A目錄

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔海南卷〕理科數(shù)學(xué)

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔山東卷〕數(shù)學(xué)〔理）

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔天津卷〕數(shù)學(xué)〔理工類(lèi)）

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)〔必修+選修I〕

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔全國(guó)卷H〕理科數(shù)學(xué)

B卷目錄

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔海南卷〕文科數(shù)學(xué)

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔江西卷〕文科數(shù)學(xué)

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔山東卷〕文科數(shù)學(xué)

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔天津卷〕數(shù)學(xué)〔文史類(lèi)）

?2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)〔必修+選修I〕

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2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔海南卷〕

理科數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)〔理〕試題頭說(shuō)明：

本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部，其中第二卷第22-24題為選考題，其它

題為必考題.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上.在本試卷上答題無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡

一并交回.

考前須知：

1.答題前，考生務(wù)必先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核本條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào),

并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.

2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用

0.5毫米的黑色中性〔簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域〔黑色線(xiàn)框〕內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.

4.保持卡面清潔，不折疊,不破損.

5.做選考題時(shí)，考生按照題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.

參考公式：

樣本數(shù)據(jù)刖，短.....后的標(biāo)準(zhǔn)參錐體體積公式

5=[（王一元）2~（X-X）2+…十（4一元）2]V=-Sh

23

其中工為樣本平均數(shù)其中S為底面面積，力為高

柱體體積公式球的外表積、體積公式

4

V=Sh5=4兀R2,y=_n^

其中S為底面面積，力為高其中/?為球的半徑

第一卷

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求

的.

1.函數(shù)y=2$皿8+0)3>0))在區(qū)間［0,2兀］的圖像如下:

那么。二〔)

2

A.1B.2D.

3

2-2z

2.復(fù)數(shù)z=l-i,那么——z-=〔)

z-1

A.2iB.-2iC.2D.-2

3.如果等腰三角形的周長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的5倍，那么它的頂角的余弦值為〔〕

A.AB—C.@D.l

18428

4.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比q=2,前〃項(xiàng)和為Sn.

S

那么上二〔)

a2

17

A.2B.4D.

若~(yú)2

5.刪

2

6.為>力>^>0,那么使得(1-aiX)<!(/=123)都成立的x取值范圍是〔〕

(/2、(1

A.0>—B.0,—C.0,—D.0?—

kaiJka\)\ai7\^3>

3-sin700,、

A.-B.—C.2D.—

222

8.平面向量a,b共線(xiàn)的充要條件是〔)

A.a,6方向相同B.d,6兩向量中至少有一個(gè)為零向量

C.32eR,b=AaD.存在不全為零的實(shí)數(shù)4,4,4。+4力=0

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動(dòng)，要求每人參加一天且每天至

多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有()

A.20種B.30種C.40種D.60種

10.由直線(xiàn)x=1,m2,曲線(xiàn))，=，及*軸所圍圖形的面積為〔〕

2x

A.—B.—C.-In2D.21n2

442

11.點(diǎn)P在拋物線(xiàn).F=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)。(2,-1)的距離與點(diǎn)P到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)距離之和取得最小值

時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔〕

A.—,—1B.(7,C.(1,2)D.(L—2)

12.刪

第二卷

本卷包括必考題和選考題兩局部.第13題~第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答.第22題~

第24題為選考題，考生根據(jù)要求做答.

二、填空題：本大題共4小題，每題5分.

13.向量。=(0,-1,1),=(4,1,0),|而+同=格且九＞0,那么2二.

22

14.設(shè)雙曲線(xiàn)=1的右頂點(diǎn)為/,右焦點(diǎn)為尸.過(guò)點(diǎn)尸平行雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交

916

于點(diǎn)B,那么△/尸8的面積為.

15.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面.該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的

9

體積為耳，底面周長(zhǎng)為3,那么這個(gè)球的體積為.

16.從甲、乙兩品種的棉花中各抽測(cè)了25根棉花的纖維長(zhǎng)度〔單位：mm],結(jié)果如下：

甲品種：271273280285285287292294295301303303307

308310314319323325325328331334337352

乙品種：284292295304306307312313315315316318318

320322322324327329331333336337343356

由以上數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)了如下莖葉圖

甲乙

3127

7550284

5422925

8733130467

94031235568

8

855332022479

741331367

343

RL

根據(jù)以上莖葉圖，對(duì)甲、乙兩品種棉花的纖維長(zhǎng)度作比擬，寫(xiě)出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論

①；

②.

