第三章恒定電流的電場(chǎng)和磁場(chǎng)3.1恒定電流的電場(chǎng)3.2磁感應(yīng)強(qiáng)度3.3恒定磁場(chǎng)的基本方程3.4矢量磁位3.5磁偶極子3.6磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程3.7恒定磁場(chǎng)的邊界條件3.8標(biāo)量磁位3.9互感和自感3.10磁場(chǎng)能量3.11磁場(chǎng)力小結(jié)

3.1恒定電流的電場(chǎng)

電流強(qiáng)度只能描述一根導(dǎo)線上總電流的強(qiáng)弱。為了描述電荷在空間的流動(dòng)情況(即考慮導(dǎo)體截面的大小),要引入電流密度的概念。電流密度是一個(gè)矢量,它的方向與導(dǎo)體中某點(diǎn)的正電荷運(yùn)動(dòng)方向相同(實(shí)際上是自由電子移動(dòng)方向的反方向),大小等于與正電荷運(yùn)動(dòng)方向垂直的單位面積上的電流強(qiáng)度。若用n

表示某點(diǎn)處的正電荷運(yùn)動(dòng)方向,取與n相互垂直的面積元ΔS,如圖3-1所示。

設(shè)通過(guò)ΔS

的電流為ΔI,則該點(diǎn)處的電流密度J為

電流密度的單位是安培/米2(A/m2)。導(dǎo)體內(nèi)每一點(diǎn)都有一個(gè)電流密度,因而構(gòu)成一個(gè)矢量場(chǎng)。我們稱這一矢量場(chǎng)為電流場(chǎng)。電流場(chǎng)的矢量線叫作電流線。

圖3-1電流密度

可以從電流密度J

求出流過(guò)任意面積S的電流強(qiáng)度。一般情況下,電流密度J和面積元dS

的方向并不相同。此時(shí),通過(guò)面積S的電流就等于電流密度J

在S上的通量,即

有時(shí)電流僅僅分布在導(dǎo)體表面的一個(gè)薄層內(nèi),為此,需要引入面電流密度的概念?？臻g任一點(diǎn)面電流密度的方向是該點(diǎn)正電荷運(yùn)動(dòng)的方向,大小等于通過(guò)垂直于電流方向的單位長(zhǎng)度上的電流。若用n

表示某點(diǎn)處的正電荷運(yùn)動(dòng)方向,取與n相互垂直的線元Δl,如圖3-2所示。設(shè)通過(guò)Δl

的電流為ΔI,則該點(diǎn)處的面電流密度JS

為

圖3-2面電流密度

電流可以分為傳導(dǎo)電流和運(yùn)流電流。傳導(dǎo)電流是指導(dǎo)體中的自由電子或半導(dǎo)體中的自由電荷在電場(chǎng)作用下作定向運(yùn)動(dòng)所形成的電流,如金屬中的電流、電解液中的電流均是傳導(dǎo)電流。電荷在真空中或者氣體中,由于電場(chǎng)的作用而產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)時(shí),形成的電流稱為運(yùn)流電流。如電真空管中的電流是運(yùn)流電流。運(yùn)流電流和傳導(dǎo)電流的顯著不同在于,運(yùn)流電流不服從我們后面將要介紹的歐姆定律。就是說(shuō),運(yùn)流電流的電流密度不與電場(chǎng)強(qiáng)度成正比,有時(shí)候,二者的方向可能不一致。同樣,運(yùn)流電流也不服從焦耳定律。電場(chǎng)對(duì)運(yùn)流電流所做的功,不會(huì)變化為熱量,而是使得電荷加速。

當(dāng)體密度為ρ的帶電粒子以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí),運(yùn)流電流密度為

3.1.2電荷守恒定律

電荷守恒定律表明,任一封閉系統(tǒng)的電荷總量不變。也就是說(shuō),任意一個(gè)體積V

內(nèi)的電荷增量必定等于流入這個(gè)體積的電荷量。因而,在體電流密度為J的空間內(nèi),任取一個(gè)封閉的曲面S,通過(guò)S

面流出的電流應(yīng)該等于以S

為邊界的體積V

內(nèi)單位時(shí)間內(nèi)電荷減少的量,即

式中V

是邊界S

所限定的體積。因積分是在固定體積內(nèi)進(jìn)行的,即積分限與時(shí)間無(wú)關(guān),所以上式微分可以移到積分內(nèi)。一般情況下J

是空間點(diǎn)r

和時(shí)間t的函數(shù),故而要寫(xiě)成求偏導(dǎo)的形式,從而有

上式是電荷守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式,亦稱為電流連續(xù)性方程的積分形式。對(duì)其應(yīng)用散度定理,則有

要使這個(gè)積分對(duì)任意的體積V

均成立,必須使被積函數(shù)為零,即

此式是電流連續(xù)性方程的微分形式。

在恒定電流的情況下,雖然帶電粒子不斷地運(yùn)動(dòng),但是從宏觀上看,可認(rèn)為某點(diǎn)的帶電粒子離開(kāi)以后,立即由相鄰的帶電粒子來(lái)補(bǔ)償,以便保證電流的恒定。也就是說(shuō),導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi),任意點(diǎn)的電荷分布不隨時(shí)間變化,即

因此,恒定電流場(chǎng)的電流連續(xù)性方程變?yōu)?/p>

上式是保證恒定電流場(chǎng)的條件,也叫作恒定電流場(chǎng)的方程。其積分形式是

上述方程表明,恒定電流J

的矢量線總是無(wú)起始點(diǎn)、無(wú)終點(diǎn)的閉合曲線。

3.1.3歐姆定律的微分形式

導(dǎo)體中由于存在自由電子,在電場(chǎng)的作用下,這些自由電子作定向運(yùn)動(dòng),就形成了電流。實(shí)驗(yàn)表明,對(duì)于線性各向同性的導(dǎo)體,任意一點(diǎn)的電流密度與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度成正比,即

