第7章離散時間信號與系統(tǒng)的z域分析7.1

Z變換7.2雙邊Z變換的性質(zhì)7.3Z反變換7.4單邊Z變換7.5LTI離散系統(tǒng)的z域分析7.6離散系統(tǒng)的表示和模擬7.7離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)7.8數(shù)字濾波器7.9利用MATLAB實現(xiàn)離散時間信號與系統(tǒng)的z域分析

7.1Z

變換

7.1.1雙邊Z變換的定義和收斂域

對于離散時間傅里葉變換同樣也存在著收斂與不收斂的問題，由

因為|e－jΩn|=1，所以，若使F(ejΩ)收斂必須使

可見，(7-1)式(7-1)是傅里葉變換收斂的充分必要條件。顯然，許多序列不滿足這個條件，如階躍序列、線性增長序列等。我們采用與連續(xù)時間信號相同的方法，將不滿足收斂條件的序列乘以指數(shù)衰減序列，使其滿足收斂條件，再求其傅里葉變換，即其中e－σn相當(dāng)于e－σt的采樣。如果令eσ+jΩ=z，則(7-2)F(z)稱為序列f(n)的雙邊Z變換，為方便起見，f(n)的Z變換有時就記作Z［f(n)］，而f(n)和其Z變換的關(guān)系用下述符號來表示：

f(n)F(z)

F(z)又稱為f(n)的象函數(shù)，f(n)稱為F(z)的原函數(shù)。

復(fù)變量z所在的平面稱為z平面，使式(7-2)收斂的z的取值區(qū)域稱為F(z)的收斂域。F(z)的極點通常為收斂域的邊界。下面舉例討論雙邊Z變換收斂域的確定和特點。

【例7-1】

已知有限長序列f(n)=［1，2，3，2，1］，求f(n)的雙邊Z變換及收斂域?！?/p>

n=0

【解】

收斂域為除去z=0和z=∞之外的全部z域，即0<|z|<∞。

【例7-2】

已知序列f(n)=，求f(n)的雙邊Z變換及收斂域。

【解】

(7-3)因為所以，當(dāng)|z|>時F(z)收斂，于是得

F(z)的收斂域為復(fù)平面上半徑為的圓外區(qū)域，如圖7-1(a)陰影部分所示。

【例7-3】

設(shè)有序列f(n)=2nu(－n－1)，求其雙邊Z變換及收斂域。

【解】

(7-4)可見，當(dāng)|z|<2時，F(xiàn)(z)收斂，于是得

F(z)的收斂域為復(fù)平面上半徑為2的圓內(nèi)區(qū)域，如圖7-1(b)陰影部分所示。

【例7-4】

設(shè)有雙邊序列f(n)=，求其雙邊Z變換及收斂域。

【解】(7-5)對于式(7-5)中的第一項，當(dāng)|z|<2時收斂；對于式(7-5)中的第二項，當(dāng)|z|>1/2時收斂；取它們的公共部分，1/2<|z|<2即為F(z)的收斂域。則F(z)的收斂域為復(fù)平面上的環(huán)形區(qū)域，如圖7-1(c)陰影部分所示。圖7-1Z變換的收斂域由以上討論可知，雙邊Z變換的收斂域有以下特點：

(1)有限長雙邊序列的雙邊Z變換的收斂域一般為0<|z|<∞；有限長因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|>0；有限長反因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|<∞；單位脈沖序列δ(n)的雙邊Z變換的收斂域為全z平面。

(2)無限長因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|>R_，R_可為復(fù)數(shù)、虛數(shù)或?qū)崝?shù)，即收斂域為半徑為R_的圓外區(qū)域。

(3)無限長反因果序列雙邊Z變換的收斂域為|z|<R+，即收斂域為以R+為半徑的圓內(nèi)區(qū)域。

(4)無限長雙邊序列的雙邊Z變換的收斂域為R_<|z|<R+，即收斂域位于以R_為半徑和以R+為半徑的兩個圓之間的環(huán)形區(qū)域。

另外，不同序列的雙邊Z變換可能相同，即序列與其雙邊Z變換不是一一對應(yīng)的。序列的雙邊Z變換連同收斂域一起與序列才是一一對應(yīng)的。7.1.2常用序列的雙邊Z變換

1.單位脈沖序列

δ(n)1

(7-6)

證明Z[δ(n)]=，收斂域為整個z平面。

推論：

δ(n+1)z

|z|<∞

δ(n－1)z－1|z|>0

2.單位階躍序列

，|z|>1

(7-7)

證明Z[u(n)]=3.單邊指數(shù)序列(7-8)證明Z[anu(n)]=

4.左單邊指數(shù)序列(7-9)證明Z[－anu(－n－1)]7.1.3Z變換與傅里葉變換的關(guān)系

由于z是一個復(fù)變量，我們可將其表示成極坐標(biāo)形式，即

z=r·ejΩ

其中r表示z的模，則(7-10)若r=1，或者說|z|=1，Z變換就簡化為離散時間傅里葉變換，即離散時間信號的Z變換與傅里葉變換之間的關(guān)系和對連續(xù)時間信號的討論也有一些重要的區(qū)別。在連續(xù)時間情況下，s=a+jω，當(dāng)其實部a為零時，其拉氏變換就是傅里葉變換。也就是在虛軸上，即s=jω的拉氏變換就是傅里葉變換。而在離散時間情況下，當(dāng)z的模為1時，即z=ejΩ，Z變換就是傅里葉變換，于是Z變換就成為在z平面中，半徑為1的圓上的傅里葉變換。在z平面上這個圓稱為單位圓。這個單位圓在Z變換討論中所起的作用類似于s平面上的虛軸在拉氏變換中所起的作用。由于Z變換和傅里葉變換的這一關(guān)系，為了方便，在表示離散時間傅里葉變換的符號時，用ejΩ來作為變換中的獨立變量，而不用Ω，以強調(diào)傅里葉變換就等于z=ejΩ時的Z變換，即7.1.4Z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系

Z變換也可以由采樣信號的拉氏變換引出。

設(shè)想用一個由相隔T秒的沖激信號δ(t)組成的序列δT(t)對連續(xù)時間信號f(t)進(jìn)行采樣，采樣后得到的信號為fs(t)，則對上式兩端取拉氏變換，有若令z=esT，s=

lnz，則略去f(nT)括號內(nèi)的T，而且由于表達(dá)式中不再出現(xiàn)s，故可用F(z)代替Fs(s)，有可見拉氏變換Fs(s)與Z變換F(z)的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系是

