角平分線是初中幾何的核心概念之一，也是中考幾何綜合題的“高頻考點”。它不僅連接了全等三角形、相似三角形、三角函數(shù)、圓（內(nèi)心）等關(guān)鍵知識，還能通過模型化思維快速解決線段長度、角度計算、比例關(guān)系等問題。掌握角平分線的常見模型與解題策略，能有效提升幾何綜合題的解題效率和準(zhǔn)確性。一、模型1：角平分線+平行線→等腰三角形1.1模型結(jié)構(gòu)與結(jié)論條件：如圖1，$OP$平分$\angleAOB$，直線$CD\parallelOB$，交$OA$于點$C$，交$OP$于點$D$。結(jié)論：$CD=OC$（$\triangleOCD$為等腰三角形）。推導(dǎo)：$\becauseOP$平分$\angleAOB$，$\therefore\angleAOP=\angleBOP$。$\becauseCD\parallelOB$，$\therefore\angleCDO=\angleBOP$（同位角相等）。$\therefore\angleAOP=\angleCDO$，故$CD=OC$（等角對等邊）。1.2中考例題應(yīng)用例1（2023年某省中考題）：如圖，在$\triangleABC$中，$\angleABC$的平分線交$AC$于點$D$，過點$D$作$DE\parallelBC$交$AB$于點$E$。若$AB=6$，$BC=4$，求$DE$的長度。解析：識別模型：$BD$是$\angleABC$的平分線（角平分線），$DE\parallelBC$（平行線），符合“角平分線+平行線→等腰三角形”模型。應(yīng)用結(jié)論：$\angleEBD=\angleCBD=\angleEDB$，故$DE=BE$（$\triangleEBD$為等腰三角形）。設(shè)未知數(shù)：設(shè)$DE=x$，則$BE=x$，$AE=AB-BE=6-x$。相似三角形：$\becauseDE\parallelBC$，$\therefore\triangleADE\sim\triangleACB$（平行線分三角形相似）。相似比為$\frac{AE}{AB}=\frac{6-x}{6}$，對應(yīng)邊比為$\frac{DE}{BC}=\frac{x}{4}$。列方程求解：$\frac{6-x}{6}=\frac{x}{4}$，解得$x=\frac{12}{5}$（或2.4）。答案：$DE=\frac{12}{5}$。二、模型2：角平分線+垂線→等腰三角形2.1模型結(jié)構(gòu)與結(jié)論條件：如圖2，$OP$平分$\angleAOB$，點$C$在$OA$上，過點$C$作$CD\perpOP$于點$D$，延長$CD$交$OB$于點$E$。結(jié)論：$OC=OE$（$\triangleOCE$為等腰三角形）。推導(dǎo)：$\becauseOP$平分$\angleAOB$，$\therefore\angleAOP=\angleBOP$。$\becauseCD\perpOP$，$\therefore\angleODC=\angleODE=90^\circ$。在$\triangleODC$和$\triangleODE$中，$\angleAOP=\angleBOP$，$OD=OD$，$\angleODC=\angleODE$，故$\triangleODC\cong\triangleODE$（ASA）。$\thereforeOC=OE$（全等三角形對應(yīng)邊相等）。2.2中考例題應(yīng)用例2（2022年某市中考題）：如圖，在$\triangleABC$中，$\angleBAC=90^\circ$，$AB=AC=5$，$AD$是$\angleBAC$的平分線，過點$B$作$BE\perpAD$于點$E$，延長$BE$交$AC$的延長線于點$F$。求$CF$的長度。解析：識別模型：$AD$是$\angleBAC$的平分線（角平分線），$BE\perpAD$（垂線），符合“角平分線+垂線→等腰三角形”模型。應(yīng)用結(jié)論：$\triangleABF$為等腰三角形，故$AB=AF$（$AD$是$BF$的垂直平分線）。計算線段：$AF=AB=5$，而$AC=5$，故$CF=AF-AC=5-5=0$？（修正：題目中“延長$BE$交$AC$的延長線于$F$”，應(yīng)為$F$在$AC$延長線上，此時$AF=AB=5$，$AC=5$，故$CF=AF-AC=0$？不，實際應(yīng)為$\angleBAF=90^\circ$，$AD$平分$\angleBAF$，$BE\perpAD$，故$AB=AF=5$，$AC=5$，$CF=AF-AC=0$，但更合理的例題應(yīng)為：）例2修正：如圖，在$\triangleABC$中，$\angleABC=60^\circ$，$BD$是$\angleABC$的平分線，過點$A$作$AE\perpBD$于點$E$，延長$AE$交$BC$于點$F$。若$AB=4$，求$AF$的長度。解析：模型應(yīng)用：$BD$平分$\angleABC$（$60^\circ$），$AE\perpBD$，故$\triangleABF$為等腰三角形，$AB=BF=4$。角度計算：$\angleABF=60^\circ$，$AB=BF$，故$\triangleABF$為等邊三角形。結(jié)論：$AF=AB=4$。答案：$AF=4$。三、模型3：角平分線定理——距離與比例的轉(zhuǎn)化3.1定理回顧角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等（如圖3，$PD=PE$，$PD\perpOA$，$PE\perpOB$）。三角形角平分線定理：三角形的角平分線分對邊所得的兩條線段與鄰邊對應(yīng)成比例（如圖4，$BD$平分$\angleABC$，則$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}$）。3.2中考例題應(yīng)用例3（2021年某省中考題）：如圖，在$\triangleABC$中，$AB=5$，$BC=6$，$AC=4$，$BD$是$\angleABC$的平分線，交$AC$于點$D$。求$AD$和$DC$的長度。解析：直接應(yīng)用三角形角平分線定理：$\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{6}$。設(shè)未知數(shù)：設(shè)$AD=5k$，$DC=6k$，則$AC=11k=4$，解得$k=\frac{4}{11}$。計算結(jié)果：$AD=5\times\frac{4}{11}=\frac{20}{11}$，$DC=6\times\frac{4}{11}=\frac{24}{11}$。答案：$AD=\frac{20}{11}$，$DC=\frac{24}{11}$。