《數(shù)量方法（二）》（代碼00994）

自學(xué)考試復(fù)習(xí)提綱-附件1（總43

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《數(shù)量方法（二）》（代碼00994）自學(xué)考試復(fù)習(xí)提綱

第一章數(shù)據(jù)的整理和描述

?；局R(shí)點(diǎn)：

一、數(shù)據(jù)的分類(lèi)：

按照描述的事物分類(lèi)：

1.分類(lèi)型數(shù)據(jù)：描述的是事物的品質(zhì)特征，本質(zhì)表現(xiàn)是文字形式；

2.數(shù)量型數(shù)據(jù)：事物的數(shù)量特征，用數(shù)據(jù)形式表示；

3.日期和時(shí)間型數(shù)據(jù)。

按照被描述的對(duì)象與時(shí)間的關(guān)系分類(lèi)：

1.截面數(shù)據(jù)：事物在某一時(shí)刻的變化情況，即橫向數(shù)據(jù)；

2.時(shí)間序列數(shù)據(jù)：事物在一定的時(shí)間范圍內(nèi)的變化情況，即縱向數(shù)

據(jù)；

3.平行數(shù)據(jù)：是截面數(shù)據(jù)與時(shí)間序列數(shù)據(jù)的組合。

數(shù)據(jù)的整理和圖表顯示：

1.組距分組法：

1）將數(shù)據(jù)按上升順序排列，找出最大值max和最小值min；

2）確定組數(shù)，計(jì)算組距c；

3）計(jì)算每組的上、下限（分組界限）、組中值及數(shù)據(jù)落入各組的頻數(shù)

（頻數(shù)x組中值）的和:匕必）

M（個(gè)數(shù)）和頻率￡.（平均數(shù)b

頻數(shù)的和iT?

形成頻率分布表；

4）唱票記頻數(shù)；

5）算出組頻或，組中值；

2

6）制表。

2.餅形圖：用來(lái)描述和表現(xiàn)各成分或某一成分占全部的百分比。注

意：成分不要多于6個(gè)，多于6個(gè)一般是從中選出5個(gè)最重要的，把剩

下的全部合并成為“其他”；成分份額總和必須是100%；比例必須于

扇形區(qū)域的面積比例一致。

3.條形圖：用來(lái)對(duì)各項(xiàng)信息進(jìn)行比較。當(dāng)各項(xiàng)信息的標(biāo)識(shí)（名稱(chēng)）

較長(zhǎng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)盡量采用條形圖。

4.柱形圖：如果是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，應(yīng)該用橫坐標(biāo)表示時(shí)間，縱坐標(biāo)

表示數(shù)據(jù)大小，即應(yīng)當(dāng)使用柱形圖，好處是可以直觀的看出事物隨時(shí)間

變化的情況。

5.折線圖：明顯表示趨勢(shì)的圖示方法。簡(jiǎn)單、容易理解，對(duì)于同一

組數(shù)據(jù)具有唯一性。

6.曲線圖：許多事物不但自身逐漸變化，而且變化的速度也是逐漸

變化的。具有更加自然的特點(diǎn)，但是不具有唯一性。

7.散點(diǎn)圖：用來(lái)表現(xiàn)兩個(gè)變量之間的相互關(guān)系，以及數(shù)據(jù)變化的趨

勢(shì)。

8.莖葉圖：把數(shù)據(jù)分成莖與葉兩個(gè)部分，既保留了原始數(shù)據(jù)，又直

觀的顯示出了數(shù)據(jù)的分布。

三、數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的度量：

1.平均數(shù)：容易理解，易于計(jì)算；不扁不倚地對(duì)待每一個(gè)數(shù)據(jù)；是

數(shù)據(jù)集地“重心”；缺點(diǎn)是它對(duì)極端值十分敏感。

全體數(shù)據(jù)的總和

平均數(shù)二

數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)

3

2.中位數(shù)：將數(shù)據(jù)按從小到大順序排列，處在中間位置的一個(gè)數(shù)或

最中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)。它的優(yōu)點(diǎn)是它對(duì)極端值不像平均數(shù)那么敏

感，因此，如吳包含極端值的數(shù)據(jù)集來(lái)說(shuō)，用中位數(shù)來(lái)描述集中趨勢(shì)比

用平均數(shù)更為恰當(dāng)。

3.眾數(shù)：數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)。缺點(diǎn)是一個(gè)數(shù)據(jù)集可能沒(méi)有眾

數(shù)，也可能眾數(shù)不唯一；優(yōu)點(diǎn)在于它反映了數(shù)據(jù)集中最常見(jiàn)的數(shù)值，而

且它不僅對(duì)數(shù)量型數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)都是數(shù)值）有意義，它對(duì)分類(lèi)型數(shù)據(jù)集也

