考點(diǎn)18導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值（2種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的方法.4.會(huì)用導(dǎo)數(shù)研究生活中的最優(yōu)化問題．【知識(shí)點(diǎn)】1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)，右側(cè)，則a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值．(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)處的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)，右側(cè)，則b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值．(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為，極小值和極大值統(tǒng)稱為．2．函數(shù)的最大(小)值(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟：①求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．常用結(jié)論對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f′(x0)＝0”是“函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值”的必要不充分條件【核心題型】題型一利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值問題根據(jù)函數(shù)的極值(點(diǎn))求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)驗(yàn)證：求解后驗(yàn)證根的合理性．命題點(diǎn)1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值【例題1】（2024·四川廣安·二模）已知函數(shù)，給出下列4個(gè)圖象：其中，可以作為函數(shù)的大致圖象的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式1】（23-24高三上·黑龍江·階段練習(xí)）如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論正確的是（

）

A．在處取得極大值 B．是函數(shù)的極值點(diǎn)C．是函數(shù)的極小值點(diǎn) D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【變式2】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【變式3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．曲線y＝f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率小于零B．函數(shù)f（x）在區(qū)間（－1，1）上單調(diào)遞增C．函數(shù)f（x）在x＝1處取得極大值D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（－3，3）內(nèi)至多有兩個(gè)零點(diǎn)命題點(diǎn)2求已知函數(shù)的極值【例題2】（2024·寧夏銀川·一模）若函數(shù)在處取得極大值，則的極小值為（

）A． B． C． D．【變式1】（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在區(qū)間的極大值、極小值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【變式2】（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知?jiǎng)t方程可能有（

）個(gè)解.A．3 B．4 C．5 D．6【變式3】（2024·遼寧鞍山·二模）的極大值為．命題點(diǎn)3已知極值(點(diǎn))求參數(shù)【例題3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)為函數(shù)（其中）的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，若不等式成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·四川綿陽·三模）若函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)在處有極值8，則等于．【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若的極值為－2，求a的值；(2)若m，n是的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：．題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值求含有參數(shù)的函數(shù)的最值，需先求函數(shù)的定義域、導(dǎo)函數(shù)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．命題點(diǎn)1不含參函數(shù)的最值【例題4】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)），有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式2】（2024·上海徐匯·二模）如圖，兩條足夠長且互相垂直的軌道相交于點(diǎn)，一根長度為的直桿的兩端點(diǎn)分別在上滑動(dòng)（兩點(diǎn)不與點(diǎn)重合，軌道與直桿的寬度等因素均可忽略不計(jì)），直桿上的點(diǎn)滿足，則面積的取值范圍是.【變式3】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最值．(2)證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．命題點(diǎn)2含參函數(shù)的最值【例題5】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)沒有極值點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【變式2】．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)只有3個(gè)零點(diǎn)，，，則的取值范圍是．【變式3】（2024·北京海淀·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在最大值，求的取值范圍.【課后強(qiáng)化】基礎(chǔ)保分練一、單選題1．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)在處取得極小值，則極小值為（

）A．1 B．2 C． D．2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．33．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（

）A．函數(shù)的最大值為1B．函數(shù)的最小值為1C．函數(shù)的最大值為1D．函數(shù)的最小值為14．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)有個(gè)極值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題6．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)既存在極大值點(diǎn)又存在極小值點(diǎn)，則（

）A．B．C．D．對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)滿足題意7．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．三、填空題8．（2024·上海黃浦·二模）如圖是某公園局部的平面示意圖，圖中的實(shí)線部分（它由線段與分別以為直徑的半圓弧組成）表示一條步道.其中的點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上，且均為直角.若百米，則此步道的最大長度為百米.9．（2023·江西贛州·模擬預(yù)測(cè)）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值1，則.四、解答題10．（2023·河南洛陽·一模）已知函數(shù)．(1)求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在上的值域．11．（2024·上海靜安·二模）已知，記（且）．(1)當(dāng)（是自然對(duì)數(shù)的底）時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性和最值；(2)試討論函數(shù)的奇偶性；(3)拓展與探究：①當(dāng)在什么范圍取值時(shí)，函數(shù)的圖象在軸上存在對(duì)稱中心？請(qǐng)說明理由；②請(qǐng)?zhí)岢龊瘮?shù)的一個(gè)新性質(zhì)，并用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)出來．（不必證明）綜合提升練一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．-2 B．2 C．-1 D．13．（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知函數(shù)有極值，則（

）A．1 B．2 C． D．34．（2024·廣東佛山·二模）若函數(shù)（）既有極大值也有極小值，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023·甘肅蘭州·一模）已知函數(shù)的極值點(diǎn)為，函數(shù)的最大值為，則（

）A． B． C． D．6．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，則曲線的曲率．則曲線的曲率的極值點(diǎn)為（

）A． B． C． D．7．（2024·北京朝陽·一模）已知個(gè)大于2的實(shí)數(shù)，對(duì)任意，存在滿足，且，則使得成立的最大正整數(shù)為（

）A．14 B．16 C．21 D．238．（2023·河南洛陽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，且，則（

）A．有一個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn) B．有兩個(gè)極小值點(diǎn)，一個(gè)極大值點(diǎn)C．最多有一個(gè)極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn) D．最多有一個(gè)極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)二、多選題9．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)函數(shù)，公共定義域內(nèi)的任意x，若存在常數(shù)，使得恒成立，則稱和是伴侶函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)B．存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)C．與是伴侶函數(shù)D．若，則存在常數(shù)，使得與是伴侶函數(shù)10．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的極小值點(diǎn)為0，極大值點(diǎn)為，且極大值為0，則（

）A． B．C．存在，使得 D．直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)11．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則（

）A．若為減函數(shù)，則 B．若存在極值，則C．若，則 D．若，則三、填空題12．（2022·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的極小值為.13．（2023·廣東汕頭·一模）函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)為1，則的極大值是．14．（2024·上海閔行·二模）對(duì)于任意的，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題15．（2024·安徽·二模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.16．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，若函數(shù)有最小值2，求的值.17．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的最大值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．18．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在處的切線在軸上的截距為．(1)求的值；(2)若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．19．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求的值及的單調(diào)區(qū)間．(2)若的極大值為，求的取值范圍．(3)當(dāng)時(shí)，求證：．拓展沖刺練一、單選題1．（2023·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（2023·河南·三模）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在處得到極大值 B．在處得到極大值C．在處得到極小值 D．在處得到極小值3．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，若正實(shí)數(shù)使得存在三個(gè)兩兩不同的實(shí)數(shù)，，滿足，，，恰好為一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則C．當(dāng)時(shí)，可能有三個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值大于極大值二、多選題5．（2023·安徽·一模）已知函數(shù)，則（

）A．是奇函數(shù)B．的單調(diào)遞增區(qū)間為和C．的最大值為D．的極值點(diǎn)為6．（2024·浙江杭州·二模）過點(diǎn)的直線與拋物線C：交于兩點(diǎn)．拋物線在點(diǎn)處的切線與直線交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，則（

）A