2025年中考試卷：幾何圖形強(qiáng)化訓(xùn)練——立體幾何中的截面與投影定理考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1.小明同學(xué)在課堂上觀察到一個長方體木塊，他想知道如果沿著一個平面將木塊切割，得到的截面形狀可能是以下哪種？A.正方形B.圓形C.六邊形D.八邊形。我告訴他，這得看切割的角度和位置，要是垂直于某一面切，截面就是長方形，但如果斜著切，比如對角線切，就有可能得到六邊形呢！所以選C。2.老師在黑板上畫了一個三棱柱，然后問同學(xué)們：如果從這個三棱柱的一個頂點(diǎn)出發(fā)，沿著三條棱走到另一個頂點(diǎn)，總共要走多少條棱？小明想了一下說，從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，可以沿AB、AC、BC三條棱，或者沿AD、AE、BE三條棱，所以他覺得是6條棱。但老師提醒他，其實(shí)只走了三條棱，因?yàn)锳和B是相鄰的頂點(diǎn)，所以只走AB、AC、AD這三條棱就行，其他都是重復(fù)的。所以選3。3.小紅在公園里看到一個五棱柱形狀的雕塑，她想知道這個五棱柱的側(cè)面展開圖是什么形狀。我提示她，五棱柱有五個側(cè)面，每個側(cè)面都是平行四邊形，所以展開圖應(yīng)該是五個平行四邊形拼在一起的樣子。小紅想了想說，那是不是可以是一個大的長方形，里面套著一個小長方形，兩邊再各貼兩個平行四邊形？我笑著說，差不多是這個意思，只要保證每個側(cè)面都是平行四邊形就行。所以選一個由五個平行四邊形組成的圖形。4.老師在課堂上展示了一個正方體，然后問同學(xué)們：如果從這個正方體的一個頂點(diǎn)出發(fā)，沿著一條對角線穿過正方體，那么這條對角線會穿過多少個面？小明想了一下說，這條對角線會穿過正方體的三個面，因?yàn)樗鼜囊粋€頂點(diǎn)出發(fā)，穿過相鄰的兩個面，最后到達(dá)對面的頂點(diǎn)。但老師提醒他，這條對角線其實(shí)會穿過四個面，因?yàn)樗粌H穿過相鄰的兩個面，還會穿過正方體的上下面。所以選4。5.小麗在數(shù)學(xué)課上遇到一個難題：一個三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形，那么這個三棱錐一定是正三棱錐嗎？我想了想說，不一定哦！雖然底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，但并不保證側(cè)棱的長度都相等，也不保證側(cè)面與底面的夾角都相等，所以不一定是正三棱錐。所以選不是。6.老師在黑板上畫了一個四棱錐，然后問同學(xué)們：如果從這個四棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離是3厘米，底面是一個邊長為4厘米的正方形，那么這個四棱錐的體積是多少？小明想了一下說，四棱錐的體積公式是V=(1/3)×底面積×高，所以V=(1/3)×4×4×3=16立方厘米。我告訴他，計算過程沒錯，結(jié)果也正確，看來你掌握得不錯！所以選16。7.小華在課堂上學(xué)習(xí)投影定理，他想知道：一個物體在燈光下形成的投影，它的形狀會不會和物體本身的形狀一樣？我想了想說，這要看物體的擺放角度和燈光的位置。如果物體是正對著燈光的，那么投影的形狀和物體本身的形狀是一樣的；但如果物體是傾斜的，那么投影的形狀就會發(fā)生改變。所以選不一定。8.老師在課堂上問同學(xué)們：如果兩個幾何體的投影完全一樣，那么這兩個幾何體一定完全一樣嗎？小剛想了一下說，不一定哦！比如一個正方體和一個長方體，如果它們擺放的角度和燈光的位置合適，它們的投影可以完全一樣，但它們的實(shí)際形狀是不一樣的。我贊同地點(diǎn)了點(diǎn)頭，說得太好了，看來你理解得很深刻！所以選不一定。9.小麗在數(shù)學(xué)書上看到一個關(guān)于截面定理的題目：一個圓錐的底面半徑是3厘米，高是4厘米，如果沿著一個平行于底面的平面將圓錐切割，得到的截面是一個半徑為2厘米的圓，那么這個截面距離圓錐的頂點(diǎn)有多遠(yuǎn)？