上式叫作歐姆定律的微分形式。σ是電導(dǎo)率,其單位是西門子/米(S/m)。表31列出了幾種材料在常溫(20℃)下的電導(dǎo)率。

以上的歐姆定律是電源外部的情形?，F(xiàn)在討論電源內(nèi)部的情況。在電源內(nèi)部,一定有非靜電力存在。這個(gè)非靜電力使正電荷從電源負(fù)極向正極運(yùn)動(dòng),不斷補(bǔ)充極板上的電荷,從而使得電荷分布保持不變,這樣便可以維持恒定電流。所以說(shuō),非靜電力是維持導(dǎo)體內(nèi)電流恒定流動(dòng)的必要條件。所謂非靜電力,是指不是由靜止電荷產(chǎn)生的力。例如,在電池內(nèi),非靜電力指的是由化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的使正、負(fù)電荷分離的化學(xué)力;在發(fā)電機(jī)內(nèi),非靜電力是指電磁感應(yīng)產(chǎn)生的作用于電荷上的洛侖茲力

我們將非靜電力對(duì)電荷的影響等效為一個(gè)非保守電場(chǎng)(也叫非庫(kù)侖場(chǎng)),其電場(chǎng)強(qiáng)度E'只存在于電源內(nèi)部。在電源外部只存在由恒定分布的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng),稱為庫(kù)侖場(chǎng),以E

表示。在電源內(nèi)部既有庫(kù)侖場(chǎng)E,也有非保守電場(chǎng)E',二者方向相反。為了定量描述電源的特性,引入電動(dòng)勢(shì)這個(gè)物理量。其定義是:在電源內(nèi)部搬運(yùn)單位正電荷從負(fù)極到正極時(shí)非靜電力所做的功,用E表示(見(jiàn)圖3-3),其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖3-3電動(dòng)勢(shì)

對(duì)于恒定電流而言,與之相應(yīng)的庫(kù)侖電場(chǎng)E

是不隨時(shí)間變化的恒定電場(chǎng),它是由不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的,因而,其性質(zhì)與由靜止電荷產(chǎn)生的靜電場(chǎng)相同,即

式中積分路徑l是電源之內(nèi)或之外的導(dǎo)體中的任意閉合回路,式中的電場(chǎng)表示由庫(kù)侖場(chǎng)和非保守場(chǎng)疊加而成的總電場(chǎng)。

我們可以將電動(dòng)勢(shì)用總電場(chǎng)(庫(kù)侖場(chǎng)與非庫(kù)侖場(chǎng)之和)的回路積分表示:

式中的積分是沿整個(gè)電流回路進(jìn)行的。

3.1.4焦耳定律

金屬導(dǎo)體內(nèi)部的電流是由自由電子在電場(chǎng)力的作用下定向運(yùn)動(dòng)而形成的。自由電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不斷與金屬晶格點(diǎn)陣上的質(zhì)子碰撞,由于質(zhì)子的質(zhì)量大約是自由電子的1837倍,因而在碰撞過(guò)程中近似地認(rèn)為質(zhì)子的位置不發(fā)生移動(dòng)。這樣整個(gè)碰撞過(guò)程是一個(gè)非彈性碰撞,就是說(shuō)碰撞前后的機(jī)械能不守恒。電子碰撞中,把自身的能量傳遞給質(zhì)子,使晶格點(diǎn)陣的熱運(yùn)動(dòng)加劇,導(dǎo)體溫度上升。這就是電流的熱效應(yīng),這種由電能轉(zhuǎn)換來(lái)的熱能稱為焦耳熱。

當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為U,流過(guò)的電流為I

時(shí),則在單位時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力對(duì)電荷所做的功,即功率是

在導(dǎo)體中,沿電流線方向取一長(zhǎng)度為Δl、截面為ΔS

的體積元,該體積元內(nèi)消耗的功率為

當(dāng)ΔV→0時(shí),取ΔP/ΔV

的極限,就得出導(dǎo)體內(nèi)任一點(diǎn)的熱功率密度,表示為

或

此式就是焦耳定律的微分形式。

應(yīng)該指出,焦耳定律不適合于運(yùn)流電流。因?yàn)閷?duì)于運(yùn)流電流而言,電場(chǎng)力對(duì)電荷所做的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭?dòng)能,而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。

3.1.5恒定電流場(chǎng)的基本方程

我們將電源外部導(dǎo)體中恒定電場(chǎng)的基本方程歸納如下:

與其相應(yīng)的積分形式為

電流密度J與電場(chǎng)強(qiáng)度E

之間滿足歐姆定律J=σE。

以上的電場(chǎng)是指庫(kù)侖場(chǎng),因?yàn)樵陔娫赐獾膶?dǎo)體中,非庫(kù)侖場(chǎng)為零。

由于恒定電場(chǎng)的旋度為零,因而可以引入電位φ,E=-?φ。在均勻?qū)w內(nèi)部(電導(dǎo)率σ為常數(shù)),有

3.1.6恒定電流場(chǎng)的邊界條件

將恒定電流場(chǎng)基本方程的積分形式應(yīng)用到兩種不同導(dǎo)體的界面上(如圖3-4所示)可得出恒定電流場(chǎng)的邊界條件為

或

這表明,電流密度J在通過(guò)界面時(shí)其法向分量連續(xù),電場(chǎng)強(qiáng)度E

的切向分量連續(xù)。

圖3-4邊界條件

在恒定電場(chǎng)中,用電位φ表示的邊界條件為

如前所述,在導(dǎo)體的電導(dǎo)率為常數(shù)時(shí),在恒定電流情形下,導(dǎo)體內(nèi)體電荷密度為零。對(duì)于分區(qū)均勻的導(dǎo)體,電荷只能分布在分界面上,其面密度為

