2023-2024學(xué)年湖北省武漢市東西湖區(qū)九年級(jí)上學(xué)期數(shù)學(xué)期中試題及答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為（）A.3，5，7 B.3，， C.3，，7 D.3，5，【答案】B【解析】【分析】先化成一般形式，即可得出答案．【詳解】解：方程3x2=5x+7轉(zhuǎn)化為一般形式為3x2-5x-7=0，其中二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別為3，-5，-7，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，注意：說(shuō)項(xiàng)的系數(shù)帶著前面的符號(hào)．2.下列圖案中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)軸中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A錯(cuò)誤；B．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故B錯(cuò)誤；C．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故C錯(cuò)誤；D．是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形和軸對(duì)稱(chēng)圖形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心．3.用配方法解方程時(shí)，下列配方結(jié)果正確的是（）A.B.C.D【答案】B【解析】【分析】本題實(shí)際上是把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．【詳解】解：移項(xiàng)得：x2+2x=5配方得：x2+2x+1=5+1，即（x+1）2=6．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程．熟練掌握配方法解一元二次方程的方法步驟是解題關(guān)鍵．4.下列方程中，沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查的是根的判別式的應(yīng)用，偶次方非負(fù)性的應(yīng)用，熟練的利用“根的判別式判斷一元二次方程根的情況”是解題關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，則方程無(wú)解；故A符合題意；∵，∴，方程有兩個(gè)不相等是實(shí)數(shù)根，故B不符合題意；∵，∴，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，故C不符合題意；∵，∴，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故D不符合題意；故選A5.把拋物線(xiàn)向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的解析式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移，根據(jù)拋物線(xiàn)的平移規(guī)則：左加右減，上加下減，即可求解．【詳解】解：把拋物線(xiàn)向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，所得拋物線(xiàn)的解析式是，故選：C．6.如圖，，，是⊙上的三個(gè)點(diǎn)，如果∠°，那么∠的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在弧AB上取一點(diǎn)D，連接AD,BD，利用圓周角定理可知,再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出∠的度數(shù).【詳解】如圖，在弧AB上取一點(diǎn)D，連接AD,BD，則∴故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A周角定理及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.設(shè)，，是拋物線(xiàn)上的三點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，∵對(duì)稱(chēng)軸，∴離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，∵離對(duì)稱(chēng)軸最遠(yuǎn)，離對(duì)稱(chēng)軸最近，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)理解離對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大是解題的關(guān)鍵．8.如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，3），線(xiàn)段AB繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度與線(xiàn)段CD重合（C、D均為格點(diǎn)），若點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)C，則它的旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是（）A.（1，2） B.（2，1） C.（3，1） D.（5，4）【答案】B【解析】【分析】畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．【詳解】解：平面直角坐標(biāo)系如圖所示，作AC、BD的垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)E，旋轉(zhuǎn)中心是E點(diǎn)，E（2，1）．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化﹣旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是理解對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．9.已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值等于（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程的根的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得到，，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴，，∴，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解的定義，已知式子的值求代數(shù)式的值，正確理解一元二次方程的解及根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10.如圖，，，，是上的四個(gè)點(diǎn)，，若四邊形的面積是，的長(zhǎng)是，則與的關(guān)系式是（） B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先證明是等邊三角形，作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則是等邊三角形，進(jìn)而證明得出四邊形的面積等于的面積，即可求解．【詳解】解：∵，，，是上的四個(gè)點(diǎn)，，∴，，∴是等邊三角形，∴，如圖所示，作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴則是等邊三角形∵，∴，又∵∴∴∴四邊形的面積等于的面積，∵∴，∴∵四邊形面積是，的長(zhǎng)是，∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角相等，全等三角形的性質(zhì)與判定，列函數(shù)關(guān)系式，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題6小題，每小題3分，共18分）11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)___________關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)．【答案】【解析】【分析】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，由此特征即可求得．【詳解】解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)”這一特征是關(guān)鍵．12.某校截止到年底，校園綠化面積為平方米．