八年級數(shù)學(xué)相似三角形練習(xí)題一、引言相似三角形是八年級數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，既是全等三角形的延伸，也是后續(xù)學(xué)習(xí)三角函數(shù)、圓的性質(zhì)、投影與視圖的基礎(chǔ)。其本質(zhì)是“形狀相同、大小不同”的圖形關(guān)系，通過對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的特征，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為簡單圖形的比例問題。本文將通過分類練習(xí)題+詳細(xì)解析+技巧總結(jié)，幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固相似三角形的判定與性質(zhì)，提升解題能力。二、相似三角形基本概念與判定定理回顧在開始練習(xí)前，先回顧核心知識點(diǎn)，確?；A(chǔ)扎實(shí)：1.相似三角形的定義兩個(gè)三角形如果對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，則稱這兩個(gè)三角形相似，記作\(\triangleABC\backsim\triangleDEF\)（注意對應(yīng)頂點(diǎn)的順序）。2.相似三角形的判定定理（關(guān)鍵）AA（角角）判定：兩個(gè)角對應(yīng)相等的三角形相似（最常用，適用于有平行線或公共角的場景）；SAS（邊角邊）判定：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似（注意“夾角”不能替換為任意角）；SSS（邊邊邊）判定：三邊對應(yīng)成比例的三角形相似（適用于已知三邊長度的情況）。3.相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例（相似比\(k\)）；對應(yīng)角相等；周長比等于相似比\(k\)；面積比等于相似比的平方（\(k^2\)，易錯(cuò)題！）。三、分類練習(xí)題與詳細(xì)解析類型一：相似三角形的判定（基礎(chǔ)篇）目標(biāo)：掌握三種判定定理的應(yīng)用，學(xué)會找“對應(yīng)角”“對應(yīng)邊”。題目1（AA判定）如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，求證\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)。解析：\(DE\parallelBC\)（已知），根據(jù)平行線的性質(zhì)，同位角相等：\(\angleADE=\angleB\)，\(\angleAED=\angleC\)；因此\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)（AA判定）。易錯(cuò)點(diǎn)：需明確“對應(yīng)角”——\(\angleA\)是公共角，\(\angleADE\)對應(yīng)\(\angleB\)，\(\angleAED\)對應(yīng)\(\angleC\)，不能混淆順序。題目2（SAS判定）如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=6\)，\(AC=8\)，\(AD=3\)，\(AE=4\)，求證\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)。解析：第一步，計(jì)算兩邊的比例：\(\frac{AD}{AB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{AE}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)；第二步，找夾角：\(\angleA\)是\(\triangleADE\)和\(\triangleABC\)的公共角；因此\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)（SAS判定，兩邊成比例且夾角相等）。易錯(cuò)點(diǎn)：若兩邊成比例但夾角不相等（如用\(AD/AC\)和\(AE/AB\)），則無法判定相似，必須強(qiáng)調(diào)“夾角”。題目3（SSS判定）\(\triangleABC\)和\(\triangleDEF\)中，\(AB=2\)，\(BC=3\)，\(AC=4\)；\(DE=4\)，\(EF=6\)，\(DF=8\)，判斷兩三角形是否相似。解析：計(jì)算三邊的比例：\(\frac{AB}{DE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)，\(\frac{AC}{DF}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)；三邊對應(yīng)成比例，因此\(\triangleABC\backsim\triangleDEF\)（SSS判定）。技巧：將三邊按從小到大排序后再比，避免對應(yīng)邊混亂（如\(ABC\)的邊排序?yàn)?,3,4，\(DEF\)排序?yàn)?,6,8，比例一致）。類型二：相似三角形的性質(zhì)應(yīng)用（邊長、周長、面積）目標(biāo)：掌握相似比與周長、面積的關(guān)系，避免“面積比”的錯(cuò)誤。題目1（基礎(chǔ)性質(zhì)）\(\triangleABC\backsim\triangleDEF\)，相似比為\(2:3\)，已知\(AB=4\)，\(\triangleABC\)的周長為12，面積為8，求：（1）\(DE\)的長度；（2）\(\triangleDEF\)的周長；（3）\(\triangleDEF\)的面積。解析：（1）相似比\(k=\frac{AB}{DE}=\frac{2}{3}\)，因此\(DE=AB\times\frac{3}{2}=4\times\frac{3}{2}=6\)；（2）周長比等于相似比，\(\frac{C_{\triangleABC}}{C_{\triangleDEF}}=\frac{2}{3}\)，因此\(C_{\triangleDEF}=12\times\frac{3}{2}=18\)；（3）面積比等于相似比的平方，\(\frac{S_{\triangleABC}}{S_{\triangleDEF}}=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\)，因此\(S_{\triangleDEF}=8\times\frac{9}{4}=18\)。易錯(cuò)點(diǎn)：面積比是相似比的平方，而非相似比本身，需重點(diǎn)記憶。