應(yīng)用邊界條件,可得

可以看出,當(dāng)σ1?σ2,即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體,第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時(shí),只要θ1≠π/2,θ2≈0,即在不良導(dǎo)體中,電力線近似地與界面垂直。這樣,可以將良導(dǎo)體的表面看作等位面。

例3-1

設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b,內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì),如圖3-5所示,求同軸線單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)。圖3-5同軸線橫截面

解:漏電電流的方向是沿半徑方向從內(nèi)導(dǎo)體到外導(dǎo)體,如令沿軸向方向單位長(zhǎng)度(L=1)從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I,則在媒質(zhì)內(nèi)(a<r<b),電流密度為

電場(chǎng)強(qiáng)度為

兩導(dǎo)體間的電位差為

這樣,可求出單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)為

例3-2

一個(gè)同心球電容器的內(nèi)、外半徑為a、b,其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ,求該電容器的漏電導(dǎo)。

解:媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體,設(shè)流過(guò)半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I,則媒質(zhì)內(nèi)任一點(diǎn)的電流密度和電場(chǎng)為

內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為

漏電導(dǎo)為

我們也可以通過(guò)計(jì)算媒質(zhì)內(nèi)的焦耳損耗功率,并由P=I2R

求出漏電阻R:

3.1.7恒定電流場(chǎng)與靜電場(chǎng)的比擬

如果我們把導(dǎo)電媒質(zhì)中電源外部的恒定電場(chǎng)與不存在體電荷區(qū)域的靜電場(chǎng)加以比較,則會(huì)發(fā)現(xiàn)兩者有許多相似之處,如表32所示。

可見(jiàn),恒定電場(chǎng)中的E、φ、J、I

和σ分別與靜電場(chǎng)中的E、φ、D、q

和ε

相互對(duì)應(yīng),它們?cè)诜匠毯瓦吔缰刑幱谙嗤牡匚?因而它們是對(duì)偶量。由于二者的電位都滿足拉普拉斯方程,只要兩種情況下的邊界條件相同,二者的電位必定是相同的。因此,當(dāng)某一特定的靜電問(wèn)題的解已知時(shí),與其相應(yīng)的恒定電場(chǎng)的解可以通過(guò)對(duì)偶量的代換(將靜電場(chǎng)中的D、q和ε換為J、I和σ)直接得出,這種方法稱為靜電比擬法。

例如,將金屬導(dǎo)體1、2作為正、負(fù)極板置于無(wú)限大電介質(zhì)或無(wú)限大導(dǎo)電媒質(zhì)中,如圖3-6所示,以用靜電比擬法通過(guò)電容計(jì)算極板間的電導(dǎo)。因?yàn)殡娙轂?/p>

式中的面積分是沿正極板進(jìn)行的,線積分從正極到負(fù)極。極板間的電導(dǎo)

圖3-6兩極板間的電場(chǎng)

也就是說(shuō),恒定電場(chǎng)中的電導(dǎo)G

和靜電場(chǎng)中的電容C也是對(duì)偶量。如對(duì)于線間距為d,線半徑為a

的平行雙導(dǎo)線,周圍媒質(zhì)的介電常數(shù)為ε,電導(dǎo)率為σ,可從其電容

直接寫(xiě)出其電導(dǎo)為

同理,由同軸線的單位長(zhǎng)度電容公式

可以直接得出同軸線單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)

例3-3

計(jì)算深埋地下半徑為a

的導(dǎo)體半球的接地電阻

(如圖3-7所示)。設(shè)土壤的電導(dǎo)率為σ,接地半球的電導(dǎo)率

為無(wú)窮大。圖3-7半球形接地器

解:導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率,可將導(dǎo)體球看作等位體。在土壤內(nèi),半徑r等于常數(shù)的半球面是等位面。假設(shè)從接地線流入大地的總電流為I,可以容易地求出,在土壤內(nèi)任意點(diǎn)處的電流密度,等于電流I均勻分布在半個(gè)球面上,即

這樣,就得到土壤內(nèi)的電場(chǎng)為

把上述電場(chǎng)沿著電力線積分,積分從r=a

到無(wú)窮大,就得到接地半球的電位,即

最后求出接地電阻為

同樣,這個(gè)問(wèn)題可以通過(guò)計(jì)算總的損耗功率來(lái)計(jì)算電阻。其中

P=I2R,而損耗功率能夠通過(guò)功耗密度p=J·E=σE2

的積分求出。

例3-5一個(gè)導(dǎo)體的形狀為內(nèi)半徑a,外半徑b,高度為h

的同心圓環(huán)柱狀結(jié)構(gòu)的1/4,如圖3-8所示。在下列三種情形下,求導(dǎo)體的電阻(設(shè)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為常數(shù))。

(1)以頂面和底面為正負(fù)極;

(2)以內(nèi)外半徑為正負(fù)極;

(3)以左右側(cè)面為正負(fù)極。

圖3-8部分同心圓環(huán)電阻

解:(1)當(dāng)以上下面為正負(fù)極時(shí),電阻器的幾何形狀與電導(dǎo)率都是均勻的,因而可以方便地算出電阻為

(2)當(dāng)以內(nèi)外半徑為正負(fù)極時(shí),從內(nèi)半徑出發(fā)的電力線全部終止在外半徑上,此時(shí)不能采用均勻電阻器的公式計(jì)算。但是我們考慮在半徑r和半徑等于r+Δr

之間的電阻,然后用電阻的串聯(lián)公式,就可以得出電阻為

(3)當(dāng)以左右兩個(gè)側(cè)面為正負(fù)極時(shí),可以判定電力線是一個(gè)同心圓環(huán)形狀。我們把要計(jì)算的導(dǎo)體劃分為一系列的同心圓環(huán),可以看出,每個(gè)圓環(huán)的電阻是并聯(lián)關(guān)系。我們先求出一個(gè)小圓環(huán)的電導(dǎo)值,并且把這個(gè)小的電導(dǎo)記作dG,使用電導(dǎo)的公式,即電導(dǎo)與電導(dǎo)率成正比,與面積成正比,與長(zhǎng)度成反比,就有