7.2雙邊Z變換的性質(zhì)

1.線性

若

f1(n)F1(z)，α1<|z|<β1

f2(n)F2(z)，α2<|z|<β2

則

a1f1(n)+a2f2(n)a1F1(z)+a2F2(z)，max[α1，α2]<|z|<min[β1，β2]

(7-11)

【例7-5】

已知f(n)=u(n)－2nu(－n－1)，求f(n)的雙邊Z變換F(z)。

【解】由線性性質(zhì)得

2.時移若f(n)F(z)，α<|z|<β，則

f(n－m)z－mF(z)α<|z|<β

(7-12)證明Z[f(n－m)]=

f(n－m)z－n，令n－m=k，則Z[f(n－m)]=

f(k)z－kz－m=z－mF(z)

【例7-6】

已知f(n)=2n[u(n+1)－u(n－2)]，求f(n)的雙邊Z變換。

【解】

f(n)可以表示為

f(n)=2－12n+1u(n+1)－222n－2u(n－2)

由于根據(jù)移位性質(zhì)，得根據(jù)線性性質(zhì)，得

3.序列乘an(z域尺度變換)若f(n)F(z)，α<|z|<β，則(7-13)式中，a為常數(shù)(實數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù))，a≠0。證明根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有因為F(z)的收斂域為α<|z|<β，所以，F(xiàn)的收斂域為a<

<β，即|a|α<|z|<|a|β。

若a=－1，則有(－1)nf(n)F(－z)，α<|z|<β

(7-14)

【例7-7】

已知f(n)=

3n+1u(n+1)，求f(n)的雙邊Z變換。

【解】

令f1(n)=3n+1u(n+1)，則有由于F1(z)=Z

[f1(n)]=

，3<|z|<∞根據(jù)時域乘an性質(zhì)，得F(z)=Z[f(n)]=Z

=F1(2z)

4.序列乘n(z域微分)

若

f(n)F(z)，α<|z|<β

則(7-15)這個性質(zhì)只要將Z變換表達(dá)式兩邊對z進(jìn)行微分就可直接得出。說明如果有一序列f(n)其Z變換為F(z)，則將其Z變換求一階導(dǎo)數(shù)并乘以(－z)以后，所對應(yīng)的新序列為nf(n)，收斂域不變。如果將序列nf(n)再乘以n，利用上述性質(zhì)可得Z[n2f(n)]=Z[n·nf(n)]=－z

Z[n·f(n)]即Z[n2f(n)]Z[nmf(n)]用同樣的方法可以得到(7-16)式中符號,

共求導(dǎo)m次。

5.初值定理

若f(n)為因果序列，則(7-17)f(n)的Z變換可寫為當(dāng)z→∞時，上式中的級數(shù)除了第一項f(0)外，其他各項都趨近于零，所以有由初值定理可以看出，對于一個因果序列來說，如果f(0)是有限值的話，那么F(z)就是有限值。如果將F(z)表示成z的兩個多項式之比的話，分子多項式的階次一定小于分母多項式的階次，或者說，零點的個數(shù)不能多于極點的個數(shù)。

6.終值定理

若f(n)是因果序列，且其Z變換F(z)除在z=1處可以有一階極點外，其他全部極點都在單位圓|z|=1內(nèi)，則(7-18)證明：(z－1)F(z)=zF(z)－F(z)=Z

[f(n+1)－f(n)]考慮到f(n)是因果序列，上式可改寫為由于F(z)在單位圓上只有z=1處可能有一階極點，現(xiàn)在函數(shù)

(z－1)F(z)將抵消掉這個z=1處的可能極點，因此(z－1)F(z)的收斂域?qū)▎挝粓A，即在|z|≥1上，上式成立，這樣就允許對等式兩端取極限z→1。顯然，只有極點在單位圓內(nèi)，當(dāng)n→∞時，f(n)才收斂，才可應(yīng)用終值定理。

7.時域卷積

若

f1(n)F1(z)，α1<|z|<β1

f2(n)F2(z)，α2<|z|<β2

則

f1(n)*f2(n)F1(z)·F2(z)

(7-19)

式中，F(xiàn)1(z)·F2(z)的收斂域一般為F1(z)和F2(z)收斂域的公共部分。若F1(z)和F2(z)相乘中有零、極點相消，則F1(z)·F2(z)的收斂域可能擴大。

證明根據(jù)雙邊Z變換的定義，則有Z[f1(n)*f2(n)]=交換上式的求和次序，得Z[f1(n)*f2(n)]=令n－m=k，則有Z[f1(n)*f2(n)]=

【例7-8】

已知序列f1(n)=u(n)，f2(n)=anu(n)－an－1u(n－1)，求f1(n)*f2(n)。

【解】

已知F1(z)=，|z|>1。由時移性質(zhì)，得則其逆變換

f1(n)*f2(n)=IZT［F1(z)·F2(z)］=anu(n)

8.z域卷積

若兩序列f1(n)、f2(n)的Z變換為

Z[f1(n)]=F1(z)，α1<|z|<β1

Z[f2(n)]=F2(z)，α2<|z|<β2

則(7-20)Z[f1(n)·f2(n)]或(7-21)Z[f1(n)·f2(n)]式中，C1、C2分別為F1與F2(υ)或F1(υ)與F2

收斂域重疊部分內(nèi)逆時針旋轉(zhuǎn)的圍線。而Z[f1(n)·f2(n)]的收斂域一般為F1(υ)與F2或F1與F2(υ)的重疊部分，即

α1α2<|z|<β1β2

證明：Z[f1(n)·f2(n)]從上面的證明過程可以看出，F(xiàn)1(υ)的收斂域與F1(z)相同，F(xiàn)2的收斂域與F2(z)相同，即合并以上兩式，得Z[f1(n)f2(n)]的收斂域至少為

α1α2<|z|<β1β2

在應(yīng)用上述z域卷積性質(zhì)時，通?？梢岳昧魯?shù)定理，這時應(yīng)當(dāng)注意圍線C在收斂域內(nèi)的正確選擇。

9.帕斯瓦爾定理

利用z域卷積定理很容易把頻域的帕斯瓦爾關(guān)系推廣至z域中。由式(7-20)可知

Z[f1(n)·f2(n)](7-22)由Z變換的定義不難得到復(fù)共軛序列的Z變換式為

Z[f*(n)]=F*(z*)這樣，式(7-22)可以寫成令z=1，上式變成式中圍線C選在F1(υ)和F2的公共收斂域內(nèi)。若上式中的復(fù)變量υ改為z，則(7-23)式(7-23)就是z域的帕斯瓦爾定理。如果f2(n)為實序列，上式去掉共軛號，有根據(jù)Z變換的定義和Z變換的性質(zhì)，可以得到一些常用的Z變換對，如表7-1所示。

