一、二次函數(shù)專項復習二次函數(shù)是九年級下冊的核心內容，也是中考的重點考查對象（占分比例約15%-20%）。復習時需重點掌握其表達式、圖像性質及與方程的關系。（一）知識點梳理1.二次函數(shù)的定義形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)，\(a,b,c\)為常數(shù)）的函數(shù)，稱為二次函數(shù)。其中：\(a\)：二次項系數(shù)（決定開口方向與開口大小）；\(b\)：一次項系數(shù)（影響對稱軸位置）；\(c\)：常數(shù)項（圖像與\(y\)軸交點的縱坐標）。2.二次函數(shù)的表達式一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)，適用于已知三點坐標的情況）；頂點式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\(a\neq0\)，\((h,k)\)為頂點坐標，適用于已知頂點或最值的情況）；交點式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(a\neq0\)，\(x_1,x_2\)為圖像與\(x\)軸交點的橫坐標，適用于已知交點的情況）。3.二次函數(shù)的圖像與性質圖像：拋物線，對稱軸為直線\(x=-\frac{2a}\)（一般式）或\(x=h\)（頂點式）；開口方向：\(a>0\)時開口向上，\(a<0\)時開口向下；頂點坐標：一般式為\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)，頂點式為\((h,k)\)；增減性：\(a>0\)：對稱軸左側（\(x<-\frac{2a}\)）遞減，右側（\(x>-\frac{2a}\)）遞增；\(a<0\)：對稱軸左側遞增，右側遞減。最值：\(a>0\)時，頂點為最低點，\(y_{\text{min}}=\frac{4ac-b^2}{4a}\)；\(a<0\)時，頂點為最高點，\(y_{\text{max}}=\frac{4ac-b^2}{4a}\)。4.二次函數(shù)與一元二次方程的關系二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像與\(x\)軸的交點個數(shù)由判別式\(\Delta=b^2-4ac\)決定：\(\Delta>0\)：有兩個不同交點（對應方程\(ax^2+bx+c=0\)有兩個不等實根）；\(\Delta=0\)：有一個交點（頂點在\(x\)軸上，對應方程有兩個相等實根）；\(\Delta<0\)：無交點（對應方程無實根）。5.二次函數(shù)的平移平移規(guī)律：左加右減（針對\(x\)），上加下減（針對常數(shù)項）。例如：\(y=ax^2\)向左平移\(h\)個單位→\(y=a(x+h)^2\)；再向上平移\(k\)個單位→\(y=a(x+h)^2+k\)。（二）易錯點分析1.忽視二次項系數(shù)不為0：若題目明確“二次函數(shù)”，則\(a\neq0\)（如\(y=(m-1)x^2+2x+1\)，需\(m\neq1\)）。2.頂點坐標公式符號錯誤：一般式頂點橫坐標為\(-\frac{2a}\)（而非\(\frac{2a}\)），縱坐標為\(\frac{4ac-b^2}{4a}\)（而非\(\frac{4ac+b^2}{4a}\)）。3.增減性判斷錯誤：增減性需結合開口方向與對稱軸（如\(y=-x^2+2x+3\)，開口向下，對稱軸\(x=1\)，則\(x<1\)時遞增，\(x>1\)時遞減）。4.平移方向混淆：向右平移\(h\)個單位，應寫成\(y=a(x-h)^2\)（而非\(y=a(x+h)^2\)）。（三）典型例題與解題技巧例1：求二次函數(shù)表達式（1）已知頂點坐標為\((2,3)\)，且過點\((1,5)\)，求表達式。技巧：用頂點式\(y=a(x-2)^2+3\)，代入點\((1,5)\)得\(5=a(1-2)^2+3\)，解得\(a=2\)，故\(y=2(x-2)^2+3=2x^2-8x+11\)。（2）已知過點\((0,2)\)、\((1,3)\)、\((2,6)\)，求表達式。技巧：用一般式\(y=ax^2+bx+c\)，代入得\(c=2\)，\(a+b=1\)，\(4a+2b=4\)，解得\(a=1\)，\(b=0\)，故\(y=x^2+2\)。例2：求二次函數(shù)最值求\(y=-x^2+4x+1\)的最大值。