為美化環(huán)境，該校計(jì)劃年底綠化面積達(dá)到平方米．利用方程想想，設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，依題意列出一元二次方程即可求解．【詳解】解：設(shè)這兩年綠化面積的年平均增長(zhǎng)率為，則依題意列方程為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．13.如圖，PA，PB分別切⊙O于A(yíng)，B，并與⊙O的切線(xiàn)，分別相交于C，D，已知△PCD的周長(zhǎng)等于10cm，則PA=__________cm．【答案】5【解析】【詳解】如圖，設(shè)DC與⊙O的切點(diǎn)為E，∵PA、PB分別是⊙O的切線(xiàn)，且切點(diǎn)為A、B，∴PA=PB，同理，可得：DE=DA，CE=CB，則△PCD的周長(zhǎng)=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm），∴PA=PB=5cm，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握切線(xiàn)性質(zhì)．14.如圖，中，，在同一平面內(nèi)，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，則等于________.【答案】##40度【解析】【分析】先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算出，即可得的值．【詳解】解：∵，∴，∵將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到的位置，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．15.如圖是拋物線(xiàn)的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，則下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤一元二次方程有兩個(gè)互異的實(shí)根，其中正確的結(jié)論________．【答案】①④⑤【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)和一元二次方程根的判別式：利用對(duì)稱(chēng)軸及圖象判斷①和②；根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱(chēng)軸得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的范圍，當(dāng)時(shí)，代入可判斷③；根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式可判斷④，利用一元二次方程根的判別式可判斷⑤；掌握一元二次方程根的判別式及二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象得：，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為：，即：，則，，故①正確；，故②錯(cuò)誤；拋物線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，對(duì)稱(chēng)軸為，拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)和之間，當(dāng)時(shí)，，故③錯(cuò)誤；頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，，故④正確；原方程移項(xiàng)，得：，，故⑤正確，則正確的結(jié)論為：①④⑤，故答案為：①④⑤．16.如圖，在中，，，P是上一點(diǎn)，，Q是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將Q繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)．連接，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】先將繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得點(diǎn)的軌跡為，進(jìn)而可得O到的距離為的長(zhǎng)度．根據(jù)勾股定理求出，最后根據(jù)30度角的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】點(diǎn)Q在A(yíng)B上運(yùn)動(dòng)，即Q點(diǎn)的軌跡為AB，那么將AB繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)就得到點(diǎn)的軌跡，于是將繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，的最小值為點(diǎn)O到的距離．由旋轉(zhuǎn)得∵中，，，∴∴∴∴O到的距離為的長(zhǎng)度．過(guò)作于F，則，四邊形是矩形．∵，∴∵，∴即的最小值為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，能夠根據(jù)題意得出點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵.三、解答題（本題有8題，共72分）17.解下列一元二次方程．（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）本問(wèn)考查的利用公式法解一元二次方程，先計(jì)算根的判別式，再求解；（2）本問(wèn)考查的是利用因式分解法解方程，先把方程左邊分解因式，再求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵，，，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，即，；【小問(wèn)2詳解】解：，∴，∴或，解得：，．18.如圖，，比較與的長(zhǎng)度，并證明你的結(jié)論．【答案】＝，見(jiàn)解析．【解析】【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由AD=BC解得＝，繼而得到＝．【詳解】解：＝，證明如下：∵AD＝BC，∴＝，∴＋＝＋，即＝．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．19.已知拋物線(xiàn)中自變量x和函數(shù)值y部分對(duì)應(yīng)值如表所示：x012345y441428（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出該拋物線(xiàn)的解析式；（3）當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是；（4）當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是．【答案】19.20.21.或22.【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由表得：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，故答案為：【小問(wèn)2詳解】由（1）得：頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，則拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式為：，當(dāng)時(shí)，，代入頂點(diǎn)式得：，解得：，該拋物線(xiàn)的解析式為：，故答案為：【小問(wèn)3詳解】由表得：當(dāng)時(shí)，或，該拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為：或，故答案為：或【小問(wèn)4詳解】由表得，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為：，故答案為：【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、待定系數(shù)法、二次函數(shù)與不等式；（1）根據(jù)表格得對(duì)稱(chēng)軸，即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將拋物線(xiàn)的解析式變?yōu)轫旤c(diǎn)式，利用待定系數(shù)法即可；（3）根據(jù)拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向及當(dāng)時(shí)自變量的值可得當(dāng)時(shí)，x的取值范圍；（4）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用即可求解；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．