三、解答題：解容許寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17.〔本小題總分值12分〕

｛q｝是一個(gè)等差數(shù)列，且出=1，%=-5.

[I]求｛/｝的通項(xiàng)4；

〔n〕求｛為｝前,項(xiàng)和s〃的最大值.

18.〔本小題總分值12分〕

如圖，點(diǎn)。在正方體ABC?！狝bC'。'的對(duì)角線(xiàn)8。上，NPD4=60。.

[I]求。。與CC所成角的大小；

【n〕求。。與平面A4'。。所成角的大小.

19.〔本小題總分值12分〕

AB兩個(gè)投資工程的利潤(rùn)率分別為隨機(jī)變量M和X2.根據(jù)市場(chǎng)分析，必和及的分布列分別為

%5%10%_________________________

X22%8%12%

P

〔I〕在A8兩個(gè)工程上各投資100萬(wàn)元，匕和匕分別表示投資工程）和8所獲得的利潤(rùn)，求方差

D￥L.DY2]

（n：將MOWxWlOO）萬(wàn)元投資/工程，100—X萬(wàn)元投資8工程，/（X）表示投資力工程所得利潤(rùn)的

方差與投資8工程所得利潤(rùn)的方差的和.求/（x）的最小值，并指出x為何值時(shí)，/（/）取到最小值.

〔注：D(aX+b)=a2DX)

20.〔本小題總分值12分〕

X2y2

在直角坐標(biāo)系四中，橢圓G：]36>0]的左、右焦點(diǎn)分別為6,Q?月也是拋物線(xiàn)

2

C2:y=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為G與G在第一象限的交點(diǎn)，且|例5|二|.

(U求G的方程；

〔n〕平面上的點(diǎn)/V滿(mǎn)足麗=礪+碇，直線(xiàn)/II例/V,且與G交于4,8兩點(diǎn)，假設(shè)礪?礪=0,

求直線(xiàn)/的方程.

21.〔本小題總分值12分〕

設(shè)函數(shù)/*)=〃+一二(。bsZ),由線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(2,7(2))處的切線(xiàn)方程為片3.

[I]求/*)的解析式：

[H]證明：函數(shù)y=/(x)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形，并求其對(duì)稱(chēng)中心；

(mj證明：曲線(xiàn)y=f(x)上任一點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)x=l和直線(xiàn)片X所圍三角形的面積為定值,并求出此

定值.

請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答，如果多做，那么按所做的第一題記分.做答時(shí)，用2B鉛筆

在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑.

22.〔本小題總分值10分〕選修4-1:幾何證明選講

如圖，過(guò)圓。外一點(diǎn)M作它的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，過(guò)A點(diǎn)作直線(xiàn)AP垂直直線(xiàn)OM，垂足為P.

[I]證明：=;

【口】N為線(xiàn)段AP上一點(diǎn)直線(xiàn)M5垂直直線(xiàn)ON，且交圓O于瓦點(diǎn).過(guò)3點(diǎn)的切線(xiàn)交直線(xiàn)ON于K證

明：/OKM=90.

23.〔本小題總分值10分〕選修4-4;坐標(biāo)系與參數(shù)方程

戶(hù)名一血,

X=cos2

曲線(xiàn)G：〔夕為參數(shù)〕，曲線(xiàn)G："為參數(shù)）.

y=sin。&

y=——

I2

〔I〕指出G,G各是什么曲線(xiàn)，并說(shuō)明G與G公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);

〔口】假設(shè)把G,G上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來(lái)的一半，分別得到曲線(xiàn)C：,G'.寫(xiě)出G'的參

數(shù)方程.C；與C；公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和G與。2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說(shuō)明你的理由.

24.〔本小題總分值10分〕選修4-5:不等式選講

函數(shù)/(%)=卜_8|_卜_4|.

[I]作出函數(shù)y=f*)的圖像；

[H)解不等式以一8|-上一4|>2.

參考答案

BBDCABCDADAC

324萬(wàn)

(13)3(14)—(15)—

153

(16).1.乙品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度大于甲品種棉花的纖維平均長(zhǎng)度〔或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度普遍

大于甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度〕。

2.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度較乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度更分散.〔或：乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度較甲品種棉花

的纖維長(zhǎng)度更集中〔穩(wěn)定〕.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度比乙品種棉花的纖維長(zhǎng)度的分散程度更大).

