2025年大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題技巧與經(jīng)典例題解析一、極限計(jì)算題（共5題，每題8分）題目1求極限\(\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}\)。題目2計(jì)算\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}\)。題目3求\(\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^x\)。題目4計(jì)算\(\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}\)。題目5求\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\)。二、導(dǎo)數(shù)與微分題（共4題，每題10分）題目6設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求\(f(x)\)的極值點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的極值。題目7求函數(shù)\(y=\frac{x}{x^2+1}\)的二階導(dǎo)數(shù)。題目8設(shè)函數(shù)\(y=x^2\lnx\)，求\(\frac{dy}{dx}\)和\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。題目9求函數(shù)\(y=\sqrt{x^2+1}\)在\(x=0\)處的泰勒展開(kāi)式（前三項(xiàng)）。三、積分計(jì)算題（共4題，每題10分）題目10計(jì)算定積分\(\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx\)。題目11計(jì)算不定積分\(\int\frac{1}{x^2+2x+2}\,dx\)。題目12計(jì)算反常積分\(\int_1^\infty\frac{1}{x\lnx}\,dx\)。題目13計(jì)算二重積分\(\iint_De^{x+y}\,dx\,dy\)，其中\(zhòng)(D\)是由\(x=0\)，\(y=0\)，\(x+y=1\)圍成的區(qū)域。四、級(jí)數(shù)題（共3題，每題12分）題目14判斷級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}\)的收斂性，并求其和。題目15將函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{1-x}\)展開(kāi)成麥克勞林級(jí)數(shù)，并求其收斂域。題目16求級(jí)數(shù)\(\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n!}\)的收斂域及其和函數(shù)。五、微分方程題（共3題，每題12分）題目17求解微分方程\(\frac{dy}{dx}+2y=x\)。題目18求解微分方程\(\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+x^2\)。題目19求解微分方程\(\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+3y=0\)。六、多元函數(shù)微分題（共3題，每題12分）題目20求函數(shù)\(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\)的極值點(diǎn)。題目21計(jì)算\(\frac{\partial^2}{\partialx\partialy}(x^2y^2)\)。題目22求函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處沿方向\((1,1)\)的方向?qū)?shù)。七、線代與空間幾何題（共3題，每題12分）題目23求矩陣\(\mathbf{A}=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)的逆矩陣。題目24求向量\(\mathbf{a}=(1,2,3)\)和\(\mathbf=(4,5,6)\)的向量積。題目25求過(guò)點(diǎn)\((1,2,3)\)且平行于平面\(x+y+z=6\)的平面方程。答案答案1\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}}=e^{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}=e^{\gamma}\approxe^{0.577}\]其中\(zhòng)(\gamma\)為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)。答案2\[\lim_{x\to0}\frac{\sinx-x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{3x^2}=\lim_{x\to0}\frac{-\sinx}{6x}=0\]答案3\[\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x^2-1}\right)^x=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x^2-1}\right)^x=e^{\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{x^2-1}}=e^0=1\]答案4\[\lim_{n\to\infty}\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n^3}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3}=\frac{1}{3}\]答案5\[\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{1+x}-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{-x}{2x(1+x)}=-\frac{1}{2}\]答案6\[f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\]極值點(diǎn)\(x=0\)（極大值\(f(0)=2\)），\(x=2\)（極小值\(f(2)=-2\)）。答案7\[y'=\frac{(x^2+1)-2x^2}{(x^2+1)^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\]\[y''=\frac{-2x(x^2+1)^2-(1-x^2)\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}=\frac{2x(x^2-3)}{(x^2+1)^3}\]答案8\[y'=2x\lnx+x\]\[y''=2\lnx+3\]答案9\[y=x^2+\frac{1}{2}x^2+O(x^4)=x^2+\frac{1}{2}x^2\]答案10\[\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}\,dx=\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)\,dx=1-\frac{\pi}{4}\]答案11\[\int\frac{1}{x^2+2x+2}\,dx=\int\frac{1}{(x+1)^2+1}\,dx=\arctan(x+1)\]答案12\[\int_1^\infty\frac{1}{x\lnx}\,dx=\left.\ln(\lnx)\right|_1^\infty=\infty\]答案13\[\iint_De^{x+y}\,dx\,dy=\int_0^1\int_0^{1-x}e^{x+y}\,dy\,dx=\int_0^1(e^x-e^{1-x})\,dx=e-1\]答案14\[\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}=\sum_{n=1}^\inftyn\left(\frac{1}{2}\right)^n\]利用求和公式：\[\sum_{n=1}^\inftynx^n=\frac{x}{(1-x)^2},\quadx=\frac{1}{2}\Rightarrow2\]答案15\[f(x)=\sum_{n=0}^\inftyx^n=\frac{1}{1-x},\quad|x|<1\]答案16\[\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}=e^x,\quad|x|<\infty\]答案17\[y=e^{-2x}\left(\intxe^{2x}\,dx+C\right)=e^{-2x}\left(\frac{1}{2}e^{2x}x-\frac{1}{4}e^{2x}+C\right)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}+Ce^{-2x}\]答案18\[y=xe^x\]答案19\[y=C_1e^x+C_2e^{3x}\]答案20\[f_x=3x^2-3y,\quadf_y=3y^2-3x\]駐點(diǎn)\((0,0)\)（鞍點(diǎn)），\((1,1)\)（極小值\(-1\)）。答案21\[\frac{\partial^2}{\partialx\partialy}(x^2y^2)=4xy\]答案22\[\frac{\partialz}{\partialx}=2x,\quad\frac{\partialz}{\partialy}=2y\]方向?qū)?shù)：\[\frac{\partialz}{\partial\mathbf{u}}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}\]答案23\[\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\]答案24\[\mathbf{a}\times\mathbf=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\6\\-3\end{pmatrix}\]答案25\[\mathbf{n}=(1,1,1),\quad\text{平面方程：}x+y+z=6\]#2025年大學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽解題技巧與經(jīng)典例題解析注意核心要點(diǎn)：1.基礎(chǔ)扎實(shí)競(jìng)賽考察綜合能力，但根基在基礎(chǔ)。函數(shù)、極限、微分、積分、級(jí)數(shù)等基本概念和定理必須爛熟于心。避免因基礎(chǔ)不牢導(dǎo)致解題卡殼。2.邏輯清晰每道題需分步書(shū)寫(xiě)，邏輯鏈條要完整。即使結(jié)果錯(cuò)誤，清晰的步驟也能得分。優(yōu)先從簡(jiǎn)單方法入手，逐步深入。3.特殊值與反例復(fù)雜問(wèn)題可嘗試特殊值法（如極限題用泰勒展開(kāi)，線性代數(shù)題賦值矩陣）。反例能快速否定錯(cuò)誤命題，