有意義；并且能夠告訴我們最普遍、最流行的款式、尺寸、色彩等產(chǎn)品

特征。

4.分組數(shù)據(jù)的平均數(shù)（加權(quán)平均）：

也仍將（頻數(shù)x組中值）的和匕上小加初斗為??加拓

平均數(shù)“一釐麗-------￡7'"為組數(shù)’1為第?組頻

數(shù)，y,為第i組組中值。

5.平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的關(guān)系：

數(shù)據(jù)分布是對(duì)禰分部時(shí)：眾數(shù)二中位數(shù)二平均數(shù)

數(shù)據(jù)分布不是對(duì)稱(chēng)分部時(shí)：左偏分布時(shí)：眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù)

右偏分布時(shí)：眾數(shù)>中位數(shù)>平均數(shù)

四、數(shù)據(jù)離散趨勢(shì)的度量：

1.極差R=最大值max-最小值min

2.四分位點(diǎn)：第二四分位點(diǎn)&就是整個(gè)數(shù)據(jù)集的中位數(shù)；第一四分

位點(diǎn)。是整個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列后第半個(gè)（若空不是整數(shù)，取

44

左右兩個(gè)的平均）；第三四分位點(diǎn)2是整個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大排列后第

4

即j個(gè)（若當(dāng)1不是整數(shù)取左右兩個(gè)的平均）。四分位極差=3

44

-2,,它不像極差R那么容易受極端值的影響，但是仍然存在著沒(méi)有充

分地利用數(shù)據(jù)所有信息地缺點(diǎn)。

3.方差：離平均數(shù)地集中位置地遠(yuǎn)近；

丁2-2Z匕需一〒一（E匕y）~丁2-2

=4-2=用工=--------率----------=Z匕…

〃/=<〃Z匕〃

了二今邑即用分組

匕是頻數(shù)，、是組中值，〃=z匕即數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),

X匕

數(shù)據(jù)計(jì)算的平均數(shù)。

4.標(biāo)準(zhǔn)差：cr=4o^o

變異系數(shù)：表示數(shù)據(jù)相對(duì)于其平均數(shù)的分散程度。

V=-xlOO%

?；具\(yùn)算方法：

1、一組數(shù)據(jù)3,4,5,5,6,7,8,9,10中的中位數(shù)是（）

A.5B.

C.6D.

解析：按從小到大排列，此九個(gè)數(shù)中，正中間的是6,從而答案為C。

2、某企業(yè)30歲以下職工占25%,月平均工資為800元；30—45歲職工占

50%,

月平均工資為1000元；45歲以上職工占25馳，月平均工資1100元，該企業(yè)全

部職工的月平均工資為（）

A.950元B.967元

5

C.975元D.1000元

解析：25%*800+50%*1000+25%*1100=975,故選C。

3、有一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為50、25,這組數(shù)據(jù)的變異系數(shù)為

（）

解析：變異系數(shù)V=gxlOO%=

x

25

-^=0.5,故選C。

4、若兩組數(shù)據(jù)的平均值相差較大，比較它們的離散程度應(yīng)采用（）

A.極差B.變異系數(shù)

C.方差D.標(biāo)準(zhǔn)差

解析：考變異系數(shù)的用法，先B。

5、一組數(shù)據(jù)4,4,5,5,6,6,7,7,7,9,10中的眾數(shù)是（）

A.6B.C.7D.

解析：出現(xiàn)最多的數(shù)為眾數(shù)，故選C。

6、對(duì)于峰值偏向左邊的單峰非對(duì)稱(chēng)直方圖，一般來(lái)說(shuō)（）

A.平均數(shù)＞中位數(shù)〉眾數(shù)B.眾數(shù)〉中位數(shù)〉平均數(shù)

C.平均數(shù)〉眾數(shù)〉中位數(shù)D.中位數(shù)＞眾數(shù)〉平均數(shù)

解析：數(shù)據(jù)分布是對(duì)稱(chēng)分部時(shí)：眾數(shù)二中位數(shù)二平均數(shù)

數(shù)據(jù)分布不是對(duì)稱(chēng)分部時(shí)：左偏分布時(shí)：眾數(shù)＜中位數(shù)＜平均數(shù)

右偏分布時(shí)：眾數(shù)＞中位數(shù)＞平均數(shù)

