清華強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.在數(shù)學(xué)分析中，極限ε-δ定義中，ε表示的是（）。

A.函數(shù)值的范圍

B.自變量變化的范圍

C.點(diǎn)的鄰域半徑

D.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

2.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則根據(jù)Weierstrass極值定理，f(x)在該區(qū)間上（）。

A.必有最大值和最小值

B.必有最大值或最小值

C.可能沒有最大值或最小值

D.必有最大值或最小值，但未必同時(shí)存在

3.極限lim(x→0)(sinx/x)的值是（）。

A.0

B.1

C.∞

D.不存在

4.在多元微積分中，偏導(dǎo)數(shù)Duf(x,y)表示的是（）。

A.函數(shù)在點(diǎn)(x,y)沿u方向的變化率

B.函數(shù)在點(diǎn)(x,y)沿x軸方向的變化率

C.函數(shù)在點(diǎn)(x,y)沿y軸方向的變化率

D.函數(shù)在點(diǎn)(x,y)沿任意方向的變化率

5.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可積，則根據(jù)定積分的定義，∫[a,b]f(x)dx表示的是（）。

A.曲線y=f(x)與x軸圍成的面積

B.曲線y=f(x)與y軸圍成的面積

C.曲線y=f(x)與x軸圍成的體積

D.曲線y=f(x)與y軸圍成的體積

6.在級(jí)數(shù)理論中，級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)(1/n)的發(fā)散性是（）。

A.絕對(duì)收斂

B.條件收斂

C.發(fā)散

D.無法判斷

7.在線性代數(shù)中，矩陣A的秩rank(A)表示的是（）。

A.矩陣A的行數(shù)

B.矩陣A的列數(shù)

C.矩陣A的線性無關(guān)的行數(shù)或列數(shù)

D.矩陣A的線性相關(guān)的行數(shù)或列數(shù)

8.設(shè)向量組{v1,v2,v3}線性無關(guān)，則向量組{v1+v2,v2+v3,v3+v1}的線性相關(guān)性是（）。

A.線性相關(guān)

B.線性無關(guān)

C.無法判斷

D.可能線性相關(guān)，也可能線性無關(guān)

9.在概率論中，事件A的概率P(A)表示的是（）。

A.事件A發(fā)生的次數(shù)

B.事件A發(fā)生的頻率

C.事件A發(fā)生的可能性大小

D.事件A發(fā)生的必然性大小

10.在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，樣本均值X?的無偏估計(jì)表示的是（）。

A.總體均值μ

B.總體方差σ2

C.樣本方差S2

D.樣本標(biāo)準(zhǔn)差S

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)的有（）。

A.f(x)=x2

B.f(x)=1/x

C.f(x)=sinx

D.f(x)=|x|

2.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）。

A.∑(n=1→∞)(1/2^n)

B.∑(n=1→∞)(1/n)

C.∑(n=1→∞)(-1)^n/n

D.∑(n=1→∞)(1/n2)

3.下列向量組中，線性無關(guān)的有（）。

A.{(1,0),(0,1)}

B.{(1,1),(2,2)}

C.{(1,0),(1,1)}

D.{(1,0),(0,0)}

4.下列命題中，正確的有（）。

A.若向量組{v1,v2,v3}線性無關(guān)，則向量組{v1+v2,v2+v3,v3+v1}線性無關(guān)

B.若矩陣A可逆，則矩陣A的秩為n

C.若事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=P(A)+P(B)

D.若總體服從正態(tài)分布，則樣本均值X?一定服從正態(tài)分布

5.下列極限中，存在且不為零的有（）。

A.lim(x→0)(sinx/x)

B.lim(x→0)(cosx-1/x)

C.lim(x→1)((x2-1)/(x-1))

D.lim(x→∞)(1/x)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x+1，則f'(1)=_______。

2.極限lim(x→0)(e^x-1/x)=_______。

3.設(shè)向量v=(1,2,3)，則向量v的模|v|=_______。

4.矩陣A=[[1,2],[3,4]]的行列式det(A)=_______。

5.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，且事件A和事件B互斥，則P(A∪B)=_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.計(jì)算極限lim(x→2)((x2-4)/(x-2))。

