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指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第二章2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

3.分數(shù)指數(shù)冪的意義

4.有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).5.指數(shù)函數(shù)(1)定義:一般地,函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)問題思考冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)有何區(qū)別?冪函數(shù)形式為y=xα(α∈R),其自變量x處于底數(shù)位置,常數(shù)α處于指數(shù)位置;而指數(shù)函數(shù)形式為y=ax(a>0,且a≠1),其自變量x處于指數(shù)位置,常數(shù)a處于底數(shù)位置,且a須滿足大于0且不等于1.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較:指數(shù)函數(shù)(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的圖象如圖所示,底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>1>a>b.規(guī)律:在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低),其底數(shù)越大.【知識鞏固】

×××√×2.若當(dāng)x<0時,函數(shù)f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B.(1,2)C.(1,+∞) D.(-∞,1)A3.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=2x與

的圖象之間的關(guān)系是(

)A.關(guān)于y軸對稱

B.關(guān)于x軸對稱C.關(guān)于原點對稱

D.關(guān)于直線y=x對稱A4.若指數(shù)函數(shù)f(x)=(a-2)x為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為

.

(2,3)∵f(x)=(a-2)x為減函數(shù),∴0<a-2<1,即2<a<3.16第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點1指數(shù)冪的化簡與求值D解題心得指數(shù)冪的運算

對點訓(xùn)練1化簡與求值:能力形成點2指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用B(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b的取值范圍是

.[-1,1]曲線|y|=2x+1與直線y=b的大致圖象如圖所示.由圖可知,若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b應(yīng)滿足的條件是b∈[-1,1].(3)若關(guān)于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有兩個不相等的實數(shù)根,則a的取值范圍是

.

方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有兩個不相等的實數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|ax-1|的圖象與直線y=2a有兩個不同的交點.當(dāng)0<a<1時,如圖①,所以0<2a<1,即當(dāng)a>1時,如圖②,而y=2a>1不符合要求.圖①

圖②拓展延伸將例2(2)改為:若函數(shù)y=|2x-1|的圖象與直線y=b有兩個公共點,則b的取值范圍為

.

(0,1)作出曲線y=|2x-1|與直線y=b如圖所示.

由圖象可得b的取值范圍是(0,1).解題心得1.作指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象,應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點:(1,a),(0,1),2.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象的研究,往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象,通過平移、對稱變換得到其圖象.3.求解一些與指數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題,往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解.對點訓(xùn)練2(1)函數(shù)y=ax-a-1(a>0,且a≠1)的圖象可能是(

)D(2)已知函數(shù)f(x)=4+ax-1的圖象恒過定點P,則點P的坐標(biāo)是(

)A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)A指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象恒過點(0,1),要得到函數(shù)y=4+ax-1(a>0,a≠1)的圖象,可將指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的圖象向右平移1個單位長度,再向上平移4個單位長度.則點(0,1)平移后得到點(1,5).故點P的坐標(biāo)為(1,5).(3)若方程|3x-1|=k有一解,則實數(shù)k的取值范圍為

.{0}∪[1,+∞)函數(shù)y=|3x-1|的圖象是由函數(shù)y=3x的圖象向下平移一個單位長度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的,函數(shù)圖象如圖所示.當(dāng)k=0或k≥1時,直線y=k與函數(shù)y=|3x-1|的圖象有唯一的交點,所以方程有一解.能力形成點3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用命題角度1比較指數(shù)式的大小例3

設(shè)y1=40.9,y2=80.48,

,則(

)A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2D因為1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上單調(diào)遞增,所以y1>y3>y2.命題角度2解簡單的指數(shù)方程或指數(shù)不等式命題角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用例5

已知函數(shù)

(a>0,且a≠1).(1)判斷f(x)的奇偶性;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)當(dāng)x∈[-1,1]時,f(x)≥b恒成立,求b的取值范圍.解

(1)函數(shù)定義域為R,關(guān)于原點對稱.(2)當(dāng)a>1時,a2-1>0,y=ax在R上為增函數(shù),y=a-x在R上為減函數(shù),從而y=ax-a-x在R上為增函數(shù),故f(x)在R上為增函數(shù).當(dāng)0<a<1時,a2-1<0,y=ax在R上為減函數(shù),y=a-x在R上為增函數(shù),從而y=ax-a-x在R上為減函數(shù),故f(x)在R上為增函數(shù).故當(dāng)a>0,且a≠1時,f(x)在R上為增函數(shù).(3)由(2)知,f(x)在R上為增函數(shù),所以f(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞增.故要使f(x)≥b在區(qū)間[-1,1]上恒成立,則只需b≤-1,故b的取值范圍是(-∞,-1].解題心得1.比較兩個指數(shù)冪的大小時,盡量化為同底數(shù)或同指數(shù),當(dāng)?shù)讛?shù)相同,指數(shù)不同時,先構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù),再比較大小;當(dāng)指數(shù)相同,底數(shù)不同時,先構(gòu)造同一冪函數(shù),再比較大小;當(dāng)?shù)讛?shù)、指數(shù)均不同時,可以利用中間值比較.2.解決簡單的指數(shù)方程或不等式的問題主要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,要特別注意底數(shù)a的取值范圍,并在必要時進行分類討論.3.求解指數(shù)型函數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的綜合問題,要明確指數(shù)型函數(shù)的構(gòu)成,涉及值域、奇偶性、單調(diào)性、最值等問題時,都要借助相關(guān)性質(zhì)的知識分析判斷.DC對點訓(xùn)練4(1)若a=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)有最大值3,求實數(shù)a的值;