3.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度的中位效為307mm,乙品種棉花的纖誰(shuí)長(zhǎng)度的中位數(shù)為318mm

4.乙品種棉花的纖堆長(zhǎng)度根本上是對(duì)稱(chēng)的.而且大多集中在中間〔均值附近〕.甲品種棉花的纖維長(zhǎng)度

除一僮殊值(352)外.也大致對(duì)稱(chēng).其分布較均勻.

三、解答題

(17)解：

(1)設(shè)｛%｝的公差為d,由條件，,解出4=3]=-2,

<*

所以=%+(〃-1)1=一2"+5。

n(n-1)-/、，

⑵Sn=na1H--------d=-n~+4/?=4-(/?-2)

所以〃=2時(shí)，S”取到最大值4。

(18)解:

如圖，以。為原點(diǎn)，D4為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z。

那么礪=（1,0,0）,/=（0,0,1）.

在平面BBDD中，延長(zhǎng)DP交BD于H.

設(shè)曲=（M,M,l）（M＞0）,

由（麗，次）=60",

由DA.DH=|。小|￡＞川cos（D甘,。八）

可得2m=\l2rn2+1?

解得m=*,所以而=（4,*/、

222

—x0+—xO+lxl

22

(I)因?yàn)閏os<DH.CC>=也

1x62

所以<O",CC'>=45°.

即OP與CC所成的角為45.

〔口〕平面A477D的Y法向量是反二（0,1,0）.

^-xO+^-x1+1x0]

因?yàn)閏os<DHJDC>=2------與--------=-

lx>/22

所以＜麗，配＞=60.

可得DP與平面A4'。。所成的角為30.

19.解：

(Il由題設(shè)可知X和X的分布列分別為

EY}=5x0.8+10x0.2=6,

DY；=(5-6)2X0.8+(10-6)2X0.2

EY2=2X0.2+8X0.5+12X0.3=8,

2

DY2=(2-8)x0.2+(8—8>x0.5+(12—8)2x0.3=12.

[n]/(x)=d展

Uoo'JIloo2)

=T—1。丫+色?！礭DY.

22

=iA_[x+3(100-x)]

4

=(4x2-600x+3X1002),

當(dāng)工=瞿=75時(shí)，/(x)=3為最小值.

2x4

20.B：

〔I〕由C2:知5(1,0).

設(shè)M($,y),M在G上，因?yàn)閨MK|二g，所以斗+1=：,

,曰2276

得內(nèi)二鼻，,=一F-

M在G上，且橢圓G的半焦距C、=1,于是

48t

3b2消去從并整理得

b2=a2-\.

9a4-37a2+4=0,

解得。=2〔。=!不合題意，舍去).

3

x22

故橢圓G的方程為一+Jv=i.

43

〔II】由砒+麗=麗知四邊形是平行四邊形，其中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，

因?yàn)?〃MN，所以/與。M的斜率相同，

25/6

故/的斜率左=告=?.

3

設(shè)/的方程為了=后5-〃。.

3x2+4y2=12,

由]J消去)，并化簡(jiǎn)得

y=yj6(x-m)t

9f-16〃tr+8病一4=0.

設(shè)A。/y),B(X2,y2),

16m8m2-4

^1+^2=-，——■

因?yàn)镺A1OB,所以xw+乂必=0-

xx

X1X2+y%=[2+6(%i-m)(x2-m)

2

=lx[x2-6切(芭+x2)+6m

r8療_416m/2

=/?----------------Fow

99

1,

=-(14w2-28)=0.

所以加=±尤.

此時(shí)A=(16m)2-4x9(8加2-4)>o,

故所求直線(xiàn)/的方程為尸指1-2百,或)，=瘋+2力.

21.jg:

[I]f\x)=a

(x+b)2

2〃十」一9

1,a=-t

2+b4=1,p4

于是J解得，人T,或

1?8

ci------------=0,b=—

(2+與3

1

因a,bwZ,故f(x)=/+

x-\

【口】證明：函數(shù)X=x,必=」都是奇函數(shù).

-x

所以函數(shù)g(x)=x+，也是奇函數(shù)，其圖像是以原點(diǎn)為中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形.