需要記住提，峰值偏向左邊的單峰非對(duì)稱(chēng)直方圖稱(chēng)為右偏分布，峰值偏向右邊

的單峰非對(duì)稱(chēng)直方圖稱(chēng)為左偏分布，從而此題答案為Bo

第二章隨機(jī)事件及其概率

6

。基本知識(shí)點(diǎn)：

一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件：

1.隨機(jī)試驗(yàn)：

a）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；

b）每次試驗(yàn)的可能結(jié)果可能不止一個(gè)，但是試驗(yàn)的所有可能的結(jié)昊在

試驗(yàn)之前是確切知道的；

c）試驗(yàn)結(jié)束之前，不能確定該次試驗(yàn)的確切結(jié)果。

2.樣本空間。：

a）所有基本事件的全體所組成的集合稱(chēng)為樣本空間，是必然時(shí)間，

b）樣本空間口每一個(gè)基本事件稱(chēng)為一個(gè)樣本點(diǎn)；

c）每一個(gè)隨機(jī)事件就是若干樣本點(diǎn)組成的集合，即隨機(jī)事件是樣本空

間的子集；

d）不包含任何樣本點(diǎn)的隨機(jī)事件就是不可能事件中。

3.樣本空間的表示方法：

a）列舉法：如擲骰子C={1,2,3,4,5,6}

b）描述法：若擲骰子出現(xiàn){135}可描述為：擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)。

二、事件的關(guān)系和運(yùn)算

1.事件的關(guān)系：

a）包含關(guān)系：事件A的每一個(gè)樣本點(diǎn)都包含在事件B中，或者事件A

的發(fā)生必然導(dǎo)致事件B的發(fā)生，成為事件B包含事件A,記做

Au3或者若AuB且BuA則稱(chēng)事件A與事件B相等，記

做A二B。

7

b）事件的并事件A和事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱(chēng)為事件A與事

件B的并，記做4U8或者A+8。

c）事件的交：事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的事件稱(chēng)為事件A與事件B

的交，記做或者

d）互斥事件：事件A與事件B中，若有一個(gè)發(fā)生，另一個(gè)必定不發(fā)

生，則稱(chēng)事件A與事件B是互斥的，否則稱(chēng)這兩個(gè)事件是相容的。

e）對(duì)立事件：一個(gè)事件B若與事件A互斥，且它與事件A的并是整個(gè)

樣本空間Q,則稱(chēng)事件B是事件A的對(duì)立事件，或逆事件。事件A

的對(duì)立事件是彳，AC）才AUA=QO

f）事件的差：事件A發(fā)生，但事件B不發(fā)生的事件，稱(chēng)為事件A與事

件B的差，記做A—B。

2.運(yùn)算律：

a）交換律：AnB=8UA，4nB=BP|A;

b）結(jié)合律：AU（8UC）=（4UB）UC，A（BC）=（AB）C;

c）分配律：

4U（/1nc）=（AUR）n（AU。）.An（"Uc）=（AnA）u（Anc）：

d）對(duì)偶律：而瓦布豆=wu月。

三、事件的概率與古典概型：

1.事件A發(fā)生的頻率的穩(wěn)定值〃稱(chēng)為事件A發(fā)生的概率，記做：

P(A)=〃，0<p<lo

8

2.概率的性質(zhì)：

a)非負(fù)性：P(A)NO；

b)規(guī)范性：0</;<1；

c)完全可加性:P(UA.)=E^(A)；

/=,i=i

d)。(。)=()；

e)設(shè)A,B為兩個(gè)事件，若Au4,則有P(8—A)=P(3)—P(A),且

P(B)>P(A)；

3.古典概型試驗(yàn)與古典概率計(jì)算：

a)古典概型試驗(yàn)是滿足以下條件地隨機(jī)試驗(yàn)：

①它的樣本空間只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)；

①每個(gè)樣本點(diǎn)的發(fā)生是等可能的。

N

b)古典概率的計(jì)算：P(4)=9；

c)兩個(gè)基本原理：

①加法原理：假如做一件事情有兩類(lèi)辦法，在第一類(lèi)辦法中有m

種不同方法，而在第二類(lèi)辦法中有n種不同方法，那么完成這

件事情就有m+n種不同方法。加法原理可以推廣到有多類(lèi)辦法

的情況；

①乘法原理：假設(shè)做一件事情可以分成兩步來(lái)做，做第一步有m

種不同方法，做第二步有n種不同方法，那么完成這件事情有

mn種不同方法。乘法原理也可以推廣到多個(gè)步驟的情形。

9

4,條件概率：在事件B發(fā)生的條件下(假定P(B)>0),事件A發(fā)生的

概率稱(chēng)為事件A在給定事件B下的條件概率，簡(jiǎn)稱(chēng)A對(duì)B的條件概

率，記做：P(AIB)=￡^；

5.概率公式：

a)互逆：對(duì)于任意的事件A,P(A)+P(A)=\；

b)廣義加法公式：對(duì)于任意的兩個(gè)事件A和B.

