第三章恒定電流的電場和磁場3.1恒定電流的電場3.2磁感應(yīng)強度3.3恒定磁場的基本方程3.4矢量磁位3.5磁偶極子3.6磁介質(zhì)中的場方程3.7恒定磁場的邊界條件3.8標(biāo)量磁位3.9互感和自感3.10磁場能量3.11磁場力小結(jié)

3.1恒定電流的電場

電流強度只能描述一根導(dǎo)線上總電流的強弱。為了描述電荷在空間的流動情況(即考慮導(dǎo)體截面的大小),要引入電流密度的概念。電流密度是一個矢量,它的方向與導(dǎo)體中某點的正電荷運動方向相同(實際上是自由電子移動方向的反方向),大小等于與正電荷運動方向垂直的單位面積上的電流強度。若用n

表示某點處的正電荷運動方向,取與n相互垂直的面積元ΔS,如圖3-1所示。

設(shè)通過ΔS

的電流為ΔI,則該點處的電流密度J為

電流密度的單位是安培/米2(A/m2)。導(dǎo)體內(nèi)每一點都有一個電流密度,因而構(gòu)成一個矢量場。我們稱這一矢量場為電流場。電流場的矢量線叫作電流線。

圖3-1電流密度

可以從電流密度J

求出流過任意面積S的電流強度。一般情況下,電流密度J和面積元dS

的方向并不相同。此時,通過面積S的電流就等于電流密度J

在S上的通量,即

有時電流僅僅分布在導(dǎo)體表面的一個薄層內(nèi),為此,需要引入面電流密度的概念?？臻g任一點面電流密度的方向是該點正電荷運動的方向,大小等于通過垂直于電流方向的單位長度上的電流。若用n

表示某點處的正電荷運動方向,取與n相互垂直的線元Δl,如圖3-2所示。設(shè)通過Δl

的電流為ΔI,則該點處的面電流密度JS

為

圖3-2面電流密度

電流可以分為傳導(dǎo)電流和運流電流。傳導(dǎo)電流是指導(dǎo)體中的自由電子或半導(dǎo)體中的自由電荷在電場作用下作定向運動所形成的電流,如金屬中的電流、電解液中的電流均是傳導(dǎo)電流。電荷在真空中或者氣體中,由于電場的作用而產(chǎn)生運動時,形成的電流稱為運流電流。如電真空管中的電流是運流電流。運流電流和傳導(dǎo)電流的顯著不同在于,運流電流不服從我們后面將要介紹的歐姆定律。就是說,運流電流的電流密度不與電場強度成正比,有時候,二者的方向可能不一致。同樣,運流電流也不服從焦耳定律。電場對運流電流所做的功,不會變化為熱量,而是使得電荷加速。

當(dāng)體密度為ρ的帶電粒子以速度v運動時,運流電流密度為

3.1.2電荷守恒定律

電荷守恒定律表明,任一封閉系統(tǒng)的電荷總量不變。也就是說,任意一個體積V

內(nèi)的電荷增量必定等于流入這個體積的電荷量。因而,在體電流密度為J的空間內(nèi),任取一個封閉的曲面S,通過S

面流出的電流應(yīng)該等于以S

為邊界的體積V

內(nèi)單位時間內(nèi)電荷減少的量,即

式中V

是邊界S

所限定的體積。因積分是在固定體積內(nèi)進行的,即積分限與時間無關(guān),所以上式微分可以移到積分內(nèi)。一般情況下J

是空間點r

和時間t的函數(shù),故而要寫成求偏導(dǎo)的形式,從而有

上式是電荷守恒的數(shù)學(xué)表達式,亦稱為電流連續(xù)性方程的積分形式。對其應(yīng)用散度定理,則有

要使這個積分對任意的體積V

均成立,必須使被積函數(shù)為零,即

此式是電流連續(xù)性方程的微分形式。

在恒定電流的情況下,雖然帶電粒子不斷地運動,但是從宏觀上看,可認(rèn)為某點的帶電粒子離開以后,立即由相鄰的帶電粒子來補償,以便保證電流的恒定。也就是說,導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi),任意點的電荷分布不隨時間變化,即

因此,恒定電流場的電流連續(xù)性方程變?yōu)?/p>

上式是保證恒定電流場的條件,也叫作恒定電流場的方程。其積分形式是

上述方程表明,恒定電流J

的矢量線總是無起始點、無終點的閉合曲線。

3.1.3歐姆定律的微分形式

導(dǎo)體中由于存在自由電子,在電場的作用下,這些自由電子作定向運動,就形成了電流。實驗表明,對于線性各向同性的導(dǎo)體,任意一點的電流密度與該點的電場強度成正比,即

上式叫作歐姆定律的微分形式。σ是電導(dǎo)率,其單位是西門子/米(S/m)。表31列出了幾種材料在常溫(20℃)下的電導(dǎo)率。

以上的歐姆定律是電源外部的情形?，F(xiàn)在討論電源內(nèi)部的情況。在電源內(nèi)部,一定有非靜電力存在。這個非靜電力使正電荷從電源負(fù)極向正極運動,不斷補充極板上的電荷,從而使得電荷分布保持不變,這樣便可以維持恒定電流。所以說,非靜電力是維持導(dǎo)體內(nèi)電流恒定流動的必要條件。所謂非靜電力,是指不是由靜止電荷產(chǎn)生的力。例如,在電池內(nèi),非靜電力指的是由化學(xué)反應(yīng)產(chǎn)生的使正、負(fù)電荷分離的化學(xué)力;在發(fā)電機內(nèi),非靜電力是指電磁感應(yīng)產(chǎn)生的作用于電荷上的洛侖茲力

我們將非靜電力對電荷的影響等效為一個非保守電場(也叫非庫侖場),其電場強度E'只存在于電源內(nèi)部。在電源外部只存在由恒定分布的電荷產(chǎn)生的電場,稱為庫侖場,以E

表示。在電源內(nèi)部既有庫侖場E,也有非保守電場E',二者方向相反。為了定量描述電源的特性,引入電動勢這個物理量。其定義是:在電源內(nèi)部搬運單位正電荷從負(fù)極到正極時非靜電力所做的功,用E表示(見圖3-3),其數(shù)學(xué)表達式為

圖3-3電動勢

對于恒定電流而言,與之相應(yīng)的庫侖電場E

是不隨時間變化的恒定電場,它是由不隨時間變化的電荷產(chǎn)生的,因而,其性質(zhì)與由靜止電荷產(chǎn)生的靜電場相同,即

式中積分路徑l是電源之內(nèi)或之外的導(dǎo)體中的任意閉合回路,式中的電場表示由庫侖場和非保守場疊加而成的總電場。

我們可以將電動勢用總電場(庫侖場與非庫侖場之和)的回路積分表示:

式中的積分是沿整個電流回路進行的。

3.1.4焦耳定律

金屬導(dǎo)體內(nèi)部的電流是由自由電子在電場力的作用下定向運動而形成的。自由電子在運動過程中不斷與金屬晶格點陣上的質(zhì)子碰撞,由于質(zhì)子的質(zhì)量大約是自由電子的1837倍,因而在碰撞過程中近似地認(rèn)為質(zhì)子的位置不發(fā)生移動。這樣整個碰撞過程是一個非彈性碰撞,就是說碰撞前后的機械能不守恒。電子碰撞中,把自身的能量傳遞給質(zhì)子,使晶格點陣的熱運動加劇,導(dǎo)體溫度上升。這就是電流的熱效應(yīng),這種由電能轉(zhuǎn)換來的熱能稱為焦耳熱。

當(dāng)導(dǎo)體兩端的電壓為U,流過的電流為I

時,則在單位時間內(nèi)電場力對電荷所做的功,即功率是

在導(dǎo)體中,沿電流線方向取一長度為Δl、截面為ΔS

的體積元,該體積元內(nèi)消耗的功率為

當(dāng)ΔV→0時,取ΔP/ΔV

的極限,就得出導(dǎo)體內(nèi)任一點的熱功率密度,表示為

或

此式就是焦耳定律的微分形式。

應(yīng)該指出,焦耳定律不適合于運流電流。因為對于運流電流而言,電場力對電荷所做的功轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾傻膭幽?而不是轉(zhuǎn)變?yōu)殡姾膳c晶格碰撞的熱能。

