2025年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽模擬題集及解析一、問(wèn)題求解題（共3題，每題20分）題目1（數(shù)據(jù)分析與預(yù)測(cè)）背景某市環(huán)保部門(mén)收集了2015-2024年每年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的數(shù)據(jù)（單位：天），如下表所示：|年份|優(yōu)良天數(shù)|||-||2015|250||2016|270||2017|260||2018|290||2019|310||2020|330||2021|320||2022|350||2023|370||2024|390|問(wèn)題1.建立合適的數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)2025年及2026年的空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)。2.分析影響空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良天數(shù)的可能因素，并解釋模型中參數(shù)的生態(tài)學(xué)意義。3.若該市計(jì)劃到2028年將優(yōu)良天數(shù)提升至450天，請(qǐng)?zhí)岢隹尚行越ㄗh并量化實(shí)施效果。答案1.模型建立采用二次多項(xiàng)式回歸模型：$$y(t)=a+bt+ct^2$$其中$t$表示年份（以2015年為0），通過(guò)最小二乘法擬合得到：$$y(t)=245+20t+2t^2$$預(yù)測(cè)2025年（$t=10$）和2026年（$t=11$）的優(yōu)良天數(shù)分別為430天和453天。2.因素分析與參數(shù)解釋影響因素可能包括：工業(yè)排放、氣象條件、政策干預(yù)。-系數(shù)$a$（245）：2015年基準(zhǔn)優(yōu)良天數(shù)，反映基礎(chǔ)環(huán)境質(zhì)量。-系數(shù)$b$（20）：年增長(zhǎng)率，體現(xiàn)政策效果或污染治理力度。-系數(shù)$c$（2）：加速增長(zhǎng)項(xiàng)，表明近年改善趨勢(shì)加速。3.提升建議-工業(yè)減排：每年減少排放量5%，預(yù)計(jì)可增加30天優(yōu)良天數(shù)。-擴(kuò)大城市綠化：新增綠地覆蓋率達(dá)10%，預(yù)計(jì)增加25天。綜合實(shí)施可使2028年優(yōu)良天數(shù)達(dá)到483天，超出目標(biāo)值33天。題目2（優(yōu)化調(diào)度問(wèn)題）背景某物流公司需在3天內(nèi)將5件貨物從倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往客戶(hù)處，貨物重量分別為2噸、3噸、1.5噸、2.5噸、1噸，運(yùn)輸工具為2輛卡車(chē)，最大載重分別為4噸和5噸。每日運(yùn)輸成本（元/噸·公里）與距離（100公里）成正比。問(wèn)題1.設(shè)計(jì)最優(yōu)運(yùn)輸方案，使總成本最低。2.若客戶(hù)要求所有貨物必須在第三天送達(dá)，請(qǐng)調(diào)整方案并說(shuō)明可行性。3.分析運(yùn)輸效率瓶頸，并提出改進(jìn)措施。答案1.基礎(chǔ)方案采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法，設(shè)$f(i,j)$為前$i$件貨物用$j$輛卡車(chē)運(yùn)輸?shù)淖钚〕杀?。最終最優(yōu)方案：-卡車(chē)1：貨物1（2噸）、貨物5（1噸），成本$2×8+1×8=24$元-卡車(chē)2：貨物2（3噸）、貨物3（1.5噸）、貨物4（2.5噸），成本$3×10+1.5×10+2.5×10=80$元總成本$24+80=104$元。2.三天方案調(diào)整為分批運(yùn)輸：-第一天：卡車(chē)1運(yùn)輸貨物1和貨物5，卡車(chē)2空載，成本24元-第二天：卡車(chē)1空載，卡車(chē)2運(yùn)輸貨物2、3、4，成本80元-第三天：卡車(chē)1和卡車(chē)2合并運(yùn)輸所有貨物，成本104元總成本不變，但滿足時(shí)效要求。3.效率瓶頸-卡車(chē)2載重利用率不足（僅78%），建議增加貨物4至3噸，使?jié)M載。-路線優(yōu)化：調(diào)整貨物裝載順序，可減少20%運(yùn)輸距離。題目3（資源配置模型）背景某地區(qū)有3個(gè)醫(yī)院（A、B、C）和5個(gè)社區(qū)（1-5），各醫(yī)院每日可提供醫(yī)療資源（床位數(shù)×醫(yī)生數(shù)）分別為：A（100×20）、B（80×15）、C（60×10）。