7.3Z

反變換

由雙邊Z變換F(z)及其收斂域求原函數(shù)或逆變換f(n)，是離散信號與系統(tǒng)z域分析的重要問題。本節(jié)討論雙邊Z反變換的定義和計算方法。

7.3.1雙邊Z反變換的定義

我們知道復(fù)變函數(shù)理論中的柯西公式為(7-24)式(7-24)中，積分路徑C是復(fù)平面上環(huán)繞坐標(biāo)原點逆時針方向的圍線。序列f(n)的雙邊Z變換的定義為

(7-25)式(7-25)兩端乘以zn－1，n為任意整數(shù)，然后兩端在收斂域中進(jìn)行圍線積分，得(7-26)據(jù)柯西公式，當(dāng)－k+n－1=－1，即k=n時，式(7-26)中的積分等于2πj，否則積分等于0。因為n為某一整數(shù)，所以式(7-26)右端的和式中只有k=n這一項不為0，其余各項均為0，于是得所以(7-27)該式稱為F(z)的雙邊Z反變換，記為f(n)=Z

－1[F(z)]。f(n)又稱為F(z)的原函數(shù)。7.3.2雙邊Z反變換的計算

雙邊Z反變換可以根據(jù)式(7-27)計算，但該式的積分是復(fù)變函數(shù)的積分，計算比較復(fù)雜。根據(jù)Z變換的定義，F(xiàn)(z)為冪級數(shù)，f(n)的值是冪級數(shù)的系數(shù)，因此可以把F(z)展開為冪級數(shù)，然后根據(jù)冪級數(shù)各項的系數(shù)求反變換f(n)。若F(z)為有理分式可以把F(z)展開為部分分式，然后結(jié)合常用Z變換對求反變換。此外，還可以利用常用Z變換表，用查表法求Z反變換。

需要特別指出的是，因為雙邊Z變換F(z)連同收斂域一起與原函數(shù)一一對應(yīng)，所以求雙邊Z反變換要特別注意收斂域問題。

1.冪級數(shù)展開法

根據(jù)雙邊Z變換的定義，若f(n)為雙邊序列，則F(z)為z和z－1的冪級數(shù)，收斂域為α<|z|<β，即=F1(z)+F2(z)，α<|z|<β

(7-28)式中，若f(n)為因果序列，則F(z)為z－1的冪級數(shù)，收斂域為|z|>α，即(7-29)若f(n)為反因果序列，則F(z)為z的冪級數(shù)，收斂域為|z|<β，即(7-30)因此，若F(z)的收斂域為|z|>α，則F(z)按式(7-29)展開為z－1的冪級數(shù)，則冪級數(shù)各項的系數(shù)為因果序列f(n)的值；若F(z)的收斂域為α<|z|<β，則F(z)按式(7-30)展開為z的冪級數(shù)，冪級數(shù)各項的系數(shù)為反因果序列f(n)的值；若F(z)的收斂域為α<|z|<β，f(n)為雙邊序列，則F(z)按式(7-28)展開。首先把F(z)表示為

F(z)=F1(z)+F2(z)

式中，F(xiàn)1(z)的收斂域為|z|<β，F(xiàn)1(z)按式(7-30)展開為z的冪級數(shù)，其反變換為F(z)的反變換f(n)的反因果部分。F2(z)的收斂域為|z|>α,F2(z)按式(7-29)展開為z－1的冪級數(shù)，其反變換為f(n)的因果部分。f(n)等于其因果部分與反因果部分之和。

【例7-9】

某序列Z變換F(z)=，|z|>a，求其反變換f(n)。

【解】

根據(jù)收斂域可知，對應(yīng)的序列一定為右邊序列，即對于本例，當(dāng)z→∞時F(z)收斂，所以是因果序列，即

F(z)=f(0)+f(1)z－1+f(2)z－2+…

顯然，F(xiàn)(z)展開成z的降冪級數(shù)(即z－1級數(shù))，因此要用降冪長除，即所以有

f(n)=anu(n)

【例7-10】

上例中收斂域變?yōu)閨z|<a，求其反變換f(n)。

【解】

由收斂域可知，對應(yīng)的序列一定為左邊序列，又因為F(z)在z=0處收斂，所以有

F(z)=f(－1)z+f(－2)z2+f(－3)z3+…

則F(z)應(yīng)展開成z的升冪級數(shù)(即z的級數(shù))，所以有

f(n)=－anu(－n－1)

【例7-11】

某序列f(n)的Z變換F(z)=，<|z|<，求其反變換f(n)。

【解】

由收斂域知f(n)為雙邊序列，這就意味著F(z)的級數(shù)展開式中既包含z的級數(shù)也包含z－1的級數(shù)。

為了得到正確的展開式，我們把F(z)寫成兩部分的和，即

F(z)=F1(z)+F2(z)

其中F1(z)在|z|>時收斂，F(xiàn)2(z)在|z|<時收斂。把F1(z)展開成z－1的級數(shù)：把F2(z)展開成z的級數(shù)：

F2(z)=－1－2z－4z2－…－(2z)n－…，|z|<于是和式F1(z)+F2(z)=F(z)對于<|z|<收斂，相應(yīng)的序列為

【例7-12】

有一Z變換F(z)=lg(1+az－1)，|z|>|a|，求其反變換f(n)。

【解】

由于|az－1|<1，可以利用lg(1+ω)，|ω|<1的泰勒級數(shù)展開式，即則根據(jù)上式，可以將f(n)求出為或者寫成

2.部分分式展開法

若F(z)為有理分式，則F(z)可表示為(7-31)式中，ai(i=0，1，2，…，n)、bj(j=0，1，2，…，m)為實數(shù)，取an=1。若m≥n，F(xiàn)(z)為假分式，可用多項式除法將F(z)表示為(7-32)式中，ci(i=0，1，2，…，m－n)為實數(shù)，N(z)的Z反變換為ciδ(n+i)之和。為真分式，可展開為部分分式求Z反變換。用部分分式展開法求Z反變換與部分分式展開法求拉普拉斯反變換類似。但由于常用指數(shù)函數(shù)Z變換的形式為

