前百

MATLAB始終是國際科學(xué)界應(yīng)用和影響最廣泛的軟件工具，有

著Mathematica和Maple無法比擬的優(yōu)勢和適用面。它不僅僅是

一款數(shù)學(xué)軟件，應(yīng)用于微積分、概率統(tǒng)計、復(fù)變函數(shù)、線性變換、

解方程、最優(yōu)化、插值與數(shù)據(jù)顯示等方面，也應(yīng)用于模糊邏輯、小

波分析、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、模式識別方面求解。另外數(shù)字信息

處理、系統(tǒng)仿真、自動化、工程力學(xué)、信息與系統(tǒng)、模擬電路等方

面都廣泛的應(yīng)用。

運用好的數(shù)據(jù)處理方法和相應(yīng)的軟件工具對試驗數(shù)據(jù)進行處理

是高校理工數(shù)各專業(yè)學(xué)生應(yīng)具備的基本技能，對于相關(guān)課程的學(xué)習(xí)

也特別重要。MATLABT優(yōu)點眾多，本書只是重點探討MATLAB

在數(shù)據(jù)處理方面的應(yīng)用。具體包括以下方面的內(nèi)容：

1.MATLAB安裝與界面運用詳解；

2.數(shù)組與矩陣與其運算；

3.MATLAB常用數(shù)值計算；

4.代數(shù)方程與最優(yōu)化；

5.符號計算；

6.插值與擬合；

7.數(shù)據(jù)與函數(shù)的顯示。

在閱讀過程中，要求上機執(zhí)行書中的相關(guān)程序代碼，嫻熟書的

相關(guān)學(xué)問，要求勤查MATLAB自帶的幫助系統(tǒng)，才能起到很好的

學(xué)習(xí)效果。

弟一早MATLAB的安裝和界面運用

本章具體講解并描述MATLABR2007a的安裝和界面的運

用。

1.1-MATLAB安裝

首先雙"setup.exe”之后，出現(xiàn)如圖1-1的“Welcometothe

MathWorksInstaller”窗口，然后點擊“Next”按鈕。

1-1

進入圖1?2的“LicenseInformation”窗口，在Name框和

Organization輸入

1-2

相應(yīng)名稱(自行命名)。然后安裝書目下的“serial.txt”文件,

將序列號復(fù)制到“PleaseenteryourPersonalLicense

Password(PLP)w框中，然后點擊“Next”按鈕。待少許時間，防

火墻會提示是否允許訪問網(wǎng)絡(luò)的提示框，如瑞星防火墻會出如下圖

1-3的對話框。

應(yīng)用程序網(wǎng)絡(luò)訪問監(jiān)控

未知風(fēng)險程序

檢測到：應(yīng)用程序正在用UDP蝕議發(fā)送數(shù)據(jù)，程序信息與訪問的網(wǎng)絡(luò)

信息如下：

setup（無法驗證的應(yīng)用程序）

程序信息與訪問的網(wǎng)絡(luò)信息

出品公司：TheMathWorks,Inc

程序路徑：j：\常用軟件,軟件開發(fā)\matlab

r2007a\win32\setup.exe

網(wǎng)絡(luò)動作：UDPSend（發(fā)送UDP數(shù)據(jù)）

訪問地址：Local：65191=>211,155.27.38:53［域名解析］

文件屬性模塊列表

選擇處理方式：

◎總是允許允許該程序執(zhí)行，今后不再提示

O總是拒絕阻止該程序執(zhí)行，今后不再提示

O允許此次此次允許該程序執(zhí)行

O拒絕此次此次阻止該程序執(zhí)行

停止I52超時連接將按拒絕訪問處理

___________/確定

1-3

選擇“總是允許。并按“確定”。進入“MathWorksAccount”

對話框如圖1-4。

圖1-4

選擇“InstalltheproductversionsfrommyDVDorlocal

diskonlyw選項按鈕，進入“Licenseagreement”對話框，然后

選擇“Yes”按鈕。

圖1-5

進入“InstallationType"對話框，如圖1-6所示，然后選

擇"Typical”按鈕，點擊“Next”。

圖1-6

然后進入對話框，如圖1-7所示?？梢愿陌惭b書目，也

呆保持默認。假如系統(tǒng)盤的空間不空，則應(yīng)更改安裝書目，以保證

機器的正確運行。

圖1-7

在接下來的步驟中，皆選擇“Next”按鈕，即可。

1.2.MATLAB的啟動與界面詳解

在起先菜單中，選擇:起先'程序\MATLAB\R2007a\matlab

R2007a,如圖1?8所示。

扁程序(E)『的附件卜

■Q卡卡上網(wǎng)安全助手?

收藏夾(與?司瑞星殺毒軟件?