2.計(jì)算定積分∫[0,1](x3-2x+1)dx。

3.求解線性方程組：

2x+y-z=1

x-y+2z=-1

-x+2y+z=2

4.計(jì)算矩陣A=[[2,1],[1,3]]的特征值和特征向量。

5.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，求λ的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C

2.A

3.B

4.A

5.A

6.C

7.C

8.B

9.C

10.A

解題過程：

1.極限ε-δ定義中，ε表示的是點(diǎn)的鄰域半徑，故選C。

2.Weierstrass極值定理表明，在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必有最大值和最小值，故選A。

3.利用極限的基本性質(zhì)和sinx/x在x→0時(shí)的極限為1，故選B。

4.偏導(dǎo)數(shù)Duf(x,y)表示的是函數(shù)在點(diǎn)(x,y)沿u方向的變化率，故選A。

5.定積分的定義表示的是曲線y=f(x)與x軸圍成的面積，故選A。

6.級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)(1/n)是調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散，故選C。

7.矩陣A的秩rank(A)表示的是矩陣A的線性無關(guān)的行數(shù)或列數(shù)，故選C。

8.向量組{v1+v2,v2+v3,v3+v1}可以表示為v1,v2,v3的線性組合，由于{v1,v2,v3}線性無關(guān)，經(jīng)過線性變換后仍然線性無關(guān)，故選B。

9.事件A的概率P(A)表示的是事件A發(fā)生的可能性大小，故選C。

10.樣本均值X?是總體均值μ的無偏估計(jì)，故選A。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,C,D

2.A,D

3.A,C

4.B,C

5.A,C

解題過程：

1.函數(shù)f(x)=x2,f(x)=sinx,f(x)=|x|在區(qū)間(-∞,+∞)上連續(xù)，故選A,C,D。

2.級(jí)數(shù)∑(n=1→∞)(1/2^n)是幾何級(jí)數(shù)，收斂；∑(n=1→∞)(1/n2)也是收斂的，故選A,D。

3.向量組{(1,0),(0,1)}和{(1,0),(1,1)}線性無關(guān)，故選A,C。

4.矩陣A可逆時(shí)，其秩為n；事件A和事件B互斥時(shí)，P(A∪B)=P(A)+P(B)，故選B,C。

5.極限lim(x→0)(sinx/x)=1，極限lim(x→1)((x2-1)/(x-1))=2，故選A,C。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.3

2.1

3.√14

4.-2

5.1

解題過程：

1.f'(x)=3x2-3，f'(1)=3(1)2-3=3-3=0，故填3。

2.利用極限的基本性質(zhì)和e^x的泰勒展開，lim(x→0)(e^x-1/x)=1，故填1。

3.向量v的模|v|=√(12+22+32)=√14，故填√14。

4.矩陣A的行列式det(A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2，故填-2。

5.事件A和事件B互斥，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.4=1，故填1。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解：lim(x→2)((x2-4)/(x-2))=lim(x→2)((x-2)(x+2)/(x-2))=lim(x→2)(x+2)=4。

2.解：∫[0,1](x3-2x+1)dx=[(1/4)x?-(1/2)x2+x]_[0,1]=(1/4)-(1/2)+1=3/4。

3.解：通過高斯消元法，得到x=1,y=0,z=-1。

4.解：特征值λ?=2,λ?=3；特征向量分別為(1,1)和(-1,1)。

5.解：由P(X=1)=P(X=2)得λ=2。

知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)：

1.極限與連續(xù)：極限的定義，極限的計(jì)算，函數(shù)的連續(xù)性。

2.一元微積分：導(dǎo)數(shù)與微分，定積分的計(jì)算。

3.線性代數(shù)：向量組的線性相關(guān)性，矩陣的秩，線性方程組的求解，矩陣的特征值與特征向量。

4.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：事件的關(guān)系與運(yùn)算，概率的計(jì)算，隨機(jī)變量的分布，參數(shù)估計(jì)。

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察學(xué)生對(duì)基本概念的掌握