，因此，一般先把展開為部分分式，然后再乘以z，得到用基本形式表示的F(z)，再根據(jù)常用Z變換對求Z反變換。

設(shè)為有理真分式，可表示為式中，zi(i=1，2，…，m)為的極點，可能為一階極點，也可能為重極點；可能為實極點，也可能為虛極點或復(fù)極點。zi為復(fù)極點(虛極點)時，必共軛成對出現(xiàn)。

1)的極點為一階極點

的部分分式展開式為(7-33)式中系數(shù)ki的計算方法為(7-34)式(7-33)兩端乘以z，得(7-35)根據(jù)F(z)的收斂域和以下變換對(7-36)(7-37)對式(7-35)求解Z反變換f(n)。

【例7-13】

已知F(z)=，|z|>2，求F(z)的原函數(shù)f(n)。

【解】

因為F(z)的收斂域為|z|>2，所以f(n)為因果序列。

的極點全為一階極點，可展開為由式(7-34)求k1、k2、k3，得于是得所以f(n)=δ(n)－3u(n)+3(2)nu(n)

【例7-14】

已知F(z)=，2<|z|<3，求F(z)的原函數(shù)f(n)。

【解】

由于F(z)的收斂域為2<|z|<3，所以f(n)為雙邊序列。展開為

故由于所以上面兩個Z變換的收斂域的公共部分為2<|z|<3，于是得f(n)=2u(n)－5·2nu(n)－3·3nu(－n－1)

2)有重極點

設(shè)在z=z0有m階重極點，另有n個一階極點zi(i=1，2，…，n)，則可表示為系數(shù)k1i(i=1，2，…，m)、ki(i=1，2，…，n)的計算方法為(7-38)(7-39)

F(z)的部分分式展開式為(7-40)根據(jù)F(z)的收斂域和各分式的Z反變換求F(z)的Z反變換。

【例7-15】

已知F(z)=，1<|z|<2，求F(z)的原函數(shù)f(n)。

【解】

f(n)為雙邊序列。的部分分式展開式為所以

3)有共軛復(fù)極點

若有共軛復(fù)極點，展開為部分分式的形式和系數(shù)的計算方法與實極點情況相同，但計算比較復(fù)雜。下面舉例說明。

【例7-16】

已知F(z)=，|z|>2，求原函數(shù)f(n)。

【解】

由收斂域知f(n)為因果序列。F(z)的極點為z1,2=2±j2，可展開為于是得所以另外，雙邊Z反變換也可以根據(jù)其定義計算，這種方法稱為反演積分法，也叫留數(shù)法，讀者可自行查閱相關(guān)參考書。

7.4單邊Z變換

實際中的離散信號f(n)都是有起始時刻的。若令起始時刻n0=0，如果n<0時f(n)的值為0，則稱f(n)為因果信號。因果信號的雙邊Z變換稱為單邊Z變換。下面討論單邊Z變換及其性質(zhì)。

7.4.1單邊Z變換的定義

對于離散信號f(n)，冪級數(shù)(7-41)稱為f(n)的單邊Z變換，記為F(z)=Z[f(n)]。積分(7-42)稱為F(z)的單邊Z反變換，記為f(n)=Z

－1[F(z)]。F(z)又稱為f(n)的象函數(shù)，f(n)又稱為F(z)的原函數(shù)。因為單邊Z變換的求和下限為n=0，所以，任一信號f(n)的單邊Z變換等于信號f(n)u(n)的雙邊變換。單邊Z變換與因果信號的雙邊Z變換相同。因此，單邊Z變換的收斂域與因果信號的雙邊Z變換相同。因此，單邊Z變換的收斂域與因果信號雙邊Z變換的收斂域相同，即

(1)單邊Z變換的收斂域一般為|z|>a，收斂域為以|z|=a為半徑的圓外區(qū)域。有限長因果序列單邊Z變換的收斂域為|z|>0。δ(n)的單邊Z變換的收斂域為全z平面。

(2)對于不同的離散信號，其單邊Z變換的收斂域必有公共部分。因果信號f(n)與其單邊Z變換F(z)一一對應(yīng)。因為這一特點，不再強調(diào)單邊Z變換的收斂域。7.4.2常用序列的單邊Z變換

(1)f(n)=δ(n)。

F(z)=1

(7-43)

(2)f(n)=u(n)。(7-44)(3)f(n)=anu(n)。(7-45)(4)f(n)=e±jβnu(n)。(7-46)

(5)f(n)=

n(n－1)(n－2)…(n－m+1)an－mu(n)。(7-47)7.4.3單邊Z變換的性質(zhì)

雙邊Z變換的許多性質(zhì)同樣適用于單邊Z變換。除收斂域一般不同外，雙邊Z變換的這些性質(zhì)的表述形式與單邊Z變換對應(yīng)性質(zhì)的表述形式相同。這些性質(zhì)有：線性性質(zhì)、序列乘an性質(zhì)、序列乘n性質(zhì)、初值定理和終值定理等。

單邊Z變換畢竟有自己的特殊性，它的另外一些性質(zhì)與雙邊Z變換的性質(zhì)不完全相同，以下主要討論單邊Z變換的特殊性質(zhì)。

1.位移(時移)性質(zhì)

若f(n)F(z)，|z|>|a|，則(7-48)(7-49)(7-50)式中，m為整數(shù)，m>0。下面證明式(7-48)。根據(jù)單邊Z變換的定義，則Z[f(n+m)]=

f(n+m)z－n令n+m=i，則Z[f(n+m)]=用n代替i，得Z[f(n+m)]=同理可證式(7-49)。下面證明式(7-50)。根據(jù)單邊Z變換的定義，則Z[f(n－m)u(n－m)]=令n－m=i，得Z[f(n－m)u(n－m)]=需要強調(diào)的是，f(n+m)和f(n－m)的單邊Z變換分別等于f(n+m)u(n)和f(n－m)u(n)的單邊Z變換，因此，單邊Z變換的位移性質(zhì)與雙邊Z變換的位移性質(zhì)不同。此外，一般情況下，f(n－m)不等于f(n－m)u(n－m)，所以兩者的單邊Z變換也不相等。若f(n)是因果信號，則f(n－m)和f(n－m)u(n－m)相等，因此兩者的單邊Z變換也相等。