P(A+B)=P(A)+P(B)~P(AB),

廣義加法公式可以推廣到任意有限個(gè)事件的并的情形，特別地：

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AQ-P(BQ+P(ABC)

c)減法公式：

P(A-B)=P(A)-P(AB)———AnB,則P(A—3)=P(A)—尸(8)；

d)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A),P(A)#0；

e)事件獨(dú)立：若尸(A8)=P(A)P(8),則4與3相互獨(dú)立。

f)全概率公式：設(shè)事件Ai,A2,…,An兩兩互斥,AI+A2+……+An=Q

(完備事件組)，且P(A)>0,i=l,2,n則對(duì)于任意事件

B,有:

&6)=￡&A)P(6|Aj)；

/=1

g)貝葉斯公式：條件同上，則對(duì)于任意尋件B,如果P(B)>0,有：

“)=粵2型幺；

￡P(guān)(4)P(B|A)

10

?；具\(yùn)算方法：

1、事件的表示：

例1、設(shè)A、B、C是三個(gè)隨機(jī)事件，用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示事件：A不發(fā)

生但B與C發(fā)生為（）

A.ABC

B.ABC

C.ABC

D.ABC

解析：本題考察事件的表示方法，選B。

例2、對(duì)隨機(jī)事件A、B、C,用E表示事件：A、B、C三個(gè)事件中至少有一個(gè)

事件發(fā)生，則E可表示為（）

B.Q-ABC

C.AUBUCD.ABC

解析：選A。

2、古典概型

例1、正方體骰子六個(gè)面點(diǎn)數(shù)分別為2、4、6、8、10、12,擲二次所得點(diǎn)數(shù)之

和大于等于4的概率為（）

A—R—

3612

C.1

6

解析：樣本空間中樣本點(diǎn)一共有36個(gè)，兩次擲得點(diǎn)數(shù)和不可能小于4,從而選

Do

11

例2、在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，小王連續(xù)拋了3次，則全部是正面向上的概率

為

()

A.-B.-

98

C.-D.-

63

解析：樣本空間一共有8個(gè)樣本點(diǎn)，全部正面向上只有一次，故選B。

例3、某夫婦按國(guó)家規(guī)定，可以生兩胎。如果他們每胎只生一個(gè)孩子，則兩胎

全

是女孩的概率為()

A.—B.1

168

C.-D.-

42

解析：生兩胎，樣本空間共有4個(gè)樣本點(diǎn)，故選C。

3^加法公式、減法公式、條件概率

例1、設(shè)A、B為兩個(gè)事件，P(A)二，P(B)=。如果BA,貝IJP(AB)二

()

A.B.

C.D.

解析：BA,則P(AB)=P(B),故選

例2、設(shè)A、B為兩個(gè)事件，P(A)=,P(B)=,P(AB)=,則P(B|A1()

A.B.

C.D.

解析：由P(a)=P(B)—P(AB),從而P(AB)=,P(B|A)二々善二，

P(B)

12

故選D。

例3、事件X和B相互獨(dú)立，且P(X)=，P(B)=，則P(AB)=()

A.B.

C.D.

解析：事件A和B相互獨(dú)立知事件A與B獨(dú)立,從而P(AB)=R(A)P(B)=,Ao

例4、事件A,B相互獨(dú)立，P(A)二，P(B|A)=，則P(A)+P(B)=

()

解析：由事件A,B相互獨(dú)立知P(B|A)=P(B)=,從而選C。

4、事件的互斥、對(duì)立、獨(dú)立關(guān)系：

例1、A與B為互斥事件，則人后為()

+B

解析：八與B為互斥事件，即八B-①，從而選C。

例2、事件A、B相互對(duì)立,P(A)=O.3,P(AB)=,則P(A-B)二()

解析：由事件A、B相互對(duì)立知AB=中，從而P(A-B)=P(A)=，選C。

例3、事件A、B相互獨(dú)立,P(A)=,P(B)=,則P(A+B)=()

解析：P(A+B)=

P(A)+P(B)-P(AB),由A、B相互獨(dú)立知P(AB)=P(A)P(B),從而

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)二，選C。

例4、事件A、B互斥,P(A)=,P(B|A)=,則P(A-B尸()

A.0B.

13

C.D.1

解析：事件A、B互斥有AB=①，從而P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A)三選B。

5、全概率公式和貝葉斯公式：

例1、在廠家送檢的三箱玻璃杯中，質(zhì)檢部門(mén)抽檢其中任一箱的概率相同。已

知第一箱的次品率為，第二箱的次品率為，三箱玻璃杯總的次品率為。求第三

箱的次品率。若從三箱中任抽一只是次品，求這個(gè)次品在第一箱中的概率。

解析：設(shè)A表示抽到第，箱，2,3.B表示次品，貝IJ

P(A)=p(4)=尸(4)=g,P(814)=0.01,P(B|4)=0.02

3

P(8)=ZP(A)P(〃I4)=0.02,從而P(刈4)=0.03,即第三箱的次品率為.