QBMATLABR2007a“}MATLABR2007a

文檔曲

UleadVideoStudio10?

-

B

u設(shè)置⑸廣發(fā)證券

o

s一百度工具欄

a搜索⑥

odoPDF5

快車

幫助和支持(由(FlashGet)3.0

a:MyEdipse7.0

Xd

S運行?...Unlocker

M

0

P注銷Administrator(0...

M.E關(guān)閉計算機(U).，.

d華0$S?我的電腦|bMatlabR2…|約Matlab數(shù)…包|

圖1-8

然后進入MATLAB應(yīng)用程序主界面，如圖1-9所示。最上方

是標題欄，顯示版本信息：MATLAB(R2007a)：

n

MATLAB7.4.0(R2007a)-Lx

再往下的一欄是菜單欄：

FileEditViewGraphicsDebugDesktopWindowHelp

圖1-9

接下來是工具欄：

00?X'包cc0B國tC:\DocumentsandSettings\Administrator\MyDxi1I臼回

其中二:[DocumentsandSettings\Administrator\MyDociv口是指定當前工作

路徑，假如要向某文件夾中讀取或保存相關(guān)內(nèi)容，則通過點擊E,

然后選擇該文件夾作為當前工作路徑。然后點擊左側(cè)的

CurrentDirectory,則會出現(xiàn)CurrentDirectory對話框如圖1-10

所示,用來顯示當前路徑中的文件信息。它和Workspace處于同

一具標簽對話框中。

右側(cè)是CommandWindow窗口，如圖1-11所示，是用來輸

入MATLAB指令的。一打開MATLAB則在CommandWindow

中會出現(xiàn)“>>”，此符號表示MATLAB軟件已打算好了，正在待吩

咐的輸入。如輸入指令：

A=[l23]

然后回車，則出現(xiàn)運算結(jié)果：

A=

123

此指令表示輸入一個一行三列的矩陣（即行向量），并將此

矩陣（向量）保存在變量A中。關(guān)于矩陣與向量向量，在其次章中

具體說明。

CommandWindow…口，x

?Togetstarted,selectMATLABHelporDemo5fromtheHelpmenux

?A=[123]

A二

123

?

圖1-11

指令執(zhí)行完畢之后，會發(fā)覺左下方的CommandHistory窗口

中會多出現(xiàn)一行剛剛輸入的指令。如圖1-12所示，Command

History是用來保存輸入過的吩咐，便利以后查找或再次運用。同

時Workspace標簽屬性頁也會多出一行。如圖1-12所示,Current

Directory是用來顯示可用的各種變量的。圖中說是說明白剛才得

到的變量A,它的值、最小、最大元素與類型等信息。

CommandHistory*口？?x

B%—09-6-24上午7:。9—%

---A=[123]

圖1-12

圖1-13

在也已一處_____啊一包上任一處右擊，然后在彈出菜

單上選擇須要查看的相關(guān)信息。如圖1-14所示。

假如須要用到以前的吩咐，可以在CommandHistory窗口中

查到，可按日期查找，可以選擇單條歷史吩咐，也可以同時選擇多

條歷史記錄。然后右選擇復(fù)制，將其粘貼到CommandWindow

窗口中執(zhí)行。也可將其作為文本復(fù)制到Word文檔或txt文檔中。

假如雙擊歷史記錄中的吩咐，則系統(tǒng)會馬上執(zhí)行被雙擊的吩咐一次。

假如CommandHistory窗口中一些吩咐不須要，可以一條或

多條記錄，然后按“Delete”鍵，將之刪除。

圖1-14圖1-15

1.3.MATLAB的幫助詳解

點擊主菜單中的HeUp\MATLABHelp或干脆按F1,進入

MATLAB自帶的幫助界面，如圖1-16所示。點擊各個節(jié)點可以查

看相關(guān)幫助信息。幫助文件里有具體的說明和豐富的實例。

KHelp-口X

fleEditViewGoFavoritesDesktopWndowHelp

HelpNavigatorx?，。④M

Searchfor:rpvvI[GO]Ttte:MATLAB

Exam—le:Hottools“ORplot*tools

\--------kMl

ContentsindexSearchResutsDemosMATLAB”

MATLAB

由◎EmbeddedMATLAB

?多ExcelLinkFunctions:HandleGraphics:

由

0MATLABBuilderfurNET■BvCateaory■ObjectProperties

±*MATLABBuilderforExcel■AlphabeticalList

+§MATLABBuilderforJava

w多MATLABCompiler

+0MATLABDistributedComputingEDocumentationSet

上多MATLABReportGenerator

+0SimBiology■GettingStarted

?◎SystemTestIntroducesMATLABandgetsyoustartedusingit

±^AerospaceToolbox

*?BioinformaticsToolbox?Use」Guides

4CommunicationsToolbox

+◎ControlSystemToolbox■ProaramminqTips

*E》CurveFrttinaToolboxProvideshelpfultechniquesandshortcutsfor

<1一.Il>..........................................|

圖1-16

由幫助界面，可以看以MATLAB的強大功能，它可以與主流

的軟件開發(fā)工具進行混合編程開發(fā)。與Java和.Net無縫對接。只

有勤查幫助或網(wǎng)上查找資料才能起到事半功倍的學(xué)習(xí)效果。

第二章數(shù)組與矩陣的概念與其運算

在MATLAB中預(yù)定了一些符號，用于特定的含義，以下是一

些預(yù)定義的符號：

表2-1

符號意義符號意義

ans默認變量名pi圓周率

eps機器可識別的最小flops浮點運算之數(shù)

的數(shù)

inf無窮大NaN非數(shù)

i或j虛數(shù)單位realmax最大的實數(shù)

realmin最小的實數(shù)intmax最大的整數(shù)

其余的請參看聯(lián)機幫助系統(tǒng)。

2.1.數(shù)組與矩陣的概念

MATLAB中，數(shù)組和矩陣本身是沒有區(qū)分的，在內(nèi)存中是一樣

的。只是針對不同的運算方式，將其為數(shù)組運算或矩陣運算。假如

運算是按元素對應(yīng)進行的，則稱為數(shù)組運算。假如按線性代數(shù)學(xué)中

的方式運算，則稱為矩陣運算，如例2-1

例2-1數(shù)組與矩陣的區(qū)分演示。設(shè)有矩陣A和B如下：

(\—11

A=,B=

134J10

以數(shù)組方式運算方式：

ABS/A/B[inf2,其中表示無窮

大（非數(shù)）

MATLAB指令：

A=[-l1;02]%輸入的矩陣保存在變量A中

A=

-11

02

B=[-l1;02]%輸入的矩陣保存在變量B中

B=

-11

02

A.*B%以數(shù)組方式相乘,

ans=

-12

08

A./B%以數(shù)組方式相除

ans=

-12

Inf2

幾點說明：

1、MATLAB中，矩陣（數(shù)組）按元素逐個輸入的方法，就是

將全部元素放在一對方括號內(nèi)，行與行之間以分號“廣隔開，每一

行中各元素之間以空格或逗號隔開。具體說明參看2.2節(jié)內(nèi)容；

2、MATLAB指令輸入時，必需在英文狀態(tài)下輸入，否則會出

錯；

3、假如一條指令以分號作為結(jié)束符，則運算結(jié)果并不顯

示在CommandWindow窗口中，但保存在Workspace中。假

如沒有分號，則將結(jié)果顯示在CommandWindow中；

4、百分號“%”表示注釋，從％起先到行未為便利人閱讀所加

的注釋，不是指令中的一部分；

5、留意數(shù)組方式運算有一個小黑點V;

6、本書中凡MATLAB指令都用加粗字體；

7、MATLAB中變量無須要聲明就可干脆運用，依據(jù)賦值符號

“=”右則表達式的類型來自動確定左側(cè)的類型。如A=[-ll;02],

A表示一個2階矩陣。

以矩陣方式運算（即按線性代數(shù)中的矩陣運算）:

fl2Y-111Jlx(T)+2xOlxl+2x2、-15

AB二

132廠13x(—l)+4x0

4人03xl+4x2;上311;

