考點規(guī)范練21三角恒等變換1.已知θ∈π4,3π4,sinπ4+θ=A.17 B.-17 C.7 D.答案:D解析:因為θ∈π4,3π4,所以π4+θ∈π2,π,又因為所以tanθ=tanπ4+θ2.2sin47°-3sin17A.-3 B.-1 C.3 D.1答案:D解析:原式=2×sin47°-sin17°cos30°cos17°=2×sin(17°3.已知cosα-π6+sinα=435,則sin(α+7A.12 B.32 C.-45 D答案:C解析:∵cosα-π6+sinα=32cosα+32sinα=435,∴12cosα∴sinα+7π6=-sinα+π6=-(32sinα+4.(2023新高考Ⅰ,8)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,則cos(2α+2β)=(A.79 BC.-19 D.-答案:B解析:∵sin(α-β)=13,cosαsinβ=1∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=sinαcosβ-16解得sinαcosβ=12.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=12∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.5.(2024新高考Ⅰ,4)已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2,則cos(α-β)=()A.-3m B.-mC.m3 D.答案A解析∵tanαtanβ=2,∴sinαsinβ=2cosαcosβ.∵cos(α+β)=m,即cosαcosβ-sinαsinβ=cosαcosβ-2cosαcosβ=m,∴cosαcosβ=-m,sinαsinβ=-2m.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-m-2m=-3m.6.現(xiàn)有如下信息:①黃金分割比(簡稱:黃金比)是指把一條線段分割為兩部分,較短部分與較長部分的長度之比等于較長部分與整體長度之比,其比值為5-②黃金三角形被譽為最美三角形,是較短邊與較長邊之比為黃金比的等腰三角形;③有一個內(nèi)角為36°的等腰三角形為黃金三角形.由上述信息可求得sin126°=()A.5-12 BC.5-14答案:D解析:由題意設△ABC為∠A=36°的黃金三角形,AB=BC=a,AC=b,則ab如圖,過點B作BD⊥AC,垂足為D,則AD=b2在Rt△ABD中,cosA=b2a=15-1=5所以sin126°=cos36°=5+17.設a=cos50°cos127°+cos40°cos37°,b=22(sin56°-cos56°),c=1-tan239°1+tan239A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.a>c>b答案:D解析:a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,b=22(sin56°-cos56°)=22sin56°-22cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,c=1-tan239°1+tan239°=cos239°-∵sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故選D.8.(多選)化簡下列各式,與tanα相等的是()A.1B.1+cos(π+2α)2C.1D.sin2答案:BC解析:對于A,1-cos2α1+cos2α=1-(1-2sin2α)1+2cos2α-1=sin2αcos2α=tan2α=|tanα|,由1-cos2α1+cos2α≥對于B,因為α∈(0,π),所以1+cos(π+2α)2·1cos對于C,1-cos2αsin2α=2sin2對于D,sin2α1-cos2α=2sinαcos9.若sin2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2A.7π4 B.C.5π4或答案:A解析:∵α∈π4,π,∴2α∵sin2α=55,∴2α∈π∴α∈π4,π2,cos2∵β∈π,3π2,∴β-∴cos(β-α)=-310∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-2又α+β∈5π4,2π,∴α10.已知函數(shù)f(x)=2sinx+5π24cos(x+5π24)-2cos2(x+5π24)+1,則f(x)的最小正周期為;函數(shù)答案:πkπ-π3,解析:∵f(x)=2sin(x+5π24)·cos(x+5π24)-2cos2x+5π24+1=sin=2sin2x+5∴f(x)的最小正周