第2章數(shù)學(xué)基礎(chǔ)介紹2.1常數(shù)矩陣的幾個(gè)基本概念和結(jié)論2.2多項(xiàng)式矩陣2.3矩陣分式2.4線性矩陣方程2.5拉普拉斯變換2.1常數(shù)矩陣幾個(gè)基本概念和結(jié)論

一、矩陣降秩條件

設(shè)，則A的列是m維列向量，并有n個(gè)；A的行是n維行向量，共有m個(gè)。

定義2.1

矩陣中列向量的最大無關(guān)組的個(gè)數(shù)稱為A的列秩；其行向量的最大無關(guān)組的個(gè)數(shù)稱為矩陣A的行秩。對(duì)于矩陣而言，容易證明下述命題。定義矩陣為矩陣A的友矩陣（Companionmatrix）三、常用的幾個(gè)矩陣公式和不等式

如果是列向量，是行向量，則上式右邊括號(hào)運(yùn)算簡(jiǎn)化為數(shù)量除法。只要給(2.3)式兩邊同左乘，即可得到此公式。(2.3)(2.4)證明：1）當(dāng)，則類似可證明2）。取極限的本結(jié)論。類似可證明(4)。引理2.9若存在正定方陣和適維矩陣有(2.5)則(2.6)引理2.10：對(duì)適維矩陣有下式成立(2.7)(2.8) 2.2多項(xiàng)式矩陣

Polynomialmatrix

多項(xiàng)式的集合并不形成一個(gè)域,因?yàn)槠涑朔ㄟ\(yùn)算中的逆并不一定是多項(xiàng)式.若將集合擴(kuò)展到包括所有有理分式,則形成一個(gè)域,稱為有理分式域,記為.對(duì)于元屬于有理分式域的矩陣,線性無關(guān)、秩、奇異性這些對(duì)元素屬于實(shí)數(shù)域的矩陣建立的概念是同樣適用的.因此,若將多項(xiàng)式看成是有理函數(shù)域中的元素,我們就可以將線性無關(guān)和秩的概念應(yīng)用于多項(xiàng)式函數(shù).例如,方多項(xiàng)式矩陣的行列式是,它不是有理函數(shù)域中的零元.因此,此矩陣是非奇異的,或者說是滿秩的.有理函數(shù)域中的非奇異性,并不意味著該矩陣對(duì)所有的中的均為非奇異.例如,上述矩陣在時(shí)秩為1而不是2.

因此,作為有理矩陣的特殊情況的多項(xiàng)式矩陣的行列式等于有理函數(shù)域中的零元,則多項(xiàng)式矩陣是奇異的.例如,多項(xiàng)式矩陣易得如下結(jié)論:

注:考慮到gcld和gcrd在定義上的對(duì)偶性,關(guān)于gcld的性質(zhì)和左互質(zhì)的性質(zhì)可由gcrd的相應(yīng)結(jié)果導(dǎo)出,我們不再對(duì)其進(jìn)行專門的討論.(2.9)

證(1)先證是的一個(gè)右公因子.為此,令則由(2.9)式可得(2.10)再由(2.9)可得(2.11)將(2.10)代入(2.11),即得[例2.1]求多項(xiàng)式矩陣的一個(gè)gcrdR(s)

解對(duì)進(jìn)行初等行變換如下由此可得而相應(yīng)的單模陣為

右互質(zhì)性判據(jù)在基于多項(xiàng)式矩陣?yán)碚摰木€性系統(tǒng)分析中,常常會(huì)涉及到互質(zhì)性的判別問題.下面,僅限于右互質(zhì)性,介紹兩種比較有用的判別準(zhǔn)則.左互質(zhì)性同理可得(2.13)2.3矩陣分式

MatrixFraction

和

例2.2給定矩陣通過找出它的列最小公分母可定出它的一個(gè)右MFD為而通過找出它的行最小公分母可定出它的一個(gè)左MFD為則稱它對(duì)應(yīng)的MFD是真的則稱它對(duì)應(yīng)的MFD是嚴(yán)真的.右乘即可導(dǎo)出進(jìn)一步可得 2.4線性矩陣方程

Linearmatrixequations

討論以實(shí)變量的函數(shù)為元素的矩陣A的各元素對(duì)x積分后,定義為A對(duì)x的積分考慮線性矩陣微分方程(2.14)

推論2.1

對(duì)于任意,線性定常矩陣微分方程有唯一解且當(dāng)時(shí),有

定理2.8

若漸近穩(wěn)定,則方程(2.16)有惟一解X,X有下列性質(zhì)

1)可表示為 2.5拉普拉斯變換

Laplacetransfer

在數(shù)學(xué)問題中,為了把較復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算,常常采用一些變換手段.例如數(shù)量乘積或商可以通過對(duì)數(shù)變換變成對(duì)數(shù)的和或差,然后再取反對(duì)數(shù),即得到原來數(shù)量的乘積或商.而積分變換就是通過積分運(yùn)算,把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù)的變換.本節(jié)介紹控制科學(xué)中比較常用的一類積分變換——Laplace變換.

定義2.13

設(shè)函數(shù)f(t)在時(shí)有定義,而且積分（s是復(fù)參量）在s的某一域內(nèi)收斂,則由此積分所確定的函數(shù)可寫為稱為函數(shù)f(t)的Laplace變