(\2V-11Y1<12V-10.5、_'-11.5、

A/B=

134八04八00.5,、—33.5,

當然，矩陣的加法和減法兩種方式都是一樣的,

MATLAB指令：

A*B%矩陣方式相乘

ans=

-15

-311

A/B%矩陣方式相除

ans=

-1.00001.5000

-3.00003.5000

留意：如本書中后面內(nèi)容只提與矩陣，只有當涉與到數(shù)組方式

的運算時才將矩陣稱為數(shù)組。

2.2.矩陣的創(chuàng)建和操作

在MATLAB中，有兩種創(chuàng)建矩陣的方法。一是干脆按元素逐

個輸入的方法，如例2-1所示；另一種就是運用MATLAB相關(guān)的

指令來創(chuàng)建。

一、干脆輸入元素創(chuàng)建

干脆按元素逐個輸入來創(chuàng)建矩陣，就是將全部元素放在一對方

括號內(nèi)，行與行之間以分號“廣隔開，每一行中各元素之間以空格

或逗號隔開。只有一行的矩陣稱為行向量（也稱為一維數(shù)組），只有

列的矩陣稱為列向量。此方法可創(chuàng)建向量和矩陣。

例2-2干脆輸入創(chuàng)建向量和矩陣演示。

vr=[1234]%創(chuàng)建行向量，元素之間以空格隔開

vr=

1234

vc=[1；2;3]%創(chuàng)建列向量，行之間以分號隔開

VC=

1

2

3

m23=[l23;456]%創(chuàng)建一個2X3行的矩陣

m23=

123

456

二、MATLAB指令創(chuàng)建

在MATLAB中指令，更多時候也稱為函數(shù)?？梢赃\用MATLAB

內(nèi)置的函數(shù)來創(chuàng)建矩陣（數(shù)組）。以下以舉例的方式說明。

例2-3通過MATLAB指令創(chuàng)建向量和矩陣演示：

1、指定起點：步長：終點。假如不指定步長，則將步長默認

為1,最終一個元素不肯定是終點，這取決于區(qū)間長度是否為步長

的整數(shù)倍。該方法用于創(chuàng)建向量。

v=0:0.2:1%以。為起點、1為終點、步長為0.2創(chuàng)建一

個數(shù)組（行向量）

00.20000.40000.60000.8000

1.0000

v=0:pi%起點0、終點pi、默認步長1。最終一個元素不

是終點。

V=

0123

2、Knspace(起點，終點，元素個數(shù))，等分間隔。該方法用

于創(chuàng)建向量。

v=linspace(0,pi,3)

v=

01.57083.1416

v=linspace(0,3,5)

v=

00.75001.50002.25003.0000

3.特別矩陣的創(chuàng)建。創(chuàng)建特別矩陣的常用函數(shù)：rand、magic,

zeros、ones和eye等，須要深化探討請參看聯(lián)機幫助。

rand(fstatef,O)%把勻稱分布偽隨機發(fā)生器置為0狀態(tài)

v=rand(2,3)%產(chǎn)生一個2X3的隨機矩陣

0.95010.60680.8913

0.23110.48600.7621

m=magic⑶%產(chǎn)生一個3階魔方矩陣

m=

816

357

492

zeros(3)%產(chǎn)生一個3階零矩陣

ans=

000

000

000

zeros(2,3)%產(chǎn)生一個2x3的零矩陣

ans=

000

000

eye(2,3)%產(chǎn)生一個2X3的矩陣，左邊2X2是一個單位

矩陣

ans=

100

010

eye(3)%產(chǎn)生一個3階單位矩陣

ans=

100

010

001

ones(2,3)%產(chǎn)生一個元素全為1的2X3階矩陣

111

111

另外還有其它特別的矩陣創(chuàng)建函數(shù)，如有須要請參看幫助。

2.3-矩陣的訪問操作

以下以舉例的方式說明矩陣的訪問操作如下：

例2-4矩陣訪問舉例演示：

v=[1234567];%生成一個行向量

v(3)%查詢第三個元素的值

ans=

3

v(3)=23%將第三個元素的值設(shè)為23

12234567

v([l26])=[111216]%將下標為1、2、6的三元素的值設(shè)

為11、12、16

11122345167

v(4:end)%查詢第4至最終元素之間的全部元素

ans=

45167

v(l：5)%查詢第1至5個元素

ans=

11122345

m=[l23;456]%產(chǎn)生一個新矩陣m

m=

123

456

m(2,3)%查詢第2行第3列位置上的元素

ans=

6

m(:,2)%查詢第2列元素上全部行的元素

ans=

2

5

m(2,:)%查詢第2行上全部列的元素

ans=

456

m⑵[12])%查詢第2行上的第1、2列位置上的元素

ans=

45

m(l,[23])=[8899]%將第1行上的第2、3列上的元素分

別設(shè)為88和99

m=

18899

456

m(2,2)=518%將第2行2列位置上的元素設(shè)為518

m=

18899

45186

2-4.矩陣的基本運算操作

矩陣的常用基本運算有加、減、乘、除、求逆等。數(shù)組方式和

矩陣方式的運算符只差了一個小圓點，留意視察實例代碼。

1、加法和減法

數(shù)組方式和矩陣方式都是一樣的，就是干脆將對應(yīng)位置上的元

素相加。假如是一個數(shù)和矩陣相加，則矩陣的每一個元素都加上這

個數(shù)。

例2-4矩陣加法操作演示：

A=magic(3)%產(chǎn)生一個魔方矩陣

A=

816

357

4.92

B=ones(3)%產(chǎn)生一個元素全為1的矩陣

B=

111

111

111

A+B%矩陣的加法

ans=

927

468

5103

2+A%數(shù)與矩陣的加法

ans=

1038

579

6114

2、乘法、除法與逆運算

數(shù)組方式的乘法和除法是依元素對應(yīng)相乘；矩陣方式的乘法則

是按線性代數(shù)中的方法進行，矩陣的除是按線性代數(shù)中的取逆進行。

左除：A/B,相當于A*B",右除：A\B,相當于A1*B。逆運算按

線性代數(shù)中的方法進行。

例2-5矩陣乘、除操作演示

A=magic(3);

B=ones⑶；

A.*B%數(shù)組方式的乘法

ans=

816

357

492

A*B%矩陣方式的乘法

ans=

151515

151515

151515

M=[l,2;21]

M=

12

21

B=[l-1;10]

B=

1-1

10

A./B%維數(shù)不匹配，將會出錯

???Errorusing==>rdivide

Matrixdimensionsmustagree.