對(duì)上述表達(dá)式積分,得到總的電導(dǎo)為

這樣就得到電阻為

例3-6一段金屬導(dǎo)線的橫截面為半徑等于a

的圓,導(dǎo)線長(zhǎng)度為L(zhǎng),電導(dǎo)率非均勻,且其僅僅是半徑r

的函數(shù),其形式為σ=σ0r/a,求這段導(dǎo)線的電阻。

解:我們把導(dǎo)線劃分為一系列同心圓環(huán),先求出每個(gè)同心圓環(huán)的電阻,然后采用電阻并聯(lián)公式求總電阻。一個(gè)圓環(huán)元的長(zhǎng)度是L,面積是2πrdr,電導(dǎo)率為σ=σ0r/。我們可以容易地得到這個(gè)圓環(huán)的電阻為

令此式中的Δr

趨于零,就可以用dr

來(lái)近似Δr,再采用電阻并聯(lián)公式,把每一個(gè)小電阻對(duì)應(yīng)的電導(dǎo)值疊加,并用積分計(jì)算這個(gè)疊加后的總電導(dǎo),有

最后得到電阻為

3.2磁

感

應(yīng)

強(qiáng)

度

運(yùn)動(dòng)的電荷在它的周圍不但產(chǎn)生電場(chǎng),同時(shí)還產(chǎn)生磁場(chǎng)。由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化,稱為恒定磁場(chǎng),也稱為靜磁場(chǎng)。

恒定磁場(chǎng)的重要定律是安培定律(見(jiàn)圖3-9)。安培定律是法國(guó)物理學(xué)家安培根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果總結(jié)出來(lái)的一個(gè)基本定律。安培定律指出:在真空中載有電流I1

的回路C1

上任一線元dl1

對(duì)另一載有電流I2

的回路C2

上任一線元dl2

的作用力為

式中:I1dl1

和I2dl2

稱為電流元矢量;R

是dl1

到dl2

的距離矢量;R=|R|;μ0是真空的磁導(dǎo)率,μ0=4π×10-7H/m?；芈稢2

受到回路C1

的作用力為

需要說(shuō)明的是,兩個(gè)電流元之間的磁場(chǎng)力并不滿足牛頓第三定律,即dF12≠-dF21,在大多數(shù)情況下,這兩個(gè)力甚至不在一條直線上,但是兩個(gè)封閉的載流回路之間的作用力滿足牛頓第三定律。

圖3-9安培定律

例3-7求載流I的有限長(zhǎng)直導(dǎo)線(參見(jiàn)圖3-10)外任一點(diǎn)的磁場(chǎng)。

圖3-10例3-7用圖

解:取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),導(dǎo)線和z軸重合,在圓柱坐標(biāo)中計(jì)算。將式(3-29)改寫(xiě)為

例3-8

求載流的圓形導(dǎo)線回路在圓心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度(如圖3-11所示)。圖3-11圓形導(dǎo)線

附帶說(shuō)明一下,在這個(gè)問(wèn)題中,如果僅僅限定在z=0的平面求磁場(chǎng),可以得到這時(shí)的磁場(chǎng)僅僅存在z

方向的分量,并且,在線圈內(nèi)部(r<a),磁場(chǎng)沿著正z

方向,在線圈外部(r>a),磁場(chǎng)沿著負(fù)z

方向。此時(shí)的磁場(chǎng)僅僅是一個(gè)變量r的函數(shù),它的詳細(xì)計(jì)算要用到完全橢圓積分,關(guān)于這一點(diǎn),我們放到磁偶極子以后再來(lái)分析。但在此,我們說(shuō)明一下z=0平面內(nèi)磁場(chǎng)的變化趨勢(shì):在圓心處,磁場(chǎng)是一個(gè)常數(shù)。隨著r的增加,磁場(chǎng)也是增加的。當(dāng)半徑r從圓環(huán)內(nèi)部趨近于圓環(huán)半徑a

時(shí),磁場(chǎng)趨于正無(wú)窮大,并且是以1/(a-r)的形式趨于無(wú)窮大的。

當(dāng)半徑r

從圓環(huán)外部趨近于圓環(huán)半徑a

時(shí),磁場(chǎng)趨于負(fù)無(wú)窮大,并且是以1/(r-a)的形式趨于無(wú)窮大的。這從極限情形很好理解,當(dāng)觀察點(diǎn)在圓環(huán)線圈附近時(shí),可以把線圈看作一個(gè)載流直導(dǎo)線,直導(dǎo)線的磁場(chǎng)在導(dǎo)線附近是趨于無(wú)窮大的。實(shí)際上,這是我們沒(méi)有考慮導(dǎo)線截面的緣故,對(duì)于實(shí)際問(wèn)題,必須假定組成圓環(huán)線圈的導(dǎo)線不是無(wú)窮細(xì),而是有一個(gè)導(dǎo)線半徑r0,這樣就不會(huì)出現(xiàn)磁場(chǎng)為無(wú)窮大的情形。當(dāng)半徑r趨于無(wú)窮大時(shí),磁場(chǎng)趨于零,并且是以1/r3

的形式趨于零。

3.3恒定磁場(chǎng)的基本方程

3.3.1磁通連續(xù)性原理磁感應(yīng)強(qiáng)度在有向曲面上的通量簡(jiǎn)稱為磁通量(或磁通),單位是Wb(韋伯),用

Φ表示:如S是一個(gè)閉曲面,則

現(xiàn)在我們以載流回路C

產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為例,來(lái)計(jì)算恒定磁場(chǎng)在一個(gè)閉曲面上的通量。將式(3-29)代入式(3-33),得

由矢量恒等式

則有

而梯度場(chǎng)是無(wú)旋的:

所以

使用散度定理,得到

由于上式中積分區(qū)域V是任意的,所以對(duì)空間的各點(diǎn),有

上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式,它表明磁感應(yīng)強(qiáng)度B

是一個(gè)無(wú)源(指散度源)場(chǎng)

3.3.2安培環(huán)路定律

以上我們討論了磁場(chǎng)的通量特性和散度特性,現(xiàn)在研究它的環(huán)量特性和旋度特性?？紤]載有電流I

的回路C'產(chǎn)生的磁場(chǎng)B,研究任意一條閉曲線C

上B

的環(huán)量。設(shè)

P

是C

上的一點(diǎn)(如圖3-12所示)。

圖3-12環(huán)路定律

上式就是真空中的安培環(huán)路定律。它表明在真空中,磁感應(yīng)強(qiáng)度沿任意回路的環(huán)量等于真空磁導(dǎo)率乘以與該回路相交鏈的電流的代數(shù)和。電流的正負(fù)由積分回路的繞行方向與電流方向是否符合右手螺旋關(guān)系來(lái)確定,如符合則取正,不符合則為負(fù)。這個(gè)公式是安培環(huán)路定律的積分形式。根據(jù)斯托克斯定理,可以導(dǎo)出安培回路定律的微分形式:

例3-9半徑為a

的無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線,載有電流I,計(jì)算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

解:在圓柱坐標(biāo)系中計(jì)算,取導(dǎo)體中軸線和z

軸重合(同例3-7的圖示)。由對(duì)稱性知道,磁場(chǎng)與z和?

無(wú)關(guān),只是r

的函數(shù),且只有?

分量,即磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)體中軸線上的圓。沿磁感應(yīng)線取半徑為r的積分路徑C,依安培環(huán)路定律得

在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布,導(dǎo)線外電流為零,即

當(dāng)r>a

時(shí),積分回路包圍的電流為I;當(dāng)r≤a

時(shí),回路包圍電流為Ir2/a2。所以當(dāng)r≤a時(shí):

當(dāng)r>a時(shí):

寫(xiě)成矢量形式為

3.4矢

量

磁

位

從上節(jié)可知,磁感應(yīng)強(qiáng)度的散度恒為零。由矢量恒等式我們得知,一個(gè)無(wú)源(散度源)場(chǎng)B

總能表示成為另一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度,因此可以令

從而,可得到方程式(3-41)的分量形式:

將這三個(gè)方程與靜電場(chǎng)中電位的泊松方程對(duì)比,可以寫(xiě)出磁矢位的解:

將其寫(xiě)成矢量形式為

若磁場(chǎng)由面電流JS

產(chǎn)生,容易寫(xiě)出其磁矢位為

同理,線電流產(chǎn)生的磁矢位為

注意,以上三個(gè)計(jì)算磁矢位的公式,均假定電流分布在有限區(qū)域且磁矢位的零點(diǎn)取在無(wú)窮遠(yuǎn)處(和靜電位的積分公式類似)。

磁通的計(jì)算也可以通過(guò)磁矢位表示:

其中,C是曲面S

的邊界。

例3-10求長(zhǎng)度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位。

解:取如圖3-13所示的坐標(biāo)系,A

只有z

分量,場(chǎng)點(diǎn)坐標(biāo)是(r,?,z)。

圖3-13直導(dǎo)線磁矢位

當(dāng)l→∞,上式為無(wú)窮大。這是因?yàn)楫?dāng)電流分布在無(wú)限區(qū)域時(shí),不能把無(wú)窮遠(yuǎn)處作為磁矢位的參考點(diǎn),而以上的計(jì)算均基于磁矢位的參考點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處。實(shí)際上,當(dāng)電流分布在無(wú)限區(qū)域時(shí),一般指定一個(gè)磁矢位的參考點(diǎn),就可以使磁矢位不為無(wú)窮大。當(dāng)指定r=r0

處為磁矢位的零點(diǎn)時(shí),可以得出無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁矢位為

從上式,用圓柱坐標(biāo)的旋度公式可求出

例3-11

用磁矢位重新計(jì)算載流直導(dǎo)線的磁場(chǎng)。

解:坐標(biāo)系如例3-7所示,在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布,導(dǎo)線外電流為零。

從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量,而且它只是坐標(biāo)r的函數(shù),即

設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁矢位是A1,導(dǎo)線外磁矢位是A2,則由式(3-41),得

r<a

時(shí):

r>a

時(shí):

考慮到磁矢位只是r

的函數(shù),以上兩個(gè)偏微分方程就化為常微分方程。對(duì)其積分,可以得出

其中,C1、C2、C3、C4是待定常數(shù)。我們先確定常數(shù)C1。由于r=0處磁矢位不應(yīng)是無(wú)窮大,所以可以定出C1=0,其余的三個(gè)常數(shù)暫時(shí)不考慮。將磁矢位代入公式

可以求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場(chǎng)分別為

這里仍然有一個(gè)常數(shù)C3

待定。可以從分界面上沿圓周方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度連續(xù)(詳細(xì)的論述見(jiàn)后面的恒定磁場(chǎng)邊界條件一節(jié))定出C3

:

導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

通過(guò)以上幾個(gè)例題可以看出,引入磁矢位以后,簡(jiǎn)化了計(jì)算。雖然磁矢位仍然是矢量,但是它的計(jì)算要比直接計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度容易。特別是對(duì)許多問(wèn)題,在給定的坐標(biāo)系下,磁矢位僅僅只有一個(gè)分量,而磁感應(yīng)強(qiáng)度卻不止一個(gè)分量。此外,如果用求解微分方程的方法計(jì)算磁矢位,常?？梢砸M(jìn)標(biāo)量函數(shù)表示它,從而把矢量方程簡(jiǎn)化為標(biāo)量方程。一旦求出磁矢位,再計(jì)算其旋度,就較容易得出磁感應(yīng)強(qiáng)度。

3.5磁

偶

極

子

我們先考慮一個(gè)載流I、半徑為a

的圓形平面回路在遠(yuǎn)離回路的區(qū)域產(chǎn)生的磁場(chǎng)(如圖3-14所示)。取載流回路位于xoy平面,并且中心在原點(diǎn)。因?yàn)楸締?wèn)題的電流分布的對(duì)稱性,所以磁矢位在球面坐標(biāo)系只有A?分量。A?是r

和θ的函數(shù),與?