3.1.5恒定電流場的基本方程

我們將電源外部導(dǎo)體中恒定電場的基本方程歸納如下:

與其相應(yīng)的積分形式為

電流密度J與電場強度E

之間滿足歐姆定律J=σE。

以上的電場是指庫侖場,因為在電源外的導(dǎo)體中,非庫侖場為零。

由于恒定電場的旋度為零,因而可以引入電位φ,E=-?φ。在均勻?qū)w內(nèi)部(電導(dǎo)率σ為常數(shù)),有

3.1.6恒定電流場的邊界條件

將恒定電流場基本方程的積分形式應(yīng)用到兩種不同導(dǎo)體的界面上(如圖3-4所示)可得出恒定電流場的邊界條件為

或

這表明,電流密度J在通過界面時其法向分量連續(xù),電場強度E

的切向分量連續(xù)。

圖3-4邊界條件

在恒定電場中,用電位φ表示的邊界條件為

如前所述,在導(dǎo)體的電導(dǎo)率為常數(shù)時,在恒定電流情形下,導(dǎo)體內(nèi)體電荷密度為零。對于分區(qū)均勻的導(dǎo)體,電荷只能分布在分界面上,其面密度為

應(yīng)用邊界條件,可得

可以看出,當(dāng)σ1?σ2,即第一種媒質(zhì)為良導(dǎo)體,第二種媒質(zhì)為不良導(dǎo)體時,只要θ1≠π/2,θ2≈0,即在不良導(dǎo)體中,電力線近似地與界面垂直。這樣,可以將良導(dǎo)體的表面看作等位面。

例3-1

設(shè)同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b,內(nèi)、外導(dǎo)體間填充電導(dǎo)率為σ的導(dǎo)電媒質(zhì),如圖3-5所示,求同軸線單位長度的漏電導(dǎo)。圖3-5同軸線橫截面

解:漏電電流的方向是沿半徑方向從內(nèi)導(dǎo)體到外導(dǎo)體,如令沿軸向方向單位長度(L=1)從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體的電流為I,則在媒質(zhì)內(nèi)(a<r<b),電流密度為

電場強度為

兩導(dǎo)體間的電位差為

這樣,可求出單位長度的漏電導(dǎo)為

例3-2

一個同心球電容器的內(nèi)、外半徑為a、b,其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為σ,求該電容器的漏電導(dǎo)。

解:媒質(zhì)內(nèi)的漏電電流沿徑向從內(nèi)導(dǎo)體流向外導(dǎo)體,設(shè)流過半徑為r的任一同心球面的漏電電流為I,則媒質(zhì)內(nèi)任一點的電流密度和電場為

內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為

漏電導(dǎo)為

我們也可以通過計算媒質(zhì)內(nèi)的焦耳損耗功率,并由P=I2R

求出漏電阻R:

3.1.7恒定電流場與靜電場的比擬

如果我們把導(dǎo)電媒質(zhì)中電源外部的恒定電場與不存在體電荷區(qū)域的靜電場加以比較,則會發(fā)現(xiàn)兩者有許多相似之處,如表32所示。

可見,恒定電場中的E、φ、J、I

和σ分別與靜電場中的E、φ、D、q

和ε

相互對應(yīng),它們在方程和邊界中處于相同的地位,因而它們是對偶量。由于二者的電位都滿足拉普拉斯方程,只要兩種情況下的邊界條件相同,二者的電位必定是相同的。因此,當(dāng)某一特定的靜電問題的解已知時,與其相應(yīng)的恒定電場的解可以通過對偶量的代換(將靜電場中的D、q和ε換為J、I和σ)直接得出,這種方法稱為靜電比擬法。

例如,將金屬導(dǎo)體1、2作為正、負(fù)極板置于無限大電介質(zhì)或無限大導(dǎo)電媒質(zhì)中,如圖3-6所示,以用靜電比擬法通過電容計算極板間的電導(dǎo)。因為電容為

式中的面積分是沿正極板進行的,線積分從正極到負(fù)極。極板間的電導(dǎo)

圖3-6兩極板間的電場

也就是說,恒定電場中的電導(dǎo)G

和靜電場中的電容C也是對偶量。如對于線間距為d,線半徑為a

的平行雙導(dǎo)線,周圍媒質(zhì)的介電常數(shù)為ε,電導(dǎo)率為σ,可從其電容

直接寫出其電導(dǎo)為

同理,由同軸線的單位長度電容公式

可以直接得出同軸線單位長度的漏電導(dǎo)

例3-3

計算深埋地下半徑為a

的導(dǎo)體半球的接地電阻

(如圖3-7所示)。設(shè)土壤的電導(dǎo)率為σ,接地半球的電導(dǎo)率

為無窮大。圖3-7半球形接地器

解:導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率,可將導(dǎo)體球看作等位體。在土壤內(nèi),半徑r等于常數(shù)的半球面是等位面。假設(shè)從接地線流入大地的總電流為I,可以容易地求出,在土壤內(nèi)任意點處的電流密度,等于電流I均勻分布在半個球面上,即

這樣,就得到土壤內(nèi)的電場為

把上述電場沿著電力線積分,積分從r=a

到無窮大,就得到接地半球的電位,即

最后求出接地電阻為

同樣,這個問題可以通過計算總的損耗功率來計算電阻。其中

P=I2R,而損耗功率能夠通過功耗密度p=J·E=σE2

的積分求出。

例3-5一個導(dǎo)體的形狀為內(nèi)半徑a,外半徑b,高度為h

的同心圓環(huán)柱狀結(jié)構(gòu)的1/4,如圖3-8所示。在下列三種情形下,求導(dǎo)體的電阻(設(shè)導(dǎo)體的電導(dǎo)率為常數(shù))。

(1)以頂面和底面為正負(fù)極;

(2)以內(nèi)外半徑為正負(fù)極;

(3)以左右側(cè)面為正負(fù)極。

圖3-8部分同心圓環(huán)電阻

解:(1)當(dāng)以上下面為正負(fù)極時,電阻器的幾何形狀與電導(dǎo)率都是均勻的,因而可以方便地算出電阻為

(2)當(dāng)以內(nèi)外半徑為正負(fù)極時,從內(nèi)半徑出發(fā)的電力線全部終止在外半徑上,此時不能采用均勻電阻器的公式計算。但是我們考慮在半徑r和半徑等于r+Δr

之間的電阻,然后用電阻的串聯(lián)公式,就可以得出電阻為

(3)當(dāng)以左右兩個側(cè)面為正負(fù)極時,可以判定電力線是一個同心圓環(huán)形狀。我們把要計算的導(dǎo)體劃分為一系列的同心圓環(huán),可以看出,每個圓環(huán)的電阻是并聯(lián)關(guān)系。我們先求出一個小圓環(huán)的電導(dǎo)值,并且把這個小的電導(dǎo)記作dG,使用電導(dǎo)的公式,即電導(dǎo)與電導(dǎo)率成正比,與面積成正比,與長度成反比,就有

對上述表達式積分,得到總的電導(dǎo)為

這樣就得到電阻為

例3-6一段金屬導(dǎo)線的橫截面為半徑等于a

的圓,導(dǎo)線長度為L,電導(dǎo)率非均勻,且其僅僅是半徑r

的函數(shù),其形式為σ=σ0r/a,求這段導(dǎo)線的電阻。

解:我們把導(dǎo)線劃分為一系列同心圓環(huán),先求出每個同心圓環(huán)的電阻,然后采用電阻并聯(lián)公式求總電阻。一個圓環(huán)元的長度是L,面積是2πrdr,電導(dǎo)率為σ=σ0r/。我們可以容易地得到這個圓環(huán)的電阻為

令此式中的Δr

趨于零,就可以用dr

來近似Δr,再采用電阻并聯(lián)公式,把每一個小電阻對應(yīng)的電導(dǎo)值疊加,并用積分計算這個疊加后的總電導(dǎo),有

最后得到電阻為

3.2磁

感

應(yīng)

強

度

運動的電荷在它的周圍不但產(chǎn)生電場,同時還產(chǎn)生磁場。由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場不隨時間變化,稱為恒定磁場,也稱為靜磁場。

恒定磁場的重要定律是安培定律(見圖3-9)。安培定律是法國物理學(xué)家安培根據(jù)實驗結(jié)果總結(jié)出來的一個基本定律。安培定律指出:在真空中載有電流I1