各社區(qū)需求量（床位數(shù)×醫(yī)生數(shù)）分別為：1（50×10）、2（40×8）、3（70×14）、4（60×12）、5（50×9）。問(wèn)題1.建立模型分配醫(yī)療資源，使總服務(wù)缺口最小。2.若醫(yī)院B因擴(kuò)建減少10%資源，重新規(guī)劃分配方案。3.分析資源分配的公平性，提出改進(jìn)建議。答案1.基礎(chǔ)模型采用線性規(guī)劃：$$\minZ=\sum_{i=1}^5d_i$$約束條件：$$\sum_{j=1}^3x_{ij}\geqd_i\quad(i=1,2,3,4,5)\\\sum_{i=1}^5x_{ij}\leqS_j\quad(j=1,2,3)$$最優(yōu)分配：-社區(qū)1：醫(yī)院A（50）-社區(qū)2：醫(yī)院B（40）-社區(qū)3：醫(yī)院A（20）+醫(yī)院C（50）-社區(qū)4：醫(yī)院B（60）-社區(qū)5：醫(yī)院C（50）總?cè)笨?0$。2.擴(kuò)建后方案約束條件變?yōu)?S_B=72$，重新求解：-社區(qū)1：醫(yī)院A（50）-社區(qū)2：醫(yī)院B（40）-社區(qū)3：醫(yī)院A（30）+醫(yī)院C（40）-社區(qū)4：醫(yī)院B（60）-社區(qū)5：醫(yī)院C（50）總?cè)笨?0$。3.公平性分析-離散公平性：各社區(qū)服務(wù)量相同。-拓?fù)涔叫裕赫{(diào)整醫(yī)院B資源優(yōu)先滿足需求缺口最大的社區(qū)3。建議：建立動(dòng)態(tài)調(diào)整機(jī)制，根據(jù)人口流動(dòng)實(shí)時(shí)調(diào)配資源。二、論證題（共2題，每題25分）題目4（社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析）背景某高校收集了學(xué)生社團(tuán)參與數(shù)據(jù)，構(gòu)建了包含200名學(xué)生的社交網(wǎng)絡(luò)。通過(guò)節(jié)點(diǎn)中心性分析發(fā)現(xiàn)：社團(tuán)聯(lián)合會(huì)（節(jié)點(diǎn)1）度數(shù)最高，學(xué)術(shù)社團(tuán)（節(jié)點(diǎn)2）中介中心性最強(qiáng)。問(wèn)題1.解釋度數(shù)中心性與中介中心性的區(qū)別及其在社團(tuán)管理中的應(yīng)用。2.設(shè)計(jì)算法識(shí)別網(wǎng)絡(luò)中的潛在意見(jiàn)領(lǐng)袖（K-中心性），并舉例說(shuō)明。3.若要增強(qiáng)社團(tuán)間合作，應(yīng)優(yōu)先促進(jìn)哪些節(jié)點(diǎn)間的連接？答案1.中心性解釋-度數(shù)中心性：節(jié)點(diǎn)連接數(shù)，反映直接影響力（如社團(tuán)聯(lián)合會(huì)）。-中介中心性：節(jié)點(diǎn)控制信息流動(dòng)的能力（如學(xué)術(shù)社團(tuán)）。應(yīng)用：度數(shù)中心性選活動(dòng)組織者，中介中心性選溝通協(xié)調(diào)員。2.K-中心性算法-計(jì)算所有節(jié)點(diǎn)對(duì)的最短路徑，選擇覆蓋最多節(jié)點(diǎn)對(duì)的中心節(jié)點(diǎn)。示例：節(jié)點(diǎn)4（覆蓋節(jié)點(diǎn)1、5、8、9、10、11、12、15）。3.連接優(yōu)先級(jí)-建立社團(tuán)聯(lián)合會(huì)與各專(zhuān)業(yè)社團(tuán)的連接，提升信息傳播效率。-強(qiáng)化中介節(jié)點(diǎn)（如學(xué)術(shù)社團(tuán)）與其他社團(tuán)的連接，促進(jìn)跨領(lǐng)域合作。題目5（風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估）背景某投資組合包含3支股票（A、B、C），歷史收益率如下表：|股票|2019|2020|2021|2022|2023|||||||||A|10%|-5%|15%|-10%|20%||B|8%|12%|-8%|5%|10%||C|-3%|6%|20%|15%|-5%|問(wèn)題1.計(jì)算各股票的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，分析波動(dòng)性。2.設(shè)投資比例為$p_A=0.4,p_B=0.3,p_C=0.3$，求投資組合的期望收益率和方差。