技巧：配方得\(y=-(x-2)^2+5\)，故當\(x=2\)時，\(y_{\text{max}}=5\)（或用頂點公式計算）。例3：二次函數(shù)與x軸交點問題已知\(y=ax^2+bx+1\)與\(x\)軸有兩個不同交點，求\(a\)的取值范圍。技巧：\(\Delta=b^2-4a>0\)且\(a\neq0\)，故\(a<\frac{b^2}{4}\)且\(a\neq0\)。二、圓專項復習圓是幾何部分的重點，涉及垂徑定理、圓周角定理、切線性質等核心知識點，中考中常以解答題形式出現(xiàn)（占分比例約15%-20%）。（一）知識點梳理1.圓的基本概念圓心：圓的中心（決定圓的位置）；半徑：圓心到圓上任意一點的距離（決定圓的大?。?；直徑：過圓心的弦（長度為半徑的2倍）；?。簣A上兩點間的部分（分為優(yōu)弧、劣?。?；圓心角：頂點在圓心的角；圓周角：頂點在圓上且兩邊都與圓相交的角。2.圓的對稱性軸對稱性：任意一條直徑所在直線都是對稱軸；中心對稱性：圓心是對稱中心。3.垂徑定理及其推論垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條??；推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。4.弧、弦、圓心角的關系在同圓或等圓中：相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等；相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦相等；相等的弦所對的圓心角相等，所對的弧相等。5.圓周角定理及其推論圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半（如圓心角為\(100^\circ\)，同弧所對圓周角為\(50^\circ\)）；推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；推論2：直徑所對的圓周角是直角（\(90^\circ\)）；推論3：\(90^\circ\)的圓周角所對的弦是直徑。6.點與圓的位置關系設點到圓心的距離為\(d\)，半徑為\(r\)：\(d<r\)：點在圓內；\(d=r\)：點在圓上；\(d>r\)：點在圓外。7.直線與圓的位置關系設圓心到直線的距離為\(d\)，半徑為\(r\)：\(d<r\)：直線與圓相交（有兩個交點）；\(d=r\)：直線與圓相切（有一個交點）；\(d>r\)：直線與圓相離（無交點）。8.切線的性質與判定性質：切線垂直于過切點的半徑（“遇切線，連半徑，得垂直”）；判定：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（“連半徑，證垂直”）。9.切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角（如點\(P\)引圓\(O\)的切線\(PA、PB\)，則\(PA=PB\)，\(\angleAPO=\angleBPO\)）。10.三角形的外接圓與內切圓外接圓：經過三角形三個頂點的圓（外心是三邊垂直平分線的交點，到三個頂點距離相等）；內切圓：與三角形三邊都相切的圓（內心是三條角平分線的交點，到三邊距離相等）。11.弧長與扇形面積公式弧長：\(l=\frac{n\pir}{180}\)（\(n\)為圓心角度數(shù)，\(r\)為半徑）；扇形面積：\(S=\frac{n\pir^2}{360}=\frac{1}{2}lr\)（\(l\)為弧長）。（二）易錯點分析1.垂徑定理推論遺漏條件：“平分弦的直徑垂直于弦”需補充“弦不是直徑”（若弦是直徑，平分它的直徑不一定垂直）。2.圓周角與圓心角關系記錯：圓周角是圓心角的一半（而非兩倍）。3.切線判定忽略條件：需同時滿足“過半徑外端”和“垂直于半徑”（如僅垂直于半徑但不過外端，不是切線）。4.切線長定理應用遺漏：切線長相等的前提是“從同一點引兩條切線”（不同點引的切線長不一定相等）。5.弧長公式遺漏π：如圓心角\(60^\circ\)、半徑6的弧長，應計算為\(\frac{60\pi\times6}{180}=2\pi\)（而非\(\frac{60\times6}{180}=2\)）。（三）典型例題與解題技巧例1：垂徑定理應用已知圓\(O\)半徑為5，弦\(AB\)的弦心距為3，求弦\(AB\)的長。技巧：弦長公式\(AB=2\sqrt{r^2-d^2}\)（\(r\)為半徑，\(d\)為弦心距），代入得\(AB=2\sqrt{5^2-3^2}=8\)。