八省聯(lián)數(shù)學(xué)考試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\cupB=(\)\)A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)2.若復(fù)數(shù)\(z=1+i\)，則\(z\cdot\overline{z}=(\)\)A.\(0\)B.\(2\)C.\(2i\)D.\(-2\)3.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是\((\)\)A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)4.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-1,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m=(\)\)A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)5.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5=(\)\)A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)6.已知\(\log_2a=0.5\)，則\(a=(\)\)A.\(\sqrt{2}\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)7.曲線\(y=x^3-2x+1\)在點(diǎn)\((1,0)\)處的切線方程為\((\)\)A.\(x-y-1=0\)B.\(x+y-1=0\)C.\(2x-y-2=0\)D.\(2x+y-2=0\)8.已知\(a=0.3^2\)，\(b=2^{0.3}\)，\(c=\log_20.3\)，則\(a,b,c\)的大小關(guān)系是\((\)\)A.\(a\ltb\ltc\)B.\(c\lta\ltb\)C.\(c\ltb\lta\)D.\(a\ltc\ltb\)9.已知\(F_1,F_2\)是橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的兩個焦點(diǎn)，\(P\)是橢圓上一點(diǎn)，且\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，則\(\triangleF_1PF_2\)的面積為\((\)\)A.\(4\sqrt{3}\)B.\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)C.\(2\sqrt{3}\)D.\(\sqrt{3}\)10.函數(shù)\(y=\frac{\lnx}{x}\)的單調(diào)遞增區(qū)間是\((\)\)A.\((0,e)\)B.\((e,+\infty)\)C.\((0,1)\)D.\((1,+\infty)\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有\(zhòng)((\)\)A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=\ln(x^2+1)\)2.以下哪些是基本不等式的變形\((\)\)A.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}(a,b\gt0)\)B.\(ab\leqslant(\frac{a+b}{2})^2(a,b\inR)\)C.\(\frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}(a,b\gt0)\)D.\(a^2+b^2\geqslant2ab(a,b\inR)\)3.已知直線\(l_1:ax+y+1=0\)，\(l_2:x+ay+1=0\)，若\(l_1\parallell_2\)，則\(a\)的值可能為\((\)\)A.\(1\)B.\(-1\)C.\(0\)D.\(2\)4.一個正方體的棱長為\(2\)，則以下正確的有\(zhòng)((\)\)A.正方體的表面積為\(24\)B.正方體的體積為\(8\)C.正方體的外接球直徑為\(2\sqrt{3}\)D.正方體的內(nèi)切球半徑為\(1\)5.已知函數(shù)\(f(x)=\sinx\cosx\)，則\((\)\)A.\(f(x)\)的最小正周期為\(\pi\)B.\(f(x)\)的最大值為\(\frac{1}{2}\)C.\(f(x)\)是奇函數(shù)D.\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{4}\)對稱6.以下哪些點(diǎn)在直線\(2x-y+1=0\)上\((\)\)A.\((0,1)\)B.\((1,3)\)C.\((-1,-1)\)D.\((2,5)\)7.已知\(a,b\)為實(shí)數(shù)，且\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是\((\)\)A.\(a^2\gtb^2\)B.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)C.\(a-b\gt0\)D.\(2^a\gt2^b\)8.若\(x,y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則\((\)\)A.\(z=x+2y\)的最大值為\(3\)B.\(z=x+2y\)的最小值為\(\frac{1}{2}\)C.\(z=2x-y\)的最大值為\(2\)D.\(z=2x-y\)的最小值為\(-3\)9.已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域為\(R\)，且\(f(x+2)\)是偶函數(shù)，\(f(x)\)在\((2,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則\((\)\)A.\(f(1)\ltf(3)\)B.\(f(0)\ltf(3)\)C.\(f(-1)\ltf(3)\)D.\(f(-2)\ltf(3)\)10.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\((\)\)A.\(a_1=1\)B.\(a_2=3\)C.\(a_n=2n-1\)D.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)是奇函數(shù)。（）4.直線\(x+y+1=0\)與直線\(x-y+1=0\)垂直。（）5.等比數(shù)列的公比可以為\(0\)。（）6.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，則\(\alpha=30^{\circ}\)。（）7.圓\(x^2+y^2=4\)的圓心坐標(biāo)為\((0,0)\)，半徑為\(2\)。（）8.函數(shù)\(y=\log_2x\)在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）9.兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）10.若向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的最大值和最小值，并指出取得最值時\(x\)的值。答案：最大值為\(3\)，當(dāng)\(2x-\frac{\pi}{6}=2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，即\(x=k\pi+\frac{\pi}{3}(k\inZ)\)時取得；最小值為\(-3\)，當(dāng)\(2x-\frac{\pi}{6}=2k\pi-\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，即\(x=k\pi-\frac{\pi}{6}(k\inZ)\)時取得。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：設(shè)公差為\(d\)，則\(a_7-a_3=4d=13-5=8\)，得\(d=2\)。又\(a_3=a_1+2d=5\)，得\(a_1=1\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求過點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：直線\(2x-y+1=0\)斜率為\(2\)，所求直線與之平行，斜率也為\(2\)。由點(diǎn)斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（\((x_0,y_0)=(1,2)\)，\(k=2\)）得\(y-2=2(x-1)\)，即\(2x-y=0\)。4.計算\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx\)的值。答案：根據(jù)積分公式\(\int(x^2+1)dx=\frac{1}{3}x^3+x+C\)，則\(\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}+1)-0=\frac{4}{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)和\((-\infty,0)\)上的單調(diào)性。答案：在\((0,+\infty)\)上，任取\(x_1\ltx_2\)，\(y_1-y_2=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}=\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}\gt0\)，\(y_1\gty_2\)，所以單調(diào)遞減；在\((-\infty,0)\)上同理可證也單調(diào)遞減。2.討論直線\(y=kx+1\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系。答案：圓\(x^2+y^2=1\)圓心\((0,0)\)，半徑\(r=1\)。圓心到直線\(y=kx+1\)即\(kx-y+1=0\)的距離\(d=\frac{1}{\sqrt{k^2+1}}\)。當(dāng)\(d\ltr\)即\(k\neq0\)時，相交；\(d=r\)即\(k=0\)時，相切；\(d\gtr\)不存在這種情況。3.討論在實(shí)際生活中，如何運(yùn)用等比數(shù)列的知識解決問題。答案：在金融領(lǐng)域，如復(fù)利計算，本金\(a_1\)，利率\(q\)，經(jīng)過\(n\)期后本利和\(a_n=a_1q^{n-1}\)。在細(xì)胞分裂、細(xì)菌繁殖等現(xiàn)象中，若每次分裂數(shù)量成等比關(guān)系，可用等比數(shù)列知識研究其數(shù)量變化規(guī)律，進(jìn)行預(yù)測和分析。4.討論函數(shù)的奇偶性在數(shù)學(xué)研究和實(shí)際應(yīng)用中的意義。答案：數(shù)學(xué)研究中，奇偶性可簡化函數(shù)研究，如偶函數(shù)關(guān)于\(y\)軸對稱，奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，利用對稱性可更方便研究函數(shù)性質(zhì)。實(shí)際應(yīng)用中，在物理的簡諧振動、信號處