M./B%數(shù)組方式的除法

ans=

1-2

2Inf

B./M%數(shù)據(jù)方式的除法

ans=

1.0000-0.5000

0.50000

M/B%矩陣方式的除法

ans=

-23

-13

M*inv(B)%以矩陣方式運算，M乘以B的逆矩陣

ans=

-23

-13

inv(B)%計算B的逆

ans=

01

-11

3、矩陣作為函數(shù)參數(shù)

假如矩陣(數(shù)組)作為標準數(shù)學(xué)函數(shù)的參數(shù)，則對每一個元素

都作同一函數(shù)計算。如V是一個行向量，R=sin(V)的運算結(jié)果R

也是一個行向量,且R是的每一個元素都是由V中對應(yīng)元素值求正

弦值得到。

例2-6矩陣作為函數(shù)參數(shù)演示

v=[0pi/2pi3*pi/22*pi]%產(chǎn)生一個有4個元素的行向

01.57083.14164.71246.2832

r=sin(v)%計算結(jié)果也是一個向量，和v的元素個相同

r=

01.00000.0000-1.0000-0.0000

4、常用的矩陣操作函數(shù)

常用的矩陣操作函數(shù)如左右置換、上下置換、旋轉(zhuǎn)，以下舉例

說明。

例2-7矩陣常用操作演示

A=magic⑶

A=

816

357

492

flipud(A)%矩陣上下翻轉(zhuǎn)

ans=

492

357

816

fliplr(A)%矩陣左右翻轉(zhuǎn)

ans=

618

753

294

rot90(A)%矩陣旋轉(zhuǎn)90度

ans=

672

159

834

2.5.非數(shù)、關(guān)系運算與邏輯操作

1、非數(shù)NaN

當表達式中假如分母出現(xiàn)零，或類似于/130),0><8的表達式

運算時都會產(chǎn)生非數(shù)NaN,即Notanumber。NaN具有如下性

質(zhì)：

?NaN參加的運算結(jié)果也是NaN;

?非數(shù)沒有大小的概念，因此不能將兩非數(shù)去比較大小。

非數(shù)真實的記錄了運算結(jié)果，即數(shù)學(xué)中的無限變換趨，以下舉

例說明。

例2-8非數(shù)運用演示

log(O)%即相當于自變量趨向0時的極限為負無窮大

ans=

-Inf

t=1/0%相當于分母從右側(cè)趨向趨向0時的極限為無窮大

t=

Inf

cos(t)%對非數(shù)計算余弦結(jié)果為非數(shù)

ans=

NaN

非數(shù)要用于數(shù)據(jù)可視化中，如將圖中某一指定部分鏤空，將用

到非數(shù)，詳見第七章。

2、關(guān)系運算與邏輯運算

關(guān)系操作符有:==或四(人月),~=或ne,<或It,>或gt,<=或le,>=

或ge,以與&或and、|或or和~或nor等具體函數(shù)要求自行查閱

幫助系統(tǒng)。

另外有關(guān)函數(shù)如下：all,any,isqual,iempty,isfinite,isinf,

isnan,isnumeric,isreal,isprime,isspace,isstr,ischar,

運student,運unix,isvms,find,列表如下，詳情請參看聯(lián)機幫助。

關(guān)系運算符如下表2-2

關(guān)系運算功能關(guān)系運算功能

符符

<小于>=大于或等

于

<=小于或等==等于

于

>大于?二不等于

例2-9關(guān)系運算與邏輯矩陣運用演示

A=[l59;347;268]

A=

159

347

268

B=magic(3)

B=

816

357

492

C=gt(A,B)%比較大小Greaterthan

C=

011

000

001

WhosC%查看C的具體信息

NameSizeBytesClass

Attributes

C3x39logical

D=and(A,B)%求和運算

D=

111

111

111

B>3%B中元素值大于1的位置對應(yīng)1否則對應(yīng)0,結(jié)果是

一個邏輯矩陣

ans=

101

011

110

B(find(B>3))%將B中元素值大于3的元素列出來

ans=

8

4

5

9

6

7

[r,c]=find(B>3)%元素值大于3的行號組成的數(shù)組r,列號

組成數(shù)組c

r=

1

3

2

3

1

2

c=

1

1

2

2

3

3

B.*(B>3)%B中不大于3位置上的元素設(shè)為零

ans=

806

057

490

例2-10繪制[0,3pi]之間的曲線，并截去pi至2pi之間的曲

線。

x=linspace(0,3*pi);%自變量數(shù)組

y=sin(x);%函數(shù)數(shù)組

xl=(x<pi)|(x>2*pi);%邏輯數(shù)組

yl=xl.*y;%截斷數(shù)組

plot(x,yl);%繪圖

2.6-小結(jié)、綜合舉例與練習(xí)