1=1

p(A⑶「尸⑷P⑻A)」

—P(A)P(BIA)6

1=1

即從三箱中任抽一只是次品，這個(gè)次品在第一

箱中的概率為1/6。

例2、實(shí)戰(zhàn)演習(xí)中，在甲、乙、丙三處射擊的概率分別為，，，而在甲、乙、

丙三處射擊時(shí)命中目標(biāo)的概率分別為，，。若最終目標(biāo)被命中，求目標(biāo)是由乙

處射擊命中的概率。

解析：設(shè)A表示在甲處射擊，&表示在乙處射擊，4表示在丙處射擊，B表示

命中,則P(A)=02P(A)=0.7,P(4)=0.1,

P(8|A)=0.8,P(B|A2)=0.4,尸(4|AJ=0.6

P(A/B)=,P(4)尸⑻&)=056

fp(A)p(例4)

/=1

從而目標(biāo)是由乙處射擊命中的概率為.

14

第三章隨機(jī)變量及其分布

?；局R(shí)點(diǎn):

一、離散型隨機(jī)變量:取值可以逐個(gè)列出

1.數(shù)學(xué)期望：

1)定義：&=乞茗/乙，以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均數(shù)；

i

2)性質(zhì)：E(C)=C(常數(shù)期望是本身)

E(aX)=aE(X)(常數(shù)因子提出來(lái))

E(aX+b)=aE(X)+b(一項(xiàng)一項(xiàng)分開(kāi)算)

E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)(線性性)

2.方差：

22

1)定義：Dx=E(x-Er)=Y(xi-Ex)pl；

i

2)性質(zhì)：D(c)=0(常數(shù)方差等于0)

D(aX)=a'D(X)(常數(shù)因子平方提)

D(aX+b)=a2D(X)

3)公式：D(X)=E(X2)-￡2(X)(方差二平方的期望-期望的平

方)；

3.常用隨機(jī)變量：

1)0-1分布：

a)隨機(jī)變量X只能取0,1這兩個(gè)值；

b)X~B(1,p)；

c)E(X)=pD(X)=p(l-p)

15

2)二項(xiàng)分布：

a)分布律：P(X=k)=C：p*l-p)i,2=0,12……〃;

b)X~B(n,p)

c)E(X)=np

d)D(X)=np(l-p)

e)適用：隨機(jī)試驗(yàn)具有兩個(gè)可能的結(jié)果A或者屋且P(A)=p,

P(A)=l-p,將試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)n次得到n重貝努里試

驗(yàn)。

3)泊松分布：

a)分布律：P(X=k)=^—,左=0,1,2........入＞0

k\

b)X~P(入)

c)E(X)=X

d}D(X)=；\

e)適用：指定時(shí)間內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)。

二、連續(xù)型隨機(jī)變量：

1.設(shè)X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量：

1)X的均值，記做口，就是X的數(shù)學(xué)期望，即從二EX；

2)X的方差，記做D(X)或。2,是(X-4I的數(shù)學(xué)期望，即：

D(X)=E[(X-U)2]=E(X2)-JU2

3)X的標(biāo)準(zhǔn)差，記做。，是X的方差〃的算術(shù)平方根，即。=好；

2.常用連續(xù)型隨磯變量：

名稱(chēng)分布律或密度記法E(X)D：X)

16

均勻分X~U[a,b]a+b

—Ca<x<b)

布/(幻=?h-a212

9,其他

指數(shù)分pl/a,x>0、小X?11

/U)=<!八,X>0

布[(),x<()77

正態(tài)分|d“)2X~N(〃，o-2)pb

布p(x)=—f=^=￡2/,CT>0

J2m2

標(biāo)準(zhǔn)正1HX~N(0,01

2

態(tài)分布(/)Cx)=-r^￡1)

NXTT

3.正態(tài)分布的密度曲線y二P(x)是一條關(guān)于直線x二R的對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線，在

x二口處最高，兩側(cè)迅速下降，無(wú)限接近X軸；。越大(小)，曲線越矮

胖(高瘦)。

4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度曲線y=<p(x),是關(guān)于Y軸對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線c

5.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化X-流(減去期望除標(biāo)差)。

6.標(biāo)準(zhǔn)化定理：設(shè)X?N(〃，o-2),則2=三二幺~N(O,1)。

(J

三、二維隨機(jī)變量：

1.用兩個(gè)隨機(jī)變量合在一起(X,Y)描述一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，(X,Y)的取

值帶有隨意性，但具有概率規(guī)律，則稱(chēng)'：X,Y)為二維隨機(jī)變量。

2.X,Y的協(xié)方差：cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-

EX?EY,cov(X,Y)>0說(shuō)明X與Y之間存在一定程度的正相關(guān)關(guān)系，

cov(X.Y)=0稱(chēng)X與Y不相關(guān)，cov(X,Y)<0說(shuō)明X與Y存在一

定程度的負(fù)相關(guān)關(guān)系；

3.X,Y的相關(guān)系數(shù)：q,二等岑L,取值范圍是越接

°ylDXx4DY

近1,表明X與Y之間的正線性相關(guān)程度越強(qiáng)，越接近于-1,表明X

與丫之間的負(fù)線性相關(guān)程度越弱，當(dāng)?shù)扔?。時(shí)，X與Y不相關(guān)。

17

4.隨機(jī)變量的線性組合：

1)E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y);