20.如圖，是的直徑，C，D都是上的點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)D作的垂線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）求證：是的切線(xiàn)；（2）若，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）2【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角以及角平分線(xiàn)平分角，得到，得到，進(jìn)而得到，即可得證；（2）連接，交于H，圓周角定理，得到，勾股定理求出的長(zhǎng)，垂徑定理和三角形的中位線(xiàn)定理，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，證明四邊形為矩形，得到，即可得解．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖1，連接，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線(xiàn)；【小問(wèn)2詳解】連接，交于H，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的判定，圓周角定理，垂徑定理，三角形的中位線(xiàn)定理，矩形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用．21.如圖，是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A，B，C，O都在格點(diǎn)上．只用無(wú)刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫(huà)圖，不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線(xiàn)表示．（1）在圖中畫(huà)出繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得到的（其中點(diǎn)A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，）；（2）D是上一點(diǎn)，在圖中畫(huà)出D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；（3）在圖中描出的外心P，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）作圖見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）依題意，分別作出A，B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，再依次連接，即可作答；（2）先作出B關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，與的交點(diǎn)為，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)；（3）的外心P是指的外接圓的圓心，即三邊的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)，分別作三邊的垂直平分線(xiàn)，它們的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；然后利用勾股定理以及等面積法進(jìn)行作答即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示：【小問(wèn)2詳解】解：D關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，如圖所示：【小問(wèn)3詳解】解：的外心P如圖所示：連接，，過(guò)點(diǎn)A作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作交于點(diǎn)，如圖所示：根據(jù)網(wǎng)格特征以及勾股定理，得，則，，因?yàn)?，所以則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生的作圖能力，涉及旋轉(zhuǎn)作圖、對(duì)稱(chēng)作圖、三角形的外心、勾股定理等知識(shí)內(nèi)容，難度適中，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．22.某商場(chǎng)以元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批產(chǎn)品進(jìn)行銷(xiāo)售，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，日銷(xiāo)售量（千克）是銷(xiāo)售價(jià)格（元/千克）的一次函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：銷(xiāo)售價(jià)格x（元/千克）日銷(xiāo)售量（千克）（1）請(qǐng)求出與之間的函數(shù)表達(dá)式．（2）求日銷(xiāo)售利潤(rùn)為元時(shí)的銷(xiāo)售價(jià)格．（3）若商場(chǎng)每售出千克產(chǎn)品需另行支出元的人工費(fèi)用，求商場(chǎng)日獲利潤(rùn)的最大值．【答案】（1）（2）日銷(xiāo)售利潤(rùn)為元時(shí)的銷(xiāo)售價(jià)格是或元（3）公司日獲利潤(rùn)的最大值是元【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）根據(jù)日銷(xiāo)售利潤(rùn)為元，列出一元二次方程，解方程，即可求解；（3）設(shè)日獲利潤(rùn)為元，根據(jù)題意，列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)，則解得：∴【小問(wèn)2詳解】解：依題意，∴∴∴，∴日銷(xiāo)售利潤(rùn)為750元時(shí)的銷(xiāo)售價(jià)格是15或25元．【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)日獲利潤(rùn)為元，依題意得，∴對(duì)稱(chēng)軸∵∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向下∴當(dāng)時(shí)，W有最大值∴（元）即公司日獲利潤(rùn)的最大值是810元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式與方程是解題的關(guān)鍵．23.如圖，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．（1）觀(guān)察猜想：如圖1，線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系是．（2）探究實(shí)踐：如圖2，連接，若，，，求．（3）拓展延伸：如圖3，把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出．【答案】（1），（2）（3）滿(mǎn)足條件的AQ的值為【解析】【分析】（1）延長(zhǎng)交分別于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)可得,，則，，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，即可得出；（2）連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，勾股定理求得，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即，進(jìn)而即可求解；（3）①當(dāng)點(diǎn)在正方形內(nèi)時(shí)，作于．勾股定理求得，根據(jù)，②當(dāng)點(diǎn)在正方形外時(shí)，根據(jù)即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交分別于點(diǎn)，∵將繞點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，四邊形是正方形，∴,∴，又∵∴，∴．故答案為：，．【小問(wèn)2詳解】解：連接由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，∴，由得：∴，∵∴是直角三角形，即∴【小問(wèn)3詳解】①當(dāng)點(diǎn)在正方形內(nèi)時(shí)，作于．，，，，在中，，，②當(dāng)點(diǎn)在正方形外時(shí)，作于．同理可得：綜上所述，滿(mǎn)足條件的的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．24.如圖，