我想了想說，這可以利用相似三角形的性質(zhì)來求解。設(shè)截面距離圓錐的頂點(diǎn)為h厘米，那么根據(jù)相似三角形的比例關(guān)系，有h/4=(2/3)，所以h=8/3厘米。所以選8/3。10.老師在課堂上問同學(xué)們：如果兩個幾何體的截面形狀完全一樣，那么這兩個幾何體一定完全一樣嗎？小明想了一下說，不一定哦！比如兩個不同大小但形狀相似的長方體，如果它們沿著相同的方向切割，得到的截面形狀可以完全一樣，但它們的實(shí)際形狀是不一樣的。我笑著說，你又答對了！看來你對幾何圖形的理解越來越深入了！所以選不一定。二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分。把答案填在題中橫線上。）1.一個正方體的棱長為5厘米，如果沿著一個平面將正方體切割，得到的截面是一個邊長為3厘米的正方形，那么這個截面距離正方體的頂點(diǎn)的距離是多少？我想了想說，這可以利用勾股定理來求解。設(shè)截面距離正方體的頂點(diǎn)的距離為x厘米，那么根據(jù)勾股定理，有x^2+3^2=5^2，所以x=4厘米。所以填4。2.一個圓錐的底面半徑為4厘米，高為6厘米，如果沿著一個平行于底面的平面將圓錐切割，得到的截面是一個半徑為2厘米的圓，那么這個截面距離圓錐的底面有多遠(yuǎn)？我想了想說，這可以利用相似三角形的性質(zhì)來求解。設(shè)截面距離圓錐的底面為h厘米，那么根據(jù)相似三角形的比例關(guān)系，有h/6=(2/4)，所以h=3厘米。所以填3。3.一個長方體的長、寬、高分別為6厘米、4厘米、3厘米，如果沿著一個對角線將長方體切割，得到的截面是一個什么形狀的四邊形？我想了想說，截面是一個矩形，因?yàn)閷蔷€將長方體切割成兩個完全相同的部分，每個部分的截面都是矩形。所以填矩形。4.一個正方體的棱長為4厘米，如果沿著一個平面將正方體切割，得到的截面是一個邊長為2厘米的正方形，那么這個截面最多可以穿過正方體的多少個面？我想了想說，這個截面最多可以穿過正方體的三個面，因?yàn)樗鼜囊粋€頂點(diǎn)出發(fā)，穿過相鄰的兩個面，最后到達(dá)對面的頂點(diǎn)。所以填3。5.一個圓錐的底面半徑為3厘米，高為4厘米，如果將這個圓錐的側(cè)面展開，得到的扇形的圓心角是多少度？我想了想說，這可以利用圓錐的側(cè)面積公式來求解。圓錐的側(cè)面積公式是S=πrl，其中r是底面半徑，l是母線長。母線長l可以用勾股定理求解，即l=√(r^2+h^2)=√(3^2+4^2)=5厘米。所以S=π×3×5=15π平方厘米。扇形的面積公式是S=(θ/360°)×πr^2，其中θ是圓心角。所以θ/360°=15π/(π×3^2)，即θ/360°=5/3，所以θ=600°。所以填600。三、解答題（本大題共5小題，每小題6分，共30分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）1.小華在數(shù)學(xué)課上遇到了一個難題：一個三棱柱的底面是一個邊長為4厘米的等邊三角形，側(cè)面都是矩形，如果三棱柱的一條側(cè)棱長為6厘米，且這條側(cè)棱與底面的距離為3厘米，那么這個三棱柱的體積是多少？我想了想說，這得先求出底面的面積，等邊三角形的面積公式是S=(√3/4)×a^2，所以S=(√3/4)×4^2=4√3平方厘米。然后乘以側(cè)棱長，即V=4√3×6=24√3立方厘米。但老師提醒他，題目中說側(cè)棱與底面的距離為3厘米，這意味著側(cè)棱并不垂直于底面，所以不能直接用側(cè)棱長乘以底面積來求體積。我建議小華可以嘗試構(gòu)造一個輔助線段，比如從三棱柱的一個頂點(diǎn)向底面作垂線，求出這個垂線的長度，然后再用底面積乘以這個垂線的長度來求體積。小華按照我的建議，作垂線后，發(fā)現(xiàn)這個垂線的長度就是3厘米，所以體積就是V=4√3×3=12√3立方厘米。所以填12√3。2.老師在課堂上展示了一個四棱錐，然后問同學(xué)們：如果四棱錐的底面是一個邊長為4厘米的正方形，側(cè)面都是等腰三角形，且側(cè)棱長為5厘米，那么這個四棱錐的體積是多少？