X

rffif(x)=x-l+------+1.

x-l

可知，函數(shù)g(x)的圖像按向量a=(LI)平移，即得到函數(shù)/(幻的圖像，故函數(shù)/(%)的圖像是以點(diǎn)(1,1)為

中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形.

(1)

【印】證明：在曲線(xiàn)上任取一點(diǎn)Xo,毛+——

IX0-U

由廣?)=i——」知，過(guò)此點(diǎn)的切線(xiàn)方程為

(x°T)~

%)T

令X=1得>=濘，切線(xiàn)與直線(xiàn)戈=1交點(diǎn)為(1,

令y=x得》=2/-1,切線(xiàn)與直線(xiàn)y=x交點(diǎn)為(2x0-1,2/T).

直線(xiàn)匯=1與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)為(1,1).

從而所圍三角形的面積為1沼-1|2^-1-1|=|涓|2x0-2|=2.

所以，所圍三角形的面積為定值2.

22.解:

〔I〕證明：因?yàn)镸4是圓。的切線(xiàn)，所以.

又因?yàn)?P_LQM.在RtZkQAM中，由射影定理知，

0代=OM?OP.

(ni證明：因?yàn)?K是圓。的切線(xiàn)，BNA.OK.

同〔I〕，有OB'ONQK,又08=3,

所以0P?QM=QNQK,即空二絲.

OP0K

又/NOP=NMOK,

所以AONPsAOMK,故/OKM=/OPN=90「

23.解：

[I]G是圓，G是直線(xiàn).

G的普通方程為爐+)產(chǎn)=1,圓心G(OQ),半徑尸=1.

C?的普通方程為x-y+&=0.

因?yàn)閳A心G到直線(xiàn)x—y+&=0的距離為1，

所以與G只有一個(gè)公共點(diǎn).

〔n〕壓縮后的參數(shù)方程分別為

x=cosax=與一戊

C；:I.八〔8為參數(shù)〕；C；?L〔￡為參數(shù)〕.

y=-sin^g

y

4

「，1工友

2=X

化為普通方程為：C；:X+4/=1Rc?:y2~2

聯(lián)立消元得"+2億+1=。，

其判別式△=(20)2—4x2x1=0,

所以壓縮后的直線(xiàn)G'與橢圓G'仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和G與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同.

24.解：

4,xW4,

[I]/(x)=?-2x+12,4vxW8,

-4x>8.

圖像如下:

y

in]不等式|%-8|-|元一4|>2,即/（不>2,

由一2x+12=2彳導(dǎo)x=5.

由函數(shù)/")圖像可知，原不等式的解集為(-8,5).

2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試〔山東卷〕

數(shù)學(xué)〔理〕

第一卷〔共60分〕

參考公式：

球的外表積公式：S=4nr2,其中R是球的半徑.

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是p,那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率:

k

Pn(k)=Cf,pk(l-p)n-k(k=0,1,2,,n).

如果事件A、B互斥，那么P〔A+B〕=P(A)+P⑻.

如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P〔AB〕=P(AJP⑻.

一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符

合題目要求的.

⑴滿(mǎn)足"—且Mc{4,生,/}={〃],出}的集合M的個(gè)數(shù)是

(A)1(B)2(C)3(D)4

解析：此題考查集合子集的概念及交集運(yùn)算。

集合M中必含有4M2那么知={4,4}或"={q,a2MJ

z

⑵設(shè)Z的共柜復(fù)數(shù)是三，或z+W=4,z?W=8,那么Z等于

(A)1⑻-i(C)±l(D)±i

解析：此題考查共鴕復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算。

./二(2±2i)2二土

可設(shè)三=2+初，由z?5=8得4+〃2=8,力=±2.z88

,,71萬(wàn)、

y-Incosx(---<x<一)

(3)函數(shù)22的圖象是

解析：此題考查復(fù)合函數(shù)的圖象。

(n吟

y=\ncosx——<x<—

I22J是偶函數(shù)，可排除B,D;由cosx的值域可以確定。

⑷設(shè)函數(shù)小)=b+收”-4的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=l對(duì)稱(chēng)，那么a的值為

(A)3(B)2(C)l0)-1

解析：此題考直分段函數(shù)的圖象。

CD可排除，對(duì)于A,B可驗(yàn)證。

7i4(―7/

cos(a--)+sina=—V3sin(aH----)

⑸65,那么6的

2732—4

(A]-5⑻5(C)-5

O2.2

的視圖正住)W留他依海圖

解析：此題考查三角函數(shù)變換與求值。

乃、.6,3.4rr1y/3.4

cos(a---)+sina——cosa+—sina——V3—cosa+--sina--

6225225

7乃乃(y/3.1、__4

sin(6f+一)=-sm(a+—)=-——sma+—cosa—?