例4（2020年某市中考題）：如圖，在$\triangleABC$中，$\angleC=90^\circ$，$AC=6$，$BC=8$，$AD$是$\angleBAC$的平分線，交$BC$于點$D$。求點$D$到$AB$的距離。解析：角平分線性質(zhì)：點$D$到$AB$的距離等于點$D$到$AC$的距離（設(shè)為$h$）。面積法：$\triangleABC$的面積=$\triangleABD$的面積+$\triangleACD$的面積。$\frac{1}{2}\timesAC\timesBC=\frac{1}{2}\timesAB\timesh+\frac{1}{2}\timesAC\timesh$。計算$AB$：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=10$。代入數(shù)值：$\frac{1}{2}\times6\times8=\frac{1}{2}\times10\timesh+\frac{1}{2}\times6\timesh$，化簡得$24=8h$，解得$h=3$。答案：點$D$到$AB$的距離為3。四、模型4：角平分線與三角函數(shù)結(jié)合——邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化4.1解題思路角平分線將一個角分成兩個相等的角，利用正弦定理、余弦定理或直角三角形三角函數(shù)表示邊角關(guān)系，通過方程求解線段或角度。4.2中考例題應(yīng)用例5（2023年某省中考題）：如圖，在$\triangleABC$中，$\angleB=60^\circ$，$AB=4$，$BC=6$，$BD$是$\angleABC$的平分線，交$AC$于點$D$。求$BD$的長度。解析：面積法：$\triangleABC$的面積=$\triangleABD$的面積+$\triangleCBD$的面積。計算總面積：$\frac{1}{2}\timesAB\timesBC\times\sin60^\circ=\frac{1}{2}\times4\times6\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$。設(shè)$BD=x$：$\triangleABD$的面積=$\frac{1}{2}\timesAB\timesBD\times\sin30^\circ=\frac{1}{2}\times4\timesx\times\frac{1}{2}=x$；$\triangleCBD$的面積=$\frac{1}{2}\timesBC\timesBD\times\sin30^\circ=\frac{1}{2}\times6\timesx\times\frac{1}{2}=\frac{3}{2}x$。列方程：$x+\frac{3}{2}x=6\sqrt{3}$，解得$x=\frac{12\sqrt{3}}{5}$。答案：$BD=\frac{12\sqrt{3}}{5}$。五、模型5：角平分線與圓綜合——內(nèi)心性質(zhì)應(yīng)用5.1內(nèi)心相關(guān)性質(zhì)定義：三角形三條角平分線的交點，到三邊距離相等（內(nèi)切圓半徑$r$）。內(nèi)切圓半徑公式：$r=\frac{S}{s}$，其中$S$為三角形面積，$s=\frac{a+b+c}{2}$（$a,b,c$為三邊長度）。內(nèi)心到頂點距離：$IA=\frac{r}{\sin(\angleA/2)}$（$I$為內(nèi)心）。5.2中考例題應(yīng)用例6（2021年某省中考題）：如圖，在$\triangleABC$中，$AB=5$，$BC=6$，$AC=4$，內(nèi)心為$I$。求內(nèi)切圓半徑$r$和$AI$的長度。解析：計算半周長：$s=\frac{5+6+4}{2}=\frac{15}{2}$。計算面積（海倫公式）：$S=\sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-AC)}=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{3}{2}\times\frac{7}{2}}=\frac{15\sqrt{7}}{4}$。內(nèi)切圓半徑：$r=\frac{S}{s}=\frac{\frac{15\sqrt{7}}{4}}{\frac{15}{2}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$。計算$AI$：由余弦定理得$\cos\angleA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\timesAB\timesAC}=\frac{25+16-36}{40}=\frac{1}{8}$；$\sin(\angleA/2)=\sqrt{\frac{1-\cos\angleA}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{8}}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{4}$？不，正確計算：$\sin(\angleA/2)=\sqrt{\frac{1-\cos\angleA}{2}}=\sqrt{\frac{7/8}{2}}=\sqrt{\frac{7}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$；$\thereforeAI=\frac{r}{\sin(\angleA/2)}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=2$。答案：$r=\frac{\sqrt{7}}{2}$，$AI=2$。六、角平分線綜合題解題策略總結(jié)1.模型識別：優(yōu)先判斷是否存在“角平分線+平行線”“角平分線+垂線”等模型，直接應(yīng)用結(jié)論簡化計算。2.定理選擇：求距離：用角平分線性質(zhì)定理（距離相等）；求比例：用三角形角平分線定理（邊的比例）；求長度/角度：用面積法、三角函數(shù)（正弦/余弦定理）。3.輔助線技巧：作平行線（構(gòu)造等腰三角形）；作垂線（應(yīng)用距離相等或構(gòu)造等腰三角形）；連接內(nèi)心（應(yīng)用內(nèi)切圓性質(zhì)）。4.方程思想：設(shè)未知數(shù)（線段長度、角度），通過模型結(jié)論或定理建立方程，解方程求解。七、鞏固練習(xí)（中考真題精選）1.（2023年某省中考題）：在$\triangleABC$中，$\angleACB=90^\circ$，$CD$是$\angleACB$的平分線，交$AB$于點$D$，過點$D$作$DE\perpAC$于點$E$。若$AB=10$，$AC=6$，求$DE$的長度。（答案：$\frac{12}{7}$）2.（2022年某市