數(shù)學(xué)專升本考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\ln(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)2.極限\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.不存在D.\(\infty\)3.函數(shù)\(y=x^3\)的導(dǎo)數(shù)\(y^\prime\)是（）A.\(3x^2\)B.\(x^2\)C.\(3x\)D.\(x\)4.若\(f^\prime(x_0)=2\)，則\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)等于（）A.1B.2C.0D.45.曲線\(y=x^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程是（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=x+1\)C.\(y=3x-2\)D.\(y=2x+1\)6.\(\intx^2dx\)等于（）A.\(\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(x^3+C\)C.\(\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(2x+C\)7.下列級(jí)數(shù)中，收斂的是（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}1\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)8.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為（）A.-2B.2C.10D.-109.向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(3,4)\)，則\(\vec{a}\cdot\vec\)等于（）A.11B.10C.14D.1310.直線\(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}\)的方向向量為（）A.\((2,3,4)\)B.\((1,-1,2)\)C.\((-2,-3,-4)\)D.\((1,1,1)\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=e^x\)D.\(y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}e^x\)C.\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處可導(dǎo)的充分條件有（）A.在點(diǎn)\(x_0\)處連續(xù)B.左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等C.極限\(\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在D.在點(diǎn)\(x_0\)處有定義4.下列積分計(jì)算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.下列級(jí)數(shù)中，絕對(duì)收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)6.關(guān)于矩陣的運(yùn)算，正確的有（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)（\(A\)、\(B\)為同階方陣）B.\((AB)^T=B^TA^T\)C.\(k(AB)=(kA)B=A(kB)\)（\(k\)為常數(shù)）D.\(A(B+C)=AB+AC\)7.向量\(\vec{a}=(1,-1,2)\)，\(\vec=(2,1,-1)\)，則下列正確的有（）A.\(\vec{a}\cdot\vec=-1\)B.\(\vec{a}\times\vec=(-1,5,3)\)C.\(|\vec{a}|=\sqrt{6}\)D.\(|\vec|=\sqrt{6}\)8.平面方程\(2x-y+3z-6=0\)的特征有（）A.法向量為\((2,-1,3)\)B.在\(x\)軸上的截距為3C.在\(y\)軸上的截距為-6D.在\(z\)軸上的截距為29.下列曲線中，是二次曲線的有（）A.\(x^2+y^2=1\)B.\(y=x^2\)C.\(x^2-y^2=1\)D.\(y=\sinx\)10.下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的說(shuō)法正確的有（）A.函數(shù)的駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B.函數(shù)在某點(diǎn)取得極值，該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可能不存在C.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是駐點(diǎn)D.函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號(hào)不變?nèi)?、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}\)在\(x=1\)處連續(xù)。（）2.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)，且\(f^\prime(x)>0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）3.函數(shù)\(y=x^4\)的一個(gè)原函數(shù)是\(\frac{1}{5}x^5\)。（）4.級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\)收斂。（）5.若矩陣\(A\)可逆，則\(A\)的行列式\(|A|\neq0\)。（）6.向量\(\vec{a}=(1,0)\)與\(\vec=(0,1)\)垂直。（）7.直線\(x=1+t\)，\(y=2-t\)，\(z=3t\)與平面\(x+y+z=1\)平行。（）8.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。（）9.二元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((0,0)\)處取得極小值。（）10.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上可積，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定連續(xù)。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間和極值。答案：\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)，\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)或\(x>2\)時(shí)，\(y^\prime>0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0<x<2\)時(shí)，\(y^\prime<0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值\(y(0)=5\)，極小值\(y(2)=1\)。2.計(jì)算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)。答案：\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}×1^3+1)-(\frac{1}{3}×0^3+0)=\frac{4}{3}\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。答案：\(|A|=1×4-2×3=-2\)，\(A\)的伴隨矩陣\(adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。4.求過(guò)點(diǎn)\((1,2,3)\)且與平面\(2x-3y+z=5\)平行的平面方程。答案：已知平面法向量\(\vec{n}=(2,-3,1)\)，所求平面與已知平面平行，法向量相同。則平面方程為\(2(x-1)-3(y-2)+(z-3)=0\)，即\(2x-3y+z+1=0\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性與凹凸性。答案：定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。\(y^\prime=-\frac{1}{x^2}<0\)，在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。\(y^{\prime\prime}=\frac{2}{x^3}\)，當(dāng)\(x>0\)，\(y^{\prime\prime}>0\)，為凹函數(shù)；當(dāng)\(x<0\)，\(y^{\prime\prime}<0\)，為凸函數(shù)。2.討論級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)的斂散性，\(p\)為實(shí)數(shù)。答案：當(dāng)\(p>1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)\(0<p\leq1\)時(shí)，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散，但原級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨定理，條件收斂；當(dāng)\(p\leq0\)時(shí)，\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\neq0\)，級(jí)