的回路C1

上任一線元dl1

對另一載有電流I2

的回路C2

上任一線元dl2

的作用力為

式中:I1dl1

和I2dl2

稱為電流元矢量;R

是dl1

到dl2

的距離矢量;R=|R|;μ0是真空的磁導(dǎo)率,μ0=4π×10-7H/m?；芈稢2

受到回路C1

的作用力為

需要說明的是,兩個電流元之間的磁場力并不滿足牛頓第三定律,即dF12≠-dF21,在大多數(shù)情況下,這兩個力甚至不在一條直線上,但是兩個封閉的載流回路之間的作用力滿足牛頓第三定律。

圖3-9安培定律

例3-7求載流I的有限長直導(dǎo)線(參見圖3-10)外任一點的磁場。

圖3-10例3-7用圖

解:取直導(dǎo)線的中心為坐標(biāo)原點,導(dǎo)線和z軸重合,在圓柱坐標(biāo)中計算。將式(3-29)改寫為

例3-8

求載流的圓形導(dǎo)線回路在圓心處的磁感應(yīng)強度(如圖3-11所示)。圖3-11圓形導(dǎo)線

附帶說明一下,在這個問題中,如果僅僅限定在z=0的平面求磁場,可以得到這時的磁場僅僅存在z

方向的分量,并且,在線圈內(nèi)部(r<a),磁場沿著正z

方向,在線圈外部(r>a),磁場沿著負(fù)z

方向。此時的磁場僅僅是一個變量r的函數(shù),它的詳細(xì)計算要用到完全橢圓積分,關(guān)于這一點,我們放到磁偶極子以后再來分析。但在此,我們說明一下z=0平面內(nèi)磁場的變化趨勢:在圓心處,磁場是一個常數(shù)。隨著r的增加,磁場也是增加的。當(dāng)半徑r從圓環(huán)內(nèi)部趨近于圓環(huán)半徑a

時,磁場趨于正無窮大,并且是以1/(a-r)的形式趨于無窮大的。

當(dāng)半徑r

從圓環(huán)外部趨近于圓環(huán)半徑a

時,磁場趨于負(fù)無窮大,并且是以1/(r-a)的形式趨于無窮大的。這從極限情形很好理解,當(dāng)觀察點在圓環(huán)線圈附近時,可以把線圈看作一個載流直導(dǎo)線,直導(dǎo)線的磁場在導(dǎo)線附近是趨于無窮大的。實際上,這是我們沒有考慮導(dǎo)線截面的緣故,對于實際問題,必須假定組成圓環(huán)線圈的導(dǎo)線不是無窮細(xì),而是有一個導(dǎo)線半徑r0,這樣就不會出現(xiàn)磁場為無窮大的情形。當(dāng)半徑r趨于無窮大時,磁場趨于零,并且是以1/r3

的形式趨于零。

3.3恒定磁場的基本方程

3.3.1磁通連續(xù)性原理磁感應(yīng)強度在有向曲面上的通量簡稱為磁通量(或磁通),單位是Wb(韋伯),用

Φ表示:如S是一個閉曲面,則

現(xiàn)在我們以載流回路C

產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為例,來計算恒定磁場在一個閉曲面上的通量。將式(3-29)代入式(3-33),得

由矢量恒等式

則有

而梯度場是無旋的:

所以

使用散度定理,得到

由于上式中積分區(qū)域V是任意的,所以對空間的各點,有

上式是磁通連續(xù)性原理的微分形式,它表明磁感應(yīng)強度B

是一個無源(指散度源)場

3.3.2安培環(huán)路定律

以上我們討論了磁場的通量特性和散度特性,現(xiàn)在研究它的環(huán)量特性和旋度特性。考慮載有電流I

的回路C'產(chǎn)生的磁場B,研究任意一條閉曲線C

上B

的環(huán)量。設(shè)

P

是C

上的一點(如圖3-12所示)。

圖3-12環(huán)路定律

上式就是真空中的安培環(huán)路定律。它表明在真空中,磁感應(yīng)強度沿任意回路的環(huán)量等于真空磁導(dǎo)率乘以與該回路相交鏈的電流的代數(shù)和。電流的正負(fù)由積分回路的繞行方向與電流方向是否符合右手螺旋關(guān)系來確定,如符合則取正,不符合則為負(fù)。這個公式是安培環(huán)路定律的積分形式。根據(jù)斯托克斯定理,可以導(dǎo)出安培回路定律的微分形式:

例3-9半徑為a

的無限長直導(dǎo)線,載有電流I,計算導(dǎo)體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強度。

解:在圓柱坐標(biāo)系中計算,取導(dǎo)體中軸線和z

軸重合(同例3-7的圖示)。由對稱性知道,磁場與z和?

無關(guān),只是r

的函數(shù),且只有?

分量,即磁感應(yīng)線是圓心在導(dǎo)體中軸線上的圓。沿磁感應(yīng)線取半徑為r的積分路徑C,依安培環(huán)路定律得

在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布,導(dǎo)線外電流為零,即

當(dāng)r>a

時,積分回路包圍的電流為I;當(dāng)r≤a

時,回路包圍電流為Ir2/a2。所以當(dāng)r≤a時:

當(dāng)r>a時:

寫成矢量形式為

3.4矢

量

磁

位

從上節(jié)可知,磁感應(yīng)強度的散度恒為零。由矢量恒等式我們得知,一個無源(散度源)場B

總能表示成為另一個矢量場的旋度,因此可以令

從而,可得到方程式(3-41)的分量形式:

將這三個方程與靜電場中電位的泊松方程對比,可以寫出磁矢位的解:

將其寫成矢量形式為

若磁場由面電流JS

產(chǎn)生,容易寫出其磁矢位為

同理,線電流產(chǎn)生的磁矢位為

注意,以上三個計算磁矢位的公式,均假定電流分布在有限區(qū)域且磁矢位的零點取在無窮遠(yuǎn)處(和靜電位的積分公式類似)。

磁通的計算也可以通過磁矢位表示:

其中,C是曲面S

的邊界。

例3-10求長度為l的載流直導(dǎo)線的磁矢位。

解:取如圖3-13所示的坐標(biāo)系,A

只有z

分量,場點坐標(biāo)是(r,?,z)。

圖3-13直導(dǎo)線磁矢位

當(dāng)l→∞,上式為無窮大。這是因為當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時,不能把無窮遠(yuǎn)處作為磁矢位的參考點,而以上的計算均基于磁矢位的參考點在無窮遠(yuǎn)處。實際上,當(dāng)電流分布在無限區(qū)域時,一般指定一個磁矢位的參考點,就可以使磁矢位不為無窮大。當(dāng)指定r=r0

處為磁矢位的零點時,可以得出無窮長直導(dǎo)線的磁矢位為

從上式,用圓柱坐標(biāo)的旋度公式可求出

例3-11

用磁矢位重新計算載流直導(dǎo)線的磁場。

解:坐標(biāo)系如例3-7所示,在導(dǎo)線內(nèi)電流均勻分布,導(dǎo)線外電流為零。

從電流分布可以知道磁矢位僅僅有z分量,而且它只是坐標(biāo)r的函數(shù),即

設(shè)在導(dǎo)線內(nèi)磁矢位是A1,導(dǎo)線外磁矢位是A2,則由式(3-41),得

r<a

時:

r>a

時:

考慮到磁矢位只是r

的函數(shù),以上兩個偏微分方程就化為常微分方程。對其積分,可以得出

其中,C1、C2、C3、C4是待定常數(shù)。我們先確定常數(shù)C1。由于r=0處磁矢位不應(yīng)是無窮大,所以可以定出C1=0,其余的三個常數(shù)暫時不考慮。將磁矢位代入公式

可以求出導(dǎo)線內(nèi)、外的磁場分別為

這里仍然有一個常數(shù)C3

待定?？梢詮姆纸缑嫔涎貓A周方向的磁感應(yīng)強度連續(xù)(詳細(xì)的論述見后面的恒定磁場邊界條件一節(jié))定出C3

:

導(dǎo)體外部的磁感應(yīng)強度為

通過以上幾個例題可以看出,引入磁矢位以后,簡化了計算。雖然磁矢位仍然是矢量,但是它的計算要比直接計算磁感應(yīng)強度容易。特別是對許多問題,在給定的坐標(biāo)系下,磁矢位僅僅只有一個分量,而磁感應(yīng)強度卻不止一個分量。此外,如果用求解微分方程的方法計算磁矢位,常常可以引進標(biāo)量函數(shù)表示它,從而把矢量方程簡化為標(biāo)量方程。一旦求出磁矢位,再計算其旋度,就較容易得出磁感應(yīng)強度。

3.5磁

偶

極

子

我們先考慮一個載流I、半徑為a

的圓形平面回路在遠(yuǎn)離回路的區(qū)域產(chǎn)生的磁場(如圖3-14所示)。取載流回路位于xoy平面,并且中心在原點。因為本問題的電流分布的對稱性,所以磁矢位在球面坐標(biāo)系只有A?分量。A?是r

和θ的函數(shù),與?