66122J5

(6)刪

[7]在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)為1,2,3，…，18的18名火炬手.假設(shè)從中任選3人，那

么選出的火炬手的編號(hào)能組成3為公差的等差數(shù)列的概率為

11

(A)51(B)68

11

(C)306(D)408

解析：此題考查古典概型。

根本領(lǐng)件總數(shù)為G：=17x16x3。

選出火炬手編號(hào)為為=4+35-1),

4印時(shí)，由147,10,13,16可得4種選法;

%=2時(shí)，由2,5,8,11,14,17可得4種選法；

%=3時(shí)，由3,6,9,12,15,18可得4種選法。

4+4+4_1

17x16x368

⑻右圖是根據(jù)?山東統(tǒng)計(jì)年整2007?中的資料作成的1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶(hù)家庭人口數(shù)的

莖葉圖.圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶(hù)家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表

示城鎮(zhèn)居民百戶(hù)家庭人口數(shù)的個(gè)位數(shù)字，從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶(hù)家庭人口

數(shù)的平均數(shù)為

解析：此題考查莖葉圖、用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體特征。

1+1+5+8+2+6+0+2+4+7、，

---------------------------------------------=3.6

10

1

〔9〕〔x-正)12展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為

(A)-1320[B]1320(C)-220(D)220

解析：此題考查二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

刀+尸C，飛表"?/=(-1)0上瑤,

4。=(—1)9《Y=一4口

5

(10)設(shè)橢圓Cl的離心率為13,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26.假設(shè)曲線(xiàn)C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的

距離的差的絕對(duì)值等于8,那么曲線(xiàn)C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為

__2_=

(A)『(B)13252

￡_q=1工上

(C)3242(D)I?"IF

解析：此題考查橢圓、雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程

^._Z

對(duì)于橢圓C,々=13,0=5,曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，c=5，a=4,"=3,標(biāo)準(zhǔn)方程為：儲(chǔ)32=1

[11]圓的方程為x2+y2-6x-8y=0.設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)[3,5)的最長(zhǎng)弦和翅弦分別為AC和BD,那么四邊

形ABCD的面積為

(A)10n⑻20網(wǎng)?30口[D]40后

解析：此題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系

("一貨+3-4)2=25,過(guò)點(diǎn)(3,5)的最長(zhǎng)弦為AC=10,最短弦為

BD=2中=4底S*BD=2Q瓜

x+2y-19>0,

<x-y+8>0,

2x+y-14<0

(12)設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸,使函數(shù)y=ax(a>0,"1)的圖象

過(guò)區(qū)域M的a的取值范圍是

第二卷〔共90分〕

二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分.

(13)刪

(14)刪

[15]a,b,c為SBC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，向量m=[),n=(cosA,sinA).假設(shè)m

TC

±n,且acosB+bcosA=csinC,那么角B=6

解析：此題考查解三角形

A=5.

V3cosA-sinA=0l3sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，

,c=-

sin/IcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC=sin2C'~~2'

(16)假設(shè)不等式|3x-b|<4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3,那么b的取值范圍為[5,7).

解析：此題考查絕對(duì)值不等式

Z?—4

0<——<1

3

33c"4"

3<-------<4

3，解得5<8<7

三、解答題：本大題共6小題，共74分

〔17〕〔本小題總分值12分)

函數(shù)f(x)=&sin(如+⑺-cos@r+9)(0<。<乃M>0)為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)

乃

軸間的距離為5.

7t

[I]美洲f〔F〕的值；

It

〔n：將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移7個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)舒暢長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，

縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y二g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.

解,[I)f(x)=gsin(s+8)-cos@r+e)

JV3./、1//

2sin(/7ir+(p)~—+(p)

=L-

71

=2sin(m+9?6)

因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，

所以對(duì)x￡R,f(-x)=f(x)恒成立，

itit

因此sin〔-3E+8.6)=sin(^+^.6),

nitTtTt

即-sin皈cos(0-6)+cos⑵sin(8-6)=sjnducos(^_6)+cos以sin(0?6),

71It

整理得sin血cos(。-6)=0.因?yàn)椤?gt;0,且x￡R,所以cos(^-6)=0.