例2-11綜合舉例，利用關(guān)系運算求近似極限，修補圖形缺口。

t=-2*pi:pi/10:2*pi;%自變量數(shù)組

y=sin(t)./t;%函數(shù)值數(shù)組

tt=t+(t==0)*eps;%修正后的自變量數(shù)組，元素值為零時，

以最小機器數(shù)代替

yy=sin(tt)./tt;%修正后的函數(shù)值數(shù)組

subplot(l,2,l),plot(t,y),axis([-7,7,-0.5,1.2]),%繪制沒有修

正的圖形

subplot(122),plot(tt,yy),axis([-7,7,-0.5,L2])%繪制修正后

的圖形

圖2-1

第三章矩陣的基本特征參數(shù)

本章簡要說明反映矩陣特征參數(shù)的一些量，如行列式、秩、條

件數(shù)、范數(shù)、特征值與特征向量等問題。

3.1.矩陣的基本參數(shù)

以一下說明有矩陣信息的基本參數(shù)

1、元素個數(shù)、行列數(shù)與其最大者、元素最大最小元素

例3-1矩陣基本信息查詢演示

M=magic⑶

M=

816

357

492

numel(A)%統(tǒng)計矩陣的元素個數(shù)

ans=

9

size(M)%計算矩陣的行列數(shù)

ans=

33

length(A)%計算行數(shù)與列數(shù)中的最大者

ans=

3

max(M(:))%求出矩陣中全部元素中的最大者

ans=

9

min(M(:))%求出矩陣中全部元素中的最小者

ans=

1

3.2.矩陣的行列式、秩與范數(shù)

計算行列式、秩與范數(shù)的指令分別是det、rank和norm

例3-2矩陣行列式、秩與范數(shù)運用演示

A=magic(3);

det(A)%求A的行列式

ans=

-360

rank(A)%計算矩陣的秩

ans=

3

A=[569;351;861]

A=

569

351

861

binf=norm(A「inf)%計算無窮范數(shù)

binf=

20

b2=norm(A,2)%計算2范數(shù)

b2=

15.4215

3.3.條件數(shù)、矩陣的穩(wěn)定性

條件數(shù)是反映AX=b中，假如A或b發(fā)生微小改變，解改變

的猛烈程度。假如條件數(shù)很大說明是病態(tài)方程方程，不穩(wěn)定方程。

例3-3矩陣條件數(shù)與穩(wěn)定性演示

A=[234;119;12-6]

A=

234

119

12-6

con2=cond囚％計算2-范式條件數(shù)

con2=

575.8240

coni=condest(A)%計算1-范式條件數(shù)

coni=

817

例3-4求解線性方程組:

2/+34+44T(2334丫71、

</+工2+9工3=-7=>119x2119

x.+2x,-6x,=9112-6

I~?z\/

A=[234;l19;12-6]%系數(shù)矩陣

A=

234

119

12-6

b=[1；-7;9]%常數(shù)列

b=

1

-7

9

x=inv(A)*b%逆矩陣的方法求解

1

1

-1

A\b%左除方法求解

ans=

1

1

-1

A=A+0.001%系數(shù)矩陣加上擾動

A=

2.00103.00104.0010

1.00101.00109.0010

1.00102.0010-5.9990

b=b-0.001%常數(shù)列加上擾動

b=

0.9990

-7.0010

8.9990

x2=inv(A)*b%以逆矩陣的方法求解

x2=

0.9504

1.0297

-0.9980

3.4.特征值、特征向量與對角化

與數(shù)學(xué)學(xué)問相關(guān)的概念請參考相關(guān)數(shù)學(xué)書籍

例3-5特征值與特征向量演示：

A=

816

357

492

E=eig(A)%計算特征值

E=

15.0000

4.8990

-4.8990

[V,D]=eig(A)%計算特征值組成的對角矩陣D和特征向

量組成的矩陣V

V=

-0.5774-0.8131-0.3416

-0.57740.4714-0.4714

-0.57740.34160.8131

D=

15.000000

04.89900

00-4.8990

注：有關(guān)正交化運算（orth函數(shù)）、三角分解（hi）、正交分解

（qr）、特征值分解（eig）、奇異值分解（svd）的內(nèi)容，請參看

Matlab自還的幫助系統(tǒng)和相關(guān)數(shù)學(xué)書籍

3.5.小結(jié)、綜合舉例與練習(xí)