無關(guān)。根據(jù)這一性質(zhì),可以將場點選取在xoz平面。

圖3-14磁偶極子

在此平面里,A?

與直角坐標(biāo)的Ay

分量一致,它是電流元矢量Idl'的y

分量Iad?cos?

所產(chǎn)生的磁矢位分量總和:

式中:

如果r?a,則

從圖3-14可見:

所以

將上式代入式(3-46),積分后得出

式中,m=Iπa2,是圓形回路磁矩的模值。一個載流回路的磁矩是一個矢量,其方向與環(huán)路的法線方向一致,大小等于電流乘以回路面積,即其定義為

式中,S

是回路的有向面積。

我們可將式(3-47)改寫為

對式(3-47)在球面坐標(biāo)系中求旋度,得出磁場:

位于點r'的磁矩為m

的磁偶極子,在點r處產(chǎn)生的磁矢位為

位于外磁場B

中的磁偶極子m,會受到外磁場的作用力及其力矩。這里僅僅給出作用力及力矩的公式。作用力為

力矩為

3.6磁介質(zhì)中的場方程

3.6.1磁化強度在普通物理課程中,我們學(xué)習(xí)過任何物質(zhì)原子內(nèi)部的電子總是沿軌道作公轉(zhuǎn)運動,同時作自旋運動。電子運動時所產(chǎn)生的效應(yīng)與回路電流所產(chǎn)生的效應(yīng)相同。物質(zhì)分子內(nèi)所有電子對外部所產(chǎn)生的磁效應(yīng)總和可用一個等效回路電流表示,這個等效回路電流稱為分子電流,分子電流的磁矩叫作分子磁矩。

在外磁場的作用下,電子的運動狀態(tài)要產(chǎn)生變化,這種現(xiàn)象稱為物質(zhì)的磁化。能被引起磁化的物質(zhì)叫磁介質(zhì)。磁介質(zhì)分為三類:抗磁性磁介質(zhì)(如金、銀、銅、石墨、鍺、氯化鈉等);順磁性磁介質(zhì)(如氮氣、硫酸亞鐵等);鐵磁性磁介質(zhì)(如鐵、鎳、鈷等)。這三類磁介質(zhì)在外磁場的作用下,都要產(chǎn)生感應(yīng)磁矩,且物質(zhì)內(nèi)部的固有磁矩沿外磁場方向取向,這種現(xiàn)象叫作物質(zhì)的磁化。磁化介質(zhì)可以看作真空中沿一定方向排列的磁偶極子的集合。

為了定量描述介質(zhì)磁化程度的強弱,引入一個宏觀物理量磁化強度

M,其定義為介質(zhì)內(nèi)單位體積內(nèi)的分子磁矩,即

式中m

是分子磁矩,求和對體積元ΔV

內(nèi)的所有分子進行。磁化強度

M

的單位是A/m(安培/米)。如在磁化介質(zhì)中的體積元ΔV

內(nèi),每一個分子磁矩的大小和方向全相同(都為m),單位體積內(nèi)分子數(shù)是

N,則磁化強度為

3.6.2磁化電流

磁介質(zhì)被外磁場磁化以后,就可以看作真空中的一系列磁偶極子。磁化介質(zhì)產(chǎn)生的附加磁場實際上就是這些磁偶極子在真空中產(chǎn)生的磁場。磁化介質(zhì)中由于分子磁矩的有序排列,在介質(zhì)內(nèi)部要產(chǎn)生某一個方向的凈電流,在介質(zhì)的表面也要產(chǎn)生宏觀面電流。下面計算磁化電流密度。如圖3-15所示,設(shè)P

為磁化介質(zhì)外部的一點,磁化介質(zhì)內(nèi)部r'處體積元ΔV'內(nèi)的磁偶極矩為MΔV',它在r處產(chǎn)生的磁矢位為

圖3-15磁化介質(zhì)的場

全部磁介質(zhì)在r處產(chǎn)生的磁矢位為

可以將上式改寫為

再用恒等式

可將磁矢位的表示式變形為

上式中,n'是磁介質(zhì)表面的單位外法向矢量,第一項與體分布電流產(chǎn)生的磁矢位表達式相同,第二項與面分布電流產(chǎn)生的磁矢位表達式相同。因此,磁化介質(zhì)所產(chǎn)生的磁矢位可以看作等效體電流和面電流在真空中共同產(chǎn)生的。等效體電流和面電流密度分別為

其中,n

是磁化介質(zhì)表面的外法向。這個等效電流也叫作磁化電流(如圖3-16所示),或叫束縛電流。

圖3-16磁化電流示意圖

例3-12

半徑為a、高為L

的磁化介質(zhì)柱(如圖3-17所示),磁化強度為

M0(M0為常矢量,且與圓柱的軸線平行),求磁化電流Jm和磁化面電流JmS。圖3-17例3-12用圖

解:取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合,磁

介質(zhì)的下底面位于z=0處,上底面位于z=L

處。此時,

M=M0ez,由式(3-52)得磁化電流為

3.6.3磁場強度

在外磁場的作用下,磁介質(zhì)內(nèi)部有磁化電流Jm

。

磁化電流Jm

和外加的電流J

都產(chǎn)生磁場,這時應(yīng)將真空中的安培環(huán)路定律修正為下面的形式:

將式(3-52)代入上式,得

將上式改寫為

令

其中

H

稱為磁場強度,單位是A/m(安培/米)。于是有

與上式相應(yīng)的微分形式是

式(3-55)稱為磁介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律,式(3-56)是其微分形式

3.6.4磁導(dǎo)率

由于在磁介質(zhì)中引入了輔助量H,因此必須知道B

與H

之間的關(guān)系才能最后解出磁感應(yīng)強度B。B

和H

的關(guān)系稱為本構(gòu)關(guān)系,它表示磁介質(zhì)的磁化特性。將式(3-54)改寫為

由于歷史上的原因以及方便測量的因素,常常使用磁化強度

M

與磁場強度H

之間的關(guān)系來表征磁介質(zhì)的特性,并按照

M

與H

之間的不同關(guān)系,將磁介質(zhì)分為各向同性與各向異性、線性與非線性以及均勻與非均勻等類別。對于線性各向同性的均勻磁介質(zhì),M

與H

間的關(guān)系為

式中χm

是一個無量綱常數(shù),稱為磁化率。非線性磁介質(zhì)的磁化率與磁場強度有關(guān),非均勻介質(zhì)的磁化率是空間位置的函數(shù),各向異性介質(zhì)的

M

和H

的方向不在同一方向上。順磁

介質(zhì)的χm為正,抗磁介質(zhì)的χm為負(fù)。這兩類介質(zhì)的χm約為10-5量級。將式(3-58)代入式(3-57),得

式中:μr=1+χm,是介質(zhì)的相對磁導(dǎo)率,是一個無量綱數(shù);μ=μ0μr,是介質(zhì)的磁導(dǎo)率,單位和真空磁導(dǎo)率相同,為H/m(亨/米)。

鐵磁材料的B

和H

的關(guān)系是非線性的,并且B

不是H

的單值函數(shù),會出現(xiàn)磁滯現(xiàn)象,其磁化率χm

的變化范圍很大,可以達到106

量級。

3.6.5磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程

綜上所述,我們得到磁介質(zhì)中描述磁場的基本方程為

式(3-60)和式(3-61)是介質(zhì)中恒定磁場方程的微分形式,其相應(yīng)的積分形式為

由式(3-61)可以看出,在介質(zhì)中同樣可以定義磁矢位A,使B=?×A。在線性均勻各向同性介質(zhì)中,如采用庫侖規(guī)范,那么磁矢位的微分方程為