例2：圓周角定理應用圓\(O\)中，弧\(AB\)的度數(shù)為\(120^\circ\)，求圓周角\(\angleACB\)的度數(shù)。技巧：圓周角等于所對弧度數(shù)的一半，故\(\angleACB=\frac{120^\circ}{2}=60^\circ\)。例3：切線的判定已知直線\(l\)過圓\(O\)上點\(A\)，且\(OA\perpl\)，求證\(l\)是圓\(O\)的切線。技巧：連接半徑\(OA\)，證明\(OA\perpl\)，滿足切線判定的兩個條件（過半徑外端、垂直于半徑），故\(l\)是切線。例4：切線長定理應用點\(P\)到圓\(O\)的切線長為5，點\(P\)到圓心\(O\)的距離為13，求圓\(O\)的半徑。技巧：切線長、半徑、點到圓心距離構成直角三角形（半徑\(r\)、切線長5為直角邊，13為斜邊），故\(r^2+5^2=13^2\)，解得\(r=12\)。三、概率專項復習概率是統(tǒng)計與概率部分的核心，考查形式以選擇、填空為主（占分比例約5%-10%），重點掌握古典概型與幾何概型的計算。（一）知識點梳理1.概率的定義：表示事件發(fā)生的可能性大小（范圍：\(0\leqP(A)\leq1\)）。2.事件的分類：必然事件：一定發(fā)生（\(P(A)=1\)，如“太陽從東邊升起”）；不可能事件：一定不發(fā)生（\(P(A)=0\)，如“太陽從西邊升起”）；隨機事件：可能發(fā)生也可能不發(fā)生（\(0<P(A)<1\)，如“明天會下雨”）。3.概率的計算方法：古典概型：\(P(A)=\frac{\text{事件}A\text{包含的基本事件數(shù)}}{\text{總的基本事件數(shù)}}\)（如擲骰子、摸球問題）；幾何概型：\(P(A)=\frac{\text{事件}A\text{發(fā)生的區(qū)域面積}}{\text{總的區(qū)域面積}}\)（如轉盤、投針問題）。4.用頻率估計概率：當試驗次數(shù)足夠多時，頻率會穩(wěn)定在概率附近（如拋硬幣1000次，正面朝上約500次，概率約為0.5）。（二）易錯點分析1.事件分類混淆：“明天會下雨”是隨機事件（而非必然事件）；“擲骰子點數(shù)為7”是不可能事件（而非隨機事件）。2.古典概型基本事件數(shù)計算錯誤：擲兩枚骰子，總的基本事件數(shù)是\(6\times6=36\)（而非12）。3.幾何概型區(qū)域選擇錯誤：轉盤游戲中，概率應按面積比計算（而非角度比，因面積與角度成正比）。4.用頻率估計概率時試驗次數(shù)不足：僅拋10次硬幣，正面朝上6次，不能說概率是0.6（需大量試驗）。（三）典型例題與解題技巧例1：古典概型擲一枚均勻骰子，求點數(shù)為偶數(shù)的概率。技巧：總事件數(shù)6，偶數(shù)（2,4,6）共3個，故\(P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)。例2：幾何概型轉盤分為紅、黃、藍三個區(qū)域，面積比為1:2:3，求指針指向紅色區(qū)域的概率。技巧：紅色區(qū)域面積占1份，總區(qū)域面積占6份，故\(P(\text{紅色})=\frac{1}{6}\)。例3：用頻率估計概率某射手射擊100次，命中85次，估計其命中概率。技巧：頻率\(=\frac{85}{100}=0.85\)，故估計命中概率為0.85。四、投影與視圖專項復習投影與視圖是幾何部分的基礎，考查形式以選擇、填空為主（占分比例約5%-10%），重點掌握平行投影、中心投影的區(qū)別及三視圖的畫法。（一）知識點梳理1.投影的定義：光線照射物體，在平面上形成的影子（分為平行投影、中心投影）。2.平行投影：太陽光線等平行光線形成的投影（性質：物體高度與影長成正比，如上午9點，1米竹竿影長0.5米，6米大樹影長3米）。3.中心投影：路燈、臺燈等點光源形成的投影（性質：影長隨物體與光源距離變化而變化，距離越近，影長越短）。4.視圖的定義：從不同方向看物體得到的圖形（主視圖：正面看；俯視圖：上面看；左視圖：左面看）。5.三視圖的畫法：長對正（主視圖與俯視圖長相等）、高平齊（主視圖與左視圖高相等）、寬相等（俯視圖與左視圖寬相等）。6.常見幾何體的三視圖：正方體：主、俯、左視圖均為正方形；圓柱：主、左視圖為矩形，俯視圖為圓；圓錐：主、左視圖為三角形，俯視圖為帶圓心的圓；球：主、俯、左視圖均為圓。（二）易錯點分析1.平行投影與中心投影混淆：平行投影中，