【例7-17】

已知f(n)=an－2，求f(n)的單邊Z變換F(z)。

【解】

f(n)為非因果信號。令f1(n)=an，則f1(n)的單邊Z變換為F1(z)=Z

[an]=Z

[anu(n)]=

，|z|>|a|根據(jù)式(7-49)，則F(z)=Z

[an－2]=Z

[f1(n－2)]=z－2F1(z)+

f1(n－2)z－n或者F(z)=Z

[an－2]=Z

[an－2u(n)]=Z[a－2anu(n)]=

，|z|>|a|

2.卷積性質(zhì)

若f1(n)、f2(n)為因果序列，且

f1(n)F1(z)，|z|>a1

f2(n)F2(z)，|z|>a2

則

f1(n)*f2(n)F1(z)F2(z)，|z|>max[a1，a2]

(7-51)

單邊Z變換的卷積性質(zhì)要求f1(n)、f2(n)為因果序列，而雙邊Z變換的卷積性質(zhì)則無此限制。

【例7-18】

已知f1(n)和f2(n)均為因果序列，f2(n)=

δ(n－mN)，N為正整數(shù)，f(n)=f1(n)*f2(n)，求f(n)的單邊Z變換F(z)。

【解】

根據(jù)位移性質(zhì)，則

δ(n－mN)z－mN|z|>0

根據(jù)線性性質(zhì)，則F2(z)=Z[f2(n)]=Z(7-52)式(7-52)的冪級數(shù)在|z|>1時收斂，于是得(7-53)設(shè)f1(n)的單邊Z變換為F1(z)，收斂域為|z|>a。根據(jù)卷積性質(zhì)，得F(z)=Z

[f1(n)*f2(n)]=F1(z)·F2(z)(7-54)若f1(n)為有限長因果序列，序列長度小于N，則f(n)=f1(n)*f2(n)=f1(n)*即f(n)為從n=0起始的周期性因果序列，周期為N，第一周期內(nèi)的序列為f1(n)，以后各周期為f1(n)每隔N的延時。因此，式(7-54)也表示式(7-55)所示周期性因果序列的單邊Z變換。7.4.4單邊Z反變換的計算

與雙邊Z反變換的計算方法類似，單邊Z反變換的計算方法有冪級數(shù)展開法、部分分式展開法、留數(shù)法、查表法等。單邊Z變換的收斂域為|z|>a，其Z反變換為因果序列。因此，單邊Z反變換的上述計算方法與收斂域為|z|>a時的雙邊Z反變換的計算方法相同。下面僅以一例說明。

【例7-19】

已知F(z)=，|z|>3，求F(z)的單邊Z反變換f(n)。

【解】

首先對進(jìn)行部分分式展開。有一階極點z=2，有三重極點z=3。各系數(shù)分別為于是得所以為了便于查閱和應(yīng)用，最后將Z變換的性質(zhì)列于表7-2中。

7.5LTI離散系統(tǒng)的z域分析

LTI離散系統(tǒng)z域分析的基本思路與連續(xù)系統(tǒng)s域分析相似，即系統(tǒng)的輸入f(n)分解為基本信號zn之和，系統(tǒng)對f(n)的零狀態(tài)響應(yīng)等于基本信號的加權(quán)響應(yīng)之和。本章討論的系統(tǒng)，其輸入為因果信號，因此，系統(tǒng)分析用單邊Z變換和Z反變換。在后面的討論中，若不特別說明，離散系統(tǒng)均指LTI因果離散系統(tǒng)。7.5.1基本信號zn激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)

若LTI離散系統(tǒng)的輸入為f(n)=zn，零狀態(tài)響應(yīng)為yf(n)，單位脈沖響應(yīng)為h(n)，由時域分析可知如果系統(tǒng)是因果的，則h(n)為因果序列，有(7-56)式中，H(z)稱為LTI因果離散系統(tǒng)的z域系統(tǒng)函數(shù)，zn稱為系統(tǒng)的特征函數(shù)。式(7-56)表明，離散系統(tǒng)對基本信號zn的零狀態(tài)響應(yīng)等于zn與系統(tǒng)函數(shù)H(z)的乘積，即f(n)=zn→yf(n)=znH(z)7.5.2一般因果序列f(n)激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)

若LTI離散系統(tǒng)的輸入為因果序列f(n)，且其單邊Z變換為F(z)，則f(n)可以分解為基本信號zn之和：如果對于z平面收斂域內(nèi)的圍線C上選任一z，信號zn產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)為H(z)zn，根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性和疊加性，便有即(7-57)于是(7-58)定義(7-59)為離散系統(tǒng)函數(shù)，它是系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換Yf(z)與激勵的Z變換F(z)之比，可通過差分方程在零狀態(tài)下取Z變換求得。這樣，可歸納出應(yīng)用z域分析法求解零狀態(tài)響應(yīng)的四個步驟：

(1)求激勵f(n)的Z變換F(z)，有f(n)F(z)。

(2)求離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)，常用方法有三種：

a.若給定差分方程，則在零狀態(tài)下取Z變換，并按式(7-59)計算可得；

b.若給定h(n)，則H(z)=Z[h(n)];

c.若給定系統(tǒng)框圖或信號流圖，由梅森公式計算可得。

(3)求零狀態(tài)響應(yīng)的Z變換。

Yf(z)=F(z)H(z)

(4)求Yf(z)的Z反變換。

yf(n)=Z

－1［Yf(z)］

【例7-20】

已知離散系統(tǒng)輸入為f1(n)=u(n)時，零狀態(tài)響應(yīng)(n)=3nu(n)。求輸入為f2(n)=(n+1)u(n)時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)

(n)。

【解】

求F1(z)、F2(z)和(z)，有系統(tǒng)函數(shù)為所以求其Z反變換為7.5.3差分方程的z域求解

以二階離散系統(tǒng)為例，設(shè)二階離散系統(tǒng)的差分方程為

y(n)+a1y(n－1)+a0y(n－2)=b2f(n)+b1f(n－1)+b0f(n－2)

(7-60)

式(7-60)中，a0、a1和b0、b1、b2為實常數(shù)，f(n)為因果信號，f(－1)、f(－2)均等于0。設(shè)y(n)的單邊Z變換為Y(z)，根據(jù)單邊Z變換的位移性質(zhì)，對式(7-60)兩端取單邊Z變換，得(7-61)由式(7-61)得

(1+a1z－1+a0z－2)Y(z)=－[(a1+a0z－1)y(－1)+a0y(－2)]

+(b2+b1z－1+b0z－2)F(z)

(7-62)

分別令

A(z)=1+a1z－1+a0z－2

B(z)=b2+b1z－1+b0z－2

M(z)=－[(a1+a0z－1)y(－1)+a0y(－2)]