小明想了一下說，四棱錐的體積公式是V=(1/3)×底面積×高，所以V=(1/3)×4×4×h，關(guān)鍵是要求出高h(yuǎn)。我想了想說，可以嘗試構(gòu)造一個輔助線段，比如從四棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離，即高h(yuǎn)。由于側(cè)面是等腰三角形，可以作高，然后利用勾股定理求解。設(shè)正方形的一條邊的中點(diǎn)為O，頂點(diǎn)為P，底面的一條邊為AB，那么PO就是高h(yuǎn)，AO=2厘米，PO=5厘米，根據(jù)勾股定理，有PO^2=AO^2+h^2，即5^2=2^2+h^2，所以h^2=25-4=21，所以h=√21厘米。所以V=(1/3)×4×4×√21=(16√21)/3立方厘米。所以填(16√21)/3。3.小紅在公園里看到一個五棱柱形狀的雕塑，她想知道這個五棱柱的表面積是多少。已知五棱柱的底面是邊長為3厘米的正五邊形，側(cè)面都是矩形，且側(cè)棱長為4厘米。我想了想說，這得先求出正五邊形的面積，正五邊形的面積公式是S=(5/4)×a^2×tan(π/5)，所以S=(5/4)×3^2×tan(π/5)≈19.09平方厘米。然后乘以2，因?yàn)橛袃蓚€底面。所以兩個底面的面積是2×19.09≈38.18平方厘米。接下來求側(cè)面積，側(cè)面積就是底面周長乘以側(cè)棱長。正五邊形的周長是5×3=15厘米，所以側(cè)面積是15×4=60平方厘米。所以表面積是38.18+60=98.18平方厘米。小紅覺得這個數(shù)字有點(diǎn)大，我告訴她，可以近似取整，所以表面積約為98平方厘米。所以填98。4.老師在課堂上問同學(xué)們：如果一個圓錐的底面半徑為3厘米，高為4厘米，那么這個圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，這個扇形的面積是多少？我想了想說，這得先求出扇形的半徑和圓心角。扇形的半徑就是圓錐的母線長，可以用勾股定理求解，即l=√(r^2+h^2)=√(3^2+4^2)=5厘米。圓心角可以用圓錐的側(cè)面積公式來求解，圓錐的側(cè)面積公式是S=πrl，所以S=π×3×5=15π平方厘米。扇形的面積公式是S=(θ/360°)×πr^2，其中θ是圓心角。所以θ/360°=15π/(π×5^2)，即θ/360°=3/25，所以θ=43.2°。所以扇形的面積是S=(43.2/360°)×π×5^2=(43.2/360°)×25π=3π平方厘米。所以填3π。5.小麗在數(shù)學(xué)書上看到一個關(guān)于截面定理的題目：一個圓柱的底面半徑為4厘米，高為6厘米，如果沿著一個平行于底面的平面將圓柱切割，得到的截面是一個半徑為2厘米的圓，那么這個截面距離圓柱的底面有多遠(yuǎn)？我想了想說，這可以利用相似圓的性質(zhì)來求解。設(shè)截面距離圓柱的底面為h厘米，那么根據(jù)相似圓的比例關(guān)系，有h/6=(2/4)，所以h=3厘米。所以填3。四、證明題（本大題共1小題，共10分。）1.老師在課堂上問同學(xué)們：如果一個三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形，那么這個三棱錐一定是正三棱錐嗎？請證明你的結(jié)論。我想了想說，不一定哦！雖然底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，但并不保證側(cè)棱的長度都相等，也不保證側(cè)面與底面的夾角都相等，所以不一定是正三棱錐。為了證明這一點(diǎn)，我可以舉一個反例。比如，構(gòu)造一個三棱錐，底面是等邊三角形，邊長為3厘米，然后讓三個側(cè)面的頂點(diǎn)不在同一個球面上，即三個側(cè)棱的長度不相等，或者三個側(cè)面與底面的夾角不相等，這樣就可以得到一個底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，但不是正三棱錐的三棱錐。所以，一個三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形，并不能保證它一定是正三棱錐。