無(wú)關(guān)。根據(jù)這一性質(zhì),可以將場(chǎng)點(diǎn)選取在xoz平面。

圖3-14磁偶極子

在此平面里,A?

與直角坐標(biāo)的Ay

分量一致,它是電流元矢量Idl'的y

分量Iad?cos?

所產(chǎn)生的磁矢位分量總和:

式中:

如果r?a,則

從圖3-14可見(jiàn):

所以

將上式代入式(3-46),積分后得出

式中,m=Iπa2,是圓形回路磁矩的模值。一個(gè)載流回路的磁矩是一個(gè)矢量,其方向與環(huán)路的法線方向一致,大小等于電流乘以回路面積,即其定義為

式中,S

是回路的有向面積。

我們可將式(3-47)改寫(xiě)為

對(duì)式(3-47)在球面坐標(biāo)系中求旋度,得出磁場(chǎng):

位于點(diǎn)r'的磁矩為m

的磁偶極子,在點(diǎn)r處產(chǎn)生的磁矢位為

位于外磁場(chǎng)B

中的磁偶極子m,會(huì)受到外磁場(chǎng)的作用力及其力矩。這里僅僅給出作用力及力矩的公式。作用力為

力矩為

3.6磁介質(zhì)中的場(chǎng)方程

3.6.1磁化強(qiáng)度在普通物理課程中,我們學(xué)習(xí)過(guò)任何物質(zhì)原子內(nèi)部的電子總是沿軌道作公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí)作自旋運(yùn)動(dòng)。電子運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的效應(yīng)與回路電流所產(chǎn)生的效應(yīng)相同。物質(zhì)分子內(nèi)所有電子對(duì)外部所產(chǎn)生的磁效應(yīng)總和可用一個(gè)等效回路電流表示,這個(gè)等效回路電流稱為分子電流,分子電流的磁矩叫作分子磁矩。

在外磁場(chǎng)的作用下,電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)要產(chǎn)生變化,這種現(xiàn)象稱為物質(zhì)的磁化。能被引起磁化的物質(zhì)叫磁介質(zhì)。磁介質(zhì)分為三類:抗磁性磁介質(zhì)(如金、銀、銅、石墨、鍺、氯化鈉等);順磁性磁介質(zhì)(如氮?dú)?、硫酸亞鐵等);鐵磁性磁介質(zhì)(如鐵、鎳、鈷等)。這三類磁介質(zhì)在外磁場(chǎng)的作用下,都要產(chǎn)生感應(yīng)磁矩,且物質(zhì)內(nèi)部的固有磁矩沿外磁場(chǎng)方向取向,這種現(xiàn)象叫作物質(zhì)的磁化。磁化介質(zhì)可以看作真空中沿一定方向排列的磁偶極子的集合。

為了定量描述介質(zhì)磁化程度的強(qiáng)弱,引入一個(gè)宏觀物理量磁化強(qiáng)度

M,其定義為介質(zhì)內(nèi)單位體積內(nèi)的分子磁矩,即

式中m

是分子磁矩,求和對(duì)體積元ΔV

內(nèi)的所有分子進(jìn)行。磁化強(qiáng)度

M

的單位是A/m(安培/米)。如在磁化介質(zhì)中的體積元ΔV

內(nèi),每一個(gè)分子磁矩的大小和方向全相同(都為m),單位體積內(nèi)分子數(shù)是

N,則磁化強(qiáng)度為

3.6.2磁化電流

磁介質(zhì)被外磁場(chǎng)磁化以后,就可以看作真空中的一系列磁偶極子。磁化介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場(chǎng)實(shí)際上就是這些磁偶極子在真空中產(chǎn)生的磁場(chǎng)。磁化介質(zhì)中由于分子磁矩的有序排列,在介質(zhì)內(nèi)部要產(chǎn)生某一個(gè)方向的凈電流,在介質(zhì)的表面也要產(chǎn)生宏觀面電流。下面計(jì)算磁化電流密度。如圖3-15所示,設(shè)P

為磁化介質(zhì)外部的一點(diǎn),磁化介質(zhì)內(nèi)部r'處體積元ΔV'內(nèi)的磁偶極矩為MΔV',它在r處產(chǎn)生的磁矢位為

圖3-15磁化介質(zhì)的場(chǎng)

全部磁介質(zhì)在r處產(chǎn)生的磁矢位為

可以將上式改寫(xiě)為

再用恒等式

可將磁矢位的表示式變形為

上式中,n'是磁介質(zhì)表面的單位外法向矢量,第一項(xiàng)與體分布電流產(chǎn)生的磁矢位表達(dá)式相同,第二項(xiàng)與面分布電流產(chǎn)生的磁矢位表達(dá)式相同。因此,磁化介質(zhì)所產(chǎn)生的磁矢位可以看作等效體電流和面電流在真空中共同產(chǎn)生的。等效體電流和面電流密度分別為

其中,n

是磁化介質(zhì)表面的外法向。這個(gè)等效電流也叫作磁化電流(如圖3-16所示),或叫束縛電流。

圖3-16磁化電流示意圖

例3-12

半徑為a、高為L(zhǎng)

的磁化介質(zhì)柱(如圖3-17所示),磁化強(qiáng)度為

M0(M0為常矢量,且與圓柱的軸線平行),求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。圖3-17例3-12用圖