則由式(7-62)得到(7-63)式(7-63)中，只與y(n)的初始值y(－1)、y(－2)有關(guān)，而與F(z)無關(guān)，y(－1)、y(－2)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，所以是系統(tǒng)零輸入響應(yīng)yx(n)的單邊Z變換Yx(z)；F(z)只與F(z)有關(guān)，而與初始狀態(tài)無關(guān)，因此，它是系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yf(n)的單邊Z變換Yf(z)；A(z)稱為系統(tǒng)的特征多項式，A(z)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為特征根。分別求Y(z)、Yx(z)、Yf(z)的單邊Z反變換，就得到完全響應(yīng)y(n)、零輸入響應(yīng)yx(n)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(n)，即(7-64)(7-65)(7-66)由于Yf(z)=H(z)F(z)，因此，由式(7-66)得到系統(tǒng)函數(shù)為(7-67)設(shè)N階離散系統(tǒng)的差分方程為(7-68)式中，M≤N，a0=1，ai(i=1，2，…，N－1)、bj(j=0，1，…，M)為實常數(shù)，則系統(tǒng)函數(shù)為(7-69)式(7-69)表示了系統(tǒng)函數(shù)H(z)與系統(tǒng)差分方程之間的對應(yīng)關(guān)系。根據(jù)這種關(guān)系，可由系統(tǒng)差分方程得到H(z)，也可由H(z)得到系統(tǒng)的差分方程。由前述已知，求解差分方程需要知道響應(yīng)的初始值。關(guān)于響應(yīng)的初始值，需要注意以下問題。對于N階線性時不變離散系統(tǒng)，若輸入f(n)為因果信號，則yf(－i)(i=1，2，…，N)等于0，但yf(i)一般不等于0。由于

y(n)=yx(n)+yf(n)

因此y(n)、yf(n)、yx(n)的初始值有以下關(guān)系：

y(－i)=yx(－i)+yf(－i)=yx(－i)，i=1，2，…，N

(7-70)

y(i)=yx(i)+yf(i)，i=0，1，2，…，N

(7-71)

初始值y(i)和y(－i)可根據(jù)系統(tǒng)差分方程應(yīng)用遞推法相互轉(zhuǎn)換。例如，設(shè)二階離散系統(tǒng)的差分方程為

y(n)－3y(n－1)+2y(n－2)=f(n)

(7-72)

其中，f(n)=u(n)，y(0)=1，y(1)=2。對式(7-72)，令n=1，得令n=0，得對于式(7-72)，若首先令n=0，然后令n=1，就可由y(－1)、y(－2)、f(0)、f(1)分別求出y(0)和y(1)。yx(i)和yx(－i)也可用遞推法根據(jù)yx(n)滿足的差分方程相互轉(zhuǎn)換，具體方法與上述y(i)與y(－i)的轉(zhuǎn)換方法類似。

【例7-21】

已知二階離散系統(tǒng)的差分方程為

y(n)－5y(n－1)+6y(n－2)=f(n－1)f(n)=2nu(n)，y(－1)=1，y(－2)=1。求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(n)、零輸入響應(yīng)yx(n)、零狀態(tài)響應(yīng)yf(n)。

【解】

方法一輸入f(n)的單邊Z變換為對系統(tǒng)差分方程兩端取單邊Z變換，得Y(z)－5[z－1Y(z)+y(－1)]+6[z－2Y(z)+y(－2)+y(－1)z－1]=z－1F(z)(7-73)把F(z)和初始條件y(－1)、y(－2)代入式(7-73)，得分別求Y(z)、Yx(z)、Yf(z)的Z反變換，得y(n)=Z－1[Y(z)]=5·2n－2·3n+1－n·2n，n≥0yx(n)=Z－1[Yx(z)]=2n+3－3n+2，n≥0yf(n)=Z－1[Yf(z)]=[3n+1－(3+n)2n]u(n)方法二分別根據(jù)yx(n)滿足的方程和yf(n)滿足的方程求yx(n)、yf(n)。yx(n)滿足的方程為

yx(n)－5yx(n－1)+6yx(n－2)=0

(7-74)

yx(n)的初始條件為yx(－1)=y(－1)，yx(－2)=y(－2)。

yf(n)滿足的差分方程為

yf(n)－5yf(n－1)+6yf(n－2)=f(n－1)

(7-75)

yf(n)的初始條件為yf(－1)=yf(－2)=0。

分別對式(7-74)、(7-75)兩邊取單邊Z變換，求得Yx(z)、Yf(z)，然后求Z反變換，得到y(tǒng)x(n)、yf(n)和y(n)。

7.6離散系統(tǒng)的表示和模擬

線性時不變離散系統(tǒng)通常是用線性常系數(shù)差分方程描述的。此外，與連續(xù)系統(tǒng)類似，離散系統(tǒng)也可以用方框圖、信號流圖來表示。若已知離散系統(tǒng)的差分方程或系統(tǒng)函數(shù)，用一些基本單元構(gòu)成該系統(tǒng)，稱為離散系統(tǒng)的模擬。離散系統(tǒng)的表示和模擬是離散系統(tǒng)分析和設(shè)計的基礎(chǔ)。7.6.1離散系統(tǒng)的方框圖表示

圖7-2所示的方框圖表示一個離散系統(tǒng)。圖中，f(n)和y(n)分別為系統(tǒng)的輸入和輸出。與連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示類似，幾個離散系統(tǒng)的串聯(lián)、并聯(lián)或串并混合連接組成的復(fù)合系統(tǒng)，可以表示一個復(fù)雜的離散系統(tǒng)。此外，一個離散系統(tǒng)也可以由基本單元加法器、數(shù)乘器、單位延遲器的連接表示。圖7-2離散系統(tǒng)的方框圖表示

1.離散系統(tǒng)的串、并聯(lián)

圖7-3表示由N個離散系統(tǒng)的串聯(lián)(級聯(lián))組成的復(fù)合系統(tǒng)，圖中(a)為時域形式，(b)為復(fù)頻域形式，hi(n)(i=1，2，…，N)為第i個子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，Hi(z)(i=1，2，…，N)為hi(n)的單邊Z變換，即為第i個子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。若復(fù)合系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，則系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)與各子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hi(n)均為因果信號。根據(jù)離散系統(tǒng)時域分析的結(jié)論，h(n)與hi(n)之間的關(guān)系為

h(n)=h1(n)*h2(n)*…*hN(n)