本次試卷答案如下一、選擇題答案及解析1.C解析：長方體切割得到的截面形狀取決于切割平面的方向和位置。若平行于某一面切割，截面形狀與該面相同；若斜向切割，截面形狀可能變化。垂直于長方體的一個面（如側(cè)面）切割，截面是矩形；若對角線切割，可能得到六邊形等。因此，截面可能是正方形、長方形、六邊形等，但圓形需要曲面才能產(chǎn)生，而正方體和長方體均為平面圖形，無法直接切割出圓形截面。所以六邊形是可能的，圓形一般不可能。2.3解析：三棱柱有六個頂點(diǎn)，從一個頂點(diǎn)出發(fā)，沿著三條棱走到相鄰的另一個頂點(diǎn)，只需經(jīng)過三條棱。例如，從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿AB、AC、AD三條棱分別到達(dá)頂點(diǎn)B、C、D，每條棱只算一次。因此總共走三條棱。3.由五個平行四邊形組成的圖形解析：五棱柱的側(cè)面展開圖由五個側(cè)面組成，每個側(cè)面都是平行四邊形。五個平行四邊形可以拼成一個大的長方形，里面套一個小長方形，兩邊再各貼兩個平行四邊形，只要保證每個側(cè)面都是平行四邊形即可。4.4解析：正方體的對角線穿過三個面，從一個頂點(diǎn)出發(fā)，沿著對角線穿過正方體，會依次穿過三個相鄰的面。例如，從頂點(diǎn)A出發(fā)，沿著對角線穿過面ABC、面ACD、面ABD，共穿過三個面。所以穿過三個面。5.不是解析：三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，但不一定所有側(cè)棱長度相等，也不一定所有側(cè)面與底面的夾角相等。例如，可以構(gòu)造一個三棱錐，底面是等邊三角形，但側(cè)棱長度不相等，或者側(cè)面與底面的夾角不相等，這樣就不是正三棱錐。因此，不一定是正三棱錐。6.16解析：四棱錐的體積公式為V=(1/3)×底面積×高。底面是正方形，邊長為4厘米，所以底面積為4×4=16平方厘米。高為3厘米，所以V=(1/3)×16×3=16立方厘米。7.不一定解析：物體在燈光下形成的投影形狀取決于物體的擺放角度和燈光的位置。如果物體正對著燈光，投影形狀與物體形狀相同；如果物體傾斜，投影形狀會改變。因此，投影形狀不一定與物體形狀相同。8.不一定解析：兩個幾何體的投影完全一樣，但實(shí)際形狀可能不同。例如，一個正方體和一個長方體，如果擺放角度和燈光位置合適，它們的投影可以完全一樣，但實(shí)際形狀不同。因此，投影一樣不保證幾何體完全一樣。9.8/3解析：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，設(shè)截面距離圓錐的頂點(diǎn)為h厘米，則有h/4=2/3，解得h=8/3厘米。10.不一定解析：兩個幾何體的截面形狀完全一樣，但實(shí)際形狀可能不同。例如，兩個不同大小但形狀相似的長方體，如果沿著相同的方向切割，得到的截面形狀可以完全一樣，但實(shí)際形狀不同。因此，截面一樣不保證幾何體完全一樣。二、填空題答案及解析1.4解析：截面距離正方體的頂點(diǎn)的距離為4厘米。根據(jù)勾股定理，設(shè)截面距離正方體的頂點(diǎn)的距離為x厘米，則有x^2+3^2=5^2，解得x=4厘米。2.3解析：截面距離圓錐的底面為3厘米。根據(jù)相似三角形的比例關(guān)系，設(shè)截面距離圓錐的底面為h厘米，則有h/6=2/4，解得h=3厘米。3.矩形解析：對角線將長方體切割成兩個完全相同的部分，每個部分的截面都是矩形。4.3解析：截面最多可以穿過正方體的三個面。因?yàn)榻孛鎻囊粋€頂點(diǎn)出發(fā)，穿過相鄰的兩個面，最后到達(dá)對面的頂點(diǎn)，所以最多穿過三個面。5.600解析：圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，扇形的面積公式為S=(θ/360°)×πr^2。已知S=15π平方厘米，r=5厘米，代入公式解得θ=600°。三、解答題答案及解析1.12√3解析：底面是等邊三角形，面積S=(√3/4)×a^2=