考點規(guī)范練23解三角形1.已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a=3,b=2,A=60°,則c等于()A.12 B.1 C.3 D.答案:B解析:由已知及余弦定理,得3=4+c2-2×2×c×12,整理,得c2-2c+1=0,解得c=1.故選B2.已知在△ABC中,a,b,c分別為內角A,B,C的對邊,a=1,ccosA+acosC=2bcosB,△ABC的面積S=3,則b等于()A.13 B.4 C.3 D.15答案:A解析:由題意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,∵sinB≠0,∴cosB=12.∵B∈(0,π),∴B=π又S=12acsinB=12×1×c×∴c=4.∵b2=a2+c2-2accosB=1+16-2×1×4×12=∴b=13.3.在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,則tanB等于(A.5 B.25C.45 D.85答案:C解析:由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC=16+9-2×4×3×23=9,即AB=3由余弦定理的推論知cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=9+9-162×3×3=19,又cos2B+sin24.(多選)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=23,c=3,A+3C=π,則下列結論正確的是()A.cosC=33 B.sinB=C.a=3 D.S△ABC=2答案:AD解析:由A+3C=π,得B=2C.根據(jù)正弦定理bsinB=csinC,得23sinC=3×2sin又sinC≠0,故cosC=33因為C∈(0,π),所以sinC=63sinB=sin2C=2sinCcosC=22由c2=a2+b2-2abcosC,化簡得到a2-4a+3=0,解得a=3或a=1.若a=3,則A=C=π4,B=π2,不滿足題意,故a=S△ABC=12absinC=12×1×25.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=90°,∠ABC的平分線交AC于點D.若a+4c的最小值為9,則BD=.

答案:2解析:如圖,∠ABC的平分線交AC于點D,所以∠ABD=∠CBD=45°,所以SΔABC=12acsin90°=12c·BD·sin45°+12a·BD·sin可得2ac=2c·BD+2a·BD,可得2·BD所以a+4c=(a+4c所以a+4c=22·BD·ac+5+4ca≥當且僅當a=2c時取等號,所以BD=2.6.某學校高一同學參加社會實踐活動,應用所學知識測量一個四邊形公園的面積,如圖所示,測得公園的四邊邊長分別為AB=1km,BC=3km,CD=AD=2km,∠A=120°,則公園的面積為km2.當?shù)卣?guī)劃建一條圓形的公路,使得整個公園都在圓形公路的里面,則這條公路的總長度的最小值為km.(備注:把公路看成一條曲線,公路寬度不計)

答案:23解析:連接BD(圖略),由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA=1+4-2×1×2×cos120°=7,所以cosC=CD2+CB2-BD22CD·CB=4+9-72×2×3=12,則C=60°,則四邊形ABCD的面積等于S△ABD+S△BDC=12AB·ADsinA+12CD·CB由∠A+∠C=180°,得四邊形ABCD存在外接圓,即為△ABD的外接圓.設外接圓半徑為R,則由正弦定理可知BDsinA=7sin120°=2R,則R=213,所以當公路恰為四邊形的外接圓時其長度最小,7.(2024新高考Ⅰ,15)記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinC=2cosB,a2+b2-c2=2ab.(1)求角B;(2)若△ABC的面積為3+3,求c.解:(1)∵a2+b2-c2=2ab,∴cosC=a又C∈(0,π),∴C=π∵sinC=2cosB,即sinπ4=2cos即22=2cos解得cosB=1又B∈(0,π),∴B=π(2)由(1)知B=π3,C=π∴b即bsin∴b=62c又sinA=sin(π-B-C)=sin(π-π3-π4)=sin(π3+π4)=sinπ△ABC的面積為3+3,∴12bcsinA=12·62c2∴c2=8,∴c=228.已知在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,sinA(1)若△ABC還同時滿足下列四個條件中的三個:①a=7,②b=10,③c=8,④△ABC的面積S=103,請指出這三個條件,并說明理由;(2)若a=3,求△ABC周長L的取值范圍.解:因為sinA所以sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC,sinAcosB-cosAsinB=cosAsinC-sinAcosC,所以sin(A-B)=sin(C-A),因為A,B,C∈(0,π),所以A-B=C-A,即2A=B+C,所以A=π3(1)△ABC還同時滿足條件①③④,理由如下:若△ABC同時滿足條件①②,則由正弦定理,得sinB=bsinAa=537>1,這不可能,所以△ABC不能同時滿足條件①②,因為△ABC的面積S=12bcsinA=12×b×8×32=所以b=5,與②矛盾,所以△ABC同時滿足條件①③④.(2)在△ABC中,由正弦定理,得bsinB=c