導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義（1）年級(jí)：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）主講人：

學(xué)校：

問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率問題1解決這兩類問題時(shí)有什么共性？PARTONE問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率——平均變化率——平均變化率——瞬時(shí)變化率——瞬時(shí)變化率問題1解決這兩類問題時(shí)有什么共性？

都采用了由“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法.問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率——平均變化率——平均變化率——瞬時(shí)變化率——瞬時(shí)變化率問題2一般地，對(duì)于函數(shù)

y＝f(x)，你能用“平均變化率”逼近“瞬時(shí)變化率”的思想方法研究其在某點(diǎn)(如

x＝

x0）處的瞬時(shí)變化率嗎？追問1：為了研究函數(shù)

y＝f(x)在

x＝

x0處的瞬時(shí)變化率，我們可以研究哪個(gè)范圍內(nèi)函數(shù)值的平均變化率呢？在P0

(1,1)處的切線斜率

問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率——平均變化率——平均變化率——瞬時(shí)變化率——瞬時(shí)變化率

為了研究函數(shù)

y＝f(x)在

x＝

x0處的瞬時(shí)變化率，我們可以選取自變量x的一個(gè)改變量

，可以是正值，也可以是負(fù)值，但不為

0.計(jì)算自變量x從x0變化到這個(gè)過程中函數(shù)值的平均變化率.追問2：自變量

x從

x0變化到

這個(gè)過程中，函數(shù)值的平均變化率如何表示呢？問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率——平均變化率——平均變化率——瞬時(shí)變化率——瞬時(shí)變化率自變量

x：函數(shù)值

y：

函數(shù)

y＝f(x)從x0到的平均變化率：函數(shù)

y＝f(x)追問3：函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0

處的瞬時(shí)變化率該如何表示呢？問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率切線斜率——瞬時(shí)變化率——瞬時(shí)變化率無限趨近于無限趨近于無限趨近于函數(shù)

y＝f(x)追問4：當(dāng)

無限趨近于0時(shí)，平均變化率

是否一定會(huì)無限趨近于一個(gè)確定的值呢？

這說明當(dāng)

無限趨近于0時(shí)，平均變化率

不一定能無限趨近于一個(gè)確定的值.考查f(x)＝|x|在x＝0附近的變化情況.舉反例：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，定義：如果當(dāng)無限趨近于0時(shí)，平均變化率無限趨近于一個(gè)確定的值，即

有極限，我們稱

y＝

f(x)在

x

＝

x0

處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做

y＝

f(x)在

x

＝

x0

處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率)，記作

或.用極限符號(hào)表示這個(gè)定義，就是導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限，是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).問題3

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，你能用導(dǎo)數(shù)來重述跳水運(yùn)動(dòng)員速度問題和拋物線切線問題的結(jié)論嗎？問題1高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的速度平均速度瞬時(shí)速度問題2拋物線的切線斜率割線斜率切線斜率在P0

(1,1)處的切線斜率

實(shí)際上，導(dǎo)數(shù)可以描述許多運(yùn)動(dòng)變化事物的瞬時(shí)變化率.比如效率、國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值的增長(zhǎng)率等.例1

設(shè)

，求分析：因?yàn)樗詾榱吮阌谟?jì)算，我們可以先求出

，再對(duì)它取極限.例1

設(shè)

，求解：?jiǎn)栴}4

你能總結(jié)出求函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0

處導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？問題4

你能總結(jié)出求函數(shù)

y＝f(x)在

x＝x0

處導(dǎo)數(shù)的步驟嗎？第一步，寫出并化簡(jiǎn)；第二步，求極限，

若存在，則例2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.

已知在第

xh時(shí)，原油的溫度（單位：℃）為

計(jì)算第2h與第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.追問1：這個(gè)實(shí)際問題與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？例2將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.

已知在第

xh時(shí)，原油的溫度（單位：℃）為

計(jì)算第2h與第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義.導(dǎo)數(shù)是瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá).追問1：這個(gè)實(shí)際問題與導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？解：在第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是

和所以因?yàn)橥恚穯?：和在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？

在本題中

是原油溫度在時(shí)刻

x0的瞬時(shí)變化率，它反映的是原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況.

表示在第2h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為－3℃/h.這說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為負(fù)，體現(xiàn)了下降的變化趨勢(shì).追問2：和在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？

表示在第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率為5℃/h，這說明在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率上升.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為正，體現(xiàn)了上升的變化趨勢(shì).例3一輛汽車在公路上沿直線變速行駛，假設(shè)ts時(shí)汽車的速度（單位：m/s）為

y＝v(t)＝－t2＋6t＋60，求汽車在第2s與第6s時(shí)的瞬時(shí)加速度，并說明它們的意義.追問1：速度與瞬時(shí)加速度的關(guān)系是什么？瞬時(shí)加速度就是速度的瞬時(shí)變化率.解：在第2s和第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度就是

和所以因?yàn)橥恚穯?：和在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？

在本題中

是t0時(shí)刻汽車的瞬時(shí)加速度，反映了速度在t0時(shí)刻附近的變化情況.

表示在第2s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度是2m/s2，這說明在第2s附近，汽車的速度每秒大約增加2m/s.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為正，體現(xiàn)了增加的變化趨勢(shì).追問2：和在這個(gè)實(shí)際問題中的意義是什么？

表示在第6s時(shí)，汽車的瞬時(shí)加速度是－6m/s2，這說明在第6s附近，汽車的速度每秒大約減少6m/s.導(dǎo)數(shù)(瞬時(shí)變化率)為負(fù)，體現(xiàn)了減少的變化趨勢(shì).瞬時(shí)速度是位移的瞬時(shí)變化率，瞬時(shí)加速度是速度的瞬時(shí)變化率.根據(jù)路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)求速度與加速度是一類基本問題，它和求已知曲線的切線這兩類問題直接促進(jìn)了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生.課堂小結(jié)知識(shí)層面導(dǎo)數(shù)的概念；根據(jù)定義求給定函數(shù)在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的步驟；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的意義對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行了分析和解釋.思想方法層面運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)；極限思想.課后作業(yè)1.設(shè)函數(shù)

f(x)