★數(shù)學(xué)文化——數(shù)列背景問題2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn),以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義,以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出數(shù)學(xué)文化應(yīng)融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動.在教學(xué)活動中,教師應(yīng)有意識地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容,將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中,引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程,認(rèn)識數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的作用,感悟數(shù)學(xué)的價值,提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識和人文素養(yǎng),將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣,有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué),有利于開闊學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).我國古代數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)“經(jīng)世濟(jì)用”,注重算理算法,其中很多有關(guān)科技、人文等實(shí)際問題可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列問題.內(nèi)容索引一二三數(shù)學(xué)文化中的等差數(shù)列數(shù)學(xué)文化中的等比數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題與數(shù)學(xué)文化四數(shù)列求和中的數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化中的等差數(shù)列一、數(shù)學(xué)文化中的等差數(shù)列1.(多選)我國天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載:一年有二十四個節(jié)氣,每個節(jié)氣的晷長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器,晷長即為所測量影子的長度).二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示,相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同,周而復(fù)始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸,夏至的晷長為一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),則下列說法正確的是(

)(注:“丈、尺、寸”為非國際通用單位)A.相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為一尺B.春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C.立冬的晷長為一丈五寸D.立春的晷長比立秋的晷長短ABC由題意可知夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列{an},其中a1=15寸,a13=135寸,設(shè)公差為d寸,則135=15+12d,解得d=10,同理可知由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列{bn},首項(xiàng)b1=135,末項(xiàng)b13=15,公差d1=-10,故選項(xiàng)A正確;由于春分的晷長為b7,即b7=b1+6d1=135-60=75.而秋分的晷長為a7,則a7=a1+6d=15+60=75,即a7=b7,故選項(xiàng)B正確;因?yàn)榱⒍年虚L為a10,所以a10=a1+9d=15+90=105,即立冬的晷長為一丈五寸,故選項(xiàng)C正確;立春的晷長和立秋的晷長分別為b4,a4,即a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d1=135-30=105,則b4>a4,故選項(xiàng)D錯誤.2.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述:今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊,齊去長安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里,日增十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里.良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,二馬相逢.問相逢時良馬比駑馬多行(

)里.(注:“里”為非國際通用單位,1里=500米)A.540 B.426

C.963

D.114A3.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中《均輸章》有如下問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,文各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).在這個問題中,甲所得為

.

設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,根據(jù)題意,可知等差數(shù)列{an}前五項(xiàng)的和為5,前兩項(xiàng)和與后三項(xiàng)和相等,數(shù)學(xué)文化中的等比數(shù)列4.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的底層共有燈(

)A.64盞 B.128盞C.192盞 D.256盞C設(shè)塔的頂層共有a1盞燈,第n層的燈有an盞,則數(shù)列{an}是公比為2的等比數(shù)列,即an=a1·2n-1.由題意可知,一座7層塔所掛的燈的盞數(shù)為解得a1=3.故塔的底層的燈的盞數(shù)為a7=3×26=192.二、數(shù)學(xué)文化中的等比數(shù)列5.(多選)在《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事:三百七十八里關(guān),初行健步不為難;次日腳痛減一半,如此六日過其關(guān).則下列說法正確的是(

)A.此人第三天走了二十四里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第二天走的路程占全程的D.此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍BD等差數(shù)列、等比數(shù)列綜合問題與數(shù)學(xué)文化6.《九章算術(shù)》中有如下問題:今有蒲生一日,長3尺,莞生一日,長1尺.蒲生日自半,莞生日自倍.問幾何日而長等?意思是:今有蒲第一天長高3尺,莞第一天長高1尺,以后蒲每天長高前一天的一半,莞每天長高前一天的2倍.若蒲、莞長度相等,則所需時間為(

)(注:“丈、尺”為非國際通用單位,1米=3尺)(結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)A.2.6天 B.2.2天C.2.4天 D.2.8天A

BD數(shù)列求和中的數(shù)學(xué)文化8.(多選)大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和,是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則下列說法正確的是(

)A.此數(shù)列的第20項(xiàng)是200

B.此數(shù)列的第19項(xiàng)是182C.此數(shù)列偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為a2n=2n2

D.此數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn=n(n-1)AC觀察此數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為a2n=2n2,奇數(shù)項(xiàng)是后一項(xiàng)減去后一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù),即為a2n-1=a2n-2n,由此可得a20=2×102=200,A正確,C正確;a19=a20-20=180,B錯誤;Sn=n·(n-1)=n2-n是一個等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,而題中數(shù)列不是等差數(shù)列,故該數(shù)列的前n項(xiàng)和不可能為Sn=n(n-1),D錯誤.9.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項(xiàng)之差并不相等,但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列,對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項(xiàng)分別為1,4,8,14,23,36,54,則該數(shù)列的第19項(xiàng)為(

)A.1624 B.1198C.1024 D.1560C10.我國的《洛書》中記載著世界上最古老的幻方:將1,2,…,9填入方格內(nèi)使三行、三列、兩條對角線的三個數(shù)之