2)D(aX+。V)=片0(X)+2abeoMX,V)+〃D(Y)

四、決策準(zhǔn)則與決策樹(shù)：

1.對(duì)不確定的因素進(jìn)行估計(jì)，從幾個(gè)方案中選擇一個(gè)，這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為決

策；

2.決策三準(zhǔn)則：

1)極大極小原則：將各種方案的最壞結(jié)果(極小收益)進(jìn)行比較，從

中選擇極小收益最大的方案；

2)最小期望損失原則：選擇期望損失最小的方案；

3)最大期望收益原則：選擇期望收益最大的方案。

3.決策樹(shù)：使我唱把不確定因素的過(guò)程以圖解的形式表示出來(lái)，有簡(jiǎn)單、

直觀的優(yōu)點(diǎn)。

O基本運(yùn)算方法：

1、隨機(jī)變量的含義：

例1、某一事件出現(xiàn)的概率為"4,試驗(yàn)4次，該事件出現(xiàn)的次數(shù)將是()

A.1次B.大于1次

C.小于1次D.上述結(jié)果均有可能

解析：答案為D,此題考察對(duì)隨機(jī)變量的理解。

2、六種常見(jiàn)分布

例1、某企業(yè)出廠產(chǎn)品200個(gè)裝一盒，產(chǎn)品分為合格與不合格兩類(lèi)，合格率為

99%,

18

設(shè)每盒中的不合格產(chǎn)品數(shù)為X,則X通常服從()

A.正態(tài)分布B.泊松分布

C.均勻分布D.二項(xiàng)分布

解析：將任一個(gè)合格品記為0,不合格記為L(zhǎng)貝JX~B(200,),選D。

例2、一般正態(tài)分布N(口，o2)的概率分布函數(shù)F(x)轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N

(0,1)的概率分布函數(shù)時(shí)表示為()

A.①(x)B.①(土二)

o

C.0(x-n)D.0(-)

解析：本題考察正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化X?N(〃，/),則2=△二幺~N(0,l),選B.

o

例3、擲一枚不均勻硬幣，正面朝上的概率為1,將此硬幣連擲3次，則恰好2

4

次正面朝上的概率是()

912

A.—B.—

6464

c.打DT

6464

□27

解析：記X表示正面向上的次數(shù)，則X~B(3,4),P(X=2)=C;0.7520.25=—,

464

Co

例4、若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，貝IJ隨機(jī)變量Y=aX+b(aX0)服從()

A.正態(tài)分布B.二項(xiàng)分布

C.泊松分布D,指數(shù)分布

解析：本題考察正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布，選A。

例5、某電梯一星期發(fā)生故障的次數(shù)通常服從()

A.兩點(diǎn)分布B.均勻分布

C.指數(shù)分布D.泊松分布

19

解析：選D,泊松分在描述不常發(fā)生的事情。

例6、一個(gè)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，其方差與期望之比為1/3,則該二項(xiàng)分

布的參數(shù)P為()

/3/3

解析：此題考察二項(xiàng)分布的方差與期望,符*從而選

Bo

]_-(X-2)2/8

例7、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為0(x)=-8VXV8)則X的

方差D(X)二()

A.1B.2

C.3D.4

解析：此題考察正態(tài)分布的密度函數(shù)，選Do

例8、隨機(jī)變量X分布律為P(x=k),k=0,1,2,3,…則X的方差

k!

D(X)=()

A.B.2

C.D.3

解析：此題考察泊松分布的方差，選A。

例9、據(jù)調(diào)查，某單位男性員工中吸煙者的比例為20%,在一個(gè)由10人組成的

該單位男性員工的隨機(jī)樣本中，恰有3人吸煙的暇率是多少？

解析：設(shè)X表示10人中抽煙的人數(shù)，則X~B(10,,從而

20

P(X=3)=C；oO.23().87(自行用計(jì)算器計(jì)算出概率)。

例10、某零件的壽命服從均值為1200小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差為250小時(shí)的正態(tài)分布。

隨機(jī)地抽取一個(gè)零件，求它的壽命不低于1300小時(shí)的概率。(①()二，①二,

①=)

解析：設(shè)某零件的壽命為X,則X~N(1200,25(門(mén)，從而

P{X>I300}=1-P{X<1300}=1-P[X~120°<130°~1200,

250250

二1一①二

3、隨機(jī)變量期望、方差及協(xié)方差的運(yùn)算和性質(zhì)：

例1、設(shè)X和Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，D(X)=10,D(Y)=1,X與Y的協(xié)方差為一3,