3.若要求年收益率不低于10%的概率達(dá)到90%，應(yīng)如何調(diào)整投資比例？答案1.波動(dòng)性分析-A：方差$0.0156$，標(biāo)準(zhǔn)差12.5%-B：方差$0.0049$，標(biāo)準(zhǔn)差7%-C：方差$0.0136$，標(biāo)準(zhǔn)差11.7%結(jié)論：B最穩(wěn)定，A波動(dòng)最大。2.組合指標(biāo)-期望收益率：$0.4×14.4%+0.3×9.4%+0.3×9.6%=11.2%$-方差：$0.4^2×0.0156+0.3^2×0.0049+0.3^2×0.0136+2×0.4×0.3×0.005=0.0046$3.調(diào)整方案設(shè)比例$p_A,p_B,p_C$滿足$14.4p_A+9.4p_B+9.6p_C\geq10$且$p_A+p_B+p_C=1$。優(yōu)化后比例：$p_A=0.5,p_B=0.2,p_C=0.3$，滿足條件且方差最小。三、模型建立題（共1題，30分）題目6（傳染病傳播模型）背景某地區(qū)爆發(fā)流感，初始時(shí)刻（$t=0$）有10名感染者。通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：1.易感人群（S）到感染人群（I）的轉(zhuǎn)化率$\beta=0.2$；2.感染人群恢復(fù)到移除人群（R）的轉(zhuǎn)化率$\gamma=0.1$。問(wèn)題1.建立SIR模型方程，并求解穩(wěn)態(tài)解。2.預(yù)測(cè)感染峰值時(shí)間及峰值規(guī)模。3.若實(shí)施隔離措施使$\beta$降為0.1，重新評(píng)估疫情發(fā)展。答案1.模型建立方程組：$$\frac{dS}{dt}=-\betaSI/(S+I+R)\\\frac{dI}{dt}=\betaSI/(S+I+R)-\gammaI\\\frac{dR}{dt}=\gammaI$$穩(wěn)態(tài)解：$I^*=0,S^*=N-1,R^*=1$（$N$為總?cè)丝冢?.峰值預(yù)測(cè)數(shù)值模擬（$N=1000$）：-感染峰值：$t=25$天，規(guī)模$I=65$人-總感染人數(shù)：約350人3.隔離效果新模型峰值：$t=35$天，規(guī)模$I=35$人。效果：峰值規(guī)模減少53%，峰值時(shí)間推遲10天。答案匯總問(wèn)題求解題答案1.模型為二次多項(xiàng)式回歸，參數(shù)生態(tài)學(xué)意義見(jiàn)原文。2.因素分析與參數(shù)解釋見(jiàn)原文。3.提升建議見(jiàn)原文。1.卡車(chē)優(yōu)化方案見(jiàn)原文。2.三天方案見(jiàn)原文。3.效率瓶頸分析見(jiàn)原文。1.醫(yī)療資源模型見(jiàn)原文。2.擴(kuò)建后方案見(jiàn)原文。3.公平性分析見(jiàn)原文。論證題答案1.中心性區(qū)別與應(yīng)用見(jiàn)原文。2.K-中心性算法與示例見(jiàn)原文。3.連接優(yōu)先級(jí)見(jiàn)原文。1.波動(dòng)性分析見(jiàn)原文。2.組合指標(biāo)計(jì)算見(jiàn)原文。3.調(diào)整方案見(jiàn)原文。模型建立題答案1.SIR模型方程與穩(wěn)態(tài)解見(jiàn)原文。2.峰值預(yù)測(cè)見(jiàn)原文。3.隔離效果評(píng)估見(jiàn)原文。#2025年數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽模擬題集及解析注意事項(xiàng)1.理解題目核心仔細(xì)閱讀題目，明確問(wèn)題背景、約束條件與目標(biāo)函數(shù)。用筆圈出關(guān)鍵詞，避免遺漏隱含信息（如時(shí)間跨度、數(shù)據(jù)單位等）。2.方法選擇與模型假設(shè)根據(jù)題意選擇合適模型（如優(yōu)化模型、微分方程、機(jī)器學(xué)習(xí)等），但需謹(jǐn)慎假設(shè)。假設(shè)需合理且可驗(yàn)證，避免過(guò)度簡(jiǎn)化導(dǎo)致結(jié)果失真。例如，若題目涉及人群傳播，需說(shuō)明為何假設(shè)其為線性傳播。3.數(shù)據(jù)處理與驗(yàn)證模擬題可能提供不完整數(shù)據(jù)，需思考如何補(bǔ)充或插值。對(duì)原始數(shù)據(jù)繪制圖表，觀察趨勢(shì)后再處理，避免盲目擬合。驗(yàn)證結(jié)果時(shí)，用反例檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷倪吔鐥l件（如極端輸入是否崩潰）。4.程序與符號(hào)規(guī)范代碼需分塊