖2，過點A作AC的垂線與y=交于點M，分別過點C，M作x軸的垂線，垂足分別為點F，G，由“一線三等角”模型可得△AFC∽△MGA，則AF：MG=CF：AG，∵C（2，2），A（3，0），∴OF=CF=2，AF=1，∴1：MG=2：AG，即MG：AG=1：2，設MG=t，則AG=2t，∴M（2t+3，t），∵點M在反比例函數(shù)y=的圖象上，則t（2t+3）=4，解得t=，（負值舍去），∴M（，）；②當點C為直角頂點時，這種情況不成立；綜上，點M的坐標為（，）．【考點】本題考查了反比例函數(shù)綜合問題，涉及矩形的判定與性質，相似三角形的性質與判定．第一問的關鍵是求出點C的坐標，第二問的關鍵是知道當點P，C，D三點共線時，|PC-PD|取得最大值，第三問的關鍵是利用矩形的內角是直角進行分類討論，利用相似三角形的性質建立等式．五、解答題1、（1）；（2）售價60元時，周銷售利潤最大為4800元；（3）【解析】【分析】（1）①依題意設y=kx+b，解方程組即可得到結論；（2）根據(jù)題意得，再由表格數(shù)據(jù)求出，得到，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式，求出最值即可；（3）根據(jù)題意得，由于對稱軸是直線，根據(jù)二次函數(shù)的性質即可得到結論．【詳解】解：（1）設，由題意有，解得，所以y關于x的函數(shù)解析式為；（2）由（1），又由表可得：，，．所以售價時，周銷售利潤W最大，最大利潤為4800；（3）由題意，其對稱軸，時上述函數(shù)單調遞增，所以只有時周銷售利潤最大，．．【考點】本題考查了二次函數(shù)在實際生活中的應用，重點是掌握求最值的問題．注意：數(shù)學應用題來源于實踐，用于實踐，在當今社會市場經(jīng)濟的環(huán)境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數(shù)求最值．2、（1）①BC⊥CF；證明見詳解；②見詳解;（2）2AE2=4AG2+BE2．證明見詳解．【分析】（1）①如圖所示，BC⊥CF．根據(jù)將線段AE逆時針旋轉90°得到線段AF，得出AE=AF，∠EAF=90°，可證△BAE≌△CAF（SAS），得出∠ABE=∠ACF=45°，可得∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°即可；②根據(jù)AD⊥BC，BC⊥CF．可得AD∥CF，可證△BDG∽△BCF，可得，得出即可；（2）2AE2=4AG2+BE2，延長BA交CF延長線于H，根據(jù)等腰三角形性質可得AD平分∠BAC，可得∠BAD=∠CAD=，可證△BAG∽△BHF，得出HF=2AG，再證△AEC≌△AFH（AAS），得出EC=FH=2AG，利用勾股定理得出，即即可．【詳解】解：（1）①如圖所示，BC⊥CF．∵將線段AE逆時針旋轉90°得到線段AF，∴AE=AF，∠EAF=90°，∴∠EAC+∠CAF=90°，∵，，∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠BAE=∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（SAS），∴∠ABE=∠ACF=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，∴BC⊥CF；②∵AD⊥BC，BC⊥CF．∴AD∥CF，∴∠BDG=∠BCF=90°，∠BGD=∠BFC，∴△BDG∽△BCF，∴，∵，AD⊥BC，∴BD=DC=，∴，∴，∴，∴BG=GF;（2）2AE2=4AG2+BE2．延長BA交CF延長線于H，∵AD⊥BC，AB=AC，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=，∵BG=GF，AG∥HF，∴∠BAG=∠H=45°，∠AGB=∠HFB，∴△BAG∽△BHF，∴，∴HF=2AG，∵∠ACE=45°，∴∠ACE=∠H，∵∠EAC+∠CAF=90°，∠CAF+∠FAH=90°，∴∠EAC=∠FAH，在△AEC和△AFH中，，∴△AEC≌△AFH（AAS），∴EC=FH=2AG，在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理，在Rt△ECF中，即．【點睛】本題考查圖形旋轉性質，三角形完全判定與性質，等腰直角三角形性質，三角形相似判定與性質，勾股定理，掌握圖形旋轉性質，三角形完全判定與性質，等腰直角三角形性質，三角形相似判定與性質，勾股定理是解題關鍵．3、（1）（2）炯炯和露露選擇同一個社團的概率為【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有16種等可能的結果，其中炯炯和露露選同一個社團的有4種結果，再由概率公式求解即可．（1）∵共有A．快樂足球，B．數(shù)學歷史，C．文學欣賞，D．棋藝鑒賞四個社團，數(shù)學歷史是其中一個社團，∴炯炯選擇數(shù)學歷史的概率為，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有16種等可能的