解:取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合,磁

介質(zhì)的下底面位于z=0處,上底面位于z=L

處。此時(shí),

M=M0ez,由式(3-52)得磁化電流為

3.6.3磁場(chǎng)強(qiáng)度

在外磁場(chǎng)的作用下,磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流Jm

。

磁化電流Jm

和外加的電流J

都產(chǎn)生磁場(chǎng),這時(shí)應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式:

將式(3-52)代入上式,得

將上式改寫(xiě)為

令

其中

H

稱為磁場(chǎng)強(qiáng)度,單位是A/m(安培/米)。于是有

與上式相應(yīng)的微分形式是

式(3-55)稱為磁介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律,式(3-56)是其微分形式

3.6.4磁導(dǎo)率

由于在磁介質(zhì)中引入了輔助量H,因此必須知道B

與H

之間的關(guān)系才能最后解出磁感應(yīng)強(qiáng)度B。B

和H

的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系,它表示磁介質(zhì)的磁化特性。將式(3-54)改寫(xiě)為

由于歷史上的原因以及方便測(cè)量的因素,常常使用磁化強(qiáng)度

M

與磁場(chǎng)強(qiáng)度H

之間的關(guān)系來(lái)表征磁介質(zhì)的特性,并按照

M

與H

之間的不同關(guān)系,將磁介質(zhì)分為各向同性與各向異性、線性與非線性以及均勻與非均勻等類別。對(duì)于線性各向同性的均勻磁介質(zhì),M

與H

間的關(guān)系為

式中χm

是一個(gè)無(wú)量綱常數(shù),稱為磁化率。非線性磁介質(zhì)的磁化率與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān),非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù),各向異性介質(zhì)的

M

和H

的方向不在同一方向上。順磁

介質(zhì)的χm為正,抗磁介質(zhì)的χm為負(fù)。這兩類介質(zhì)的χm約為10-5量級(jí)。將式(3-58)代入式(3-57),得

式中:μr=1+χm,是介質(zhì)的相對(duì)磁導(dǎo)率,是一個(gè)無(wú)量綱數(shù);μ=μ0μr,是介質(zhì)的磁導(dǎo)率,單位和真空磁導(dǎo)率相同,為H/m(亨/米)。

鐵磁材料的B

和H

的關(guān)系是非線性的,并且B

不是H

的單值函數(shù),會(huì)出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象,其磁化率χm

的變化范圍很大,可以達(dá)到106

量級(jí)。

3.6.5磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)的基本方程

綜上所述,我們得到磁介質(zhì)中描述磁場(chǎng)的基本方程為

式(3-60)和式(3-61)是介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)方程的微分形式,其相應(yīng)的積分形式為

由式(3-61)可以看出,在介質(zhì)中同樣可以定義磁矢位A,使B=?×A。在線性均勻各向同性介質(zhì)中,如采用庫(kù)侖規(guī)范,那么磁矢位的微分方程為

例3-13

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為

b,外半徑為c,如圖3-18所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過(guò)反向的

電流I,兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ,求各區(qū)域的

H、B、M。圖3-18同軸線示意圖

當(dāng)a<r≤b

時(shí),與積分回路交鏈的電流為I,該區(qū)磁導(dǎo)率為μ,可得

當(dāng)b<r≤c時(shí),考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布,可得出與積分回路交鏈的電流為

則

當(dāng)r>c時(shí),這一區(qū)域的B、H、M

為零。

3.7恒定磁場(chǎng)的邊界條件

在不同磁介質(zhì)的分界面上,磁場(chǎng)是不連續(xù)的,B和H

在經(jīng)過(guò)界面時(shí)會(huì)發(fā)生突變。場(chǎng)矢量在不同磁介質(zhì)的界面上的變化規(guī)律叫作邊界條件。我們可以由恒定磁場(chǎng)基本方程的積分形式導(dǎo)出恒定磁場(chǎng)的邊界條件。

再來(lái)推導(dǎo)H的切向分量的邊界條件。在分界面上作一小矩形回路,回路的兩邊分別位于分界面兩側(cè),回路的高h(yuǎn)→0,令n

表示界面上Δl中點(diǎn)處的法向單位矢,l°表示該點(diǎn)的切向單位矢,b為垂直于n、l°的單位矢(注意,b

也是界面的切向單位矢,b

和積分回路C

垂直,而l°位于積分回路C

內(nèi)),如圖3-20所示。

圖3-20H的邊界條件

將介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律

應(yīng)用在這一回路,得

若界面上的電流可以看成面電流,則

假如μ1=1000μ0,μ2=μ0,在這種情況下,當(dāng)θ1=87°時(shí),

θ2=1.09°,B2/B1=0.052。由此可見(jiàn),鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度遠(yuǎn)大于外部的磁感應(yīng)強(qiáng)度,同時(shí)外部的磁力線幾乎與鐵磁材料表面垂直。

3.8標(biāo)

量

磁

位

根據(jù)磁介質(zhì)中恒定磁場(chǎng)的基本方程式(3-60)可知,在無(wú)自由電流(J=0)的區(qū)域里,磁場(chǎng)強(qiáng)度

H是無(wú)旋的。此時(shí),磁場(chǎng)強(qiáng)度可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度,即φm

稱為磁場(chǎng)的標(biāo)量位函數(shù)(簡(jiǎn)稱為標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位),單位為A(安培)。上式中的負(fù)號(hào)是為了與靜電位對(duì)應(yīng)而人為加入的。

在均勻介質(zhì)中,由式(3-60)和式(3-61)可得

將式(3-72)代入到上式中,可得磁標(biāo)位滿足拉普拉斯方程,即

所以用微分方程求磁標(biāo)位時(shí),也同靜電位一樣,是求拉普拉斯方程的解。磁場(chǎng)的邊界條件用磁標(biāo)位表示時(shí),為

磁標(biāo)位在求解永磁體的磁場(chǎng)問(wèn)題時(shí)比較方便(因其內(nèi)無(wú)自由電流)。永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率,因而永磁體表面是一個(gè)等位(磁標(biāo)位)面,這時(shí)可以用靜電比擬法來(lái)計(jì)算永磁體的磁場(chǎng)。