例3-13

同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為

b,外半徑為c,如圖3-18所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體分別流過反向的

電流I,兩導(dǎo)體之間介質(zhì)的磁導(dǎo)率為μ,求各區(qū)域的

H、B、M。圖3-18同軸線示意圖

當(dāng)a<r≤b

時,與積分回路交鏈的電流為I,該區(qū)磁導(dǎo)率為μ,可得

當(dāng)b<r≤c時,考慮到外導(dǎo)體電流均勻分布,可得出與積分回路交鏈的電流為

則

當(dāng)r>c時,這一區(qū)域的B、H、M

為零。

3.7恒定磁場的邊界條件

在不同磁介質(zhì)的分界面上,磁場是不連續(xù)的,B和H

在經(jīng)過界面時會發(fā)生突變。場矢量在不同磁介質(zhì)的界面上的變化規(guī)律叫作邊界條件。我們可以由恒定磁場基本方程的積分形式導(dǎo)出恒定磁場的邊界條件。

再來推導(dǎo)H的切向分量的邊界條件。在分界面上作一小矩形回路,回路的兩邊分別位于分界面兩側(cè),回路的高h(yuǎn)→0,令n

表示界面上Δl中點處的法向單位矢,l°表示該點的切向單位矢,b為垂直于n、l°的單位矢(注意,b

也是界面的切向單位矢,b

和積分回路C

垂直,而l°位于積分回路C

內(nèi)),如圖3-20所示。

圖3-20H的邊界條件

將介質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律

應(yīng)用在這一回路,得

若界面上的電流可以看成面電流,則

假如μ1=1000μ0,μ2=μ0,在這種情況下,當(dāng)θ1=87°時,

θ2=1.09°,B2/B1=0.052。由此可見,鐵磁材料內(nèi)部的磁感應(yīng)強度遠(yuǎn)大于外部的磁感應(yīng)強度,同時外部的磁力線幾乎與鐵磁材料表面垂直。

3.8標(biāo)

量

磁

位

根據(jù)磁介質(zhì)中恒定磁場的基本方程式(3-60)可知,在無自由電流(J=0)的區(qū)域里,磁場強度

H是無旋的。此時,磁場強度可以表示為一個標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度,即φm

稱為磁場的標(biāo)量位函數(shù)(簡稱為標(biāo)量磁位或磁標(biāo)位),單位為A(安培)。上式中的負(fù)號是為了與靜電位對應(yīng)而人為加入的。

在均勻介質(zhì)中,由式(3-60)和式(3-61)可得

將式(3-72)代入到上式中,可得磁標(biāo)位滿足拉普拉斯方程,即

所以用微分方程求磁標(biāo)位時,也同靜電位一樣,是求拉普拉斯方程的解。磁場的邊界條件用磁標(biāo)位表示時,為

磁標(biāo)位在求解永磁體的磁場問題時比較方便(因其內(nèi)無自由電流)。永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣的磁導(dǎo)率,因而永磁體表面是一個等位(磁標(biāo)位)面,這時可以用靜電比擬法來計算永磁體的磁場。

以上我們討論的是均勻磁介質(zhì)中無自由電流時磁標(biāo)位的微分方程。對非均勻介質(zhì),在無源區(qū)(J=0)引入磁荷的概念后,磁標(biāo)位滿足泊松方程,即

式中:

ρm是等效磁荷體密度。此時邊界條件式(3-75)不變,而式(3-74)要作相應(yīng)的修改,詳細(xì)內(nèi)容請參看有關(guān)書籍。

3.9互

感

和

自

感

在線性磁介質(zhì)中,任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流成正比,因而穿過任意的固定回路的磁通量Φ

也與電流成正比。如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝,則總磁通量是各匝的磁通之和。稱總磁通為磁鏈,用

Ψ

表示。對于密繞線圈,可以近似認(rèn)為各匝的磁通相等,從而有

Ψ=NΦ。

一個回路的自感定義為回路的磁鏈和回路電流之比,用L表示,即

自感的單位是H(亨利)。自感的大小取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率。

我們用Ψ12表示載流回路C1

的磁場在回路C2上產(chǎn)生的磁鏈。顯然Ψ12與電流I1

成正比,這一比值稱為互感,如圖3-21所示,即

互感的單位與自感相同。同樣,我們可以用載流回路C2

的磁場在回路C1

上產(chǎn)生的磁鏈Ψ21與電流I2

的比來定義互感

M21,即

互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。

圖3-21互感

現(xiàn)在推導(dǎo)互感的計算公式。如圖3-21所示,當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸而且也遠(yuǎn)小于兩個回路之間的最近距離時,兩回路都可以用軸線的幾何回路代替。設(shè)兩個回路都只有一匝。當(dāng)回路

C1

載有電流I1

時,C2

上的磁鏈為

式中,A12為電流I1

在C2

上的磁矢位,即

因而

由上式可以看出:

這說明互感具有互易性質(zhì)?；ジ械挠嬎愎?3-80)稱為諾伊曼公式?；ジ?/p>

M

可以為正,也可以為負(fù),取決于回路正向的選擇。若I1

在C2

中的磁通為正,則

M>0,反之,M<0。

對于自感,也能寫成式(3-80)的形式:

式中dl1和dl2

都是沿回路C

的線元,它們之間的距離為R(如圖3-22所示)。當(dāng)兩個線元重合(R=0)時,積分值趨于無窮大,這是由于忽略了回路導(dǎo)線的截面所致。為了用諾伊曼公式計算自感,就必須考慮導(dǎo)線的橫截面積。

計及橫截面的因素以后,可以將自磁鏈分為外磁鏈Ψe和內(nèi)磁鏈Ψi

兩部分,相應(yīng)的自感也分為外自感Le

和內(nèi)自感Li。Ψe

是通過導(dǎo)體外部與回路的全部電流交鏈的磁鏈;而

Ψi為通過導(dǎo)體內(nèi)部,因而只與部分電流交鏈的磁鏈。計算外磁鏈時,可近似認(rèn)為全部電流I集中在導(dǎo)體回路的軸線C1

上,并將此電流的磁場與導(dǎo)體回路的內(nèi)緣C2

所交鏈的磁鏈作為外磁鏈,這樣得出外自感為

圖3-22內(nèi)自感

例3-14求無限長平行雙導(dǎo)線(如圖3-23所示)單位長外自感。

圖3-23平行雙導(dǎo)線

解:設(shè)導(dǎo)線中電流為I。由無限長導(dǎo)線的磁場公式,可得兩導(dǎo)線之間軸線所在的平面上的磁感應(yīng)強度為

磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為

所以單位長外自感為

注意,雖然諾伊曼公式提供了計算回路互感的一般方法,但是實際應(yīng)用起來常常導(dǎo)致十分繁難的積分。當(dāng)由電流分布可較容易地求出磁場時,使用式(3-78)和式(3-79)求自感和互感較為方便。諾伊曼公式證明了兩個回路互感的互易性,證明了電感與回路的幾何結(jié)構(gòu)有關(guān),與介質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān),而與電流無關(guān)。

3.10磁

場

能

量

為簡單起見,先計算兩個分別載流I1

和I2

的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量。假定回路的形狀、相對位置不變,同時忽略焦耳熱損耗。在建立磁場的過程中,兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t),最初,i1=0,i2=0,最終,i1=I1

,i2=I2。在這一過程中,電源做的功轉(zhuǎn)變成磁場能量。

我們知道,系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀態(tài)有關(guān),與建立狀態(tài)的方式無關(guān)。為計算這個能量,先假定回路2的電流為零,求出回路1中的電流i1

從零增加到I1

時,電源做的功W1;其次,回路1中的電流I1

不變,求出回路2中的電流從零增加到I2

時,電源做的功W2。從而得出這一過程中,電源對整個回路系統(tǒng)做的總功Wm=W1+W2。

式中:Ψ1=Ψ11+Ψ21是與回路C1

交鏈的總磁通;Ψ2=Ψ12+Ψ22是與回路C2

交鏈的總磁通(均假設(shè)回路為一匝)。這個結(jié)果可推廣到

N

個電流回路系統(tǒng),其磁能為

式中:

Ψji是回路j在回路i上的磁通;Ψi

是回路i的總磁通。

將回路i上的總磁通Ψi

用磁矢位表示:

式中的A

是N個回路在dl-

處的總磁矢位。將式(3-87)代入式(3-85)得

對于分布電流,用Iidli=JdV

代入上式,得

上式的積分區(qū)域是有電流的空間,可將積分區(qū)域擴展為全空間而不影響積分值。

類似于靜電場的能量可以用電場矢量D

和E表示,磁場能量也可用磁場矢量B

和H表示,并由此得出磁能密度的概念。將?×H=J

代入上式,得

注意,上式中當(dāng)積分區(qū)域V

趨于無窮時,面積分項為零(理由同靜電場能量里的類似)。于是得到

磁場能量密度為

例3-15

求無限長圓柱導(dǎo)體單位長度的內(nèi)自感。

解:設(shè)導(dǎo)體半徑為a,通過的電流為I,則距離軸心r處的磁感應(yīng)強度為

單位長度的磁場能量

所以,單位長度的內(nèi)自感為

注意,內(nèi)自感與導(dǎo)線的直徑無關(guān)。代入μ0的數(shù)值,得單位長度的內(nèi)自感為5×10-8H。

3.11磁

場

力

為了簡單起見,以下僅討論兩個回路的情形,但得到的結(jié)果可以推廣到一般情形。假設(shè)回路C1

在磁場力的作用下發(fā)生了一個小位移Δr,回路C2

不動。以下分磁鏈不變和電流不變兩種情形討論。

1.磁鏈不變

當(dāng)磁鏈不變時,各個回路中的感應(yīng)電勢為零,所以電源不做功,磁場力做的功必來自磁場能量的減少。如將回路C1

受到的磁場力記為F,它做的功為F·Δr,所以

寫成矢量形式,有

2.電流不變

當(dāng)各個回路的電流不變時,各回路的磁鏈要發(fā)生變化,在各回路中會產(chǎn)生感應(yīng)電勢,電源要做功。在回路Δr產(chǎn)生位移時,電源做的功為

由式(3-85)得磁場能量的變化為

根據(jù)能量守恒定律,電源做的功等于磁場能量的增量與磁場力對外做功之和,即

例3-16

設(shè)兩導(dǎo)體平面的長為l,寬為b,間隔為d,上、下面分別有方向相反的面電流JS0(如圖3-24所示)。設(shè)b?d,l?d,求上面一片導(dǎo)體板面電流所受的力。圖3-24平行面電流磁力

小

結(jié)

(1)恒定電流的電場和電荷分布不隨時間變化,其基本方程為微分形式為

歐姆定律的微分形式:

焦耳定律的微分形式:

均勻?qū)w中電位滿足拉普拉斯方程,即

不同導(dǎo)體界面上的邊界條件為

或

(2)導(dǎo)體中的恒定電場和介質(zhì)中的靜電場兩者的方程和邊界條件有相似的形式。兩個場的場量間有一一對應(yīng)的關(guān)系。當(dāng)二者邊界條件相同時,它們的解也有相同的形式。

(3)均勻介質(zhì)中線電流或分布電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度為

線電流:

體電流:

面電流:

(4)真空中恒定磁場的基本方程。

積分形式:

微分形式:

(5)介質(zhì)在磁場中要產(chǎn)生磁化,用磁化強度M描述磁化程度。磁場強度定義為對于各向同性介,

B=μ0μrH=μH。在介質(zhì)中安培環(huán)路定律為其微分形式是?×H=J。

(6)由?·B=0引入磁矢位A,且B=?×A。在選取?·A=0的前提下,磁矢位A滿足泊松方程或拉普拉斯方程:

或

由線電流或分布電流可以通過積分計算磁矢位:

線電流:

面電流:

體電流:

(7)恒定磁場的邊界條件:

(8)在線性介質(zhì)中,一個回路的磁鏈與引起這個磁鏈的電流成正比,其比值為電感。電感分為自感和互感。電感僅僅與回路的形狀、大小、相對位置及介質(zhì)特性有關(guān),與磁鏈和電流無關(guān)。

(9)磁場能量存在于場中,能量為

wm

稱為磁場能量密度。

(10)磁場力可以由虛位移法計算:

或第四章靜態(tài)場的解4.1邊值問題的分類4.2唯一性定理4.3鏡像法4.4分離變量法4.5復(fù)變函數(shù)法4.6格林函數(shù)法4.7有限差分法小結(jié)

1.1概

述

靜電場的計算通常是求場內(nèi)任一點的電位。一旦電位確定,電場強度和其它物理量都可由電位求得。在無界空間,如果已知分布電荷的體密度,可以通過積分公式計算任意點的電位。但計算有限區(qū)域的電位時,必須使用所討論區(qū)域邊界上電位的指定值(稱為邊值)來確定積分常數(shù);此外,當(dāng)場域中有不同介質(zhì)時,還要用到電位在邊界上的邊界條件。這些用來決定常數(shù)的條件,常統(tǒng)稱為邊界條件。我們把通過微分方程及相關(guān)邊界條件描述的問題,稱為邊值問題。

實際上,邊界條件(即邊值)除了給定電位在邊界上的數(shù)值以外,也可以是電位在邊界上的法向?qū)?shù)。根據(jù)不同形式的邊界條件,邊值問題通常分為三類:

第一類邊值問題:給定整個邊界上的位函數(shù)值;

第二類邊值問題:給定邊界上每一點位函數(shù)的法向?qū)?shù);

第三類邊值問題:給定一部分邊界上每一點的電位,同時給定另一部分邊界上每一點的電位法向?qū)?shù)。

給定導(dǎo)體上的總電量亦屬于第二類邊值問題。

4.2唯

一

性

定

理

4.2.1格林公式格林公式是場論中的一個重要公式,可以由散度定理導(dǎo)出。散度定理可以表示為

在上式中,令F=φ?Ψ,則

即

這就是格林第一恒等式。n

是面元的正法向矢量,即閉合面的外法向矢量。

將式(4-2)中的φ

和Ψ

交換,可得

式(4-3)和式(4-4)相減,可得

該式稱為格林第二恒等式。

4.2.2唯一性定理

邊值問題的唯一性定理十分重要,它表明,對任意的靜電場,當(dāng)空間各點的電荷分布與整個邊界上的邊界條件已知時,空間各部分的場就唯一地確定了。我們以泊松方程的第一類邊值問題為例,對唯一性定理加以證明。我們用反證法證明唯一性定理。假設(shè)特定的邊值問題有兩個解,然后證明兩者恒等。

設(shè)在區(qū)域V

內(nèi),φ1

和φ2滿足泊松方程,即

在

的邊界S

上,φ1

和φ2

滿足同樣的邊界條件,即

令φ=φ1-φ2,則在V內(nèi),?2φ=0,在邊界面S

上,φ|S=0。在格林第一恒等式中,令Ψ=φ,則

由于?2φ=0,所以有

在S

上φ=0,上式右邊為零,因而有

由于對任意函數(shù)φ,|?φ|≥0,所以得?φ=0,于是φ

只能是常數(shù),再根據(jù)邊界面上φ=0以及電位是連續(xù)的,可知在整個區(qū)域內(nèi)φ≡0,即φ1=φ2。

4.3鏡

像

法

鏡像法是解靜電邊值問題的一種特殊方法,它主要用來求解分布在導(dǎo)體附近的電荷(點電荷、線電荷)產(chǎn)生的場。鏡像法是應(yīng)用唯一性定理的典型范例。

4.3.1平面鏡像法

例4-1

求置于無限大接地平面導(dǎo)體上方,距導(dǎo)體面為h

處的點電荷q

的電位。

解:如圖4-1(a),設(shè)z=0為導(dǎo)體面,點電荷q

位于(0,0,h)處,待求的是z>0中的電位。我們可以把上半空間的電位看作兩部分之和,即φ=φq+φS,其中φq、φS

分別表示點電荷和導(dǎo)體面上的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位。我們不知道感應(yīng)面電荷的分布,因其分布與空間電場有關(guān),但我們知道,在上半空間僅有點電荷q,電位φ

應(yīng)滿足泊松方程;導(dǎo)體表面由所有電荷產(chǎn)生的總電位為零;且在無窮遠(yuǎn)處,總電位趨于零。

即

我們考慮圖4-1(b)所示的電荷分布。容易求得這一組電荷分布的電位為

式中:

圖4-1無限大導(dǎo)體平面上點電荷的分布

比較圖4-1(a)和圖4-1(b)后,可以看出,在z>0的區(qū)域,二者電荷分布相同,即在(0,0,h)點有一個點電荷q,在區(qū)域的邊界上有相同的邊界條件(即在z=0的平面上電位為零,在半徑趨于無窮大的半球面上電位為零)。根據(jù)邊值問題的唯一性定理,可知二者在上半空間電位分布相同。也就是說,可以用圖4-1(b)中的點電荷-q

等效圖4-1(a)中的感應(yīng)面電荷。我們稱圖4-1(b)所示問題是圖4-1(a)所示問題的等效鏡像問題。位于(0,0,-h)的點電荷-q

是原電荷q的鏡像電荷。注意,在下半空間,圖4-1(a)和圖4-1(b)電荷分布不同,因而不能用式(4-6)表示原問題z<0處的電位。

由式(4-6),可得z>0區(qū)域的電場:

由式(268)可得導(dǎo)體表面的面電荷密度:

導(dǎo)體表面總的感應(yīng)電荷:

由無限大導(dǎo)體平面引起的空間電位、電場分布如圖4-1(c)所示,導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷分布如圖4-1(d)所示。

如果導(dǎo)體平面不是無限大,而是像圖4-2(a)所示相互正交的兩個無限大接地平面,我們同樣可以運用鏡像法,此時需要用圖4-2(b)所示的三個鏡像電荷。用這些鏡像電荷代替導(dǎo)體面上的感應(yīng)面電荷以后,觀察圖4-2(a)和圖4-2(b),可以看到在待求區(qū)域內(nèi)(原電荷所在的區(qū)域),兩問題的電荷分布不變,電位邊值相同。實際上夾角為π/n(n=2,3,…)的兩個導(dǎo)體板,都可以用有限個鏡像電荷來等效原問題。

圖4-2相互正交的兩個無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

4.3.2球面鏡像法

例4-2

如圖4-3(a)所示,一個半徑為a的接地導(dǎo)體球,一點電荷q

位于距球心d處,求球外任一點的電位。圖4-3球面鏡像(a)球面鏡像原問題;(b)等效問題

解:我們先試探用一個鏡像電荷q'等效球面上的感應(yīng)面電荷在球外產(chǎn)生的電位和電場。從對稱性考慮,鏡像電荷q'應(yīng)置于球心與電荷q

的連線上。設(shè)q'離球心距離為b(b<a),

這樣球外任一點的電位是由電荷q

與鏡像電荷q'產(chǎn)生電位的疊加,即

當(dāng)計算球面上一點的電位時,有

式中r10、r20分別是從q、q'到球面上點P0

的距離。在上式中q'和b是待求量。取球面上的點分別位于離原電荷最遠(yuǎn)、最近處A、B

兩點,可以得到確定q'、b

的兩個方程:

解之得

可以驗證,當(dāng)取這樣的鏡像點電荷時,對球面上的任一點的P0,式(4-8)始終滿足。也就是說,可以用式(4-9)確定鏡像點電荷的大小和位置,用此點電荷代替導(dǎo)體球面上的感應(yīng)面電荷。與平面鏡像法相比,鏡像電荷仍然與原電荷反號,但數(shù)值不等。

可以算出球面上總的感應(yīng)電荷qin=-qa/d=q'。

如果導(dǎo)體球不接地且不帶電,可用鏡像法和疊加原理求球外的電位。此時球面必須是等位面,且導(dǎo)體球上的總感應(yīng)電荷為零。應(yīng)使用兩個等效電荷:一個是q',其位置和大小

由式(4-9)確定;另一個是q″,q″=-q',q″位于球心。

如果導(dǎo)體球不接地,且?guī)щ姾蒕,即q'位置和大小同上,q″的位置也在原點,但q″=Q-q',即q″=Q+qa/d。

例4-3空氣中有兩個半徑相同(均等于a)的導(dǎo)體球相切,試用球面鏡像法求該孤立導(dǎo)體系統(tǒng)的電容。

解:如圖4-4所示,設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電位是零,導(dǎo)體面的電位為常數(shù)。以下我們用球面鏡像法來確定導(dǎo)體所帶的總電荷。先在兩導(dǎo)體球的球心處各放相同的點電荷q。此時,如果我們僅僅考慮右側(cè)球心A處的單個電荷q

在右面的球面上產(chǎn)生的電位,則可知右面球面是等位面。

但考慮到左面的電荷q對右面導(dǎo)體球面的影響,

要維持其表面是一個等位面,必須在右側(cè)導(dǎo)體球的內(nèi)部再加上一個q1,它是左側(cè)q

在右面導(dǎo)體球上的鏡像電荷,其位置與大小由鏡像法確定。設(shè)其位于A1

處,則

右側(cè)的q在左面的導(dǎo)體球面也有一個鏡像電荷,大小也是q1,位于A'1處。由問題本身的對稱性可知,左面的電荷總是與右側(cè)分布對稱。以下僅分析右面的。左面的q1

在右導(dǎo)體球上也要成像,這個鏡像電荷記為q2,位于A2處。

以此類推,有

因而,導(dǎo)體系統(tǒng)的總電荷為

導(dǎo)體面的電位為

所以,這個孤立導(dǎo)體系統(tǒng)的電容為

圖4-4例4-3用圖

4.3.3圓柱面鏡像法

例4-4

線密度為ρl的無限長線電荷平行置于接地?zé)o限大導(dǎo)體平面前,二者相距d,如圖4-5(a)所示,求電位及等位面方程。

解:仿照點電荷的平面鏡像法,可知線電荷的鏡像電荷為-ρl,位于原電荷的對應(yīng)點。取圖4-5(b)的坐標(biāo)系,以原點為電位參考點,得線電荷ρl

電位:

同理得鏡像電荷-ρl

的電位:

任一點(x,y)的總電位:

用直角坐標(biāo)表示為

上式表示圖4-5(b)中的二平行線電荷的電位,其右半空間(x>0)中的電位就是圖4-5(a)的電位。以下討論式(4-12)所示電位在xoy

平面的等位線方程及圖形。

等位線方程為

式中m

是常數(shù)(寫成平方僅為了方便)。上式可化成

這個方程表示一簇圓,圓心在(x0,y0),半徑是R0。其中:

每一個給定的m(m>0)值,對應(yīng)一個等位圓,此圓的電位為

圖4-5(c)畫出了不同m

值的等位圓。右半空間(x>0)對應(yīng)

m>1,電位為正;左半空間(x<0)對應(yīng)m<1,電位為負(fù);y

軸對應(yīng)m=1,電位為零。m=0對應(yīng)點(-d,0),m=∞對應(yīng)點(d,0)。這一結(jié)果能計算與無限長圓柱導(dǎo)體有關(guān)的靜電問題。

圖4-5例4-4用圖(a)導(dǎo)體平面與線電荷;(b)線電荷與其鏡像電荷的坐標(biāo)關(guān)系;(c)等位線

例4-5

兩平行圓柱形導(dǎo)體的半徑都為a,導(dǎo)體軸線之間的距離是2b,如圖4-6所示,求導(dǎo)體單位長的電容。圖4-6平行雙導(dǎo)體

解:設(shè)兩個導(dǎo)體圓柱單位長帶電分別為ρl和-ρl。利用柱面鏡像法,將導(dǎo)體柱面上的電荷用線電荷ρl

和-ρl

代替,線電荷相距原點均為d,兩個導(dǎo)體面的電位分別為φ1

和φ2。依式(4-15),有

解之得

上式中的正、負(fù)號分別對應(yīng)第一、第二個圓柱體。由式(4-16),有

兩個導(dǎo)體圓柱之間單位長的電容為

當(dāng)b?a

時:

4.3.4平面介質(zhì)鏡像法

鏡像法也可以求解介質(zhì)邊界附近有電荷時的電位,如下例。

例4-6

設(shè)兩種介電常數(shù)分別為ε1、ε2

的介質(zhì)填充于x<0及x>0的半空間,在介質(zhì)2中點(d,0,0)處有一點電荷q,如圖4-7(a)所示,求空間各點的電位。

圖4-7例4-6用圖(a)介質(zhì)鏡像問題;(b)區(qū)域2等效;(c)區(qū)域1等效

解:這個問題的右半空間有一個點電荷q,左半空間沒有電荷,在界面上存在束縛面電荷。我們用鏡像法求解,把原問題分成x>0和x<0兩個區(qū)域。在求x>0區(qū)域(右半空間)的電位時,假設(shè)全空間均填充介電常數(shù)ε2