題目2（面積比與線段比）如圖，\(DE\parallelBC\)，\(AD:DB=1:2\)，\(S_{\triangleADE}=3\)，求\(S_{\triangleABC}\)。解析：第一步，求相似比：\(AD:AB=AD:(AD+DB)=1:(1+2)=1:3\)；第二步，由\(DE\parallelBC\)得\(\triangleADE\backsim\triangleABC\)（AA判定）；第三步，面積比等于相似比的平方：\(\frac{S_{\triangleADE}}{S_{\triangleABC}}=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\)；因此\(S_{\triangleABC}=3\times9=27\)。技巧：若題目給出“線段比”（如\(AD:DB\)），需先轉(zhuǎn)化為“相似比”（如\(AD:AB\)），再計(jì)算面積比。類型三：相似三角形與平行線、中位線綜合目標(biāo)：結(jié)合平行線、中位線的性質(zhì)，提升圖形分析能力。題目1（中位線與相似）如圖，\(E\)、\(F\)分別是\(AB\)、\(AC\)的中點(diǎn)，求證\(\triangleAEF\backsim\triangleABC\)，且相似比為\(1:2\)。解析：第一步，中位線性質(zhì)：\(EF\)是\(\triangleABC\)的中位線，因此\(EF\parallelBC\)且\(EF=\frac{1}{2}BC\)；第二步，判定相似：由\(EF\parallelBC\)得\(\angleAEF=\angleB\)，\(\angleAFE=\angleC\)（AA判定），故\(\triangleAEF\backsim\triangleABC\)；第三步，相似比：\(\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}\)（\(E\)是中點(diǎn)），因此相似比為\(1:2\)。結(jié)論：中位線分割出的小三角形與原三角形相似，相似比為\(1:2\)，面積比為\(1:4\)。題目2（梯形對角線與相似）如圖，梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallelBC\)，對角線\(AC\)、\(BD\)交于點(diǎn)\(O\)，求證\(\triangleAOD\backsim\triangleCOB\)。解析：第一步，平行線性質(zhì)：\(AD\parallelBC\)，因此\(\angleOAD=\angleOCB\)（內(nèi)錯(cuò)角相等），\(\angleODA=\angleOBC\)（內(nèi)錯(cuò)角相等）；第二步，判定相似：\(\triangleAOD\)和\(\triangleCOB\)有兩個(gè)角對應(yīng)相等，故\(\triangleAOD\backsim\triangleCOB\)（AA判定）。技巧：梯形對角線交于點(diǎn)\(O\)，則\(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}\)（相似比等于兩底之比），此結(jié)論可直接用于后續(xù)解題。類型四：動點(diǎn)問題中的相似三角形（難點(diǎn)）目標(biāo)：處理動態(tài)問題，培養(yǎng)“變量意識”與“分類討論”能力。題目1（平行動點(diǎn)與相似）如圖，\(\triangleABC\)中，\(AB=6\)，\(AC=10\)，點(diǎn)\(P\)在\(AB\)上運(yùn)動（\(AP=x\)），點(diǎn)\(Q\)在\(AC\)上運(yùn)動，且\(PQ\parallelBC\)，求\(AQ=y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式。解析：第一步，判定相似：\(PQ\parallelBC\)，故\(\triangleAPQ\backsim\triangleABC\)（AA判定）；第二步，列比例式：相似比為\(\frac{AP}{AB}=\frac{x}{6}\)，因此\(\frac{AQ}{AC}=\frac{x}{6}\)；第三步，求函數(shù)關(guān)系：\(y=AQ=AC\times\frac{x}{6}=10\times\frac{x}{6}=\frac{5}{3}x\)（\(0<x<6\)）。結(jié)論：\(y=\frac{5}{3}x\)（線性函數(shù)，\(x\)的取值范圍需滿足點(diǎn)\(P\)、\(Q\)在邊內(nèi)）。題目2（直角三角形動點(diǎn)與相似）如圖，\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^\circ\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，\(AB=10\)（勾股定理）。點(diǎn)\(P\)從\(A\)出發(fā)沿\(AC\)向\(C\)運(yùn)動（速度1單位/秒），點(diǎn)\(Q\)從\(B\)出發(fā)沿\(BA\)向\(A\)運(yùn)動（速度2單位/秒），當(dāng)\(t\)為何值時(shí)，\(\triangleAPQ\backsim\triangleABC\)？解析：第一步，設(shè)定變量：\(t\)秒后，\(AP=t\)（\(P\)的速度為1），\(BQ=2t\)（\(Q\)的速度為2），因此\(AQ=AB-BQ=10-2t\)；第二步，判定相似：\(\triangleAPQ\backsim\triangleABC\)，且\(\angleA=\angleA\)（公共角），因此對應(yīng)邊成比例：\(\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}\)（\(AP\)對應(yīng)\(AB\)，\(AQ\)對應(yīng)\(AC\)）；第三步，列方程求解：\(\frac{t}{10}=\frac{10-2t}{6}\)；交叉相乘得：\(6t=10(10-2t)\)；展開得：\(6t=100-20t\)；解得：\(t=\frac{100}{26}=\frac{50}{13}\approx3.85\)（秒）。驗(yàn)證取值范圍：\(t>0\)，且\(AQ=10-2t>0\)（\(t<5\)），\(\frac{50}{13}<5\)，符合條件。技巧：動點(diǎn)問題需設(shè)定變量（如時(shí)間\(t\)），表示線段長度，根據(jù)相似條件列比例式，最后驗(yàn)證變量范圍（避免點(diǎn)超出邊的范圍）。四、解題技巧總結(jié)1.判定相似的“捷徑”：若有平行線（如\(DE\parallelBC\)），優(yōu)先用AA判定（找同位角/內(nèi)錯(cuò)角）；若有公共角/對頂角