利用Matlab求解下列線性方程組：

2xt+3X2+7X3=1

<%+9工2=-7

3x]+x2+2x3=9

要求先分別列出系數(shù)矩陣和常數(shù)列向量，求出其行列式、秩、

特征值與特征向量矩陣、2種條件數(shù)，系數(shù)矩陣的逆矩陣，然后求

出其解，將系數(shù)矩陣再乘以解向量，看是否和常數(shù)向量相等。最終

將系數(shù)矩陣加個0.0002的擾動，看其解是多少？

第四章微積分學(xué)中的基本求解問題

4.1.符號運算簡介

符號運算以推理解析的方式進行，因此沒有誤差問題的困擾，

能給出完全正確的解析解，如解析解不存在，則給按隨意指定的精

度給出數(shù)值解。符號運算運用起來特別簡潔，與高校數(shù)學(xué)中的書寫

類似。

符號函數(shù)的定義運用指令sym與syms,以下代碼段舉例說明

其應(yīng)用。

例4-1sym與syms的運用

y=sym(,2*sin(x)*cos(x),)%通過字符串來創(chuàng)建符號對

象，自變量為x

y=

2*sin(x)*cos(x)

y=simple(y)%將符號函數(shù)對像化簡

y=

sin(2*x)

symsab;%聲明符號變量a,b

y=sin(a)*cos(b)-cos(a)*sin(b);%符號對象y

y=simple(y)%將符號對象y化簡

y=

sin(a-b)

A=symC[l2;32f)%通過字符串創(chuàng)建矩陣符號對象A

A=

[1,2]

[3,2]

da=det(A)%計算A的行列式

da=

-4

ia=inv(A)%計算A的逆矩陣，留意結(jié)果含有分數(shù)

ia=

[-1/2,1/2]

[3/4,-1/4]

ea=eig(A)%計算A的特征值

ea=

4

-1

[ev,ea]=eig(A)%計算特征值和特征向量。

ev=

[-1,1]

[1,3/2]

ea=

[-1,0]

[0,4]

留意：運用符號運算就像平常數(shù)學(xué)運算一樣便利。另外

MATLAB中還有針對多項式操作的一系列函數(shù)：

coUlect:同塞次的項系數(shù)進行合并；

expand：按多項式、三角函數(shù)或指數(shù)對數(shù)函數(shù)等綻開；

factor：因式分解；

homer：將多項式分解成嵌套形式；

simple：將表達式化簡。

如須要時可查看幫助，此不再具體綻開。

4.2.符號對象的精度限制

在符號計算中,當符號常數(shù)或符號結(jié)果須要以數(shù)值形式給出時,

可以敏捷地按指定精度輸出數(shù)值。與精度有關(guān)的三個函數(shù)指令：

double,digits,vpa

digits：顯示當前采納的數(shù)值計算精度；

digits(n):設(shè)置今后數(shù)值計算以n位相對精度進行；

xs=vpa(x):在digits指定精度下，給出x的數(shù)值型結(jié)果;

xs=vpa(x,n):在n位相對精度下，給出x的數(shù)值型結(jié)果。

以下舉例說明。

例4-2精度限制演示。

vpa(pi)%依當前精度輸出

ans=

3.1415927

eval('pf)%依默認精度輸出

ans=

3.1416

vpafpi/lOO1)%依指定精度輸出

ans=

a=symCl/31)%創(chuàng)建符號對象

a=

1/3

digits(2);%設(shè)置當前精度為2

vpa(a)%以當前精度輸出

ans=

.33

digits。9);%設(shè)置當前精度為19

vpa(a)%以當前精度輸出

ans=

.3333333333333333333

43極限求解

MATLAB中計算極限的函數(shù)是limit,其語法如下:

limit(F,x,a):計算limF(x)

xTa

limit(F,x,a,'right'):limF(x)

Xf4+

limit(F,x,a,left'):limF(x)

x->a-

例4-3求符號極限演示：

symsxath%說明字符變量

nmit(sin(x)/x)%計算極限，默認求右趨于零的極限

ans=

1

Kmit(l/x,x,O；right')%對x求右趨于零的極限

ans=

Inf

limit(l/x,x,O；leff)%對x求左趨于零的極限

ans=

-Inf

Hmit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,O)%對h求趨于零的極限

ans=

cos(x)

v-[(l+a/x)Ax,exp(-x)]%

v=

[(l+a/x)Ax,exp(-x)]

Hmit(v,x,inf,left')%對x求左趨于正無窮大的極限

ans=

[exp(a),0]