則D(2X—Y)為()

A.18B.24

C.38D.53

解析：由。(。乂+匕丫)=/。(乂)+2。6。。戰(zhàn)乂,丫)+/。&)知,答案為D。

例2、設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知D(X)=60,D(Y)=80,則

Z=2X-3Y+7的方差為()

A.100

B.960

C.1007D.1207

解析：由于常數(shù)方差為0,且由X和Y獨(dú)立知其協(xié)方差為0,從而由公式

。(0/+")="。。)+從。(丫)知答案為Bo

例3、設(shè)X為隨機(jī)變量，E(X)=2,D(X)=6,則E(；?為()

21

A.5

B.10

C.20

D.30

解析：由方差的等價(jià)定義：D(X)=E(X2)-E2(X)?,答案為Bo

例4、若已知/)X=25,Dy=9,COV(X,y)=10.5,則X與J/相關(guān)系數(shù)廣為

A.B.

C.D.

cov(X,Y)

解析：由相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式/知答案為Co

/DXxV5F

例5、設(shè)X、Y為隨機(jī)變量，D(X)=6,D(Y)=7cov(X,Y)=l,試計(jì)算D(2X—3Y).

解析：由o(〃x+/?y)=/D(x)+2aZ?c°v(x,y)+z?2o(y)知

D(2X-3Y)=4D(X)-12Cov(X,Y)+9D(Y)=75o

4、概率分布、密度函數(shù)：

例1、離散型隨機(jī)變量X只取-L0,2三個(gè)值，已知它取各個(gè)值的概率不相

等，且三個(gè)概率值組成一個(gè)等差數(shù)列，設(shè)外治0)二a,貝1心二()

/4/3

/2

解析：由于三者成等差數(shù)列，故設(shè)X取-1的概率為a-d,取2的概率為a+d,

而三者相加為1,從而a=1/3,答案為B。

例2、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為P(x)二f"則*的數(shù)學(xué)期望

。具匕

E(X)二()

22

A.1B.

C.D.2

解析：顯然，從概率密度函數(shù)知X~U（1,）,從而期望為，答案為B。

第四章抽樣方法與抽樣分布

?；局R(shí)點(diǎn)：

一、抽樣基本概念：

1.總體：研究對(duì)象的全體；

2.個(gè)體：組成總體的每一個(gè)個(gè)體；

3.抽樣：從總體中抽取一部分個(gè)體的過(guò)程；

4.樣本：從總體中抽出的一部分個(gè)體構(gòu)成的集合；

5.樣本值：在一次試驗(yàn)或觀察以后得到一組確定的值；

6.隨機(jī)樣本：

1）個(gè)體被抽到的可能性相同；

2）相互獨(dú)立；

3）同分布。

二、抽樣方法：

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：總體中有n個(gè)單元，從中抽取r個(gè)單元作為樣本，使得

所有可能的樣本都有同樣的機(jī)會(huì)被抽中。有放回抽樣的樣本個(gè)數(shù)為

無(wú)放回抽樣的樣本個(gè)數(shù)為

2.系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）：將總體單元按照某種順序排列，按照規(guī)則確定

一個(gè)起點(diǎn)，然后每隔一定的間距抽取樣本單元。

23

3.分層抽樣：在油樣之前將總體劃分為互不交叉重疊的若干層，然后從各

個(gè)層中獨(dú)立地再取一定數(shù)量的單元作為樣本。

4.整群抽樣：在總體中由若干個(gè)總體單元自然或人為地組成的群體稱(chēng)為

群，抽樣時(shí)以辭體為抽樣單位，對(duì)抽中的各群的所有總體單元進(jìn)行觀

察。

三、抽樣中經(jīng)常遇到的三個(gè)問(wèn)題：

1.抽樣選取不當(dāng)；

2.無(wú)回答：

處理無(wú)回答常用的方法：

1）注意調(diào)查問(wèn)卷的設(shè)計(jì)和加強(qiáng)調(diào)查員的培訓(xùn)；

2）進(jìn)行多次訪問(wèn)；

3）替換無(wú)回答的樣本單元；

4）對(duì)存在無(wú)回答的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。

3.抽樣本身的誤差。

四、抽樣分布與中心極限定理：

1.不包含任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱(chēng)作統(tǒng)計(jì)量；

