2.3.2

確定二次函數(shù)

表達式的方法知識點一：用一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c確定二次函數(shù)表達式1.一般式：已知圖象上的任意三點坐標；基本步驟：①設(shè)y＝ax2＋bx＋c；②找(三點)；③列(三元一次方程組)；④解(方程組)；⑤代(回代)；⑥寫(一般形式).2.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(－1，0)，(2，0)和(0，－2)，求這個二次函數(shù)的表達式．解：設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝ax2＋bx＋c，把(－1，0)，(2，0)和(0，－2)分別代入表達式，∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2－x－2知識點二：用頂點式y(tǒng)＝a(x－h(huán))2＋k確定二次函數(shù)表達式3.頂點式：已知圖象的頂點坐標與另一點的坐標；基本步驟：①設(shè)y＝a(x－h(huán))2＋k；②找(一點)；③列(一元一次方程)；④解(方程)；⑤代(回代)；⑥寫(一般形式).4.若二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(2，－1)，且圖象過點(0，3)，求二次函數(shù)的表達式．解：設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a(x－2)2－1，把點(0，3)代入表達式，得a＝1，∴二次函數(shù)的表達式為y＝(x－2)2－1，即y＝x2－4x＋3知識點三：用交點式y(tǒng)＝a(x－x1)(x－x2)確定二次函數(shù)表達式5.交點式：已知圖象與x軸的兩個交點坐標及另一點坐標；基本步驟：①設(shè)y＝a(x－x1)(x－x2)；②找(一點)；③列(一元一次方程)；④解(方程)；⑤代(回代)；⑥寫(一般形式).6.已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的坐標為(－3，0)，(1，0)，且與y軸的交點為(0，－3)，求這個函數(shù)的表達式和頂點坐標．解：設(shè)函數(shù)的表達式為y＝a(x＋3)(x－1)，把(0，－3)代入得a×3×(－1)＝－3，解得a＝1，所以函數(shù)的表達式為y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，而y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，所以頂點坐標為(－1，4)【典例導引】7.【例1】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c過點A(－1，1)，B(4，－6)，C(0，2)，求此拋物線的函數(shù)表達式．解：將A(－1，1)，B(4，－6)，C(0，2)代入y＝ax2＋bx＋c，【變式訓練】8.已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三點，求此拋物線的函數(shù)表達式．解：把A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入y＝ax2＋bx＋c，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝x2－2x－3解：(1)∵圖象經(jīng)過點A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，∴二次函數(shù)的表達式為y＝－x2－2x＋310.(2025·廣州天河區(qū)月考)如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(3，3)，B(4，0)和原點O.(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)點P為直線OA上方二次函數(shù)圖象上的一個動點，過點P作x軸的垂線，垂足為點D，交直線OA于點C，當S△PCO＝S△CDO時，求點P的坐標．解：(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點O，∴設(shè)二次函數(shù)表達式為y＝ax2＋bx，把A(3，3)，B(4，0)代入，∴二次函數(shù)的表達式為y＝－x2＋4x(2)設(shè)直線OA的表達式為y＝kx，把A(3，3)代入，得k＝1，∴直線OA的表達式為y＝x；設(shè)D(m，0)，∴P(m，－m2＋4m)，C(m，m)，∴CD＝OD＝m，PD＝－m2＋4m，∴PC＝PD－CD＝－m2＋4m－m＝－m2＋3m，當S△PCO＝S△CDO時，PC＝CD，此時－m2＋3m＝m，解得m1＝2，m2＝0(舍去)，∴P(2，4)課堂小結(jié)①已知三點坐標②已知頂點坐標或?qū)ΨQ軸或最值③已知拋物線與x軸的兩個交點已知條件所選方法用一般式法：y=ax