以上我們討論的是均勻磁介質(zhì)中無(wú)自由電流時(shí)磁標(biāo)位的微分方程。對(duì)非均勻介質(zhì),在無(wú)源區(qū)(J=0)引入磁荷的概念后,磁標(biāo)位滿足泊松方程,即

式中:

ρm是等效磁荷體密度。此時(shí)邊界條件式(3-75)不變,而式(3-74)要作相應(yīng)的修改,詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參看有關(guān)書(shū)籍。

3.9互

感

和

自

感

在線性磁介質(zhì)中,任一回路在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)與回路電流成正比,因而穿過(guò)任意的固定回路的磁通量Φ

也與電流成正比。如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝,則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈,用

Ψ

表示。對(duì)于密繞線圈,可以近似認(rèn)為各匝的磁通相等,從而有

Ψ=NΦ。

一個(gè)回路的自感定義為回路的磁鏈和回路電流之比,用L表示,即

自感的單位是H(亨利)。自感的大小取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率。

我們用Ψ12表示載流回路C1

的磁場(chǎng)在回路C2上產(chǎn)生的磁鏈。顯然Ψ12與電流I1

成正比,這一比值稱為互感,如圖3-21所示,即

互感的單位與自感相同。同樣,我們可以用載流回路C2

的磁場(chǎng)在回路C1

上產(chǎn)生的磁鏈Ψ21與電流I2

的比來(lái)定義互感

M21,即

互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。

圖3-21互感

現(xiàn)在推導(dǎo)互感的計(jì)算公式。如圖3-21所示,當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸而且也遠(yuǎn)小于兩個(gè)回路之間的最近距離時(shí),兩回路都可以用軸線的幾何回路代替。設(shè)兩個(gè)回路都只有一匝。當(dāng)回路

C1

載有電流I1

時(shí),C2

上的磁鏈為

式中,A12為電流I1

在C2

上的磁矢位,即

因而

由上式可以看出:

這說(shuō)明互感具有互易性質(zhì)?；ジ械挠?jì)算公式(3-80)稱為諾伊曼公式?；ジ?/p>

M

可以為正,也可以為負(fù),取決于回路正向的選擇。若I1

在C2

中的磁通為正,則

M>0,反之,M<0。

對(duì)于自感,也能寫(xiě)成式(3-80)的形式:

式中dl1和dl2

都是沿回路C

的線元,它們之間的距離為R(如圖3-22所示)。當(dāng)兩個(gè)線元重合(R=0)時(shí),積分值趨于無(wú)窮大,這是由于忽略了回路導(dǎo)線的截面所致。為了用諾伊曼公式計(jì)算自感,就必須考慮導(dǎo)線的橫截面積。

計(jì)及橫截面的因素以后,可以將自磁鏈分為外磁鏈Ψe和內(nèi)磁鏈Ψi

兩部分,相應(yīng)的自感也分為外自感Le

和內(nèi)自感Li。Ψe

是通過(guò)導(dǎo)體外部與回路的全部電流交鏈的磁鏈;而

Ψi為通過(guò)導(dǎo)體內(nèi)部,因而只與部分電流交鏈的磁鏈。計(jì)算外磁鏈時(shí),可近似認(rèn)為全部電流I集中在導(dǎo)體回路的軸線C1

上,并將此電流的磁場(chǎng)與導(dǎo)體回路的內(nèi)緣C2

所交鏈的磁鏈作為外磁鏈,這樣得出外自感為

圖3-22內(nèi)自感

例3-14求無(wú)限長(zhǎng)平行雙導(dǎo)線(如圖3-23所示)單位長(zhǎng)外自感。

圖3-23平行雙導(dǎo)線

解:設(shè)導(dǎo)線中電流為I。由無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)線的磁場(chǎng)公式,可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

磁場(chǎng)的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長(zhǎng)度上的外磁鏈為

所以單位長(zhǎng)外自感為

注意,雖然諾伊曼公式提供了計(jì)算回路互感的一般方法,但是實(shí)際應(yīng)用起來(lái)常常導(dǎo)致十分繁難的積分。當(dāng)由電流分布可較容易地求出磁場(chǎng)時(shí),使用式(3-78)和式(3-79)求自感和互感較為方便。諾伊曼公式證明了兩個(gè)回路互感的互易性,證明了電感與回路的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān),與介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān),而與電流無(wú)關(guān)。

3.10磁

場(chǎng)

能

量

為簡(jiǎn)單起見(jiàn),先計(jì)算兩個(gè)分別載流I1

和I2

的電流回路系統(tǒng)所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量。假定回路的形狀、相對(duì)位置不變,同時(shí)忽略焦耳熱損耗。在建立磁場(chǎng)的過(guò)程中,兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t),最初,i1=0,i2=0,最終,i1=I1

,i2=I2。在這一過(guò)程中,電源做的功轉(zhuǎn)變成磁場(chǎng)能量。

我們知道,系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀態(tài)有關(guān),與建立狀態(tài)的方式無(wú)關(guān)。為計(jì)算這個(gè)能量,先假定回路2的電流為零,求出回路1中的電流i1

從零增加到I1

時(shí),電源做的功W1;其次,回路1中的電流I1

不變,求出回路2中的電流從零增加到I2

時(shí),電源做的功W2。從而得出這一過(guò)程中,電源對(duì)整個(gè)回路系統(tǒng)做的總功Wm=W1+W2。

式中:Ψ1=Ψ11+Ψ21是與回路C1

交鏈的總磁通;Ψ2=Ψ12+Ψ22是與回路C2

交鏈的總磁通(均假設(shè)回路為一匝)。這個(gè)結(jié)果可推廣到

N

個(gè)電流回路系統(tǒng),其磁能為

式中:

Ψji是回路j在回路i上的磁通;Ψ