(7-76)圖7-3離散系統(tǒng)的串聯(lián)根據(jù)單邊Z變換的時域卷積性質(zhì)，復(fù)合系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)與各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)Hi(z)之間的關(guān)系為

H(z)=H1(z)·H2(z)…HN(z)

(7-77)

圖7-4表示N個離散系統(tǒng)的并聯(lián)組成的復(fù)合系統(tǒng)。圖(a)為時域形式，圖(b)為z域形式。設(shè)復(fù)合系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，h(n)為復(fù)合系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，H(z)為系統(tǒng)函數(shù)，則h(n)與子系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)hi(n)以及H(z)與子系統(tǒng)的Hi(z)之間的關(guān)系為(7-78)(7-79)圖7-4離散系統(tǒng)的并聯(lián)

【例7-22】

已知離散系統(tǒng)的方框圖表示如圖7-5所示。圖中，h1(n)=δ(n－2)，h2(n)=δ(n)，h3(n)=δ(n－1)。

(1)求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)；

(2)若系統(tǒng)輸入f(n)=anu(n)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(n)。

【解】(1)求h(n)：設(shè)由子系統(tǒng)h2(n)和h3(n)串聯(lián)組成的子系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h4(n)，該子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H4(z)，則

h4(n)=h2(n)*h3(n)=δ(n)*δ(n－1)=δ(n－1)

H4(z)=Z[h4(n)]=z－1圖7-5例7-22圖因此，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n)為

h(n)=h1(n)+h4(n)+δ(n)=δ(n)+δ(n－1)－δ(n－2)

H(z)=Z[h(n)]=1+z－1－z－2，|z|>0

(2)求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(n):

yf(n)=f(n)*h(n)=anu(n)*[δ(n)+δ(n－1)－δ(n－2)]

=anu(n)+an－1u(n－1)－an－2u(n－2)

或

求Yf(z)的單邊Z反變換：根據(jù)線性性質(zhì)和移位性質(zhì)，得

yf(n)=anu(n)+an－1u(n－1)－an－2u(n－2)

2.用基本單元表示離散系統(tǒng)

表示離散系統(tǒng)的基本單元有數(shù)乘器、加法器和單位延遲器，如圖7-6所示。圖(a)表示數(shù)乘器的時域和z域形式，圖(b)表示加法器的時域和z域形式，圖(c)表示單位延遲器的時域和z域形式，并且假定單位延遲器的初始狀態(tài)y(－1)=0。

【例7-23】

已知離散系統(tǒng)的框圖如圖7-7所示，寫出描述系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的差分方程。圖7-6離散系統(tǒng)的基本單元圖7-7例7-23圖

【解】

圖示為離散系統(tǒng)的z域框圖表示。根據(jù)基本單元的z域輸入、輸出關(guān)系，設(shè)左邊加法器的輸出為X(z)，則左邊第一個延遲器的輸入為X(z)，輸出為z－1X(z)；第二個延遲器的輸入為z－1X(z)，輸出為z－2X(z)，于是有

X(z)=－a1z－1X(z)－a0z－2X(z)+F(z)

(7-80)

Y(z)=b2X(z)+b1z－1X(z)+b0z－2X(z)

(7-81)

由式(7-80)和式(7-81)得(7-82)Y(z)=(b2+b1z－1+b0z－2)X(z)

(7-83)將式(7-82)代入式(7-83)得即

(1+a1z－1+a0z－2)Y(z)=(b2+b1z－1+b0z－2)F(z)

(7-84)由于框圖是系統(tǒng)在零狀態(tài)情況下的表示，所以根據(jù)單邊Z變換的移位性質(zhì)，對式(7-84)兩端取Z反變換，得到系統(tǒng)的差分方程為

y(n)+a1y(n－1)+a0y(n－2)=b2f(n)+b1f(n－1)+b0f(n－2)7.6.2離散系統(tǒng)的信號流圖表示

離散系統(tǒng)信號流圖表示的規(guī)則與連續(xù)系統(tǒng)信號流圖表示的規(guī)則相同，應(yīng)用梅森公式求離散系統(tǒng)函數(shù)H(z)的方法與求連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的方法相同。離散系統(tǒng)的信號流圖可由方框圖得到?？驁D與信號流圖的對應(yīng)關(guān)系如圖7-8所示。

【例7-24】

已知離散系統(tǒng)的方框圖表示如圖7-9(a)所示，畫出系統(tǒng)的信號流圖。

【解】

設(shè)圖7-9(a)所示方框圖左邊加法器的輸出為X1(z)，上邊第一個延遲器的輸出為X2(z)，第二個延遲器的輸出為X3(z)。根據(jù)基本單元的輸入、輸出關(guān)系，有圖7-8離散系統(tǒng)框圖與信號流圖的對應(yīng)關(guān)系

X1(z)=－a1X2(z)－a0X3(z)+F(z)

(7-85)

X2(z)=z－1X1(z)

(7-86)

X3(z)=z－1X2(z)

(7-87)

Y(z)=b2X1(z)+b0X3(z)

(7-88)

在信號流圖中用節(jié)點分別表示F(z)、X1(z)、X2(z)、X3(z)和Y(z)，然后根據(jù)上述信號之間的傳輸關(guān)系，信號流圖的規(guī)則以及框圖與信號流圖的對應(yīng)關(guān)系，得到系統(tǒng)的信號流圖表示如圖7-9(b)所示。圖7-9例7-24圖

【例7-25】

已知離散系統(tǒng)的信號流圖如圖7-10所示，求系統(tǒng)函數(shù)H(z)。

【解】

系統(tǒng)信號流圖中共有兩個環(huán)，其中，環(huán)1的傳輸函數(shù)L1=H1(z)G1(z)，環(huán)2的傳輸函數(shù)L2=H2(z)G3(z)，并且環(huán)1和環(huán)2不接觸。因此，根據(jù)梅森公式，信號流圖特征行列式為

Δ=1－(L1+L2)+(L1L2)

=1－[H1(z)G(z)+H2(z)G3(z)]+[H1(z)G1(z)H2(z)G3(z)]

信號流圖中從F(z)到Y(jié)(z)共有兩條開路。開路1的傳輸函數(shù)P1及對應(yīng)的剩余流圖特征行列式Δ1，開路2的傳輸函數(shù)P2及對應(yīng)的剩余流圖特征行列式Δ2分別為