2.常用的統(tǒng)計(jì)量：

1）樣本均值?7YZk；

2）樣本方差：為；

3）樣本標(biāo)差：S=7F。

24

3.統(tǒng)計(jì)量的分布叫做抽樣分布，當(dāng)樣本容量n增大時(shí)，不論原來(lái)的總體是

否服從正態(tài)分布，其樣本均值都將趨向于正態(tài)分布，當(dāng)nN30時(shí)，樣本

均值就可以近似的服從正態(tài)分布。

4.中心極限定理：

設(shè)隨機(jī)變量Xi,X?,Xn獨(dú)立同分布，且EXi=|j,DXi=o1i=

2,……n,又Xj；EN=EGZX)=EX,=口；

D又=。鳥(niǎo)Z；X,)=十；'X,.)=卡之。X,=*“2=今

/=1nn

2

1)設(shè)隨機(jī)變量X1，X2,……Xn獨(dú)立同分布,且EX=n，DX,=o,i=l,

—一近似一近似

2.……n,X=+ZXj,則X?/)；學(xué)?N(0,1)；

〃—I1心30%n>30

2)設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,……Xn獨(dú)立同(01)分布，則

Z：Xj?/&p),且Z：X,?N(〃p,沙(1一〃))o

一?“230

五、常用的抽樣分布

1.樣本均值的抽洋分布：

總體均值、方抽樣方式樣本的期望樣本方差

差

有限總體重復(fù)抽樣心

n

有限總體不重復(fù)抽樣a1N-n

VN-l

無(wú)限總體任意哼

若有限總體不重復(fù)抽樣令<5馳時(shí)，其修正系數(shù)石近似為L(zhǎng)樣本均值的方差

可以簡(jiǎn)化為片。

2.樣本比例的抽擇分布：

總體比例抽樣方法EPDP

無(wú)限總體任意

Pn

25

有限總體有放回抽樣

Pn

有限總體無(wú)放回抽樣0(1-。)N-n

PnN-\

若有限總體無(wú)放回抽樣萬(wàn)＜5%時(shí)，其修正系數(shù)京r近似為1,樣本比例的方差

可以簡(jiǎn)化為

三種小樣本的抽樣分布.

名稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量記法上C（分位點(diǎn)

X?分布Xl.X2Xn分布M~X2(n)P\Z2>/(〃)]二。

/；+/；+......+z'=z2

2

，分布X-N(0,1),Y-Xf?f(〃)P[t>ta(n)]=a

(n)

XtY相互獨(dú)立

F分布V~%2（〃2）F~F(〃w%)P[F>Fa(nen2)]=a

u,V相互獨(dú)立，F(xiàn);匕〃2)二焉ZT

七、幾種重要統(tǒng)計(jì)量的分布：

設(shè)X~N（n，/）,刈，X2,……K是X的樣本，樣本均值》樣

本方差S?=告￡；（為7）2：

1.，分布：

以樣本標(biāo)格代替。

又?N卬，臉，標(biāo)厚化，?N（O,1）

2.父分布：叫「二-i?/（…；

3.設(shè)Xi,X2,??…Xn是N（M，端）的樣本，匕，丫2,……汽是N5,戊）的

樣本，并且都相互獨(dú)立，貝IJ:

標(biāo)準(zhǔn)化

9一y?N"「〃肅+*）?N(O,1)

以s合代替。xy(M〃2)

?，(〃1+4-2)

S”/Z?（XLM）2；5；=古雪（工-萬(wàn)；S合=T喘寫(xiě)g

26

?；具\(yùn)算方法：

1、基本概念及抽樣方法：

例1、如果抽選10人作樣本，在體重50公斤以下的人中隨機(jī)抽選2人，

50?65

公斤的人中隨機(jī)選5人，65公斤以上的人中隨機(jī)選3人，這種抽樣方法稱(chēng)作

（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.系統(tǒng)抽樣

C.分層抽樣D.整群抽樣

解析：本題考察概率抽樣方法的分類(lèi)，答案為。

例2、將總體單元按某種順序排列，按照規(guī)則確定一個(gè)隨機(jī)起點(diǎn)，然后每隔一定的

間隔逐個(gè)抽取樣本單元。這種抽選方法稱(chēng)為（）

A.系統(tǒng)抽樣B.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

C.分層抽樣D.整群抽樣

解析：本題考察概率抽樣方法的分類(lèi)，答案為A,

2、抽樣分布與中心極限定理：

例1、一個(gè)具有任意分布形式的總體，從中抽取容量為n的樣本，隨著樣本容

量

的增大，樣本均值大將逐漸趨向于（）

A.泊松分布B?/分布

C.F分布D.正態(tài)分布

解析：本題考察中心極限定理，答案為Do

27

例2、在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中，如果將樣本容量增加9倍，則樣本均值抽樣分布的

標(biāo)

準(zhǔn)誤差將變?yōu)樵瓉?lái)的'：）

A.1/9倍

B.1/3倍

C.3倍D.9倍

解析：由于D（文尸巴，從而標(biāo)準(zhǔn)誤差為小，答案為B。

nyjn

例3、對(duì)于容量為N的總體進(jìn)行不重復(fù)抽樣（樣本容量為n）,樣本均值與的

方差為（）

解析