兀江乃

又因?yàn)楣?-7=5.所以f(x)=2sin(以+5)=2cos皿.

-=2--,所以co=2.

co2

由題意得

故f(x)=2cos2x.

/(—)=2cos—=V2.

因?yàn)?4

-

〔n〕將f(x)的圖象向右平移個(gè)6個(gè)單位后,得至I」6的圖象,再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4

/(---)

倍，縱坐標(biāo)不變,得到46的圖象

所以g(x)=f(---)=2cod2(---)=2cos/(y--).

7CTC

當(dāng)2kTT423<2kTT+n(keZ),

2冗防

即4kir+<3<x<4kn+3(k￡Z)時(shí)，g(x)單調(diào)遞減.

\.271Al8/

因此g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為L(zhǎng)33J(kGZ)

(18)〔本小題總分值12分〕

甲乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人答復(fù)一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，

2222

答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為§,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為表示甲隊(duì)的總

得分.

(I】求隨機(jī)變量E分布列和數(shù)學(xué)期望；

(n)用A表示"甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3"這一事件，用B表示"甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分〃這

一事件，求P(AB).

(I懈法一：由題意知，￡的可能取值為0,1,2,3,且

21222

312

P(e=0)=C°3x(1--)=—,=1)=C3x-x(1--)=-,

22223a43，2'8所以E的分布列為

產(chǎn)(￡=2)=C93X(-)9X(l--)=-,P(￡=3)=C3x(§)3二點(diǎn).

E0123

1248

P

279927

￡的數(shù)學(xué)期望為

八112c4c8△

0x—4-1x—F2X—F-jx—=2.

EE=279927

2

—5(3,彳)

解法二：根據(jù)題設(shè)可知3

因此￡的分布列為

p(￡=k)=C3kX(2/X(1_2)24=c)x1,2=04,2,3.

92

因?yàn)長(zhǎng)8(3,§),所以&=3x-=2

in：解法一：用C表示"甲得2分乙得1分〃這一事件，用D表示"甲得3分乙得0分〃這一事件，

所以AB=CUD,且C、D互斥，又

八，22八2、211121211

尸(C)=C~3X(―)2x(l——)x—X-X-+-X—X—+—X-X—

33|_332332332」

10

方

22

P(D)=C3X(1)X(1X1X1)=^-,

由互斥事件的概率公式得

1043434

P（AB）=P（C）+P（Q）=3+元=*=赤

?解法二：用Ak表示"甲隊(duì)得k分〃這一事件，用Bk表示"已隊(duì)得k分〃這一事件，k=0,123由于事

件A3B0,A2Bl為互斥事件，故事

P(AB)=P(A3BOUA2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).

守嗎xf+c/xj*：心告

34

一運(yùn)

（19）（本小題總分值12分）

將數(shù)列｛an｝中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:

al

a2a3

a4a5a6

a7a8a9alO

記表中的第一列數(shù)al,a2,a4,a7,構(gòu)成的數(shù)列為｛bn｝,bl=al=l.Sn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，

2b.

且滿(mǎn)足=3-2“1=（n>2].

2b〃二i1

b凡-S；'(1)證明數(shù)列｛S。｝成等差數(shù)列,

乂S〃=4+b?,

并求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式;

2(S〃-S,-)=i

所以

(S“-S,I電-S2〃'4

%=------

2(S〃-S,i)=]in1%時(shí)，求上表中第k(k

即

-S",，

23)行所有項(xiàng)和的和.

11_1

S_―77?-2?

nn-\(I)證明：由，

又S|=。=/=1.

所以數(shù)列｛卷｝是首項(xiàng)為，公差為;的等差數(shù)列

1,

由上可知」-11z1、n+\

-=1t+—=-------

S.22n=l

2

即5?=

〃+1a=

222

所以當(dāng)nN2H寸，A〃=-S“T2

n+1hn(n+1)..〃5+1)'

n>2.

[II]解：設(shè)上表中從第三行起,每行的公比都為q,且q>0.

1+2+…+12=^^=78,

因?yàn)?

所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列｛an｝的前78項(xiàng),

故a82在表中第13行第三列，

,24

,,%2=%?q-=飛

因此4男

2

又13x14'

所以q=2.

記表中第k(k23)行所有項(xiàng)的和為S,

4(i-T)2_