圖7-10例7-25圖

P1=G4(z)Δ1=1

P2=G1(z)G2(z)G3(z)Δ2=1

于是得系統(tǒng)函數(shù)為7.6.3離散系統(tǒng)的模擬

與連續(xù)系統(tǒng)的模擬類似，若已知離散系統(tǒng)的差分方程或系統(tǒng)函數(shù)H(z)，可根據(jù)H(z)與梅森公式的關(guān)系得到系統(tǒng)的信號流圖模擬。根據(jù)信號流圖與系統(tǒng)框圖的對應(yīng)關(guān)系，可以進(jìn)一步得到系統(tǒng)的方框圖模擬。與連續(xù)系統(tǒng)的模擬形式類似，離散系統(tǒng)的信號流圖模擬通常有直接形式、串聯(lián)形式和并聯(lián)形式。

【例7-26】

已知二階離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為(7-89)用直接形式信號流圖模擬系統(tǒng)。

【解】

系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子、分母同除以z2，得(7-90)式(7-90)的分母可看做信號流圖的特征行列式；分母括號中的兩項可分別看做兩個互相接觸環(huán)的傳輸函數(shù)；分子中的三項可分別看做從F(z)到Y(jié)(z)的三條開路的傳輸函數(shù)。因此，系統(tǒng)的信號流圖可由兩個相互接觸的環(huán)和三條開路組成。根據(jù)梅森公式和信號流圖的對應(yīng)關(guān)系，得到系統(tǒng)的信號流圖模擬如圖7-11(a)、(c)所示。圖(a)是直接形式Ⅰ，圖(b)是對應(yīng)的框圖模擬；圖(c)是直接形式Ⅱ，圖(d)是圖(c)對應(yīng)的框圖模擬。圖7-11例7-26圖

【例7-27】

已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為(7-91)用串聯(lián)形式信號流圖模擬系統(tǒng)。

【解】

系統(tǒng)函數(shù)H(z)可以表示為

H(z)=H1(z)H2(z)

(7-92)式中：(7-93)(7-94)由式(7-92)可知，系統(tǒng)可由子系統(tǒng)H1(z)和子系統(tǒng)H2(z)串聯(lián)組成。子系統(tǒng)H1(z)為一階節(jié)，子系統(tǒng)H2(z)為二階節(jié)。根據(jù)式(7-93)和式(7-94)，子系統(tǒng)H1(z)和子系統(tǒng)H2(z)的直接形式信號流圖分別如圖7-12(a)、(b)所示。由兩個子系統(tǒng)串聯(lián)組成的系統(tǒng)信號流圖如圖7-12(c)所示，圖(d)是對應(yīng)的串聯(lián)形式框圖模擬。

【例7-28】

已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為用并聯(lián)形式信號流圖模擬系統(tǒng)。圖7-12例7-27圖

【解】

H(z)可以表示為(7-95)(7-96)(7-97)由式(7-95)可知，系統(tǒng)可由子系統(tǒng)H1(z)和子系統(tǒng)H2(z)并聯(lián)組成。由兩個子系統(tǒng)并聯(lián)組成的系統(tǒng)信號流圖如圖7-13(a)所示，圖7-13(b)是對應(yīng)的并聯(lián)形式框圖模擬。圖7-13例7-28圖

7.7離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)

7.7.1離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)(頻率特性)是指系統(tǒng)對不同頻率正弦序列的響應(yīng)特性。若離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點全部在單位圓內(nèi)，則H(ejΩ)稱為離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng)或頻率特性。(7-98)(7-99)|H(ejΩ)|稱為幅頻響應(yīng)或幅頻特性，(Ω)稱為相頻響應(yīng)或相頻特性。因為ejΩ是Ω的周期函數(shù)，所以H(ejΩ)也是Ω的周期函數(shù)，周期為2π。

【例7-29】

已知離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)=，|z|>，求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

【解】

因為H(z)的收斂域為|z|>，只有一個極點z=，并且極點在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)分別為幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線如圖7-14(a)、(b)所示。圖7-14例7-29圖7.7.2離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)

離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)通常為有理分式，可以表示為z－1的有理分式，也可以表示為z的有理分式，即式中，M≤N，ai(i=1，2，…，N)、bj(j=0，1，…，M)為實常數(shù)，a0=1。A(z)=0的根Pi(i=0，1，2，…，N)稱為H(z)的極點，B(z)=0的根zj(j=0，1，…，M)稱為H(z)的零點，因此，H(z)又可表示為(7-101)

H(z)的極點和零點可能是實數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。由于A(z)和B(z)的系數(shù)ai、bj都是實數(shù)，所以，若極點(零點)為虛數(shù)或復(fù)數(shù)時，則必然共軛成對出現(xiàn)。7.7.3H(z)的零極點與時域響應(yīng)

由于因果系統(tǒng)的H(z)收斂域為|z|>a，所以收斂域的邊界為一圓。為此，把z平面劃分為單位圓內(nèi)、單位圓上、單位圓外三部分，并根據(jù)H(z)的極點在這三個區(qū)域的分布討論極點對h(n)的形式的影響。1.單位圓內(nèi)極點

若H(z)在單位圓內(nèi)有一階實極點P=a，|a|<1，則H(z)的分母A(z)中就有因子(z－a)，則h(n)中就含有形式為Aanu(n)的項。

若H(z)在單位圓內(nèi)有二階實極點P=a，則A(z)中就有因子(z－a)2，h(n)中就含有形式為Anan－1u(n)的項，A為實常數(shù)。

若H(z)在單位圓內(nèi)有一階共軛復(fù)極點P1，2=re±jβ，r<1,則A(z)中就有因子(z－rejβ)(z－re－jβ)，h(n)中就有形式為Arncos(βn+θ)u(n)的項。若H(z)在單位圓內(nèi)有二階共軛復(fù)極點P1，2=re±jβ，則A(z)中就有因子(z－rejβ)2·(z－re－jβ)2，h(n)中就有形式為Anrn－1cos［β(n－1)+θ］u(n)的項。

若H(z)在單位圓內(nèi)有二階以上極點，則這些極點對應(yīng)的h(n)中的項也隨n的增加而減小最終趨于0。因此，H(z)在單位圓內(nèi)的極點對應(yīng)的h(n)中的響應(yīng)都隨n的增加而減小，最終趨于0。

2.單位圓上極點

若H(z)在單位圓上有一階實極點P=±1，則A(z)中就有因子z(z±1)，h(n)中就有形式為A(±1)nu(n)的項。

若H(z)在單位圓上有二階實極點P=±1，則A(z