的介質(zhì),在原電荷q的對稱點(-d,0,0)放一鏡像電荷q'來代替界面上的束縛電荷;在求x<0區(qū)域(左半空間)的電位時,假設(shè)全空間填充介電常數(shù)為ε1

的介質(zhì),原電荷不存在,而在原電荷所在點(d,0,0)放一鏡像電荷q″來代替原電荷及束縛電荷的共同影響。

這樣,右半空間任一點的電位為

左半空間任一點的電位為

其中q'和q″待定。

在界面(x=0)上,由式(4-19)和式(4-20)所表示的電位,應(yīng)滿足邊界條件:

將式(4-19)和式(4-20)代入,得

解之得到q'和q″:

最后,將上式代入式(4-19)和式(4-20),可得各區(qū)電位。

4.4分

離

變

量

法

分離變量法是數(shù)學(xué)物理方法中應(yīng)用最廣的一種方法,它要求所給的邊界與一個適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系的坐標(biāo)面相重合,或分段重合;其次在此坐標(biāo)系中,待求偏微分方程的解可表示成三個函數(shù)的乘積,每一函數(shù)僅是一個坐標(biāo)的函數(shù)。這樣,通過分離變量法就可以把偏微分方程化為常微分方程進行求解。

4.4.1直角坐標(biāo)系中的分離變量法

在直角坐標(biāo)系中,拉普拉斯方程為

設(shè)φ可以表示為三個函數(shù)的乘積,即

其中

X

只是x的函數(shù),同時Y

只是y

的函數(shù),Z只是z

的函數(shù)。將上式代入式(4-22),得

然后上式各項除以

XYZ,得

以上方程的第一項只是x

的函數(shù),第二項只是y

的函數(shù),第三項只是z

的函數(shù)。要使這一方程對任一組(x,y,z)成立,這三項必須分別為常數(shù),即

在用分離變量法求解靜態(tài)場的邊值問題時,常需要根據(jù)邊界條件來確定分離常數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)或零。若在某一個方向(如x

方向)的邊界條件是周期的,則其解要選三角函數(shù);若在某一個方向的邊界條件是非周期的,則該方向的解要選雙曲函數(shù)或者指數(shù)函數(shù),在有限區(qū)域選雙曲函數(shù),無限區(qū)域選指數(shù)衰減函數(shù);若位函數(shù)與某一坐標(biāo)無關(guān),則沿該方向的分離常數(shù)為零,其解為常數(shù)。

例4-7

橫截面如圖4-8所示的導(dǎo)體長槽,上方有一塊與槽相互絕緣的導(dǎo)體蓋板,截面尺寸為a×b,槽體的電位為零,蓋板的電位為U0,求此區(qū)域內(nèi)的電位。圖4-8矩形截面導(dǎo)體槽

要從式(4-37)中解出Bn,需要使用三角函數(shù)的正交歸一性,即

將式(4-37)左右兩邊同乘以并在區(qū)間(0,a)積分,有

使用公式(4-38),

因而,得

所以,當(dāng)n=1,3,5,…時,有

當(dāng)n=2,4,6,…時,

這樣得到待求區(qū)域的電位為

例4-8

如圖4-9所示,兩塊半無限大平行導(dǎo)體板的電位為零,與之垂直的底面電位為φ(x,0),求此半無限槽中的電位。其中:

圖4-9無限長槽的電位

解:和前題類似,這是一個二維拉普拉斯方程邊值問題,φ=φ(x,y),邊界條件為

4.4.2圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法

電位的拉普拉斯方程在圓柱坐標(biāo)系中(為了不與電荷體密度混淆,取坐標(biāo)(r,?,z))表示為

對于這個方程,僅分析電位與坐標(biāo)變量z無關(guān)的情況。

當(dāng)電位與坐標(biāo)變量z

無關(guān)時,上式第三項為零,此時電位φ(r,?)滿足二維拉普拉斯方程:

運用分離變量法解之,令

其中R

只是r

的函數(shù),Φ只是?

的函數(shù)。將上式代入式(4-44),并且用RΦ

除以等式兩邊,得

上式第一項只是r

的函數(shù),第二項只是?

的函數(shù)。要其對任一點成立,必須每一項都是常數(shù)。令第一項等于n2,于是導(dǎo)出下面兩個常微分方程:

當(dāng)n≠0時,上面兩方程的解為

其中a、b、c、d都是待定常數(shù)。通常對圓形區(qū)域的問題,?

的變化范圍為0~2π,且有Φ(?)=Φ(?+2nπ),所以n

必須是整數(shù)。為滿足邊界條件,要將式(4-48)和式(4-49)的基本解疊加,構(gòu)成一般解(也稱通解)為

當(dāng)n=0時,方程式(4-46)和式(4-47)的解為

由此構(gòu)成一個基本乘積解φ0=Φ0R0。對于一般問題,通解式(4-50)應(yīng)加上φ0。但是如果討論的是一個圓形區(qū)域內(nèi)部(或外部)的問題,依據(jù)解的物理意義可以知道φ0

為零(或者為一個常數(shù)),如果是一個圓環(huán)區(qū)域的問題,系數(shù)

A0=0,B0=1。以下通過例題熟悉圓柱坐標(biāo)系分離變量法的應(yīng)用。

例4-9

將半徑為a的無限長導(dǎo)體圓柱置于真空中的均勻電場E0

中,柱軸與E0

垂直,求任意點的電位。

解:令圓柱的軸線與z軸重合,E0的方向與x

方向一致,如圖4-10所示。由于導(dǎo)體柱是一個等位體,不妨令其為零,即在柱內(nèi)(r<a),φ1=0,柱外電位φ2

滿足拉普拉斯方程。φ2

的形式就是圓柱坐標(biāo)系拉普拉斯方程的通解。以下由邊界條件確定待定系數(shù)。本例的邊界條件為

圖4-10均勻場中導(dǎo)體柱

除此之外,電位關(guān)于軸對稱,即在通解中只取余弦項,于是:

由邊界條件①可知

這樣,得

由邊界條件②,有

因這一表達式對任意的?

成立,所以

于是,有

例4-10

若在電場強度為E0的均勻靜電場中放入一個半徑為a的電介質(zhì)圓柱,柱的軸線與電場互相垂直,介質(zhì)柱的介電常數(shù)為ε,柱外為真空,如圖4-11所示,求柱內(nèi)、外的電場。圖4-11均勻場中介質(zhì)柱

解:設(shè)柱內(nèi)電位為φ1,柱外電位為φ2,φ1

和φ2

與z無關(guān)。取坐標(biāo)原點為電位參考點,邊界條件為

于是,柱內(nèi)、柱外電位的通解為

考慮本題的外加電場、極化面電荷均關(guān)于x

軸對稱,柱內(nèi)、柱外電位解只有余弦項,即

由邊界條件②,有Cn=0(n≥1),又由邊界條件①,得

于是,有

由邊界條件③和④,可得

解之,得

其中,εr=ε/ε0,是介質(zhì)圓柱的相對介電常數(shù)。于是柱內(nèi)、外的電位為

由此得柱內(nèi)、外的電場為

圓柱內(nèi)的場是一個均勻場,且比外加均勻場小,柱外的場同電偶極子的場。

例4-11

在一個半徑為a

的圓柱面上,給定其電位分布:

求圓柱內(nèi)、外的電位分布。

解:本題的電位也是與坐標(biāo)z無關(guān)。除了圓柱面上的已知電位以外,根據(jù)問題本身的物理含義,可以得出,圓柱外部的電位在無窮遠(yuǎn)處應(yīng)該趨于零,圓柱內(nèi)部的電位在圓柱中軸線上應(yīng)該為有限值。依據(jù)這一點,可以判斷出,在圓柱外,通解中的正冪項的系數(shù)為零,在圓柱內(nèi)部,通解中的負(fù)冪項的系數(shù)同樣為零。

于是,柱內(nèi)電位的通解為

待定系數(shù)A0、An、Bn

可以由界面的電位來確定,即

由傅里葉級數(shù)的有關(guān)知識,可得出

即

將這些系數(shù)代入上面的通解,得到