4.4.導(dǎo)數(shù)與其幾何應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)問題分兩類，一類是已知函數(shù)解析式，然后計算其導(dǎo)數(shù)解

析式或計算某點的導(dǎo)數(shù)值，此類問題很好處理。另一類問題是只有

試驗得到的離散數(shù)據(jù)，要得到各階導(dǎo)數(shù)值，該類問題比較麻煩，常

用的方法是中心差分法。幾何上介紹點積、叉積、混合積，切平面

和法線、梯度場，流線場。

一、解析法求導(dǎo)數(shù)問題

解析法求導(dǎo)運用符號運算，求導(dǎo)函數(shù)為diff,語法如下：

diff(S);%對S求導(dǎo)，依26字母中最接近x的字母為自變

量

diff(S,V)；%以v為自變量，對S求導(dǎo)

diff(S,V,n);%以v為自變量，對S求n階導(dǎo)數(shù)

例4-3求符號極限演示：

da=diff(,xA5+3*x+5,)%求導(dǎo)數(shù)

da=

5*xA4+3

f=sym(log(x)/exp(x八2)1)%定義符號函數(shù)

f=

log(x)/exp(xA2)

simplify(diff(f))%對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)后再化簡

ans=

-exp(-xA2)*(-l+2*log(x)*xA2)/x

simplify(diff(f,2))%對函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)后化簡

ans=

exp(-xA2)*(-l-4*xA2+4*log(x)*xA4-2*log(x)*xA2)/xA2

二、向量的點積、叉積和混合積

點積、叉積與混合積的相關(guān)概念，請參見數(shù)據(jù)書籍。

例4-4點積、叉積與混合演示：

xl=[1980]

xl=

1980

x2=[2697]

x2=

2697

y=dot(x1,x2)%點積運算

y=

128

yl=cross(xl,x2)%維數(shù)是3才能進行叉積運算

???Errorusing==>crossat37

AandBmusthaveatleastonedimensionoflength3.

xl=[952]

xl=

952

x2=[327]

x2=

327

xd=dot(xl,x2)%計算點積

xd=

51

xcr=cross(xl,x2)%計算叉積

xcr=

31-573

xcr2=cross(x2,xl)%計算叉積

xcr2=

-3157-3

x3=[247]

x3=

247

ydc=dot(x3,cross(xl,x2))%混合積運算，用于計算平行

六面體的體積

ydc=

-145

4.5.各種積分問題

積分有符號方法和數(shù)值方法，以下分別說明。符號積分的函數(shù)

是in3它的語法是：

int(S);%計算S的一個原函數(shù)。

int(S,v);%以丫為積分變量計算S的一個原函數(shù)

int(S,a,b);%計算符號積分，a與b是下限和上限，S是被

積函數(shù)

int(S,v,a,b);%計算符號積分，a與b是下、上限，S是被積

函數(shù)，v是積分變量

例4-5符號積分演示：

f=symCsin(s+2*x)')%定義符號函數(shù)

f=

sin(s+2*x)

int(f)%求原函數(shù)

ans=

-l/2*cos(s+2*x)

int(f；sJ)%以s為積分變量求原函數(shù)

ans=

-cos(s+2*x)

int(f,pi/2,pi)%計算指定區(qū)間的定積分

ans=

-cos(s)

int(f；s\pi/2,pi)%指定積分變量，指定區(qū)間求定積分

ans=

-sin(2*x)+cos(2*x)

宣,b)%指定區(qū)間上求定積分

ans=

1/2*cos(s+2*a)-1/2*cos(s+2*b)

例4-6求f—^—dt與f-^—dto

J。In，J。In，

Fl=intCl/log(t)7t,0；x,)%計算符號積分，無初等解析式。

Warning:Explicitintegralcouldnotbefound.

>Inat58

Inat9

Fl=

int(l/log(t),t=0..x)

Fl=intCl/log(t)7f,0；l/2l)%計算積分，無初等解析式。

Fl=

-Ei(l,log(2))

vpa(F1)%以指定精度得到數(shù)值解。

ans=

例4-7求積分[工+y2+z2)dzd)心。留意：內(nèi)積分上

下限都是函數(shù)。

symsxyz

F2=int(int(int(xA2+yA2+zA2,z,sqrt(x*y),xA2*y),y,sqrt(x),x

A2),X,1,2)

VF2=vpa(F2)

F2=

1610027357/656/348075*2人(1/2)+14912/4641*2

八(1/4)+64/225*2八(3/4)

VF2=

224.9232805

以下實例是數(shù)值計算方法計算積分。

例2-8繪制下列空間曲線的圖形并計算長度，參數(shù)方程：

x(r)=sin(2z)

<y(r)=cos(r),tefO,3^],長度：

len=￡^/4cos2(2r)+sin2(r)+ldt